專題18幾何圖形初步【十二大題型】TOC\o"1-3"\h\u【題型1從不同方向看幾何體】 3【題型2由展開(kāi)圖計(jì)算幾何體的表面積、體積】 4【題型3正方體的展開(kāi)圖】 5【題型4兩點(diǎn)之間的距離】 6【題型5與線段中點(diǎn)有關(guān)的計(jì)算】 7【題型6角平分線的相關(guān)計(jì)算】 7【題型7與余角、補(bǔ)角、對(duì)頂角有關(guān)的計(jì)算】 9【題型8利用平行線的判定進(jìn)行證明】 10【題型9平行線判定或性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用】 11【題型10由平行線的性質(zhì)求解】 12【題型11根據(jù)平行線性質(zhì)與判定求角度】 13【題型12根據(jù)平行線性質(zhì)與判定證明】 14【知識(shí)點(diǎn)幾何圖形初步】1.直線、射線、線段(1)直線：經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有一條直線，并且只有一條直線。簡(jiǎn)稱：兩點(diǎn)確定一條直線。(2)相交線：當(dāng)兩條不同的直線有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，我們就稱這兩條直線相交。這個(gè)公共點(diǎn)叫做它們的交點(diǎn)。(3)兩點(diǎn)的所有連線中，線段最短。簡(jiǎn)稱：兩點(diǎn)之間，線段最短。連接兩點(diǎn)間的線段的長(zhǎng)度，叫做這兩點(diǎn)的距離。(4)線段的中點(diǎn)：線段上的一個(gè)點(diǎn)把線段分成相等的兩條線段，這個(gè)點(diǎn)叫做線段的中點(diǎn)。(5)直線沒(méi)有端點(diǎn)，向兩方無(wú)限延伸，不可度量；射線有一個(gè)端點(diǎn)，向一方無(wú)限延伸，不可度量；線段有兩個(gè)端點(diǎn)，不向任何一方延伸，能度量。2.角(1)定義：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角。這個(gè)公共端點(diǎn)是角的頂點(diǎn)，兩條射線是角的兩條邊。(2)角的度量1°=60′1′=60″(3)角的分類①銳角(0°<α<90°)②直角(α=90°)③鈍角(90°<α<180°)④平角(α=180°)⑤周角(α=360°)(4)角的平分線：從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角的射線，叫做這個(gè)角的平分線。(5)角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上。(6)余角與補(bǔ)角余角：一般地，如果兩個(gè)角的和等于90°(直角)，就說(shuō)這兩個(gè)角互為余角。補(bǔ)角：如果兩個(gè)角的和等于180°(平角)，就說(shuō)這兩個(gè)角互為補(bǔ)角。性質(zhì)：同角(等角)的余角相等。同角(等角)的補(bǔ)角相等。3.鄰補(bǔ)角與對(duì)頂角鄰補(bǔ)角：有一條公共邊，另一邊互為反向延長(zhǎng)線的兩個(gè)角，叫做互為鄰補(bǔ)角。對(duì)頂角：有一個(gè)公共頂點(diǎn)，一個(gè)角的兩邊分別是另一個(gè)角的兩邊的反向延長(zhǎng)線，這兩個(gè)角叫做對(duì)頂角。注：對(duì)頂角相等。如：∠1和∠2互為鄰補(bǔ)角，∠2和∠3互為對(duì)頂角。4.垂線(1)定義：兩直線相交所構(gòu)成的四個(gè)角中有一個(gè)角是直角時(shí)，我們就說(shuō)這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另外一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足。(2)性質(zhì)：在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直；連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短。(3)點(diǎn)到直線的距離：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離。3.同位角.內(nèi)錯(cuò)角.同旁內(nèi)角如圖，∠1和∠4是同位角，∠3和∠4是內(nèi)錯(cuò)角，∠2和∠4是同旁內(nèi)角。5.平行線(1)定義：在平面內(nèi)不相交的兩條直線叫做平行線。(2)平行公理經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行；如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。(3)平行線的性質(zhì)兩直線平行，同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等；兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。(4)平行線的判定同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行。兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行；兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行；兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行?！绢}型1從不同方向看幾何體】【例1】（2025·湖南·統(tǒng)考中考真題）作為中國(guó)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一的紫砂壺，成型工藝特別，造型式樣豐富，陶器色澤古樸典雅，從一個(gè)方面鮮明地反映了中華民族造型審美意識(shí)．如圖是一把做工精湛的紫砂壺“景舟石瓢”，下面四幅圖是從左面看到的圖形的是（）A． B．C． D．【變式1-1】（2025·海南省直轄縣級(jí)單位·統(tǒng)考一模）用3個(gè)同樣的小正方體擺出的幾何體，從三個(gè)方向看到的圖形分別如下圖：

