專(zhuān)題16二次函數(shù)的應(yīng)用【十大題型】TOC\o"1-3"\h\u【題型1方案選擇問(wèn)題】 1【題型2拱橋問(wèn)題】 3【題型3隧道問(wèn)題】 5【題型4噴泉問(wèn)題】 7【題型5球類(lèi)飛行軌跡問(wèn)題】 8【題型6空中跳躍軌跡問(wèn)題】 10【題型7最大利潤(rùn)問(wèn)題】 12【題型8圖形運(yùn)動(dòng)問(wèn)題】 14【題型9圖形面積問(wèn)題】 16【題型10現(xiàn)實(shí)生活問(wèn)題】 17【知識(shí)點(diǎn)二次函數(shù)的應(yīng)用】在研究有關(guān)函數(shù)的實(shí)際問(wèn)題時(shí)，要遵循一審.二設(shè).三列.四解的方法：第1步：審題。認(rèn)真讀題，分析題中各個(gè)量之間的關(guān)系；第2步：設(shè)自變間的關(guān)系設(shè)滿(mǎn)量。根據(jù)各個(gè)量之足題意的自變量；第3步：列函數(shù)。根據(jù)各個(gè)量之間的關(guān)系列出函數(shù)；第4步：求解。求出滿(mǎn)足題意的數(shù)值?！绢}型1方案選擇問(wèn)題】【例1】（2025·山東濰坊·統(tǒng)考二模）2025年國(guó)際風(fēng)箏會(huì)期間，某經(jīng)銷(xiāo)商準(zhǔn)備采購(gòu)一批風(fēng)箏，已知用20000元采購(gòu)A型風(fēng)箏的只數(shù)是用8000元采購(gòu)B型風(fēng)箏的只數(shù)的2倍，一只A型風(fēng)箏的進(jìn)價(jià)比一只B型風(fēng)箏的進(jìn)價(jià)多20元．(1)求一只A，B型風(fēng)箏的進(jìn)價(jià)分別為多少元？(2)經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：A型風(fēng)箏售價(jià)的一半與A型風(fēng)箏銷(xiāo)量的和總是等于130，B型風(fēng)箏的售價(jià)為120元/只．該經(jīng)銷(xiāo)商計(jì)劃購(gòu)進(jìn)A，B型風(fēng)箏共300只，其中A型風(fēng)箏m50≤m≤150【變式1-1】（2025·河北邯鄲·?？既＃┚拍昙?jí)某班計(jì)劃在勞動(dòng)實(shí)踐基地內(nèi)種植蔬菜，班長(zhǎng)買(mǎi)回來(lái)8米長(zhǎng)的圍欄，準(zhǔn)備圍成一邊靠墻（墻足夠長(zhǎng)）的菜園，為了讓菜園面積盡可能大，同學(xué)們提出了圍成矩形、等腰直角三角形（底邊靠墻）、半圓形這三種方案，如圖所示，最佳方案是（

）

A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．面積都一樣【變式1-2】（2025·安徽合肥·統(tǒng)考三模）為響應(yīng)政府鞏固脫貧成果的號(hào)召，某商場(chǎng)與生產(chǎn)水果的脫貧鄉(xiāng)鎮(zhèn)簽訂支助協(xié)議，每月向該鄉(xiāng)鎮(zhèn)購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種水果進(jìn)行銷(xiāo)售，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)可知：銷(xiāo)售甲種水果每噸可獲利0.4萬(wàn)元，銷(xiāo)售乙種水果獲利如下表所示：銷(xiāo)售x（噸）34567獲利y（萬(wàn)元）0.91.11.31.51.7(1)分別求銷(xiāo)售甲、乙兩種水果獲利y1（萬(wàn)元）、y2（萬(wàn)元）與購(gòu)進(jìn)水果數(shù)量(2)若只允許商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)并銷(xiāo)售一種水果，選擇哪種水果獲利更高？(3)支助協(xié)議中約定，商場(chǎng)每個(gè)月向鄉(xiāng)鎮(zhèn)購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種水果的數(shù)量分別為m、n噸，且m，n滿(mǎn)足n=20?1【變式1-3】（2025·四川達(dá)州·模擬預(yù)測(cè)）如圖1，隧道截面由拋物線的一部分AED和矩形ABCD構(gòu)成，矩形的一邊BC為12米，另一邊AB為2米．以BC所在的直線為x軸，線段BC的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，規(guī)定一個(gè)單位長(zhǎng)度代表1米．E（0，8）是拋物線的頂點(diǎn)．(1)求此拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；(2)在隧道截面內(nèi)（含邊界）修建“”型或“”型柵欄，如圖2、圖3中粗線段所示，點(diǎn)P1，P4在x軸上，MN與矩形P1P2P3P4的一邊平行且相等．柵欄總長(zhǎng)l為圖中粗線段P（?。┬藿ㄒ粋€(gè)“”型柵欄，如圖2，點(diǎn)P2，P3在拋物線AED上．設(shè)點(diǎn)P1的橫坐標(biāo)為m0<m≤6，求柵欄總長(zhǎng)l與m（ⅱ）現(xiàn)修建一個(gè)總長(zhǎng)為18的柵欄，有如圖3所示的修建“”型或“”型柵型兩種設(shè)計(jì)方案，請(qǐng)你從中選擇一種，求出該方案下矩形P1P2P3P4面積的最大值，及取最大值時(shí)點(diǎn)P【題型2拱橋問(wèn)題】【例2】（2025·四川·統(tǒng)考中考真題）三孔橋橫截面的三個(gè)孔都呈拋物線形，兩小孔形狀、大小完全相同．當(dāng)水面剛好淹沒(méi)小孔時(shí)，大孔水面寬度為10米，孔頂離水面1.5米；當(dāng)水位下降，大孔水面寬度為14米時(shí)，單個(gè)小孔的水面寬度為4米，若大孔水面寬度為20米，則單個(gè)小孔的水面寬度為（）A．43米 B．52米 C．213米 D．7米【變式2-1】（2025·浙江·統(tǒng)考中考真題）如圖1是一座拋物線型拱橋側(cè)面示意圖．水面寬AB與橋長(zhǎng)CD均為24m，在距離D點(diǎn)6米的E處，測(cè)得橋面到橋拱的距離EF為1.5m，以橋拱頂點(diǎn)O為原點(diǎn)，橋面為x軸建立平面直角坐標(biāo)系．（1）求橋拱項(xiàng)部O離水面的距離．（2）如圖2，橋面上方有3根高度均為4m的支柱CG，OH，DI，過(guò)相鄰兩根支柱頂端的鋼纜呈形狀相同的拋物線，其最低點(diǎn)到橋面距離為1m．①求出其中一條鋼纜拋物線的函數(shù)表達(dá)式．②為慶祝節(jié)日，在鋼纜和橋拱之間豎直裝飾若干條彩帶，求彩帶長(zhǎng)度的最小值．【變式2-2】（2024·湖北武漢·中考真題）如圖，小河上有一拱橋，拱橋及河道的截面輪廓線由拋物線的一部分ACB和矩形的三邊AE、ED、DB組成，已知河底ED是水平的，ED=16m，AE=8m，拋物線的頂點(diǎn)C到ED的距離是11m(1)求拋物線的解析式；(2)已知從某時(shí)刻開(kāi)始的40h內(nèi)，水面與河底ED的距離?（單位：m）隨時(shí)間t（單位：h）的變化滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系?=?1128t?192

【變式2-3】（2025·北京西城·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，有一座拋物線形狀的拱橋，對(duì)拱橋在水面以上的部分進(jìn)行測(cè)量，得到橋洞的跨度為12米，并且以橋洞拱頂為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平向右為x軸正方向，豎直向上為y軸正方向，建立平面直角坐標(biāo)系，把測(cè)量得到的數(shù)據(jù)記入下表：x（米）－6－4－20246y（米）－3.02－1.33－0.310－0.32－1.33－2.99(1)請(qǐng)?jiān)谙旅娴淖鴺?biāo)系中根據(jù)已知數(shù)據(jù)描點(diǎn)，并用平滑的曲線連接；

(2)請(qǐng)結(jié)合圖象，寫(xiě)出拱橋的橋洞在拱頂下方1米的位置寬度是______米（結(jié)果精確到0.1）；(3)現(xiàn)有一艘寬4米，高2米的游船要穿過(guò)拱橋的橋洞．為保證安全，要求船頂?shù)截Q直方向上拱橋橋洞對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離不小于0.5米，那么這艘船______（填“能”或者“不能”）安全通過(guò)．【題型3隧道問(wèn)題】【例3】（2025·山東·統(tǒng)考中考真題）如圖所示是隧道的截面由拋物線和長(zhǎng)方形構(gòu)成，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是12m，寬是4m．按照?qǐng)D中所示的直角坐標(biāo)系，拋物線可以用y=?16x2+bx+c表示，且拋物線上的點(diǎn)C到OB的水平距離為3m，到地面OA的距離為（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式，并計(jì)算出拱頂D到地面OA的距離；（2）一輛貨運(yùn)汽車(chē)載一長(zhǎng)方體集裝箱后高為6m，寬為4m，如果隧道內(nèi)設(shè)雙向車(chē)道，那么這輛貨車(chē)能否安全通過(guò)？（3）在拋物線型拱壁上需要安裝兩排燈，使它們離地面的高度相等，如果燈離地面的高度不超過(guò)8m，那么兩排燈的水平距離最小是多少米？【變式3-1】（2025·陜西·統(tǒng)考中考真題）現(xiàn)要修建一條隧道，其截面為拋物線型，如圖所示，線段OE表示水平的路面，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)E所在直線為x軸，以過(guò)點(diǎn)O垂直于x軸的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．根據(jù)設(shè)計(jì)要求：OE=10m，該拋物線的頂點(diǎn)P到OE的距離為9(1)求滿(mǎn)足設(shè)計(jì)要求的拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)現(xiàn)需在這一隧道內(nèi)壁上安裝照明燈，如圖所示，即在該拋物線上的點(diǎn)A、B處分別安裝照明燈．已知點(diǎn)A、B到OE的距離均為6m，求點(diǎn)A、B【變式3-2】（2025·安徽合肥·合肥市第四十五中學(xué)校考一模）如圖是某隧道截面示意圖，它是由拋物線和長(zhǎng)方形構(gòu)成，已知OA=12米，OB=4米，拋物線頂點(diǎn)D到地面OA的垂直距離為10米，以O(shè)A所在直線為x軸，以O(shè)B所在直線為y軸建立直角坐標(biāo)系，(1)求拋物線的解析式；(2)一輛特殊貨運(yùn)汽車(chē)載著一個(gè)長(zhǎng)方體集裝箱，集裝箱寬為4米，最高處與地面距離為6米，隧道內(nèi)設(shè)雙向行車(chē)道，雙向行車(chē)道間隔距離為2米，交通部門(mén)規(guī)定，車(chē)載貨物頂部距離隧道壁的豎直距離不少于0.5米，才能安全B通行，問(wèn)這輛特殊貨車(chē)能否安全通過(guò)隧道？【變式3-3】（2025·北京朝陽(yáng)·清華附中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖1是某條公路的一個(gè)具有兩條車(chē)道的隧道的橫斷面．經(jīng)測(cè)量，兩側(cè)墻AD和BC與路面AB垂直，隧道內(nèi)側(cè)寬AB=8米，為了確保隧道的安全通行，工程人員在路面AB上取點(diǎn)E，測(cè)量點(diǎn)E到墻面AD的距離AE，點(diǎn)E到隧道頂面的距離EF．設(shè)AE=x米，EF=y米．通過(guò)取點(diǎn)、測(cè)量，工程人員得到了x與y的幾組值，如下表：x（米）02468y（米）4.05.56.05.54.0(1)根據(jù)上述數(shù)據(jù)，直接寫(xiě)出隧道頂面到路面AB的最大距離為_(kāi)__________米，并求出滿(mǎn)足的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=ax??2+ka<0(2)請(qǐng)你幫助工程人員建立平面直角坐標(biāo)系．描出上表中各對(duì)對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)，畫(huà)出可以表示隧道頂面的函數(shù)的圖像．(3)若如圖2的汽車(chē)在隧道內(nèi)正常通過(guò)時(shí)，汽車(chē)的任何部位需到左側(cè)墻及右側(cè)墻的距離不小于1米且到隧道頂面的距離不小于0.35米．按照這個(gè)要求，隧道需標(biāo)注的限高應(yīng)為多少米（精確到0.1米）？【題型4噴泉問(wèn)題】【例4】（2025·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考中考真題）2023年5月8日，C919商業(yè)首航完成——中國(guó)民商業(yè)運(yùn)營(yíng)國(guó)產(chǎn)大飛機(jī)正式起步．12時(shí)31分航班抵達(dá)北京首都機(jī)場(chǎng)，穿過(guò)隆重的“水門(mén)禮”（寓意“接風(fēng)洗塵”、是國(guó)際民航中高級(jí)別的禮儀）．如圖①，在一次“水門(mén)禮”的預(yù)演中，兩輛消防車(chē)面向飛機(jī)噴射水柱，噴射的兩條水柱近似看作形狀相同的地物線的一部分．如圖②，當(dāng)兩輛消防車(chē)噴水口A、B的水平距離為80米時(shí)，兩條水柱在物線的頂點(diǎn)H處相遇，此時(shí)相遇點(diǎn)H距地面20米，噴水口A、B距地面均為4米．若兩輛消防車(chē)同時(shí)后退10米，兩條水柱的形狀及噴水口A′、B′到地面的距離均保持不變，則此時(shí)兩條水柱相遇點(diǎn)H′

