第48課時(shí)專題強(qiáng)化：帶電粒子在交變電場中的運(yùn)動(dòng)

目標(biāo)要求1.掌握交變電場的特點(diǎn)。2.會分析帶電粒子在交變電場中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

考點(diǎn)一帶電粒子在交變電場中的直線運(yùn)動(dòng)

1.常見的交變電場

常見的產(chǎn)生交變電場的電壓波形有方形波、鋸齒波、正弦波等。

2.常見的題目類型

(1)粒子做單向直線運(yùn)動(dòng)。

(2)粒子做往返運(yùn)動(dòng)。

3.思維方法

(1)注重全面分析(分析受力特點(diǎn)和運(yùn)動(dòng)規(guī)律)：抓住粒子的運(yùn)動(dòng)具有周期性和在空間上具有對稱性的特征，

求解粒子運(yùn)動(dòng)過程中的速度、位移、做功或確定與物理過程相關(guān)的臨界條件。

(2)從兩條思路出發(fā)：一是力和運(yùn)動(dòng)的關(guān)系，根據(jù)牛頓第二定律及運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律分析；二是功能關(guān)系。

4.解題技巧

(1)按周期性分段研究。

圖像

(2)將圖像a－t圖像v－t圖像。

???

圖像

???

例1??(多?選)如圖(a)所示，A、B是一對平行的金屬板，在兩板間加上一周期為T的交變電壓，兩板間

電勢差隨時(shí)間的變化規(guī)律如圖(b)所示?，F(xiàn)有一電子從A板上的小孔進(jìn)入兩板間的電場區(qū)域內(nèi)，設(shè)電子

的初速度和重力的影響可忽略。則下列說法正確的是()

A.若電子是在t＝0時(shí)刻進(jìn)入的，它將一直向B板運(yùn)動(dòng)

B.若電子是在t＝時(shí)刻進(jìn)入的，它可能時(shí)而向B板運(yùn)動(dòng)，時(shí)而向A板運(yùn)動(dòng)，最后打在B板上

?

C.若電子是在t＝8時(shí)刻進(jìn)入的，它可能時(shí)而向B板運(yùn)動(dòng)，時(shí)而向A板運(yùn)動(dòng)，最后打在B板上

3?

D.若電子是在t＝8時(shí)刻進(jìn)入的，它可能時(shí)而向B板運(yùn)動(dòng)，時(shí)而向A板運(yùn)動(dòng)

?

答案AB2

解析根據(jù)電子進(jìn)入電場后的受力和運(yùn)動(dòng)情況，作出如圖所示的圖像。

由圖丁可知，當(dāng)電子在t＝0時(shí)刻進(jìn)入電場時(shí)，電子一直向B板運(yùn)動(dòng)，故A正確；若電子在t＝時(shí)刻進(jìn)入，

?

則由圖像知，向B板運(yùn)動(dòng)的位移大于向A板運(yùn)動(dòng)的位移，因此最后仍能打在B板上，故B正確8；若電子

在t＝時(shí)刻進(jìn)入電場，則由圖像知，在第一個(gè)周期電子即返回A板從小孔飛出，故C錯(cuò)誤；t＝時(shí)刻電子

3??

一靠近8小孔便受到排斥力，此時(shí)電子不能進(jìn)入電場，故D錯(cuò)誤。2

在畫速度—時(shí)間圖像時(shí)，要注意以下幾點(diǎn)：

(1)帶電粒子進(jìn)入電場的時(shí)刻。

(2)速度—時(shí)間圖像的斜率表示加速度，因此加速度相同的運(yùn)動(dòng)的圖像一定是平行的直線。

(3)圖線與時(shí)間軸圍成的“面積”表示位移，且在橫軸上方所圍成的“面積”為正，在橫軸下方所圍成的

“面積”為負(fù)。

(4)注意對稱性和周期性變化關(guān)系的應(yīng)用。

(5)圖線與橫軸有交點(diǎn)，表示此時(shí)速度為零；對于運(yùn)動(dòng)很復(fù)雜，不容易畫出速度—時(shí)間圖像的問題，還應(yīng)逐

段分析求解。

考點(diǎn)二帶電粒子在交變電場中的偏轉(zhuǎn)