這個(gè)幾何體是（

）．A．

B．

C．

D．

【變式1-2】（2025·湖北省直轄縣級(jí)單位·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖所示是由五個(gè)大小相同的正方體搭成的幾何體，則關(guān)于它從正面看、從左面看、從上面看到的平面圖形，下列說(shuō)法正確的是（）

A．從正面看的圖形面積最小 B．從上面看的圖形面積最小C．從左面看的圖形面積最小 D．從三個(gè)方向看的圖形面積一樣大【變式1-3】（2025·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考二模）由一些大小相同的小正方體搭成的幾何體的左視圖和主視圖如圖所示，則搭成這個(gè)幾何體的小正方體的個(gè)數(shù)最少是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【題型2由展開(kāi)圖計(jì)算幾何體的表面積、體積】【例2】（2025·江蘇無(wú)錫·統(tǒng)考中考真題）若直三棱柱的上下底面為正三角形，側(cè)面展開(kāi)圖是邊長(zhǎng)為6的正方形，則該直三棱柱的表面積為．【變式2-1】（2025·四川·統(tǒng)考中考真題）某商品的外包裝盒的三視圖如圖所示，則這個(gè)包裝盒的體積是（）A．200πcm3 B．500πcm3 C．1000πcm3 D．2000πcm3【變式2-2】（2025·湖北·中考真題）如圖是一個(gè)幾何體的三視圖（圖中尺寸單位：cm），根據(jù)圖中所示數(shù)據(jù)計(jì)算這個(gè)幾何體的表面積為cm2．【變式2-3】（2025·廣西南寧·統(tǒng)考一模）學(xué)習(xí)《設(shè)計(jì)制作長(zhǎng)方體形狀的包裝紙盒》后，小寧從長(zhǎng)方形硬紙片上截去兩個(gè)矩形（圖中陰影部分），再沿虛線折成一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體紙盒．紙片長(zhǎng)為30cm，寬為18cm，AD=A．960cm3 B．800cm3 C．【題型3正方體的展開(kāi)圖】【例3】（2025·湖南益陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）下列正方體的展開(kāi)圖中，是軸對(duì)稱圖形的是（

）A．

B．

C．

D．

【變式3-1】（2025·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）某同學(xué)學(xué)習(xí)了正方體的表面展開(kāi)圖后，在如圖所示的正方體的表面展開(kāi)圖上寫下了“傳承紅色文化”六個(gè)字，還原成正方體后，“紅”的對(duì)面是（

）

A．傳 B．承 C．文 D．化【變式3-2】（2025·山東·統(tǒng)考中考真題）如圖是一正方體的表面展開(kāi)圖．將其折疊成正方體后，與頂點(diǎn)K距離最遠(yuǎn)的頂點(diǎn)是（）

A．A點(diǎn) B．B點(diǎn) C．C點(diǎn) D．D點(diǎn)【變式3-3】（2025·山東青島·統(tǒng)考中考真題）一個(gè)不透明小立方塊的六個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，其展開(kāi)圖如圖①所示．在一張不透明的桌子上，按圖②方式將三個(gè)這樣的小立方塊搭成一個(gè)幾何體，則該幾何體能看得到的面上數(shù)字之和最小是（）