【變式4-1】（2025·安徽亳州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，某小區(qū)的景觀池中安裝一雕塑OA，OA=2米，噴出兩股水流，兩股水流可以抽象為平面直角坐標(biāo)系中的兩條拋物線（圖中的C1，C2）的部分圖象，兩條拋物線的形狀相同且頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，且經(jīng)測(cè)算發(fā)現(xiàn)拋物線C2的最高點(diǎn)（頂點(diǎn)）C距離水池面2.5

(1)求拋物線C2(2)求拋物線C1與x軸的交點(diǎn)B(3)小明同學(xué)打算操控微型無(wú)人機(jī)在C1，C2之間飛行，為了無(wú)人機(jī)的安全，要求無(wú)人機(jī)在豎直方向上的活動(dòng)范圍不小于0.5米，設(shè)無(wú)人機(jī)與OA的水平距離為m，求【變式4-2】（2025·廣東深圳·深圳市龍崗區(qū)深圳中學(xué)龍崗初級(jí)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）如圖1，一個(gè)圓形噴水池的中央豎直安裝了一個(gè)柱形噴水裝置OA，A處的噴頭向外噴水，水流在各個(gè)方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下，按如圖所示的直角坐標(biāo)系，水流噴出的高度ym與水平距離xm之間的關(guān)系式是

(1)柱子OA的高度是多少米？若不計(jì)其他因素，水池的半徑至少為多少米，才能使噴出的水流不至于落在池外？(2)如圖2，為了吸引更多的游客前來(lái)參觀游玩，準(zhǔn)備在水池的邊緣增設(shè)彩光燈，彩光燈的底座為Rt△BCD形狀，其中BC邊在地面上，點(diǎn)C離柱子的距離為2.1米，∠CBD=90°，燈孔P在CD邊上，燈孔P離地面的距離為12米，若水流恰好落在燈孔P處，求【變式4-3】（2025·北京·北京四中校考模擬預(yù)測(cè)）某游樂(lè)園有一個(gè)直徑為16米的圓形噴水池，噴水池的周邊有一圈噴水頭，噴出的水柱為拋物線，高度為5米，且各方向噴出的水柱恰好在噴水池中心的裝飾物處匯合．如圖所示，噴水池中心為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系．(1)求水柱所在拋物線（第二象限部分）的函數(shù)表達(dá)式；(2)主師傅在噴水池內(nèi)維修設(shè)備期間，噴水管意外噴水，為了不被淋濕，身高1.8米的王師傅站立時(shí)必須在離水池中心多少米以?xún)?nèi)？(3)經(jīng)檢修評(píng)估，游樂(lè)園決定對(duì)噴水設(shè)施做如下設(shè)計(jì)改進(jìn)：在噴出水柱的形狀不變的前提下，把水池直徑擴(kuò)大到24米，各方向噴出的水柱仍在噴水池中心保留的原裝飾物（高度不變）處匯合，請(qǐng)?zhí)骄繑U(kuò)建改造后噴水池水柱的最大高度．【題型5球類(lèi)飛行軌跡問(wèn)題】【例5】（2025·河南·統(tǒng)考中考真題）小林同學(xué)不僅是一名羽毛球運(yùn)動(dòng)愛(ài)好者，還喜歡運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)羽毛球比賽進(jìn)行技術(shù)分析，下面是他對(duì)擊球線路的分析．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，C在x軸上，球網(wǎng)AB與y軸的水平距離OA=3m，CA=2m，擊球點(diǎn)P在y軸上．若選擇扣球，羽毛球的飛行高度ym與水平距離xm近似滿(mǎn)足一次函數(shù)關(guān)系y=?0.4x+2.8；若選擇吊球，羽毛球的飛行高度ym

(1)求點(diǎn)P的坐標(biāo)和a的值．(2)小林分析發(fā)現(xiàn)，上面兩種擊球方式均能使球過(guò)網(wǎng)．要使球的落地點(diǎn)到C點(diǎn)的距離更近，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算判斷應(yīng)選擇哪種擊球方式．【變式5-1】（2025·浙江溫州·統(tǒng)考中考真題）一次足球訓(xùn)練中，小明從球門(mén)正前方8m的A處射門(mén)，球射向球門(mén)的路線呈拋物線．當(dāng)球飛行的水平距離為6m時(shí)，球達(dá)到最高點(diǎn)，此時(shí)球離地面3m．已知球門(mén)高OB

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式，并通過(guò)計(jì)算判斷球能否射進(jìn)球門(mén)（忽略其他因素）．(2)對(duì)本次訓(xùn)練進(jìn)行分析，若射門(mén)路線的形狀、最大高度均保持不變，則當(dāng)時(shí)他應(yīng)該帶球向正后方移動(dòng)多少米射門(mén)，才能讓足球經(jīng)過(guò)點(diǎn)O正上方2.25m處？【變式5-2】（2025·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）擲實(shí)心球是蘭州市高中階段學(xué)校招生體育考試的選考項(xiàng)目．如圖1是一名女生投擲實(shí)心球，實(shí)心求行進(jìn)路線是一條拋物線，行進(jìn)高度y（m）與水平距離x（m）之間的函數(shù)關(guān)系如圖2所示，拋出時(shí)起點(diǎn)處高度為53m，當(dāng)水平距離為3m時(shí)，實(shí)心球行進(jìn)至最高點(diǎn)3(1)求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；(2)根據(jù)蘭州市高中階段學(xué)校招生體有考試評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（女生），投擲過(guò)程中，實(shí)心球從起點(diǎn)到落地點(diǎn)的水平距離大于等于6.70m，此項(xiàng)考試得分為滿(mǎn)分10分．該女生在此項(xiàng)考試中是否得滿(mǎn)分，請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式5-3】（2025·浙江紹興·統(tǒng)考中考真題）如圖1，排球場(chǎng)長(zhǎng)為18m，寬為9m，網(wǎng)高為2.24m．隊(duì)員站在底線O點(diǎn)處發(fā)球，球從點(diǎn)O的正上方1.9m的C點(diǎn)發(fā)出，運(yùn)動(dòng)路線是拋物線的一部分，當(dāng)球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)A時(shí)，高度為2.88m．即BA＝2.88m．這時(shí)水平距離OB＝7m，以直線OB為x軸，直線OC為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖2．（1）若球向正前方運(yùn)動(dòng)（即x軸垂直于底線），求球運(yùn)動(dòng)的高度y（m）與水平距離x（m）之間的函數(shù)關(guān)系式（不必寫(xiě)出x取值范圍）．并判斷這次發(fā)球能否過(guò)網(wǎng)？是否出界？說(shuō)明理由；（2）若球過(guò)網(wǎng)后的落點(diǎn)是對(duì)方場(chǎng)地①號(hào)位內(nèi)的點(diǎn)P（如圖1，點(diǎn)P距底線1m，邊線0.5m），問(wèn)發(fā)球點(diǎn)O在底線上的哪個(gè)位置？（參考數(shù)據(jù)：2取1.4）【題型6空中跳躍軌跡問(wèn)題】【例6】（2025·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）一名運(yùn)動(dòng)員在10m高的跳臺(tái)進(jìn)行跳水，身體（看成一點(diǎn)）在空中的運(yùn)動(dòng)軌跡是一條拋物線，運(yùn)動(dòng)員離水面OB的高度ym與離起跳點(diǎn)A的水平距離xm之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，運(yùn)動(dòng)員離起跳點(diǎn)A的水平距離為1m時(shí)達(dá)到最高點(diǎn)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)員離起跳點(diǎn)A的水平距離為

(1)求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；(2)求運(yùn)動(dòng)員從起跳點(diǎn)到入水點(diǎn)的水平距離OB的長(zhǎng)．【變式6-1】（2025·四川攀枝花·統(tǒng)考中考真題）第24屆冬奧會(huì)（也稱(chēng)2025年北京冬奧會(huì)）于2025年2月4日至2月20日在中國(guó)北京舉行，北京成為了歷史上第一座既舉辦過(guò)夏奧會(huì)又舉辦過(guò)冬奧會(huì)的城市．冬奧會(huì)上跳臺(tái)滑雪是一項(xiàng)極為壯觀的運(yùn)動(dòng)．運(yùn)動(dòng)員經(jīng)過(guò)助滑、起跳、空中飛行和著陸，整個(gè)動(dòng)作連貫一致，一氣呵成，如圖，某運(yùn)動(dòng)員穿著滑雪板，經(jīng)過(guò)助滑后，從傾斜角θ=37°的跳臺(tái)A點(diǎn)以速度v0沿水平方向跳出，若忽略空氣阻力影響，水平方向速度將保持不變．同時(shí)，由于受重力作用，運(yùn)動(dòng)員沿豎直方向會(huì)加速下落，因此，運(yùn)動(dòng)員在空中飛行的路線是拋物線的一部分，已知該運(yùn)動(dòng)員在B點(diǎn)著陸，AB=150m，且(1)求該運(yùn)動(dòng)員從跳出到著陸垂直下降了多少m？(2)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，求該拋物線表達(dá)式；(3)若該運(yùn)動(dòng)員在空中共飛行了4s，求他飛行2s后，垂直下降了多少m？【變式6-2】（2025·河南南陽(yáng)·?？既＃┠承榧訌?qiáng)學(xué)生的身體素質(zhì)，舉行了豐富多彩的體育活動(dòng)，本周末，將舉行“跳大繩”比賽，比賽規(guī)則：每班選擇兩名學(xué)生在距離10m的位置搖動(dòng)大繩，大繩下至少有10名學(xué)生同時(shí)跳繩，按同時(shí)跳繩的時(shí)間計(jì)算名次．九（2）班選擇小明和小亮搖動(dòng)大繩，在訓(xùn)練中發(fā)現(xiàn)，他們持繩點(diǎn)距地面均為1m，大繩在最高處時(shí)，大繩的形狀可近似看作拋物線，如圖，以小明的持繩點(diǎn)的豎直方向?yàn)閥軸，以水平地面為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，小明和小亮的持繩點(diǎn)分別為點(diǎn)A和點(diǎn)B，在離點(diǎn)O的水平距離為5m