1.當(dāng)粒子垂直于交變電場方向射入時(shí)，沿初速度方向的分運(yùn)動(dòng)為勻速直線運(yùn)動(dòng)，沿電場方向的分運(yùn)動(dòng)具有

周期性。

2.研究帶電粒子在交變電場中的偏轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵是根據(jù)電場變化的特點(diǎn)，利用牛頓第二定律正確地判斷粒

子的運(yùn)動(dòng)情況。根據(jù)電場的變化情況，分段求解帶電粒子運(yùn)動(dòng)的末速度、位移等。

3.對于鋸齒波和正弦波等電壓產(chǎn)生的交變電場，若粒子穿過板間的時(shí)間極短，帶電粒子穿過電場時(shí)可認(rèn)為

是在勻強(qiáng)電場中運(yùn)動(dòng)。

例2如圖a所示，水平放置的兩正對、平行金屬板A、B間加有如圖b所示的交流電壓UAB，現(xiàn)有

一帶電粒子從A板左端邊緣以速度v0水平射入電場。粒子電荷量為＋q，質(zhì)量為m，不計(jì)粒子重力。

(1)若粒子能夠射出電場，已知金屬板長度為L，求粒子在電場中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t；

(2)若粒子在t＝0時(shí)刻射入電場，經(jīng)過一段時(shí)間后從B板右側(cè)邊緣水平射出。

①定性畫出垂直板方向的速度vy(規(guī)定豎直向下為正方向)隨時(shí)間變化的圖像。

②求出板長L和兩板間距d分別滿足的條件。

(3)若粒子在t＝時(shí)刻射入電場，經(jīng)過一段時(shí)間后從A板右側(cè)邊緣水平射出，則板長L和兩板間距d分

?

別滿足什么條件4？

答案(1)(2)①見解析圖②見解析

?

?0

(3)L＝nv0T(n＝1，2，3，…)d≥

???0

解析(1)根據(jù)題意可知，粒子在電4場中?，水平方向上做勻速直線運(yùn)動(dòng)，若粒子能夠射出電場，則粒子在電

場中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t＝

?

?0

(2)①②由對稱性可知，粒子可能在t1＝nT，即vy＝0時(shí)從B板右邊緣水平射出，

L＝v0t1＝nv0T(n＝1，2，3，…)，

d＝2n·a()2

1?

由牛頓2第二2定律有a＝，

?0?

??

聯(lián)立得d＝(n＝1，2，3，…)

????0

2?

(3)根據(jù)題意可知，若粒子在t＝時(shí)刻射入電場，且經(jīng)過一段時(shí)間后能夠從A板右側(cè)邊緣水平射出，則在豎

?

直方向上，粒子在~時(shí)間內(nèi)，做4向下的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，在~時(shí)間內(nèi)，向下做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，由對稱

???3?

性可知，粒子在時(shí)4，2豎直分速度減小到0，此時(shí)，粒子未達(dá)2到4B板上，然后在~T時(shí)間內(nèi)，向上做勻加

3?3?

44

速直線運(yùn)動(dòng)，在T~時(shí)間內(nèi)，向上做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，由對稱性可知，在時(shí)，粒子恰好回到A板邊緣，

5?5?

且豎直分速度為0，4由上述分析可知，兩板間距d滿足條件d≥2×a()24

1?

由牛頓第二定律可得a＝24

?0?

??

聯(lián)立解得d≥

???0

4?

粒子在電場中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t2＝nT(n＝1，2，3，…)

則板長為L＝v0t2＝nv0T(n＝1，2，3，…)

[變式](多選)如圖甲所示，真空中水平放置兩塊長度為2d的平行金屬板P、Q，兩板間距為d，兩板

間加上如圖乙所示最大值為U0且周期性變化的電壓，在兩板左側(cè)緊靠P板處有一粒子源A，自t＝0時(shí)

刻開始連續(xù)釋放初速度大小為v0、方向平行于金屬板的相同帶電粒子，t＝0時(shí)刻釋放的粒子恰好從Q

板右側(cè)邊緣離開電場，已知電場變化周期T＝，粒子質(zhì)量為m，不計(jì)粒子重力及相互間的作用力，則

2?