A．31 B．32 C．33 D．34【題型4兩點(diǎn)之間的距離】【例4】（2025·山東·中考真題）已知線段AB=8cm，在直線AB上畫線段BC，使它等于3cm，則線段AC=cm．【變式4-1】（2025·重慶江津·重慶市江津中學(xué)校?？级＃┤鐖D，A、B、C、D依次是直線m上的四個(gè)點(diǎn)，且線段AB+CD=5，則線段AD?BC=【變式4-2】（2025·四川·中考真題）直線上依次有A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)，AD=7，AB=2，若AB，BC，CD可構(gòu)成以BC為腰的等腰三角形，則BC的長(zhǎng)為．【變式4-3】（2025·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，M是線段AB上一定點(diǎn)，AB=12cm，C，D兩點(diǎn)分別從點(diǎn)M，B出發(fā)以1cm/s，2cm/s的速度沿直線BA向左運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方向如箭頭所示（點(diǎn)C（1）當(dāng)點(diǎn)C，D運(yùn)動(dòng)了2s時(shí)，求AC+MD的值．（2）若點(diǎn)C，D運(yùn)時(shí)，總有MD=2AC，則AM=_______．（3）在（2）的條件下，N是直線AB上一點(diǎn)，且AN?BN=MN，求MNAB【題型5與線段中點(diǎn)有關(guān)的計(jì)算】【例5】（2025·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）A、B、C、D四個(gè)車站的位置如圖所示．

(1)A、C兩站的距離；(2)C、D兩站的距離；(3)若a=6，C為AD的中點(diǎn)，求b的值．【變式5-1】（2025·寧夏·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)A，B，C在數(shù)軸上，點(diǎn)A表示的數(shù)是?1，點(diǎn)B是AC的中點(diǎn)，線段AB=2，則點(diǎn)C表示的數(shù)是

【變式5-2】（2025·河南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)C是線段AB上的點(diǎn)，點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，若AB=12，AC=8，則CD=．【變式5-3】（2025·河北滄州·校考模擬預(yù)測(cè)）有兩道作圖題：①“延長(zhǎng)線段AB到C，使BC=AB”；②“反向延長(zhǎng)線段DE，使點(diǎn)D是線段EF的一個(gè)三等分點(diǎn)”．小明正確的作出了圖形．他的兩個(gè)同學(xué)嘉嘉、淇淇展開(kāi)了討論：嘉嘉說(shuō)：“點(diǎn)B是線段AC中點(diǎn)”；淇淇說(shuō)：“如果線段DE=xcm，那么線段EF=3xcm”，下列說(shuō)法正確的是(

)A．嘉嘉對(duì)，淇淇不對(duì) B．嘉嘉不對(duì)，淇淇對(duì)C．嘉嘉、淇淇都不對(duì) D．嘉嘉、淇淇都對(duì)【題型6角平分線的相關(guān)計(jì)算】【例6】（2025·山東·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線AC∥BD，AO、BO分別是∠BAC、∠ABD的平分線，那么∠BAO與∠ABO之間的大小關(guān)系一定為（）A．互余 B．相等 C．互補(bǔ) D．不等【變式6-1】（2025·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）如圖1所示∠AOB的紙片，OC平分∠AOB，如圖2把∠AOB沿OC對(duì)折成∠COB（OA與OB重合），從O點(diǎn)引一條射線OE，使∠BOE=12∠EOC，再沿OE把角剪開(kāi)，若剪開(kāi)后得到的3個(gè)角中最大的一個(gè)角為76°，則∠AOB=

【變式6-2】（2025·河南·中考真題）如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，射線OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠AOM=35°，則∠CON的度數(shù)為（）A．35° B．45° C．55° D．65°【變式6-3】（2025·湖南張家界·統(tǒng)考中考真題）如圖，AO為∠BAC的平分線，且∠BAC=50°，將四邊形ABOC繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后，得到四邊形AB′O′C′，且

【題型7與余角、補(bǔ)角、對(duì)頂角有關(guān)的計(jì)算】【例7】（2025·內(nèi)蒙古呼和浩特·統(tǒng)考中考真題）如圖，直角三角板的直角頂點(diǎn)落在矩形紙片的一邊上．若∠1=68°，則∠2的度數(shù)是（

）

A．30° B．32° C．22° D．68°【變式7-1】（2025·四川樂(lè)山·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)O在直線AB上，OD是∠BOC的平分線，若∠AOC=140°，則∠BOD的度數(shù)為．