(1)求該拋物線的函數(shù)解析式；(2)為增加比賽的觀賞性，九（2）班準(zhǔn)備選擇若干名身高均為1.75m的同學(xué)參與跳繩，已知每位同學(xué)在繩下的距離均為0.5【變式6-3】（2025·河北保定·統(tǒng)考二模）如圖，某跳水運(yùn)動(dòng)員在10米跳臺(tái)上進(jìn)行跳水訓(xùn)練，水面邊緣點(diǎn)E的坐標(biāo)為?1,?10，運(yùn)動(dòng)員（將運(yùn)動(dòng)員看成一點(diǎn)）在空中運(yùn)動(dòng)的路線是經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O的拋物線．在跳某個(gè)規(guī)定動(dòng)作時(shí)，運(yùn)動(dòng)員在空中最高處A點(diǎn)的坐標(biāo)為34

(1)求運(yùn)動(dòng)員在空中運(yùn)動(dòng)時(shí)對(duì)應(yīng)拋物線的解析式，并求出入水處點(diǎn)B的坐標(biāo)．(2)若運(yùn)動(dòng)員在空中調(diào)整好入水姿勢(shì)時(shí)，恰好距點(diǎn)E的水平距離為4米，問(wèn)該運(yùn)動(dòng)員此次跳水會(huì)不會(huì)失誤？通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由．(3)在該運(yùn)動(dòng)員入水點(diǎn)的正前方有M,N兩點(diǎn)，且EM=7,EN=9，該運(yùn)動(dòng)員入水后運(yùn)動(dòng)路線對(duì)應(yīng)的拋物線解析式為y=(x??)2+k，若該運(yùn)動(dòng)員出水點(diǎn)D在MN之間（包括M,N【題型7最大利潤(rùn)問(wèn)題】【例7】（2025·安徽合肥·合肥壽春中學(xué)?？既＃┍斩蘸脱┤萑谑?025年北京冬季奧運(yùn)會(huì)的吉祥物，據(jù)反饋冰墩墩、雪容融玩偶一經(jīng)上市，非常暢銷(xiāo)，小許選兩款玩偶各50個(gè)，決定在網(wǎng)店進(jìn)行銷(xiāo)售．售后統(tǒng)計(jì)，一個(gè)冰墩墩玩偶利潤(rùn)為30元/個(gè)，一個(gè)雪容融玩偶利潤(rùn)為5元/個(gè)，調(diào)研發(fā)現(xiàn)：冰墩墩的數(shù)量在50個(gè)的基礎(chǔ)上每增加3個(gè)，平均每個(gè)利潤(rùn)減少1元；而雪容融的利潤(rùn)始終不變；小許計(jì)劃第二次購(gòu)進(jìn)兩種玩偶共100個(gè)進(jìn)行售賣(mài)．設(shè)冰墩墩的數(shù)量比第一次增加x個(gè)，第二次冰墩墩售完后的利潤(rùn)為y元．(1)用含x的代數(shù)式表示第二次冰墩墩售完后的的利潤(rùn)y；(2)如何安排購(gòu)買(mǎi)方案，使得第二次售賣(mài)兩種玩偶的銷(xiāo)售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少？【變式7-1】（2025·湖北咸寧·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）“櫻花紅陌上，邂逅在咸安”，為迎接我區(qū)首屆櫻花文化旅游節(jié)，某工廠接到一批紀(jì)念品生產(chǎn)訂單，要求在15天內(nèi)完成，約定這批紀(jì)念品的出廠價(jià)為每件20元，設(shè)第x天（0<x≤15）每件產(chǎn)品的成本價(jià)是y元，y與x之間關(guān)系為：y=0.5x+7，任務(wù)完成后，統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)工人小王第x天生產(chǎn)產(chǎn)品P（件）與x（天）之間的關(guān)系如下圖所示，設(shè)小王第x天創(chuàng)造的產(chǎn)品利潤(rùn)為W元．(1)直接寫(xiě)出P與x之間的函數(shù)關(guān)系；(2)求W與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求小王第幾天創(chuàng)造的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？(3)最后，統(tǒng)計(jì)還發(fā)現(xiàn)，平均每個(gè)工人每天創(chuàng)造的利潤(rùn)為288元，于是，工廠制定如下獎(jiǎng)勵(lì)方案：如果一個(gè)工人某天創(chuàng)造的利潤(rùn)超過(guò)該平均值，則該工人當(dāng)天可獲得20元獎(jiǎng)金，請(qǐng)計(jì)算，在生產(chǎn)該批紀(jì)念過(guò)程中，小王能獲得多少元的獎(jiǎng)金？【變式7-2】（2025·湖北孝感·統(tǒng)考三模）2025年2月20日，北京冬奧會(huì)順利閉幕，冬奧會(huì)帶來(lái)了冰雪消費(fèi)熱．最美志愿者陳老師決定購(gòu)進(jìn)“冰墩墩”和“雪容融”兩種紀(jì)念品進(jìn)行銷(xiāo)售，已知每件“冰墩墩”比每件“雪容融”的進(jìn)價(jià)高30元，用1500元購(gòu)進(jìn)“冰墩墩”的數(shù)量和用600元購(gòu)進(jìn)“雪容融”的數(shù)量相同．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查，整理出“冰墩墩”的售價(jià)x（元/件）與銷(xiāo)量y（件）的關(guān)系如表：售價(jià)x（元/件）50≤x≤6060<x≤80銷(xiāo)售量（件）100400?5x(1)求“冰墩墩”和“雪容融”每件的進(jìn)價(jià)分別為多少元？(2)求當(dāng)x為何值時(shí)，陳老師售出“冰墩墩”所獲利潤(rùn)w最大，最大利潤(rùn)為多少？(3)陳老師非常熱愛(ài)公益事業(yè)，決定在（2）中售出“冰墩墩”獲利最大的銷(xiāo)售方案下每銷(xiāo)售1件“冰墩墩”就捐獻(xiàn)m元給“體育公益項(xiàng)目”，且希望利潤(rùn)不低于975元以維持各種開(kāi)支，則m的最大值為_(kāi)_______．【變式7-3】（2025·遼寧丹東·統(tǒng)考中考真題）某品牌大米遠(yuǎn)近聞名，深受廣大消費(fèi)者喜愛(ài)，某超市每天購(gòu)進(jìn)一批成本價(jià)為每千克4元的該大米，以不低于成本價(jià)且不超過(guò)每千克7元的價(jià)格銷(xiāo)售．當(dāng)每千克售價(jià)為5元時(shí)，每天售出大米950kg；當(dāng)每千克售價(jià)為6元時(shí)，每天售出大米900kg，通過(guò)分析銷(xiāo)售數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)：每天銷(xiāo)售大米的數(shù)量ykg(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出y與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)超市將該大米每千克售價(jià)定為多少元時(shí)，每天銷(xiāo)售該大米的利潤(rùn)可達(dá)到1800元？(3)當(dāng)每千克售價(jià)定為多少元時(shí)，每天獲利最大？最大利潤(rùn)為多少？【題型8圖形運(yùn)動(dòng)問(wèn)題】【例8】（2025·吉林松原·校聯(lián)考二模）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°,BC=9cm,AB=15cm．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以4cm/s的速度沿邊AB向終點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)．以PA為一邊作∠APQ=90°，另一邊PQ與射線AC相交于點(diǎn)Q，以AP,AQ為邊作平行四邊形APMQ．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為xs，平行四邊形APMQ

(1)當(dāng)點(diǎn)Q在邊AC上時(shí)，AQ的長(zhǎng)為_(kāi)___________cm；(用含x的代數(shù)式表示)(2)當(dāng)點(diǎn)M落在邊BC上時(shí)，求x的值；(3)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍．【變式8-1】（2025·吉林白城·?？级＃┤鐖D，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，D是邊AB的中點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)．沿BD以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)P出發(fā)后，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥AB交折線BC?CA于點(diǎn)Q，以PQ，PD為鄰邊作矩形PDEQ．設(shè)矩形PDEQ與△ABC重疊部分圖形的面積為S．點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(1)當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)，求t的值；(2)當(dāng)點(diǎn)E落在AC邊上時(shí)；求t的值；(3)求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式．【變式8-2】（2025·江蘇連云港·連云港市新海實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？级＃┤鐖D①，動(dòng)點(diǎn)P從矩形ABCD的頂點(diǎn)A出發(fā)，以v1的速度沿折線A?B?C向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，一動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，以v2的速度沿DC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，連接PE，PQ，記△EPQ的面積為S，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，其函數(shù)圖像為折線MN?NF和曲線FG（圖②），已知，ON=4，NH=1，點(diǎn)G的坐標(biāo)為

(1)點(diǎn)P與點(diǎn)Q的速度之比v1v2(2)如果OM=15．①求線段NF所在直線的函數(shù)表達(dá)式；②求FG所在曲線的函數(shù)表達(dá)式；③是否存在某個(gè)時(shí)刻t，使得S≥154？若存在，求出【變式8-3】（2025·吉林松原·校聯(lián)考三模）如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3cm，動(dòng)點(diǎn)P，Q同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以2cm/s的速度沿折線AB?BC?CD運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)以1cm/s的速度沿AC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，P，Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，連結(jié)AP，PQ．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為tst>0，△PAQ的面積為

(1)當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，t=________s；(2)求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)當(dāng)CP=CQ時(shí)，直接寫(xiě)出t的值．【題型9圖形面積問(wèn)題】【例9】（2025·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）為落實(shí)國(guó)家《關(guān)于全面加強(qiáng)新時(shí)代大中小學(xué)勞動(dòng)教育的意見(jiàn)》，某校準(zhǔn)備在校園里利用圍墻（墻長(zhǎng)12m）和21(1)方案一：如圖①，全部利用圍墻的長(zhǎng)度，但要在Ⅰ區(qū)中留一個(gè)寬度AE=1m的水池且需保證總種植面積為32m2，試分別確定CG(2)方案二：如圖②，使圍成的兩塊矩形總種植面積最大，請(qǐng)問(wèn)BC應(yīng)設(shè)計(jì)為多長(zhǎng)？此時(shí)最大面積為多少？【變式9-1】（2025·湖北武漢·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，利用一面墻(墻的長(zhǎng)度為20m)，用34m長(zhǎng)的籬笆圍成兩個(gè)雞場(chǎng)，中間用一道籬笆隔開(kāi)，每個(gè)雞場(chǎng)均留一道1m寬的門(mén)，設(shè)