()?0

A.在t＝0時(shí)刻進(jìn)入的粒子離開電場時(shí)速度大小仍為v0

B.粒子的電荷量為

2

??0

0

C.在t＝T時(shí)刻進(jìn)入2?的粒子離開電場時(shí)電勢能減少了m

112

0

D.在t＝8T時(shí)刻進(jìn)入的粒子剛好從P板右側(cè)邊緣離開8電場?

1

答案A4D

解析粒子進(jìn)入電場后，水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，則t＝0時(shí)刻進(jìn)入電場的粒子在電場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間t＝，

2?

此時(shí)間正好是交流電壓的一個(gè)周期，粒子在豎直方向先做勻加速直線運(yùn)動(dòng)后做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過一?個(gè)0

周期，粒子的豎直速度為零，故粒子離開電場時(shí)的速度大小等于水平速度v0，故A正確；在豎直方向，t

＝0時(shí)刻進(jìn)入電場的粒子在時(shí)間內(nèi)的位移為，則＝a()2＝)2，解得q＝，故B錯(cuò)誤；在t＝

2

???1??0????0?

00

時(shí)刻進(jìn)入電場的粒子，離開2電場時(shí)在豎直方向2上的2位移2為2y＝2?×?(a?(T)2－2×a()?2＝，故靜電力做功為8W

131??

28282

＝×d＝U0q＝m，電勢能減少了m，故C錯(cuò)誤；t＝時(shí)刻進(jìn)入的粒子，在豎直方向先向下勻加

0

??111212?

00

速直?線運(yùn)2動(dòng)2，然后2向?下勻減速直線運(yùn)動(dòng)2，?再向上勻加速直線運(yùn)4動(dòng)，然后再向上勻減速直線運(yùn)動(dòng)，由對

????

稱性可以知道4，此時(shí)豎直方向的位移為零4，故粒子剛好從P板右側(cè)4邊緣離開電場，故D正確。4

課時(shí)精練

(分值：50分)

1~3題每小題6分，共18分

1.(2024·山東臨沂市檢測)如圖甲所示，在平行板電容器A、B兩極板間加上如圖乙所示的交流電壓。開始

A板的電勢比B板高，此時(shí)兩板中間原來靜止的電子在靜電力作用下開始運(yùn)動(dòng)。設(shè)電子在運(yùn)動(dòng)中不與極板

發(fā)生碰撞，向A板運(yùn)動(dòng)時(shí)為速度的正方向，則下列圖像中能正確反映電子速度變化規(guī)律的是(其中C、D兩

項(xiàng)中的圖線按正弦函數(shù)規(guī)律變化)()

答案A

解析在前半個(gè)周期內(nèi)，A板的電勢高，電場的方向向右，電子受到的靜電力方向水平向左，電子向左做

初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，在后半個(gè)周期，電場的方向向左，電子所受的靜電力水平向右，電子向左

做勻減速直線運(yùn)動(dòng)直到速度為零，然后進(jìn)入第二個(gè)周期，重復(fù)之前的運(yùn)動(dòng)，由此可知，電子在每個(gè)周期內(nèi)

先向左做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，然后向左做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，如此反復(fù)，由圖像可知A正確，B、

C、D錯(cuò)誤。

2.如圖甲所示，兩平行正對的金屬板A、B間加有如圖乙所示的交流電壓，一重力可忽略不計(jì)的帶正電粒

子被固定在兩板的正中間P處，若在t0時(shí)刻釋放該粒子，粒子會時(shí)而向A板運(yùn)動(dòng)，時(shí)而向B板運(yùn)動(dòng)，并最

終打在A板上，則t0可能屬于的時(shí)間段是()

A.0<t0<B.<t0<

??3?

C.<t0<4TD.2T<t0<4

3?9?

48

答案B

解析若0<t0<，帶正電粒子先加速向B板運(yùn)動(dòng)、再減速運(yùn)動(dòng)至零，然后再反方向加速運(yùn)動(dòng)、減速運(yùn)動(dòng)至

?

零；如此反復(fù)運(yùn)4動(dòng)，每次向右運(yùn)動(dòng)的距離大于向左運(yùn)動(dòng)的距離，最終打在B板上，所以A不符合題意；若

<t0<，帶正電粒子先加速向A運(yùn)動(dòng)、再減速運(yùn)動(dòng)至零，然后再反方向加速運(yùn)動(dòng)、減速運(yùn)動(dòng)至零，如此反

?3?

