第7講:量子信道（Ⅰ）量子通信實(shí)驗(yàn)室朱暢華2024.03.1722本講主要內(nèi)容1.量子信道的概念2.量子信道的酉變換表示3.量子信道的算子和表示4.量子信道的公理化表示5.典型的量子噪聲信道模型QuantumChannel3Fiber,freespace4狀態(tài)空間公設(shè)公設(shè)1：任一孤立的物理系統(tǒng)，對(duì)應(yīng)一個(gè)復(fù)內(nèi)積向量空間（Hilbert空間）的一個(gè)單位向量。力學(xué)量公設(shè)公設(shè)2：量子力學(xué)中，任意實(shí)驗(yàn)上可以觀測(cè)的力學(xué)量均由一個(gè)線性厄米算子描述

進(jìn)行測(cè)量，得到結(jié)果（本征值）概率為，6封閉系統(tǒng)的演化公設(shè)3：封閉量子系統(tǒng)的演化由Schr?bdinger方程描述酉演化態(tài)的演化可以用一個(gè)算子U來(lái)描述7公設(shè)4：量子測(cè)量8一般量子測(cè)量測(cè)量公設(shè)的密度算子表述910復(fù)合系統(tǒng)公設(shè)公設(shè)5：1量子信道的概念11量子信道若輸入量子狀態(tài)的密度算子為，輸出量子態(tài)的密度算子為，則量子信道可表述為映射：

量子信道模型的用途量子通信系統(tǒng)性能分析QBERKeyrateFidelity量子計(jì)算運(yùn)算（線路）估計(jì)量子信息系統(tǒng)辨識(shí)（過(guò)程層析）13F.Bouchard,et.al.,Quantumprocesstomographyofahigh-dimensionalquantumcommunicationchannel,Quantum3,138(2019).2量子信道的酉變換表示14量子信道的酉變換表示

若信道對(duì)量子態(tài)的變換可用酉算子U表示，則稱為信道的酉變換表示形式，開(kāi)放系統(tǒng)的U演化系統(tǒng)與環(huán)境復(fù)合系統(tǒng)

量子信道的測(cè)量算子描述若將信道對(duì)量子態(tài)的作用看作測(cè)量，且測(cè)量算子為3量子信道的算子和表示18信道的算子和表示

令為環(huán)境的有限維狀態(tài)空間上的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基，密度算子為環(huán)境的初始狀態(tài)，且為純態(tài)，則

保跡（tracepreserving）的量子信道完備性關(guān)系對(duì)所有都成立算子和表示的物理含義

設(shè)在酉變換以后，在基下對(duì)環(huán)境進(jìn)行測(cè)量，這一測(cè)量?jī)H影響環(huán)境的狀態(tài)，而不改變主系統(tǒng)的狀態(tài)。令為結(jié)果出現(xiàn)時(shí)的主系統(tǒng)狀態(tài)，于是

歸一化，有量子信道的算子和模型

給定開(kāi)放量子系統(tǒng)的描述，即可確定其動(dòng)力學(xué)過(guò)程的算子和表示。

若系統(tǒng)-環(huán)境變換運(yùn)算用U表示，設(shè)環(huán)境的一組基矢為，則運(yùn)算元為

令為對(duì)的一個(gè)分解，對(duì)系統(tǒng)E引入一個(gè)正交基，由于量子信道算子和表示的推廣測(cè)量對(duì)E求偏跡初態(tài)映射輸出態(tài)概率主系統(tǒng)與環(huán)境的交互算子和表示對(duì)應(yīng)一個(gè)系統(tǒng)與環(huán)境相互作用的過(guò)程4量子信道的公理化表示24量子信道的公理化表示

量子信道定義為從輸入空間的密度算子集合到輸出空間的密度算子集合的一個(gè)映射。公理1：當(dāng)初始狀態(tài)為時(shí)，表示由表征的過(guò)程出現(xiàn)的概率，

例：量子信道的公理化表示公理2：為密度矩陣集合上的一個(gè)凸線性映射，即對(duì)概率，有

量子信道的公理化表示（續(xù)）公理3：若為完全正定映射，即如果將上的密度算子映射到上的密度算子，則 對(duì)任意半正定算子A必為是半正定的。[1]MichaelA.Nielsen&IsaacL.,QuantumComputationandQuantumInformation,CambridgeUniversityPress,20105典型的量子噪聲信道模型28（1）

比特翻轉(zhuǎn)信道比特翻轉(zhuǎn)信道將量子比特的狀態(tài)以概率從變換到（或者相反），其運(yùn)算元為：（2）相位翻轉(zhuǎn)信道相位翻轉(zhuǎn)信道具有運(yùn)算元相位翻轉(zhuǎn)信道可寫(xiě)為

比特-相位翻轉(zhuǎn)信道具有運(yùn)算元（3）退極化信道

退極化信道是指量子位以概率退極化，即被完全混態(tài)所代替，以概率保持不變。則量子系統(tǒng)經(jīng)過(guò)退極化信道后的狀態(tài)可表示為 對(duì)于有

（4）幅值阻尼信道幅值阻尼信道的運(yùn)算元為：

參數(shù)是指丟失一個(gè)光子的概率。

（5）相位阻尼信道

設(shè)量子比特，在其上作用旋轉(zhuǎn)運(yùn)算，其中旋轉(zhuǎn)角隨機(jī)，由環(huán)境的確定性交互作用所引起的。運(yùn)算稱為相位振動(dòng)（ph