湖北省武漢市九師聯(lián)盟2026屆高三上學期開學考試數(shù)學試題及答案解析一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）....2.已知復數(shù)滿足（其中為虛數(shù)單位），則（）....3.若橢圓的焦距為，則的離心率為（）....4.已知為兩個不同的平面，是兩條不同的直線，則下列命題中正確的是（）.若，，，則.若，，則.若，，則.若，，則5.已知，，且，則的最小值是（）....6.已知正項等比數(shù)列的前項和為，若，，則（）....7.已知直線，圓，則“點在圓外”是“直線與圓相交”的（）.充分不必要條件.必要不充分條件.充要條件.既不充分又不必要條件8.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且，恒成立，則（）....二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.2024年手機迎來發(fā)展新機遇，國內(nèi)兩家傳媒公司共同發(fā)起了中國手機消費行為調(diào)查，下表為根據(jù)調(diào)查得到的2024年1000名中國手機用戶購買手機價格頻數(shù)表，同一組中的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值代表，則（）.估計1000名用戶購買手機價格的眾數(shù)為7.5.估計1000名用戶購買手機價格的平均數(shù)為8.45.估計1000名用戶購買手機價格的中位數(shù)不超過6.估計1000名用戶購買手機價格的84%分位數(shù)不超過1210.已知中，內(nèi)角的對邊分別為，為延長線上一點，的平分線交直線于，若，，，則（）...的面積為.11.在平面直角坐標系中，拋物線的焦點為，過點的直線與交于兩點，點滿足，且直線與軸平行，直線與軸交于點，則下列說法正確的是（）..若，則直線的斜率為或.若為的準線上任意一點，則直線的斜率成等差數(shù)列.點到直線的距離為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若函數(shù)在處有極值，則實數(shù).13.已知向量滿足，，且，則.14.已知數(shù)列的前項和為，且，，若對任意的，等式恒成立，則.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（13分）已知函數(shù)的最小正周期為.（1）求的值；（2）求的單調(diào)遞增區(qū)間.16.（15分）如圖，四棱錐中，平面，底面為直角梯形，，，，點在棱上.（1）若為的中點，證明：；（2）若兩條異面直線，所成角的余弦值為，求的值.17.（15分）為了解某校學生每天進行體育運動的時間，從中抽取男、女生共100人進行問卷調(diào)查.將樣本中的“男生”和“女生”按每天體育運動的時間（單位：分鐘）各分為5組：，經(jīng)統(tǒng)計得下表：若體育運動的時間不少于一小時，則被認定為“喜歡體育運動”，否則被認定為“不喜歡體育運動”.（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為是否喜歡體育運動與性別有關(guān)聯(lián)？喜歡體育運動不喜歡體育運動合計男女合計（2）從喜歡體育運動的學生中按性別采用分層抽樣的方法抽取8人，再從這8人中隨機抽取3人擔任體育運動宣傳員，記隨機變量為抽取的3人中女生的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望.參考答案：，其中.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82818.（17分）已知雙曲線經(jīng)過點，動直線與恰有1個公共點，且與的兩條互相垂直的漸近線分別交于點.（1）求的方程；（2）已知為坐標原點，求證：的面積為定值；（3）過的右焦點作兩條互相垂直的直線，且與交于兩點，與交于兩點，若的中點為，的中點為，求證：直線與軸垂直.19.（17分）已知函數(shù).（1）若的圖象在點處的切線過原點，求實數(shù)的值；（2）若在上是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；（3）求證：.