24

復(fù)運(yùn)動(dòng)，每次向左運(yùn)動(dòng)的距離大于向右運(yùn)動(dòng)的距離，最終打在A板上，所以B符合題意；若<t0<T，帶正

3?

電粒子先加速向A板運(yùn)動(dòng)、再減速運(yùn)動(dòng)至零；然后再反方向加速運(yùn)動(dòng)、減速運(yùn)動(dòng)至零，如此反4復(fù)運(yùn)動(dòng)，每

次向左運(yùn)動(dòng)的距離小于向右運(yùn)動(dòng)的距離，最終打在B板上，所以C不符合題意；若T<t0<，帶正電粒子

9?

先加速向B板運(yùn)動(dòng)、再減速運(yùn)動(dòng)至零，然后再反方向加速運(yùn)動(dòng)、減速運(yùn)動(dòng)至零，如此反復(fù)8運(yùn)動(dòng)，每次向右

運(yùn)動(dòng)的距離大于向左運(yùn)動(dòng)的距離，最終打在B板上，所以D不符合題意。

3.如圖甲，一帶電粒子沿平行板電容器中線MN以速度v平行于極板進(jìn)入(記為t＝0時(shí)刻)，同時(shí)在兩板上

加一按圖乙變化的電壓。已知粒子比荷為k，帶電粒子只受靜電力的作用且不與極板發(fā)生碰撞，經(jīng)過一段

時(shí)間，粒子以平行極板方向的速度射出。則下列說法中正確的是()

A.粒子射出時(shí)間可能為t＝4s

B.粒子射出的速度大小為2v

C.極板長度滿足L＝3vn(n＝1，2，3，…)

D.極板間最小距離為

3??0

答案D2

解析粒子進(jìn)入電容器后，在平行于極板方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，垂直極板方向的運(yùn)動(dòng)v－t圖像如圖所示

因?yàn)榱Ｗ悠叫袠O板射出，可知粒子垂直極板的分速度為0，所以射出時(shí)刻可能為1.5s、3s、4.5s…，滿足

t＝1.5n(n＝1，2，3，…)，粒子射出的速度大小必定為v，故A、B錯(cuò)誤；極板長度L＝v·1.5n(n＝1，2，

3，…)，故C錯(cuò)誤；因?yàn)榱Ｗ硬桓鷺O板碰撞，則應(yīng)滿足≥vy×1.5s，vy＝a×1s，a＝，聯(lián)立求得

?1??0

22??

d≥，故D正確。

3??0

2

4題7分，5題9分，共16分

4.如圖甲所示，長為8d、間距為d的平行金屬板水平放置，O點(diǎn)為兩板中點(diǎn)的一粒子源，能持續(xù)水平向右

發(fā)射初速度為v0、電荷量為＋q、質(zhì)量為m的粒子。在兩板間存在如圖乙所示的交變電場，取豎直向下為

正方向，不計(jì)粒子重力及粒子間的相互作用，以下判斷正確的是()

A.能從板間射出的粒子的動(dòng)能均相同

B.粒子在電場中運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間為

2?

0

C.t＝時(shí)刻進(jìn)入的粒子，從O'點(diǎn)的2下?方射出

?

0

D.t＝?時(shí)刻進(jìn)入的粒子，從O'點(diǎn)的上方射出

?

答案2?A0

解析由題圖乙可知電場強(qiáng)度E＝，則粒子在電場中的加速度a＝＝，則粒子在電場中運(yùn)動(dòng)的最

22

??0???0

2???2?

短時(shí)間滿足d＝a，解得tmin＝，故B錯(cuò)誤；能從板間射出的粒子在板間運(yùn)動(dòng)的時(shí)間均為t＝＝2T，

1122?8?

min00

則這些粒子射2出2電?場時(shí)沿電場方向的?速度均為0，可知射出電場時(shí)的動(dòng)能均為m，故A正確；t＝?＝

12??

00

時(shí)刻進(jìn)入的粒子，在沿電場方向的運(yùn)動(dòng)是：先向下加速，后向下減速速度到2零；?然后向上加速，再?向上4

???