(1)若兩個(gè)雞場(chǎng)的面積和為S，求S關(guān)于x的關(guān)系式；(2)兩個(gè)雞場(chǎng)面積和S有最大值嗎？若有，最大值是多少？【變式9-2】（2025·安徽合肥·合肥壽春中學(xué)校考三模）植物園有一塊足夠大的空地，其中有一堵長(zhǎng)為6米的墻，現(xiàn)準(zhǔn)備用20米的籬笆圍兩間矩形花圃，中間用籬笆隔開(kāi)．小俊設(shè)計(jì)了如圖甲和乙的兩種方案：方案甲中AD的長(zhǎng)不超過(guò)墻長(zhǎng)；方案乙中AD的長(zhǎng)大于墻長(zhǎng)．

(1)按圖甲的方案，設(shè)BC的長(zhǎng)為xm，矩形ABCD的面積為ym2．①求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．②求矩形ABCD的面積y(m2)的最大值．(2)甲、乙哪種方案能使圍成的矩形花圃的面積最大，最大是多少？請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式9-3】（2025·福建·統(tǒng)考中考真題）空地上有一段長(zhǎng)為a米的舊墻MN，某人利用舊墻和木欄圍成一個(gè)矩形菜園ABCD，已知木欄總長(zhǎng)為100米．（1）已知a=20，矩形菜園的一邊靠墻，另三邊一共用了100米木欄，且圍成的矩形菜園面積為450平方米．如圖1，求所利用舊墻AD的長(zhǎng)；（2）已知0＜α＜50，且空地足夠大，如圖2．請(qǐng)你合理利用舊墻及所給木欄設(shè)計(jì)一個(gè)方案，使得所圍成的矩形菜園ABCD的面積最大，并求面積的最大值．【題型10現(xiàn)實(shí)生活問(wèn)題】【例10】（2025·廣東江門(mén)·江門(mén)市怡福中學(xué)?？家荒＃┤鐖D是某水上樂(lè)園為親子游樂(lè)區(qū)新設(shè)滑梯的示意圖，其中線段PA是豎直高度為6米的平臺(tái)，PO垂直于水平面，滑道分為兩部分，其中AB段是雙曲線y=10x的一部分，BCD段是拋物線的一部分，兩滑道的連接點(diǎn)B為拋物線的頂點(diǎn)，且B點(diǎn)的豎直高度為2米，當(dāng)甲同學(xué)滑到C點(diǎn)時(shí)，距地面的距離為1米，距點(diǎn)B的水平距離CE為2

(1)求滑道BCD所在拋物線的解析式；(2)求甲同學(xué)從點(diǎn)A滑到地面上D點(diǎn)時(shí)，所經(jīng)過(guò)的水平距離；(3)在建模實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，為保證滑行者的安全，滑道BCD落地點(diǎn)D與最高點(diǎn)B連線與水平面夾角應(yīng)不大于45°，且由于實(shí)際場(chǎng)地限制，OPOD≥12，請(qǐng)直接寫(xiě)出【變式10-1】（2010·甘肅蘭州·中考真題）如圖，小明的父親在相距2米的兩棵樹(shù)間拴了一根繩子，給小明做了一個(gè)簡(jiǎn)易的秋千.拴繩子的地方距地面高都是2.5米，繩子自然下垂呈拋物線狀，身高1米的小明距較近的那棵樹(shù)0.5米時(shí)，頭部剛好接觸到繩子，則繩子的最低點(diǎn)距地面的距離為米.【變式10-2】（2025·浙江·模擬預(yù)測(cè)）某種電纜在空中架設(shè)時(shí)，兩端掛起的電纜下垂都近似成拋物線y=1

(1)如圖1，若水平距離間隔80米建造一個(gè)電纜塔柱，求此電纜塔柱用于固定電纜的位置離地面至少應(yīng)有多少米的高度？(2)如圖2，若在一個(gè)坡度為1:5的斜坡上，按水平距離間隔50米架設(shè)兩固定電纜的位置離地面高度為20米的塔柱．求這種情況下在豎直方向上，下垂的電纜與地面的最近距離為多少米？【變式10-3】（2025·河北·統(tǒng)考二模）如圖是一款拋物線型落地?zé)敉彩疽鈭D，防滑螺母C為拋物線支架的最高點(diǎn)，燈罩D距離地面1.5米，最高點(diǎn)C距燈柱的水平距離為1.6米，燈柱AB=1.5米，若茶幾擺放在燈罩的正下方，則茶幾到燈柱的距離A．3.2 B．0.32 C．2.5 D．1.6

專(zhuān)題16二次函數(shù)的應(yīng)用【十大題型】TOC\o"1-3"\h\u【題型1方案選擇問(wèn)題】 1【題型2拱橋問(wèn)題】 7【題型3隧道問(wèn)題】 12【題型4噴泉問(wèn)題】 18【題型5球類(lèi)飛行軌跡問(wèn)題】 24【題型6空中跳躍軌跡問(wèn)題】 29【題型7最大利潤(rùn)問(wèn)題】 35【題型8圖形運(yùn)動(dòng)問(wèn)題】 41【題型9圖形面積問(wèn)題】 55【題型10現(xiàn)實(shí)生活問(wèn)題】 60【知識(shí)點(diǎn)二次函數(shù)的應(yīng)用】在研究有關(guān)函數(shù)的實(shí)際問(wèn)題時(shí)，要遵循一審.二設(shè).三列.四解的方法：第1步：審題。認(rèn)真讀題，分析題中各個(gè)量之間的關(guān)系；第2步：設(shè)自變間的關(guān)系設(shè)滿(mǎn)量。根據(jù)各個(gè)量之足題意的自變量；第3步：列函數(shù)。根據(jù)各個(gè)量之間的關(guān)系列出函數(shù)；第4步：求解。求出滿(mǎn)足題意的數(shù)值?！绢}型1方案選擇問(wèn)題】【例1】（2025·山東濰坊·統(tǒng)考二模）2025年國(guó)際風(fēng)箏會(huì)期間，某經(jīng)銷(xiāo)商準(zhǔn)備采購(gòu)一批風(fēng)箏，已知用20000元采購(gòu)A型風(fēng)箏的只數(shù)是用8000元采購(gòu)B型風(fēng)箏的只數(shù)的2倍，一只A型風(fēng)箏的進(jìn)價(jià)比一只B型風(fēng)箏的進(jìn)價(jià)多20元．(1)求一只A，B型風(fēng)箏的進(jìn)價(jià)分別為多少元？(2)經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：A型風(fēng)箏售價(jià)的一半與A型風(fēng)箏銷(xiāo)量的和總是等于130，B型風(fēng)箏的售價(jià)為120元/只．該經(jīng)銷(xiāo)商計(jì)劃購(gòu)進(jìn)A，B型風(fēng)箏共300只，其中A型風(fēng)箏m50≤m≤150【答案】(1)一只A型風(fēng)箏的進(jìn)價(jià)為100元，一只B型風(fēng)箏的進(jìn)價(jià)為80元；(2)當(dāng)購(gòu)進(jìn)50只A型風(fēng)箏，80只B型風(fēng)箏時(shí)，銷(xiāo)售這批風(fēng)箏的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為13000元．【分析】（1）設(shè)一只A型風(fēng)箏的進(jìn)價(jià)為x元，一只B型風(fēng)箏的進(jìn)價(jià)為x+20元，根據(jù)“用20000元采購(gòu)A型風(fēng)箏的只數(shù)是用8000元采購(gòu)B型風(fēng)箏的只數(shù)的2倍”列分式方程，解之即可求解；（2）設(shè)銷(xiāo)售這批風(fēng)箏的利潤(rùn)為w元，根據(jù)題意得w=?2m?30【詳解】（1）解：設(shè)一只A型風(fēng)箏的進(jìn)價(jià)為x元，一只B型風(fēng)箏的進(jìn)價(jià)為x+20元，根據(jù)題意得20000x+20解得x=80，經(jīng)檢驗(yàn)，x=80是所列方程的解，且符合題意，∴x+20=80+20=100，答：一只A型風(fēng)箏的進(jìn)價(jià)為100元，一只B型風(fēng)箏的進(jìn)價(jià)為80元；（2）解：設(shè)銷(xiāo)售這批風(fēng)箏的利潤(rùn)為w元，根據(jù)題意得：w=[2(130?m)?100]m+120?80整理得w=?2m?30∵?2<0，50≤m≤150∴當(dāng)m=50時(shí)，w取得最大值，最大值為13000，此時(shí)130?m=130?50=80，答：當(dāng)購(gòu)進(jìn)50只A型風(fēng)箏，80只B型風(fēng)箏時(shí)，銷(xiāo)售這批風(fēng)箏的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為13000元．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用、二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大利潤(rùn)．【變式1-1】（2025·河北邯鄲·?？既＃┚拍昙?jí)某班計(jì)劃在勞動(dòng)實(shí)踐基地內(nèi)種植蔬菜，班長(zhǎng)買(mǎi)回來(lái)8米長(zhǎng)的圍欄，準(zhǔn)備圍成一邊靠墻（墻足夠長(zhǎng)）的菜園，為了讓菜園面積盡可能大，同學(xué)們提出了圍成矩形、等腰直角三角形（底邊靠墻）、半圓形這三種方案，如圖所示，最佳方案是（

）

A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．面積都一樣【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，分別計(jì)算出三個(gè)方案的菜園面積進(jìn)行比較即可．【詳解】解：方案1：設(shè)AD=x米，則AB=8?2x