【變式7-2】（2025·河南·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，若∠1=80°，∠2=30°，則∠AOE的度數(shù)為（

）

A．30° B．50° C．60° D．80°【變式7-3】（2025·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知正方形ABCD和正方形BEFG，點(diǎn)G在AD上，GF與CD交于點(diǎn)H，tan∠ABG=12，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8，則BH

【題型8利用平行線的判定進(jìn)行證明】【例8】（2025·貴州·統(tǒng)考中考真題）已知：如圖，點(diǎn)A、D、C、B在同一條直線上，AD=BC，AE=BF，CE=DF，求證：AE∥BF．

【變式8-1】（2025·江蘇揚(yáng)州·校考二模）完成下面的證明：已知：如圖，∠1=30°，∠B=60°，AB⊥AC．求證：AD∥證明：∵AB⊥AC（已知），∴∠BAC=90°（），∴在△ABC中，∠B+∠ACB=90°（），∵∠B=60°（已知），∴∠ACB=30°，∵∠1=30°，∴=（），∴AD∥BC（【變式8-2】（2025·陜西西安·統(tǒng)考一模）如圖，AD，BC相交于點(diǎn)O，OB=OC，OA=OD，延長(zhǎng)AD到F，延長(zhǎng)DA到E，AE=DF，連接

【變式8-3】（2025·湖北荊州·統(tǒng)考中考真題）如圖，將△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度得到ΔDBE，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E恰好落在AB的延長(zhǎng)線上，連接AD．（1）求證：BC//AD；（2）若AB=4，BC=1，求A，C兩點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)之和．【題型9平行線判定或性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用】【例9】（2025·四川涼山·統(tǒng)考中考真題）光線在不同介質(zhì)中的傳播速度是不同的，因此光線從水中射向空氣時(shí)，要發(fā)生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光線，在空氣中也是平行的．如圖，∠1=45°,∠2=120°，則∠3+∠4=（

）

A．165° B．155° C．105° D．90°【變式9-1】（2025·安徽滁州·?？家荒＃緮?shù)學(xué)抽象】實(shí)驗(yàn)證明：平面鏡反射光線的規(guī)律是射到平面鏡上的光線和被反射出的光線與平面鏡所夾的銳角相等，如圖①，一束光線m射到平面鏡a上，被a反射后的光線為n，則入射光線m，反射光線n與平面鏡a所夾的銳角相等，即∠1=∠2．(1)利用這個(gè)規(guī)律人們制作了潛望鏡，圖②是潛望鏡工作原理示意圖，AB、CD是平行放置的兩面平面鏡，請(qǐng)解釋進(jìn)入潛望鏡的光線m為什么和離開(kāi)潛望鏡的光線n是平行的？(2)如圖③，改變兩平面鏡之間的位置關(guān)系，經(jīng)過(guò)兩次反射后，入射光線m與反射光線n之間的位置關(guān)系會(huì)隨之改變．若入射光線m與反射光線n平行但方向相反，則兩平面鏡的夾角∠ABC為多少度？【變式9-2】（2025·山西呂梁·統(tǒng)考三模）如圖所示是地球截面圖，其中AB，EF分別表示南回歸線和北回歸線，CD表示赤道，點(diǎn)P表示太原市的位置．現(xiàn)已知地球南回歸線的緯度是南緯23°26′∠BOD=23°26′，太原市的緯度是北緯37°32′∠POD=37°32′，而冬至正午時(shí)，太陽(yáng)光直射南回歸線（光線

【變式9-3】（2025·河北邯鄲·統(tǒng)考一模）為了亮化某景點(diǎn)，石家莊市在兩條筆直且互相平行的景觀道MN、QP上分別放置A、B兩盞激光燈，如圖所示．A燈發(fā)出的光束自AM逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AN便立即回轉(zhuǎn)，B燈發(fā)出的光束自BP逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至BQ便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不間斷照射，A燈每秒轉(zhuǎn)動(dòng)30°，B燈每秒轉(zhuǎn)動(dòng)10°，B燈先轉(zhuǎn)動(dòng)2秒，A燈才開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)B燈光束第一次到達(dá)BQ之前，兩燈的光束互相平行時(shí)A燈旋轉(zhuǎn)的時(shí)間是（）A．1或6秒 B．8.5秒 C．1或8.5秒 D．2或6秒【題型10由平行線的性質(zhì)求解】【例10】（2025·西藏·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知a∥b，點(diǎn)A在直線a上，點(diǎn)B，C在直線b上，∠BAC=90°，∠1=30°，則∠2的度數(shù)是（