答案解析一、選擇題1.C解析：∵，，∴.2.B解析：由，得.3.A解析：由得，又，∴，，.4.C解析：若，，，則或異面，故A錯誤；若，，則或，故B錯誤；若，，則，故C正確；若，，則或，故D錯誤.5.A解析：∵，∴，∴，又，，∴，∴，當且僅當，即，時等號成立，∴，即的最小值是.6.D解析：由等比數(shù)列前項和的性質(zhì)可得：成等比數(shù)列，則，即，解得或（舍去）.7.C解析：若點在圓外，則，∴圓心到直線的距離，∴直線與圓相交，∴圓，則“點在圓外”是“直線與圓相交”的充分條件；若“直線與圓相交”，則圓心到直線的距離，∴，∴點在圓外，∴“點在圓外”是“直線與圓相交”的必要條件，綜上，“點在圓外”是“直線與圓相交”的充要條件.8.D解析：∵，恒成立，令，則恒成立，即，∴，∴，，，…，，以上各式兩邊分別相加，得，在中，令，得，∵是定義在上的偶函數(shù)，∴，∴，∴，解得.二、選擇題9.AB解析：1000名用戶購買手機價格的眾數(shù)為7.5，故A正確；平均數(shù)為，故B正確；中位數(shù)為，故C錯誤；1000名用戶購買手機價格的84%分位數(shù)為，故D錯誤.10.AC解析：根據(jù)題意，由正弦定理得：，故A正確；由余弦定理得，，∵，∴，故B錯誤；的面積為，故C正確；由余弦定理，得，∵，∴，∵，是的角平分線，∴，∴.在中，由正弦定理，得，解得，故D錯誤.11.ACD解析：由題意知，顯然直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立，得，∴，，∴，∴，故A正確；∵，∴，∴，又，解得或，∴或，即直線的斜率為或，故B錯誤；設(shè)，則，，，∴.即，則直線的斜率成等差數(shù)列，故C正確；如圖所示，過點作，垂足為，又，∴，又，∴，∴，故D正確.三、填空題12.解析：∵，∴，∵在處有極值，∴，∴，解得.經(jīng)檢驗當時，，當或時，；當h時，，∴在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)在處有極大值，滿足題意.13.解析：由，得，即，整理得，解得或（舍去）.14.解析：∵，∴當時，，兩式相減得，∴，∴數(shù)列是以為首項，1為公差的等差數(shù)列，∴，，則，∴，又∵對任意的，等式恒成立，∴，解得，，∴.四、解答題15.解：.（1）∵的最小正周期為，∴，解得.（2）由（1）得，.令，解得，故的單調(diào)遞增區(qū)間為.16.解：（1）證明：∵平面，平面，，∴，∵，，∴，又平面，，∴平面，∵平面，∴，∵，為的中點，∴，又平面，，∴平面，∵平面，∴.（2）如圖，以為坐標原點，以所在直線分別為為軸，建立空間直角坐標系，則，，，，設(shè)，則.設(shè)異面直線與所成角為，則，整理得，解得或（舍去），∴，∴.17.（1）列聯(lián)表如下：喜歡體育運動不喜歡體育運動合計男243660女83240合計3268100零假設(shè)為：是否喜歡體育運動與性別無關(guān)聯(lián).根據(jù)列聯(lián)表可得根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認為是否喜歡體育運動與性別有關(guān)聯(lián).（2）從喜歡體育運動的學生中按性別采用分層隨機抽樣的方法抽取8人，則男生抽取人數(shù)為，女生抽取人數(shù)為.的可能取值為0,1,2，；；，則的分布列為：∴.18.解：（1）雙曲線的漸近線方程為，由兩條漸近線垂直可得，∴.將點代入，得，解得，∴的方程為.（2）證明：當動直線的斜率不存在時，，，.當動直線的斜率存在時，不妨設(shè)直線，聯(lián)立，得，從而，化簡得.又∵雙曲線的漸近線方程為，由得，∴，同理得，∴，又原點到直線的距離，∴，又，∴，綜上所述，的面積為定值1.（3）證明：由題意可得，雙曲線的右焦點為，當直線與的斜率都存在時，設(shè)直線的方程為，，，由，得，且，∴，，∵點是的中點，∴，∵，∴將換成，得，∵點與點的縱坐標相同，∴直線與軸垂直，當直線的斜率不存在，直線的斜率為0時，易得，；當直線的斜率為0，直線的斜率不存在時，易得，.∴直線的方程為，與軸垂直.綜上所述，直線與軸垂直.19.解：（1）函數(shù)的定義域為，導函數(shù)，，，∵的圖象在點處的切線過原點，∴，∴.（2）令，則對成立，∴在上是增函數(shù)，∴時，，∵在上是增函數(shù)，∴在上成立，∴在上成立，∴，，即的取值范圍是.