則菜園面積=x8?2x當(dāng)x=2時(shí)，此時(shí)菜園最大面積為8平方米；方案2：如圖，AB=AC=4，

∵S△ABC∴菜園面積為8平方米；方案3：半圓的半徑為8π∴此時(shí)菜園最大面積=π×∵32π∴方案3的菜園面積最大，∴在三種方案中，最佳方案是方案3．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用、圓的面積、等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意計(jì)算三個(gè)方案的邊長(zhǎng)及半徑是解本題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2025·安徽合肥·統(tǒng)考三模）為響應(yīng)政府鞏固脫貧成果的號(hào)召，某商場(chǎng)與生產(chǎn)水果的脫貧鄉(xiāng)鎮(zhèn)簽訂支助協(xié)議，每月向該鄉(xiāng)鎮(zhèn)購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種水果進(jìn)行銷(xiāo)售，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)可知：銷(xiāo)售甲種水果每噸可獲利0.4萬(wàn)元，銷(xiāo)售乙種水果獲利如下表所示：銷(xiāo)售x（噸）34567獲利y（萬(wàn)元）0.91.11.31.51.7(1)分別求銷(xiāo)售甲、乙兩種水果獲利y1（萬(wàn)元）、y2（萬(wàn)元）與購(gòu)進(jìn)水果數(shù)量(2)若只允許商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)并銷(xiāo)售一種水果，選擇哪種水果獲利更高？(3)支助協(xié)議中約定，商場(chǎng)每個(gè)月向鄉(xiāng)鎮(zhèn)購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種水果的數(shù)量分別為m、n噸，且m，n滿(mǎn)足n=20?1【答案】(1)y1=0.4x，(2)當(dāng)進(jìn)貨數(shù)量小于1.5噸時(shí)，銷(xiāo)售乙種水果獲利大；當(dāng)進(jìn)貨數(shù)量等于1.5噸時(shí)，銷(xiāo)售兩種水果獲利一樣；當(dāng)進(jìn)貨數(shù)量大于1.5噸時(shí)，銷(xiāo)售甲種水果獲利大；(3)商場(chǎng)向鄉(xiāng)鎮(zhèn)購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種水果的數(shù)量分別為2和18噸時(shí)，獲得利潤(rùn)最大為4.7萬(wàn)元．【分析】（1）通過(guò)表格信息建立函數(shù)關(guān)系式即可；（2）通過(guò)購(gòu)買(mǎi)數(shù)量來(lái)選擇哪種水果即可；（3）建立二次函數(shù)關(guān)系式，轉(zhuǎn)化為求最值問(wèn)題即可．【詳解】解：（1）由題意得y1在直角坐標(biāo)系中描出以x,y坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，易得y2設(shè)y2=kx+b，則解得k=0.2b=0.3∴y（2）當(dāng)y1=y解得x=1.5；∴當(dāng)進(jìn)貨數(shù)量小于1.5噸時(shí)，銷(xiāo)售乙種水果獲利大；當(dāng)進(jìn)貨數(shù)量等于1.5噸時(shí)，銷(xiāo)售兩種水果獲利一樣；當(dāng)進(jìn)貨數(shù)量大于1.5噸時(shí)，銷(xiāo)售甲種水果獲利大．（3）當(dāng)商場(chǎng)向鄉(xiāng)鎮(zhèn)購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種水果的數(shù)量分別為m、n噸時(shí)，獲得利潤(rùn)：w=0.4m+0.2n+0.3=0.4m+0.220?即w=?0.1m2+0.4m+4.3當(dāng)m=2時(shí)，n=18，w有最大值，答：當(dāng)商場(chǎng)向鄉(xiāng)鎮(zhèn)購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種水果的數(shù)量分別為2和18噸時(shí)，獲得利潤(rùn)最大為4.7萬(wàn)元．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是根據(jù)題意熟練掌握函數(shù)關(guān)系的建立，求出解析式．【變式1-3】（2025·四川達(dá)州·模擬預(yù)測(cè)）如圖1，隧道截面由拋物線的一部分AED和矩形ABCD構(gòu)成，矩形的一邊BC為12米，另一邊AB為2米．以BC所在的直線為x軸，線段BC的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，規(guī)定一個(gè)單位長(zhǎng)度代表1米．E（0，8）是拋物線的頂點(diǎn)．(1)求此拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；(2)在隧道截面內(nèi)（含邊界）修建“”型或“”型柵欄，如圖2、圖3中粗線段所示，點(diǎn)P1，P4在x軸上，MN與矩形P1P2P3P4的一邊平行且相等．柵欄總長(zhǎng)l為圖中粗線段P（ⅰ）修建一個(gè)“”型柵欄，如圖2，點(diǎn)P2，P3在拋物線AED上．設(shè)點(diǎn)P1的橫坐標(biāo)為m0<m≤6，求柵欄總長(zhǎng)l與m（ⅱ）現(xiàn)修建一個(gè)總長(zhǎng)為18的柵欄，有如圖3所示的修建“”型或“”型柵型兩種設(shè)計(jì)方案，請(qǐng)你從中選擇一種，求出該方案下矩形P1P2P3P4面積的最大值，及取最大值時(shí)點(diǎn)P【答案】(1)y＝?16x(2)（?。﹍＝?12m2＋2m＋24，l的最大值為26；（ⅱ）方案一：最大面積27，?30＋9≤P1橫坐標(biāo)≤30；方案二：最大面積814?21＋9【分析】（1）通過(guò)分析A點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（2）（?。┙Y(jié)合矩形性質(zhì)分析得出P2的坐標(biāo)為（m，－16m2（ⅱ）設(shè)P2P1＝n，分別表示出方案一和方案二的矩形面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)分析最值，從而利用數(shù)形結(jié)合思想確定取值范圍．【詳解】（1）由題意可得：A（－6，2），D（6，2），又∵E（0，8）是拋物線的頂點(diǎn)，設(shè)拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y＝ax2＋8，將A（－6，2）代入，（－6）2a＋8＝2，解得：a＝?1∴拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y＝?16x（2）（?。唿c(diǎn)P1的橫坐標(biāo)為m（0＜m≤6），且四邊形P1P2P3P4為矩形，點(diǎn)P2，P3在拋物線AED上，∴P2的坐標(biāo)為（m，?16m∴P1P2＝P3P4＝MN＝?16m2＋8，P2P3＝2∴l(xiāng)＝3（?16m2＋8）＋2m＝?12m2＋2m＋24＝?1∵?1∴當(dāng)m＝2時(shí)，l有最大值為26，即柵欄總長(zhǎng)l與m之間的函數(shù)表達(dá)式為l＝?12m2＋2m＋24，（ⅱ）方案一：設(shè)P2P1＝n，則P2P3＝18－3n，∴矩形P1P2P3P4面積為（18－3n）n＝－3n2＋18n＝－3（n－3）2＋27，∵－3＜0，∴當(dāng)n＝3時(shí)，矩形面積有最大值為27，此時(shí)P2P1＝3，P2P3＝9，令?16x解得：x＝±30∴此時(shí)P1的橫坐標(biāo)的取值范圍為?30＋9≤P1橫坐標(biāo)≤30方案二：設(shè)P2P1＝n，則P2P3＝9－n，∴矩形P1P2P3P4面積為（9－n）n＝－n2＋9n＝－（n－92）2＋81∵－1＜0，∴當(dāng)n＝92時(shí)，矩形面積有最大值為81此時(shí)P2P1＝92，P2P3＝9令?16x2＋8＝解得：x＝±21∴此時(shí)P1的橫坐標(biāo)的取值范圍為?21＋92≤P1橫坐標(biāo)≤【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，準(zhǔn)確識(shí)圖，確定關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，利用數(shù)形結(jié)合思想解題是關(guān)鍵．【題型2拱橋問(wèn)題】【例2】（2025·四川·統(tǒng)考中考真題）三孔橋橫截面的三個(gè)孔都呈拋物線形，兩小孔形狀、大小完全相同．當(dāng)水面剛好淹沒(méi)小孔時(shí)，大孔水面寬度為10米，孔頂離水面1.5米；當(dāng)水位下降，大孔水面寬度為14米時(shí)，單個(gè)小孔的水面寬度為4米，若大孔水面寬度為20米，則單個(gè)小孔的水面寬度為（）A．43米 B．52米 C．213米 D．7米【答案】B【分析】根據(jù)題意，可以畫(huà)出相應(yīng)的拋物線，然后即可得到大孔所在拋物線解析式，再求出頂點(diǎn)為A的小孔所在拋物線的解析式，將x=﹣10代入可求解．【詳解】解：如圖，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，由題意可得MN=4，EF=14，BC=10，DO=32設(shè)大孔所在拋物線解析式為y=ax2+32∵BC=10，∴點(diǎn)B（﹣5，0），∴0=a×（﹣5）2+32∴a=-350∴大孔所在拋物線解析式為y=-350x2+32，設(shè)點(diǎn)A（b，0），則設(shè)頂點(diǎn)為A的小孔所在拋物線的解析式為y=m（x﹣b）∵EF=14，∴點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為-7，∴點(diǎn)E坐標(biāo)為（-7，-3625），∴-3625=m（x﹣b）2∴x1=65?1m+b，x2=-∴MN=4，∴|65?1m+b-（-∴m=-925∴頂點(diǎn)為A的小孔所在拋物線的解析式為y=-925（x﹣b）2∵大孔水面寬度為20米，∴當(dāng)x=-10時(shí)，y=-92∴-92=-925（x﹣b）∴x1=522+b，x2=-52∴單個(gè)小孔的水面寬度=|（522+b）-（-522+故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合的思想解答．【變式2-1】（2025·浙江·統(tǒng)考中考真題）如圖1是一座拋物線型拱橋側(cè)面示意圖．水面寬AB與橋長(zhǎng)CD均為24m，在距離D點(diǎn)6米的E處，測(cè)得橋面到橋拱的距離EF為1.5m，以橋拱頂點(diǎn)O為原點(diǎn)，橋面為x軸建立平面直角坐標(biāo)系．（1）求橋拱項(xiàng)部O離水面的距離．（2）如圖2，橋面上方有3根高度均為4m的支柱CG，OH，DI，過(guò)相鄰兩根支柱頂端的鋼纜呈形狀相同的拋物線，其最低點(diǎn)到橋面距離為1m．①求出其中一條鋼纜拋物線的函數(shù)表達(dá)式．②為慶祝節(jié)日，在鋼纜和橋拱之間豎直裝飾若干條彩帶，求彩帶長(zhǎng)度的最小值．【答案】（1）6m；（2）①y'=1【分析】（1）設(shè)y1=a1x2，由題意得F(6,?1.5)，求出拋物線圖像解析式，求當(dāng)x（2）①由題意得右邊的拋物線頂點(diǎn)為(6,1)，設(shè)y2=a②設(shè)彩帶長(zhǎng)度為h，則?=y【詳解】解（1）設(shè)y1=a∴?1.5=36a∴a∴y∴當(dāng)x=12時(shí)，y1∴橋拱頂部離水面高度為6m．（2）①由題意得右邊的拋物線頂點(diǎn)為(6,1)，∴設(shè)y2∵H(0,4)，∴4=a∴a∴y(左邊拋物線表達(dá)式：y'=1②設(shè)彩帶長(zhǎng)度為h，則?=y∴當(dāng)x=4時(shí)，?min答：彩帶長(zhǎng)度的最小值是2m．【點(diǎn)睛】本題主要考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，以及二次函數(shù)最值得求解方法，結(jié)合題意根據(jù)數(shù)形結(jié)合的思想設(shè)出二次函數(shù)的頂點(diǎn)式方程是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2024·湖北武漢·中考真題）如圖，小河上有一拱橋，拱橋及河道的截面輪廓線由拋物線的一部分ACB和矩形的三邊AE、ED、DB組成，已知河底ED是水平的，ED=16m，AE=8m，拋物線的頂點(diǎn)C到ED的距離是11m(1)求拋物線的解析式；(2)已知從某時(shí)刻開(kāi)始的40h內(nèi)，水面與河底ED的距離?（單位：m）隨時(shí)間t（單位：h）的變化滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系?=?1128t?192

【答案】(1)y=?(2)禁止船只通行時(shí)間為32小時(shí)．【分析】（1）根據(jù)拋物線特點(diǎn)設(shè)出二次函數(shù)解析式，把B坐標(biāo)代入即可求解．（2）水面到頂點(diǎn)C的距離不大于5米時(shí)，即水面與河底ED的距離h至多為6，把6代入所給二次函數(shù)關(guān)系式，求得t的值，相減即可得到禁止船只通行的時(shí)間．【詳解】（1）解：由題意知：DO=EO=12ED=8∴A?8,8，B8,8，設(shè)拋物線解析式為y=ax則8=a?8解得a=?3∴y=?3（2）解：把?=11?5=6代入?=?1128t?19解得t1=35，∴當(dāng)3≤t≤35時(shí)，禁止船只通行，禁止通行時(shí)間為35?3=32h即禁止船只通行時(shí)間為32小時(shí).【點(diǎn)睛】二次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系．【變式2-3】（2025·北京西城·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，有一座拋物線形狀的拱橋，對(duì)拱橋在水面以上的部分進(jìn)行測(cè)量，得到橋洞的跨度為12米，并且以橋洞拱頂為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平向右為x軸正方向，豎直向上為y軸正方向，建立平面直角坐標(biāo)系，把測(cè)量得到的數(shù)據(jù)記入下表：x（米）－6－4－20246y（米）－3.02－1.33－0.310－0.32－1.33－2.99(1)請(qǐng)?jiān)谙旅娴淖鴺?biāo)系中根據(jù)已知數(shù)據(jù)描點(diǎn)，并用平滑的曲線連接；