A．30° B．45° C．60° D．75°【變式10-1】（2025·湖南永州·統(tǒng)考中考真題）如圖，AB∥CD,BC∥ED,∠B=80°，則∠D=度．

【變式10-2】（2025·遼寧盤錦·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線AB∥CD，將一個(gè)含60°角的直角三角尺EGF按圖中方式放置，點(diǎn)E在AB上，邊GF、EF分別交CD于點(diǎn)H、K，若∠BEF=64°，則∠GHC等于（

A．44° B．34° C．24° D．14°【變式10-3】（2025·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，若DE∥BC,FG∥AC,∠BDE=120°,∠DFG=115°，則∠C=°．

【題型11根據(jù)平行線性質(zhì)與判定求角度】【例11】（2025·湖北荊州·統(tǒng)考中考真題）如圖所示的“箭頭”圖形中，AB∥CD，∠B=∠D=80°，

A．80° B．76° C．66°【變式11-1】（2025·浙江·校聯(lián)考中考模擬）如圖所示，是我們生活中經(jīng)常接觸的小刀，刀柄外形是一個(gè)直角梯形（挖去一小半圓），刀片上下是平行的，轉(zhuǎn)動(dòng)刀片時(shí)會(huì)形成∠1、∠2，則∠1+∠2=．【變式11-2】（2025·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知AB是⊙O的直徑，BC為弦，過(guò)圓心O作OD⊥BC交弧BC于點(diǎn)D，連接DC，若∠DCB＝34°，則∠BAC＝．【變式11-3】（2025·河南周口·校聯(lián)考二模）已知一個(gè)零刻度落在點(diǎn)A的量角器（半圓O）的直徑為AB，一等腰直角三角板繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)．

(1)如圖1所示，當(dāng)?shù)妊苯侨前宓男边吔话雸A于C點(diǎn)，一直邊交半圓于D點(diǎn)，另一直邊交半圓于E點(diǎn)，若點(diǎn)C在量角器上的讀數(shù)為25°，求此時(shí)點(diǎn)E在量角器上的讀數(shù)；(2)如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)C、D在量角器上的讀數(shù)α、β滿足什么關(guān)系時(shí)，直角邊與半圓O相切于點(diǎn)D？請(qǐng)說(shuō)明理由．【題型12根據(jù)平行線性質(zhì)與判定證明】【例12】（2025·山西呂梁·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知AB∥CD，射線AH交BC于點(diǎn)F，交CD于點(diǎn)D，從D點(diǎn)引一條射線DE，若∠1=∠2，求證：∠B+∠CDE=180°．對(duì)于上述問(wèn)題，請(qǐng)?jiān)谝韵陆獯疬^(guò)程的空白處填上適當(dāng)?shù)膬?nèi)容（理由或數(shù)學(xué)式）．證明：∵∠1=∠2（已知），且∠1=∠BFH（對(duì)頂角相等），∴∠BFD=（

）（等量代換）．∴BC∥（

）．∴∠C+∠CDE=180°（

）．又∵AB∥CD（已知），∴∠B=（

）（兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等）．∴∠B+∠CDE=180°．【變式12-1】（2025·寧夏·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知EF∥AC，B，D分別是AC和EF上的點(diǎn)，∠EDC=∠CBE．求證：四邊形BCDE是平行四邊形．

【變式12-2】（2025·遼寧大連·統(tǒng)考二模）如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，BC上，點(diǎn)G，H在BD上，DE=BF，DH=BG．求證：EH∥