減速速度到零……如此反復(fù)，則最后射出時(shí)沿電場方向4的位移為零，則4粒子將從O'點(diǎn)射出，故C4錯(cuò)誤；t

?

422

＝＝時(shí)刻進(jìn)入的粒子，在沿電場方向的運(yùn)動(dòng)是：先向下加速，運(yùn)動(dòng)的位移y1＝at＝··()＝

2

??3?11?03?

00

d2>?d，8此時(shí)粒子已經(jīng)到達(dá)下極板，即粒子不能從右側(cè)射出，故D8錯(cuò)誤。222?2?

91

516.(9分2)某示波管簡化裝置由加速板P、Q、偏轉(zhuǎn)板A、B及圓弧熒光屏MN組成，如圖甲所示，加速電場

電壓為U0，A、B兩板間距和板長均為l，熒光屏圓弧的半徑為2l，其圓心與正方形偏轉(zhuǎn)區(qū)域的中心點(diǎn)O

恰好重合，A、B板間電壓UAB隨時(shí)間t的變化規(guī)律如圖乙所示。質(zhì)量為m、電荷量為q、初速度為零的粒

子從t＝0時(shí)刻開始連續(xù)均勻地“飄入”加速電場，粒子通過偏轉(zhuǎn)電場的時(shí)間遠(yuǎn)小于T，不計(jì)粒子間的相互作

用及粒子的重力。求：

(1)(2分)粒子進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場時(shí)的速度大?。?/p>

(2)(3分)在電壓變化的一個(gè)周期內(nèi)，能穿過偏轉(zhuǎn)電場的粒子數(shù)占總粒子數(shù)的百分比；

(3)(4分)粒子從進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場到打在屏上的最長時(shí)間與最短時(shí)間之差。

答案(1)

2??0

(2)66.7%?

(3)(－1)l

?

2??0

解析(1)根據(jù)動(dòng)能定理可得qU0＝m，解得v0＝；

0

122??

0

(2)粒子通過偏轉(zhuǎn)電場的時(shí)間遠(yuǎn)小于2T，?故在A、B板間?運(yùn)動(dòng)時(shí)電壓可視作恒定。粒子恰好在極板右側(cè)邊緣

2

射出時(shí)，l＝v0t，＝at，a＝，解得Um＝2U0，故所占百分比為×100%≈66.7%；

?1??m2?0

(3)由于所有出射粒2子2進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電??場后沿軸線方向的運(yùn)動(dòng)相同，故該方3?向0的分位移之差最大時(shí)，時(shí)間差最大，

如圖所示，則Δtm＝，Δxm＝O1D＝(2－)l，得Δtm＝(－1)l。

Δ?m?

?022??0

6.(16分)真空中兩塊相同的金屬板A、B水平正對，O是貼近A板上表面左邊緣處的一個(gè)點(diǎn)，如圖甲所示，

A板接地，兩板間加上周期性的交流電壓后，在兩板之間產(chǎn)生了交變的勻強(qiáng)電場。B板的電勢φB隨時(shí)間t

的變化規(guī)律如圖乙所示?，F(xiàn)在O點(diǎn)放一個(gè)粒子源，粒子源不斷水平向右發(fā)射帶負(fù)電的粒子，粒子一旦碰到

金屬板，就附著在金屬板上不再運(yùn)動(dòng)，且電荷量同時(shí)消失，不影響A、B板間的電壓。已知粒子源發(fā)射的

粒子初速度大小均為v0，電荷量均為q，質(zhì)量均為m，A、B板間交流電壓的周期為T，圖乙中φ0是已知量，

但φ是可變量，不計(jì)粒子的重力和粒子之間的相互作用。若φ＝8φ0，在t＝0時(shí)刻被射出的粒子，經(jīng)過一個(gè)

周期的時(shí)間恰好回到A板。

(1)(5分)求圖乙中t0的值；

(2)(5分)求金屬板A、B間的最小距離；

(3)(6分)若φ＝4φ0，粒子源保持均勻發(fā)射粒子，金屬板A、B間的距離d＝，t0＝，則在0~T時(shí)間內(nèi)，

?2??0?

打在B板上的粒子占一個(gè)周期內(nèi)發(fā)射的粒子的百分比大約是多少？(已知5≈2?.25)2

答案(1)T(2)(3)14%