(2)請(qǐng)結(jié)合圖象，寫(xiě)出拱橋的橋洞在拱頂下方1米的位置寬度是______米（結(jié)果精確到0.1）；(3)現(xiàn)有一艘寬4米，高2米的游船要穿過(guò)拱橋的橋洞．為保證安全，要求船頂?shù)截Q直方向上拱橋橋洞對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離不小于0.5米，那么這艘船______（填“能”或者“不能”）安全通過(guò)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)7.0(3)能【分析】（1）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)進(jìn)行描點(diǎn)、連線即可；（2）根據(jù)圖象得出y=?1時(shí)，x≈?3.5或x≈3.5，然后可得答案；（3）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)求出x=±2和x=±6時(shí)縱坐標(biāo)的值，求得其差得出船靠中間行駛時(shí)，船左右兩邊到豎直方向上拱橋橋洞對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離，然后進(jìn)行判斷即可．【詳解】（1）解：如圖所示：

（2）由圖象可得：當(dāng)y=?1時(shí)，x≈?3.5或x≈3.5，∴拱橋的橋洞在拱頂下方1米的位置寬度約是3.5??3.5故答案為：7.0；（3）由表格中數(shù)據(jù)可得，當(dāng)x=?2時(shí)，y=?0.31；當(dāng)x=2時(shí)，y=?0.31，當(dāng)x=?6時(shí)，y=?3.02；當(dāng)x=6時(shí)，y=?3.02，∵?0.31??3.022.71?2=0.71>0.5，∴這艘船能安全通過(guò)，故答案為：能．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，讀懂題意，利用函數(shù)圖象的性質(zhì)解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．【題型3隧道問(wèn)題】【例3】（2025·山東·統(tǒng)考中考真題）如圖所示是隧道的截面由拋物線和長(zhǎng)方形構(gòu)成，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是12m，寬是4m．按照?qǐng)D中所示的直角坐標(biāo)系，拋物線可以用y=?16x2+bx+c表示，且拋物線上的點(diǎn)C到OB的水平距離為3m，到地面OA的距離為（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式，并計(jì)算出拱頂D到地面OA的距離；（2）一輛貨運(yùn)汽車(chē)載一長(zhǎng)方體集裝箱后高為6m，寬為4m，如果隧道內(nèi)設(shè)雙向車(chē)道，那么這輛貨車(chē)能否安全通過(guò)？（3）在拋物線型拱壁上需要安裝兩排燈，使它們離地面的高度相等，如果燈離地面的高度不超過(guò)8m，那么兩排燈的水平距離最小是多少米？【答案】（1）拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=?16x2+2x+4，拱頂D到地面OA的距離為10m；（2）可以通過(guò)，理由見(jiàn)解析（3）兩排燈的水平距離最小是【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)B和點(diǎn)C在函數(shù)圖象上，利用待定系數(shù)法求出b和c的值，從而得出函數(shù)解析式，根據(jù)解析式求出頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）根據(jù)題意得出車(chē)最外側(cè)與地面OA的交點(diǎn)為（2，0）（或（10，0）），然后求出當(dāng)x=2或x=10時(shí)y的值，與6進(jìn)行比較大小，比6大就可以通過(guò)，比6小就不能通過(guò)；（3）將y=8代入函數(shù)，得出x的值，然后進(jìn)行做差得出最小值．【詳解】解：（1）由題知點(diǎn)B(0,4),C3,所以c=417解得b=2c=4∴y=?1∴當(dāng)x=?b2a∴拋物線解析式為y=?16x2+2x+4（2）由題知車(chē)最外側(cè)與地面OA的交點(diǎn)為（2，0）（或（10，0））當(dāng)x=2或x=10時(shí)，y=22所以可以通過(guò)；（3）令y=8，即?16x2x答：兩排燈的水平距離最小是4【變式3-1】（2025·陜西·統(tǒng)考中考真題）現(xiàn)要修建一條隧道，其截面為拋物線型，如圖所示，線段OE表示水平的路面，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)E所在直線為x軸，以過(guò)點(diǎn)O垂直于x軸的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．根據(jù)設(shè)計(jì)要求：OE=10m，該拋物線的頂點(diǎn)P到OE的距離為9(1)求滿(mǎn)足設(shè)計(jì)要求的拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)現(xiàn)需在這一隧道內(nèi)壁上安裝照明燈，如圖所示，即在該拋物線上的點(diǎn)A、B處分別安裝照明燈．已知點(diǎn)A、B到OE的距離均為6m，求點(diǎn)A、B【答案】(1)y=?(2)A(5?【分析】（1）根據(jù)題意，設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=a(x?5)2+9（2）根據(jù)題意知，A，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)為6，代入函數(shù)解析式可求出兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，從而可解決問(wèn)題．【詳解】（1）依題意，頂點(diǎn)P(5,9)，設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=a(x?5)將(0,0)代入，得0=a(0?5)2+9∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=?9（2）令y=6，得?9解之，得x1∴A(5?5【點(diǎn)睛】本題考查了運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式的運(yùn)用，由函數(shù)值求自變量的值的運(yùn)用，解答時(shí)求出二次函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．【變式3-2】（2025·安徽合肥·合肥市第四十五中學(xué)?？家荒＃┤鐖D是某隧道截面示意圖，它是由拋物線和長(zhǎng)方形構(gòu)成，已知OA=12米，OB=4米，拋物線頂點(diǎn)D到地面OA的垂直距離為10米，以O(shè)A所在直線為x軸，以O(shè)B所在直線為y軸建立直角坐標(biāo)系，(1)求拋物線的解析式；(2)一輛特殊貨運(yùn)汽車(chē)載著一個(gè)長(zhǎng)方體集裝箱，集裝箱寬為4米，最高處與地面距離為6米，隧道內(nèi)設(shè)雙向行車(chē)道，雙向行車(chē)道間隔距離為2米，交通部門(mén)規(guī)定，車(chē)載貨物頂部距離隧道壁的豎直距離不少于0.5米，才能安全B通行，問(wèn)這輛特殊貨車(chē)能否安全通過(guò)隧道？【答案】(1)y=?(2)這輛特殊貨車(chē)不能安全通過(guò)隧道【分析】（1）拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為D(6,10)，設(shè)拋物線的解析式為y=a(x?6)2+10,（2）由圖象結(jié)合題意可知，集裝箱與隧道最接近的位置在此坐標(biāo)系中的橫坐標(biāo)為x=6+1+4，代入（1）所得解析式，判斷是否大于6.5即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題意，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為D(6,10)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,4)，設(shè)拋物線的解析式為y=a(x?6)把點(diǎn)B(0,4)代入得：36a+10=4，解得：a=?1即所求拋物線的解析式為：y=?1（2）根據(jù)題意，假設(shè)貨車(chē)在右側(cè)車(chē)道行駛，則其最右側(cè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：x=6+2÷2+4=11時(shí)，y=?1∴不能安全通過(guò)隧道，答：這輛特殊貨車(chē)不能安全通過(guò)隧道．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是分析題意并結(jié)合圖象列式求解，難度較大，綜合程度較高．【變式3-3】（2025·北京朝陽(yáng)·清華附中校考模擬預(yù)測(cè)）如圖1是某條公路的一個(gè)具有兩條車(chē)道的隧道的橫斷面．經(jīng)測(cè)量，兩側(cè)墻AD和BC與路面AB垂直，隧道內(nèi)側(cè)寬AB=8米，為了確保隧道的安全通行，工程人員在路面AB上取點(diǎn)E，測(cè)量點(diǎn)E到墻面AD的距離AE，點(diǎn)E到隧道頂面的距離EF．設(shè)AE=x米，EF=y米．通過(guò)取點(diǎn)、測(cè)量，工程人員得到了x與y的幾組值，如下表：x（米）02468y（米）4.05.56.05.54.0(1)根據(jù)上述數(shù)據(jù)，直接寫(xiě)出隧道頂面到路面AB的最大距離為_(kāi)__________米，并求出滿(mǎn)足的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=ax??2+ka<0(2)請(qǐng)你幫助工程人員建立平面直角坐標(biāo)系．描出上表中各對(duì)對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)，畫(huà)出可以表示隧道頂面的函數(shù)的圖像．(3)若如圖2的汽車(chē)在隧道內(nèi)正常通過(guò)時(shí)，汽車(chē)的任何部位需到左側(cè)墻及右側(cè)墻的距離不小于1米且到隧道頂面的距離不小于0.35米．按照這個(gè)要求，隧道需標(biāo)注的限高應(yīng)為多少米（精確到0.1米）？【答案】(1)6，y=?1(2)見(jiàn)解析(3)隧道需標(biāo)注的限高應(yīng)為4.5米【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可知在x=4時(shí)y取得最大值，然后運(yùn)用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；（2）根據(jù)題意，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸建立平面直角坐標(biāo)，畫(huà)出函數(shù)圖像即可；（3）令x=1，求得相應(yīng)的y值，結(jié)合到隧道頂面的距離不小于0.35米,可得汽車(chē)最高點(diǎn)距地面的距離即可解答．【詳解】（1）解：根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可知，當(dāng)x=4時(shí)，y有最大值6，設(shè)y=a∵D的坐標(biāo)為0,4∴4=a0?42∴y=?1故答案為：6，y=?1（2）解：根據(jù)題意，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸建立平面直角坐標(biāo),畫(huà)出圖像如圖所示：（3）解：令x=1，可得y=?隧道需標(biāo)注的限高應(yīng)為4.875?0.35=4.5（米）．答：隧道需標(biāo)注的限高應(yīng)為4.5米．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用、數(shù)形結(jié)合、待定系數(shù)法等知識(shí)點(diǎn)，理清題中的數(shù)量關(guān)系、求得函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．【題型4噴泉問(wèn)題】【例4】（2025·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考中考真題）2023年5月8日，C919商業(yè)首航完成——中國(guó)民商業(yè)運(yùn)營(yíng)國(guó)產(chǎn)大飛機(jī)正式起步．12時(shí)31分航班抵達(dá)北京首都機(jī)場(chǎng)，穿過(guò)隆重的“水門(mén)禮”（寓意“接風(fēng)洗塵”、是國(guó)際民航中高級(jí)別的禮儀）．如圖①，在一次“水門(mén)禮”的預(yù)演中，兩輛消防車(chē)面向飛機(jī)噴射水柱，噴射的兩條水柱近似看作形狀相同的地物線的一部分．如圖②，當(dāng)兩輛消防車(chē)噴水口A、B的水平距離為80米時(shí)，兩條水柱在物線的頂點(diǎn)H處相遇，此時(shí)相遇點(diǎn)H距地面20米，噴水口A、B距地面均為4米．若兩輛消防車(chē)同時(shí)后退10米，兩條水柱的形狀及噴水口A′、B′到地面的距離均保持不變，則此時(shí)兩條水柱相遇點(diǎn)H′