【變式12-3】（2025·江蘇南京·校聯(lián)考一模）如圖1，AB∥CD，點(diǎn)E，F(xiàn)在AB上，點(diǎn)G在CD上，點(diǎn)P在AB，(1)求證：PF∥(2)如圖2，EN平分∠AEG交CD于點(diǎn)N，PG∥EN，F(xiàn)M平分∠PFB，∠NEG:∠MFB=11:7，求(3)如圖3，EN平分∠AEG交CD于點(diǎn)N，PG∥EN，F(xiàn)M平分∠PFB，GM平分∠PGD，F(xiàn)M，GM交于點(diǎn)M，∠NEG:∠MFB=x:y，∠FMG=50°，直接寫出

專題18幾何圖形初步【十二大題型】TOC\o"1-3"\h\u【題型1從不同方向看幾何體】 3【題型2由展開(kāi)圖計(jì)算幾何體的表面積、體積】 6【題型3正方體的展開(kāi)圖】 8【題型4兩點(diǎn)之間的距離】 11【題型5與線段中點(diǎn)有關(guān)的計(jì)算】 13【題型6角平分線的相關(guān)計(jì)算】 16【題型7與余角、補(bǔ)角、對(duì)頂角有關(guān)的計(jì)算】 19【題型8利用平行線的判定進(jìn)行證明】 21【題型9平行線判定或性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用】 24【題型10由平行線的性質(zhì)求解】 29【題型11根據(jù)平行線性質(zhì)與判定求角度】 31【題型12根據(jù)平行線性質(zhì)與判定證明】 35【知識(shí)點(diǎn)幾何圖形初步】1.直線、射線、線段(1)直線：經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有一條直線，并且只有一條直線。簡(jiǎn)稱：兩點(diǎn)確定一條直線。(2)相交線：當(dāng)兩條不同的直線有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，我們就稱這兩條直線相交。這個(gè)公共點(diǎn)叫做它們的交點(diǎn)。(3)兩點(diǎn)的所有連線中，線段最短。簡(jiǎn)稱：兩點(diǎn)之間，線段最短。連接兩點(diǎn)間的線段的長(zhǎng)度，叫做這兩點(diǎn)的距離。(4)線段的中點(diǎn)：線段上的一個(gè)點(diǎn)把線段分成相等的兩條線段，這個(gè)點(diǎn)叫做線段的中點(diǎn)。(5)直線沒(méi)有端點(diǎn)，向兩方無(wú)限延伸，不可度量；射線有一個(gè)端點(diǎn)，向一方無(wú)限延伸，不可度量；線段有兩個(gè)端點(diǎn)，不向任何一方延伸，能度量。2.角(1)定義：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角。這個(gè)公共端點(diǎn)是角的頂點(diǎn)，兩條射線是角的兩條邊。(2)角的度量1°=60′1′=60″(3)角的分類①銳角(0°<α<90°)②直角(α=90°)③鈍角(90°<α<180°)④平角(α=180°)⑤周角(α=360°)(4)角的平分線：從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角的射線，叫做這個(gè)角的平分線。(5)角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上。(6)余角與補(bǔ)角余角：一般地，如果兩個(gè)角的和等于90°(直角)，就說(shuō)這兩個(gè)角互為余角。補(bǔ)角：如果兩個(gè)角的和等于180°(平角)，就說(shuō)這兩個(gè)角互為補(bǔ)角。性質(zhì)：同角(等角)的余角相等。同角(等角)的補(bǔ)角相等。3.鄰補(bǔ)角與對(duì)頂角鄰補(bǔ)角：有一條公共邊，另一邊互為反向延長(zhǎng)線的兩個(gè)角，叫做互為鄰補(bǔ)角。對(duì)頂角：有一個(gè)公共頂點(diǎn)，一個(gè)角的兩邊分別是另一個(gè)角的兩邊的反向延長(zhǎng)線，這兩個(gè)角叫做對(duì)頂角。注：對(duì)頂角相等。如：∠1和∠2互為鄰補(bǔ)角，∠2和∠3互為對(duì)頂角。4.垂線(1)定義：兩直線相交所構(gòu)成的四個(gè)角中有一個(gè)角是直角時(shí)，我們就說(shuō)這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另外一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足。(2)性質(zhì)：在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直；連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短。(3)點(diǎn)到直線的距離：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離。3.同位角.內(nèi)錯(cuò)角.同旁內(nèi)角如圖，∠1和∠4是同位角，∠3和∠4是內(nèi)錯(cuò)角，∠2和∠4是同旁內(nèi)角。5.平行線(1)定義：在平面內(nèi)不相交的兩條直線叫做平行線。(2)平行公理經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行；如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。(3)平行線的性質(zhì)兩直線平行，同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等；兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。(4)平行線的判定同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行。兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行；兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行；兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行?！绢}型1從不同方向看幾何體】【例1】（2025·湖南·統(tǒng)考中考真題）作為中國(guó)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一的紫砂壺，成型工藝特別，造型式樣豐富，陶器色澤古樸典雅，從一個(gè)方面鮮明地反映了中華民族造型審美意識(shí)．如圖是一把做工精湛的紫砂壺“景舟石瓢”，下面四幅圖是從左面看到的圖形的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查了從三個(gè)方面看物體，準(zhǔn)確把握從正面、左面和上面三個(gè)方向看立體圖形得到的平面圖形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．從正面、左面和上面三個(gè)方向看立體圖形得到的平面圖形，注意所有的看到的或看不到的棱都應(yīng)表現(xiàn)在視圖中，看得見(jiàn)的用實(shí)線，看不見(jiàn)的用虛線，虛實(shí)重合用實(shí)線．【詳解】解：從左面看，得到的平面圖形是，故選：B．【變式1-1】（2025·海南省直轄縣級(jí)單位·統(tǒng)考一模）用3個(gè)同樣的小正方體擺出的幾何體，從三個(gè)方向看到的圖形分別如下圖：