【答案】19【分析】根據(jù)題意求出原來(lái)拋物線的解析式，從而求得平移后的拋物線解析式，再令x=0求平移后的拋物線與y軸的交點(diǎn)即可．【詳解】解：由題意可知：A?40,4、B40,4、設(shè)拋物線解析式為：y=ax將A?40,4代入解析式y(tǒng)=a解得：a=?1∴y=?x消防車(chē)同時(shí)后退10米，即拋物線y=?x2100平移后的拋物線解析式為：y=?x+10令x=0，解得：y=19，故答案為：19．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求拋物線解析式、函數(shù)圖像的平移及坐標(biāo)軸的交點(diǎn)；解題的關(guān)鍵是求得移動(dòng)前后拋物線的解析式．【變式4-1】（2025·安徽亳州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，某小區(qū)的景觀池中安裝一雕塑OA，OA=2米，噴出兩股水流，兩股水流可以抽象為平面直角坐標(biāo)系中的兩條拋物線（圖中的C1，C2）的部分圖象，兩條拋物線的形狀相同且頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，且經(jīng)測(cè)算發(fā)現(xiàn)拋物線C2的最高點(diǎn)（頂點(diǎn)）C距離水池面2.5

(1)求拋物線C2(2)求拋物線C1與x軸的交點(diǎn)B(3)小明同學(xué)打算操控微型無(wú)人機(jī)在C1，C2之間飛行，為了無(wú)人機(jī)的安全，要求無(wú)人機(jī)在豎直方向上的活動(dòng)范圍不小于0.5米，設(shè)無(wú)人機(jī)與OA的水平距離為m，求【答案】(1)y=?1(2)y=?18x(3)1【分析】（1）由題意可知C2過(guò)點(diǎn)A(0,2)和點(diǎn)C(2,2.5)，且?（2）兩條拋物線的形狀相同且頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同且C1經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,2)，設(shè)C1的解析式為（3）無(wú)人機(jī)的橫坐標(biāo)為x，根據(jù)題意列出不等式?1【詳解】（1）解：由已知可得：C2過(guò)點(diǎn)A(0,2)和點(diǎn)C(2,2.5)，設(shè)其解析式為y=a代入兩點(diǎn)，由C的橫坐標(biāo)為?bc=24a+2b+c=2.5?b故C2的解析式為：y=?（2）解：∵兩條拋物線的形狀相同，∴設(shè)C1的解析式為y=?已知C1經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,2)，故C1的解析式為y=?∵頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，∴C1的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4b可得：?1解得：b1故C1的解析式為y=?18x2由圖可知C1的終點(diǎn)的橫坐標(biāo)小于0，而②中?b2a令將y=0代入y=?1解得x=?2+25或?2?2故B點(diǎn)的坐標(biāo)為?2+25（3）解：由題意可得：?1解得：m≥1又∵?1解得：m≤6，∴12【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意正確求出函數(shù)的解析式是解題關(guān)鍵．【變式4-2】（2025·廣東深圳·深圳市龍崗區(qū)深圳中學(xué)龍崗初級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖1，一個(gè)圓形噴水池的中央豎直安裝了一個(gè)柱形噴水裝置OA，A處的噴頭向外噴水，水流在各個(gè)方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下，按如圖所示的直角坐標(biāo)系，水流噴出的高度ym與水平距離xm之間的關(guān)系式是

(1)柱子OA的高度是多少米？若不計(jì)其他因素，水池的半徑至少為多少米，才能使噴出的水流不至于落在池外？(2)如圖2，為了吸引更多的游客前來(lái)參觀游玩，準(zhǔn)備在水池的邊緣增設(shè)彩光燈，彩光燈的底座為Rt△BCD形狀，其中BC邊在地面上，點(diǎn)C離柱子的距離為2.1米，∠CBD=90°，燈孔P在CD邊上，燈孔P離地面的距離為12米，若水流恰好落在燈孔P處，求【答案】(1)柱子OA的高度為74米，水池的半徑至少要11(2)4【分析】（1）柱子OA的高度即為拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，令二次函數(shù)解析式中的x=0即可求解；令y=0，解關(guān)于x的一元二次方程，求得正數(shù)解即可；（2）把y=12代入解析式即可求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥BC于點(diǎn)E，可求出PE,CE的值，在Rt△PCE【詳解】（1）解：根據(jù)題意，拋物線與y軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)的值即為柱子OA的高度，∴當(dāng)x=0時(shí)，y=7∴柱子OA的高度為74水池的半徑指的是OB的長(zhǎng)度，∴在y=?x2+2x+74∴x1=又∵x>0，∴x=11∴水池的半徑至少要112（2）解：燈孔P離地面的距離為12米，即點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為12，且點(diǎn)P在拋物線∴當(dāng)y=12時(shí)，?x2+2x+74∴P5如圖所示，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥BC于點(diǎn)E，

∴∠CEP=90°，E5∵點(diǎn)C離柱子的距離為2.1米，∴CE=OE?OC=52?2.1=∴在Rt△PCE中，tan【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖像的性質(zhì)與實(shí)際應(yīng)用的綜合，掌握從實(shí)際問(wèn)題中抽象出二次函數(shù)模型，三角形函數(shù)的計(jì)算方法等知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式4-3】（2025·北京·北京四中?？寄M預(yù)測(cè)）某游樂(lè)園有一個(gè)直徑為16米的圓形噴水池，噴水池的周邊有一圈噴水頭，噴出的水柱為拋物線，高度為5米，且各方向噴出的水柱恰好在噴水池中心的裝飾物處匯合．如圖所示，噴水池中心為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系．(1)求水柱所在拋物線（第二象限部分）的函數(shù)表達(dá)式；(2)主師傅在噴水池內(nèi)維修設(shè)備期間，噴水管意外噴水，為了不被淋濕，身高1.8米的王師傅站立時(shí)必須在離水池中心多少米以?xún)?nèi)？(3)經(jīng)檢修評(píng)估，游樂(lè)園決定對(duì)噴水設(shè)施做如下設(shè)計(jì)改進(jìn)：在噴出水柱的形狀不變的前提下，把水池直徑擴(kuò)大到24米，各方向噴出的水柱仍在噴水池中心保留的原裝飾物（高度不變）處匯合，請(qǐng)?zhí)骄繑U(kuò)建改造后噴水池水柱的最大高度．【答案】(1)y=?(2)7(3)80【分析】（1）利用軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)可得水柱所在拋物線（第二象限部分）的頂點(diǎn)，根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)可設(shè)拋物線函數(shù)為y=a(x+3)2+5（2）根據(jù)（1）所得的函數(shù)解析式，代入y=1.8時(shí)求得x的值，結(jié)合圖形即可得出答案；（3）根據(jù)（1）的函數(shù)解析式求出與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再二次函數(shù)圖像的性質(zhì)拋物線的形狀不變時(shí)，可設(shè)改造后水柱所在拋物線（第二象限部分）的函數(shù)表達(dá)式為y=?15x2+bx+【詳解】（1）解：由題意得第一象限拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,5)，∵水柱關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，∴第二象限拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(?3,5)設(shè)水柱所在拋物線（第二象限部分）的函數(shù)表達(dá)式為y=a(x+3)將(?8,0)代入y=a(x+3)2+5解得：a=?1∴水柱所在拋物線（第二象限部分）的函數(shù)表達(dá)式為y=?1（2）解：當(dāng)函數(shù)值y=1.8時(shí)，有?1解得x1=?7，∴結(jié)合圖形可得，為了不被淋濕，身高1.8米的王師傅站立時(shí)必須在離水池中心7米以?xún)?nèi)．（3）解：當(dāng)x=0時(shí)，y=?1∵噴出水柱的形狀不變，水池的高度不變，設(shè)改造后水柱所在拋物線（第二象限部分）的函數(shù)表達(dá)式為y=?1∵該函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)(?12,0)，∴0=?1解得b=?32∴改造后水柱所在拋物線（第二象限部分）的函數(shù)表達(dá)式為y=?1∴該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(?16故擴(kuò)建改造后噴水池水柱的最大高度為809【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)表達(dá)式；（2）利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出當(dāng)時(shí)x的值；（3）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)及二次函數(shù)性質(zhì)，利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)表達(dá)式．【題型5球類(lèi)飛行軌跡問(wèn)題】【例5】（2025·河南·統(tǒng)考中考真題）小林同學(xué)不僅是一名羽毛球運(yùn)動(dòng)愛(ài)好者，還喜歡運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)羽毛球比賽進(jìn)行技術(shù)分析，下面是他對(duì)擊球線路的分析．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，C在x軸上，球網(wǎng)AB與y軸的水平距離OA=3m，CA=2m，擊球點(diǎn)P在y軸上．若選擇扣球，羽毛球的飛行高度ym與水平距離xm近似滿(mǎn)足一次函數(shù)關(guān)系y=?0.4x+2.8；若選擇吊球，羽毛球的飛行高度ym

(1)求點(diǎn)P的坐標(biāo)和a的值．(2)小林分析發(fā)現(xiàn)，上面兩種擊球方式均能使球過(guò)網(wǎng)．要使球的落地點(diǎn)到C點(diǎn)的距離更近，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算判斷應(yīng)選擇哪種擊球方式．【答案】(1)P0,2.8，a=?0.4(2)選擇吊球，使球的落地點(diǎn)到C點(diǎn)的距離更近【分析】（1）在一次函數(shù)上y=?0.4x+2.8，令x=0，可求得P0,2.8，再代入y=ax?12（2）由題意可知OC=5m，令y=0，分別求得?0.4x+2.8=0，?0.4x?12【詳解】（1）解：在一次函數(shù)y=?0.4x+2.8，令x=0時(shí)，y=2.8，∴P0,2.8將P0,2.8代入y=ax?12解得：a=?0.4；（2）∵OA=3m，CA=2∴OC=5m選擇扣球，則令y=0，即：?0.4x+2.8=0，解得：x=7，即：落地點(diǎn)距離點(diǎn)O距離為7m∴落地點(diǎn)到C點(diǎn)的距離為7?5=2m選擇吊球，則令y=0，即：?0.4x?12+3.2=0即：落地點(diǎn)距離點(diǎn)O距離為22∴落地點(diǎn)到C點(diǎn)的距離為5?2∵4?22∴選擇吊球，使球的落地點(diǎn)到C點(diǎn)的距離更近．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)與一次函數(shù)的應(yīng)用，理解題意，求得函數(shù)解析式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2025·浙江溫州·統(tǒng)考中考真題）一次足球訓(xùn)練中，小明從球門(mén)正前方8m的A處射門(mén)，球射向球門(mén)的路線呈拋物線．當(dāng)球飛行的水平距離為6m時(shí)，球達(dá)到最高點(diǎn)，此時(shí)球離地面3m．已知球門(mén)高OB

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式，并通過(guò)計(jì)算判斷球能否射進(jìn)球門(mén)（忽略其他因素）．(2)對(duì)本次訓(xùn)練進(jìn)行分析，若射門(mén)路線的形狀、最大高度均保持不變，則當(dāng)時(shí)他應(yīng)該帶球向正后方移動(dòng)多少米射門(mén)，才能讓足球經(jīng)過(guò)點(diǎn)O正上方2.25m處？【答案】(1)y=?1(2)當(dāng)時(shí)他應(yīng)該帶球向正后方移動(dòng)1米射門(mén)【分析】（1）根據(jù)建立的平面直角三角坐標(biāo)系設(shè)拋物線解析式為頂點(diǎn)式，代入A點(diǎn)坐標(biāo)求出a的值即可得到函數(shù)表達(dá)式，再把x=0代入函數(shù)解析式，求出函數(shù)值，與球門(mén)高度比較即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)二次函數(shù)平移的規(guī)律，設(shè)出平移后的解析式，然后將點(diǎn)0,2.25代入即可求解．【詳解】（1）解：由題意得：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為2,3，設(shè)拋物線解析式為y=ax?2把點(diǎn)A8,0代入，得36a+3=0解得a=?1∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=?1當(dāng)x=0時(shí)，y=8∴球不能射進(jìn)球門(mén)；（2）設(shè)小明帶球向正后方移動(dòng)m米，則移動(dòng)后的拋物線為y=?1把點(diǎn)0,2.25代入得2.25=?1解得m1=?5（舍去），∴當(dāng)時(shí)他應(yīng)該帶球向正后方移動(dòng)1米射門(mén)．【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)圖象的平移等知識(shí)，讀懂題意，熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2025·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）擲實(shí)心球是蘭州市高中階段學(xué)校招生體育考試的選考項(xiàng)目．如圖1是一名女生投擲實(shí)心球，實(shí)心求行進(jìn)路線是一條拋物線，行進(jìn)高度y（m）與水平距離x（m）之間的函數(shù)關(guān)系如圖2所示，拋出時(shí)起點(diǎn)處高度為53m，當(dāng)水平距離為3m時(shí)，實(shí)心球行進(jìn)至最高點(diǎn)3(1)求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；(2)根據(jù)蘭州市高中階段學(xué)校招生體有考試評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（女生），投擲過(guò)程中，實(shí)心球從起點(diǎn)到落地點(diǎn)的水平距離大于等于6.70m，此項(xiàng)考試得分為滿(mǎn)分10分．該女生在此項(xiàng)考試中是否得滿(mǎn)分，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為y=?4(2)該女生在此項(xiàng)考試中是得滿(mǎn)分，理由見(jiàn)解析．【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)出y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，再用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；（2）根據(jù)該同學(xué)此次投擲實(shí)心球的成績(jī)就是實(shí)心球落地時(shí)的水平距離，令y=0，解方程即可求解．【詳解】（1）解∶∵當(dāng)水平距離為3m時(shí)，實(shí)心球行進(jìn)至最高點(diǎn)3m處，∴設(shè)y=ax?3∵y=ax?32+3∴5解得∶a=?∴y=?4∴y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為y=?4（2）解：該女生在此項(xiàng)考試中是得滿(mǎn)分，理由如下∶∵對(duì)于二次函數(shù)y=?427x2∴4x解得∶x1=15∵152∴該女生在此項(xiàng)考試中是得滿(mǎn)分．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用和一元二次方程的解法，利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析是是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2025·浙江紹興·統(tǒng)考中考真題）如圖1，排球場(chǎng)長(zhǎng)為18m，寬為9m，網(wǎng)高為2.24m．隊(duì)員站在底線O點(diǎn)處發(fā)球，球從點(diǎn)O的正上方1.9m的C點(diǎn)發(fā)出，運(yùn)動(dòng)路線是拋物線的一部分，當(dāng)球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)A時(shí)，高度為2.88m．即BA＝2.88m．這時(shí)水平距離OB＝7m，以直線OB為x軸，直線OC為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖2．（1）若球向正前方運(yùn)動(dòng)（即x軸垂直于底線），求球運(yùn)動(dòng)的高度y（m）與水平距離x（m）之間的函數(shù)關(guān)系式（不必寫(xiě)出x取值范圍）．并判斷這次發(fā)球能否過(guò)網(wǎng)？是否出界？說(shuō)明理由；（2）若球過(guò)網(wǎng)后的落點(diǎn)是對(duì)方場(chǎng)地①號(hào)位內(nèi)的點(diǎn)P（如圖1，點(diǎn)P距底線1m，邊線0.5m），問(wèn)發(fā)球點(diǎn)O在底線上的哪個(gè)位置？（參考數(shù)據(jù)：2取1.4）【答案】（1）這次發(fā)球過(guò)網(wǎng)，但是出界了，理由詳見(jiàn)解析；（2）發(fā)球點(diǎn)O在底線上且距右邊線0.1米處．【分析】（1）求出拋物線表達(dá)式，再確定x＝9和x＝18時(shí)，對(duì)應(yīng)函數(shù)的值即可求解；（2）當(dāng)y＝0時(shí)，y＝﹣150（x﹣7）2+2.88＝0，解得：x＝19或﹣5（舍去﹣5），求出PQ＝62【詳解】（1）設(shè)拋物線的表達(dá)式為：y＝a（x﹣7）2+2.88，將x＝0，y＝1.9代入上式并解得：a＝﹣150故拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣150（x﹣7）2當(dāng)x＝9時(shí)，y＝﹣150（x﹣7）2當(dāng)x＝18時(shí)，y＝﹣150（x﹣7）2故這次發(fā)球過(guò)網(wǎng)，但是出界了；（2）如圖，分別過(guò)點(diǎn)作底線、邊線的平行線PQ、OQ交于點(diǎn)Q，在Rt△OPQ中，OQ＝18﹣1＝17，當(dāng)y＝0時(shí)，y＝﹣150（x﹣7）2+2.88＝0，解得：x∴OP＝19，而OQ＝17，故PQ＝62＝8.4，∵9﹣8.4﹣0.5＝0.1，∴發(fā)球點(diǎn)O在底線上且距右邊線0.1米處.【點(diǎn)睛】此題考查求二次函數(shù)的解析式，利用自變量求對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的計(jì)算，勾股定理解直角三角形，二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用,正確理解題意，明確“能否過(guò)網(wǎng)”，“是否出界”詞語(yǔ)的含義找到解題的方向是解答此題的關(guān)鍵.【題型6空中跳躍軌跡問(wèn)題】【例6】（2025·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）一名運(yùn)動(dòng)員在10m高的跳臺(tái)進(jìn)行跳水，身體（看成一點(diǎn)）在空中的運(yùn)動(dòng)軌跡是一條拋物線，運(yùn)動(dòng)員離水面OB的高度ym與離起跳點(diǎn)A的水平距離xm之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，運(yùn)動(dòng)員離起跳點(diǎn)A的水平距離為1m時(shí)達(dá)到最高點(diǎn)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)員離起跳點(diǎn)A的水平距離為

(1)求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；(2)求運(yùn)動(dòng)員從起跳點(diǎn)到入水點(diǎn)的水平距離OB的長(zhǎng)．【答案】(1)y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為y=?x(2)運(yùn)動(dòng)員從起跳點(diǎn)到入水點(diǎn)的水平距離OB的長(zhǎng)為1+11【分析】（1）由題意得拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為x=1，經(jīng)過(guò)點(diǎn)0，10，（2）令y=0，解方程即可求解．【詳解】（1）解：由題意得拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為x=1，經(jīng)過(guò)點(diǎn)0，10，設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=ax∴?b2a=1∴y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為y=?x（2）解：令y=0，則?x解得x=1±11∴運(yùn)動(dòng)員從起跳點(diǎn)到入水點(diǎn)的水平距離OB的長(zhǎng)為1+11【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合并熟練掌握運(yùn)用待定系數(shù)法求拋物線的解析式是解題的關(guān)鍵．【變式6-1】（2025·四川攀枝花·統(tǒng)考中考真題）第24屆冬奧會(huì)（也稱(chēng)2025年北京冬奧會(huì)）于2025年2月4日至2月20日在中國(guó)北京舉行，北京成為了歷史上第一座既舉辦過(guò)夏奧會(huì)又舉辦過(guò)冬奧會(huì)的城市．冬奧會(huì)上跳臺(tái)滑雪是一項(xiàng)極為壯觀的運(yùn)動(dòng)．運(yùn)動(dòng)員經(jīng)過(guò)助滑、起跳、空中飛行和著陸，整個(gè)動(dòng)作連貫一致，一氣呵成，如圖，某運(yùn)動(dòng)員穿著滑雪板，經(jīng)過(guò)助滑后，從傾斜角θ=37°的跳臺(tái)A點(diǎn)以速度v0沿水平方向跳出，若忽略空氣阻力影響，水平方向速度將保持不變．同時(shí)，由于受重力作用，運(yùn)動(dòng)員沿豎直方向會(huì)加速下落，因此，運(yùn)動(dòng)員在空中飛行的路線是拋物線的一部分，已知該運(yùn)動(dòng)員在B點(diǎn)著陸，AB=150m，且(1)求該運(yùn)動(dòng)員從跳出到著陸垂直下降了多少m？(2)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，求該拋物線表達(dá)式；(3)若該運(yùn)動(dòng)員在空中共飛行了4s，求他飛行2s后，垂直下降了多少m？【答案】(1)該運(yùn)動(dòng)員從跳出到著陸垂直下降了90m(2)y=?(3)他飛行2s后，垂直下降了22.5m【分析】（1）以A為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系．過(guò)點(diǎn)B作BD⊥y軸于點(diǎn)D．在Rt△OBD中，利用sin37°求出（2）利用勾股定理求出BD，得到點(diǎn)B坐標(biāo)，即可求出拋物線的解析式；（3）將x=?60代入（2）的解析式求出y值即可．【詳解】（1）解：如圖，以A為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系．過(guò)點(diǎn)B作BD⊥y軸于點(diǎn)D．在Rt△OBD中，OD=AB?答：該運(yùn)動(dòng)員從跳出到著陸垂直下降了90m；（2）解：在Rt△OBD中，BD=∴B(?120,?90)，由題意拋物線頂點(diǎn)為(0,0)，經(jīng)過(guò)(?120,?90)．設(shè)拋物線的解析式為y=ax則有?90=a×(?120)∴a=?1∴拋物線的解析式為y=?1（3）解：當(dāng)x=?60時(shí)，y=?22.5，∴他飛行2s后，垂直下降了22.5m．【點(diǎn)睛】此題考查了拋物線的實(shí)際應(yīng)用，待定系數(shù)法求拋物線的解析式，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，已知自變量求函數(shù)值，正確理解題意得到對(duì)應(yīng)的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2025·河南南陽(yáng)·?？既＃┠承榧訌?qiáng)學(xué)生的身體素質(zhì)，舉行了豐富多彩的體育活動(dòng)，本周末，將舉行“跳大繩”比賽，比賽規(guī)則：每班選擇兩名學(xué)生在距離10m的位置搖動(dòng)大繩，大繩下至少有10名學(xué)生同時(shí)跳繩，按同時(shí)跳繩的時(shí)間計(jì)算名次．九（2）班選擇小明和小亮搖動(dòng)大繩，在訓(xùn)練中發(fā)現(xiàn)，他們持繩點(diǎn)距地面均為1m，大繩在最高處時(shí)，大繩的形狀可近似看作拋物線，如圖，以小明的持繩點(diǎn)的豎直方向?yàn)閥軸，以水平地面為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，小明和小亮的持繩點(diǎn)分別為點(diǎn)A和點(diǎn)B，在離點(diǎn)O的水平距離為5m

(1)求該拋物線的函數(shù)解析式；(2)為增加比賽的觀賞性，九（2）班準(zhǔn)備選擇若干名身高均為1.75m的同學(xué)參與跳繩，已知每位同學(xué)在繩下的距離均為0.5【答案】(1)y=?125x?5(2)能夠達(dá)到比賽的要求，見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)