這個(gè)幾何體是（

）．A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】結(jié)合從不同方向看幾何體的圖形作出判斷即可．【詳解】解：根據(jù)從正面看到的圖形，可以將A、C、D排除，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了由不同方向看判斷幾何體的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是能夠弄懂從不同方向看幾何體分別是從哪里看到的．【變式1-2】（2025·湖北省直轄縣級(jí)單位·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖所示是由五個(gè)大小相同的正方體搭成的幾何體，則關(guān)于它從正面看、從左面看、從上面看到的平面圖形，下列說(shuō)法正確的是（）

A．從正面看的圖形面積最小 B．從上面看的圖形面積最小C．從左面看的圖形面積最小 D．從三個(gè)方向看的圖形面積一樣大【答案】C【分析】分別作出從正面看、從左面看、從上面看到的平面圖形，然后結(jié)合選項(xiàng)判斷其面積大小即可．【詳解】解：該圖形的從正面看到的平面圖形為：

該圖形的從左面看到的平面圖形為：

該圖形的從上面看到的平面圖形為：

可知從左面看到的平面圖形面積最小，從正面看到的平面圖形面積和從上面看到的平面圖形面積一樣大，故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了從不同的方向看簡(jiǎn)單組合體，解題的關(guān)鍵是畫出這個(gè)組合體從不同方向看的圖形．【變式1-3】（2025·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考二模）由一些大小相同的小正方體搭成的幾何體的左視圖和主視圖如圖所示，則搭成這個(gè)幾何體的小正方體的個(gè)數(shù)最少是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】作出相應(yīng)的俯視圖，標(biāo)出搭成該幾何體的小正方體的個(gè)數(shù)最少時(shí)的數(shù)字即可．【詳解】由所給的主視圖和左視圖可知：搭成這個(gè)幾何體的小正方體的個(gè)數(shù)最少5個(gè)，故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了由三視圖判斷幾何體，解題的關(guān)鍵是對(duì)知識(shí)點(diǎn)的記憶、理解能力．【題型2由展開(kāi)圖計(jì)算幾何體的表面積、體積】【例2】（2025·江蘇無(wú)錫·統(tǒng)考中考真題）若直三棱柱的上下底面為正三角形，側(cè)面展開(kāi)圖是邊長(zhǎng)為6的正方形，則該直三棱柱的表面積為．【答案】36+23/【分析】根據(jù)題意得出正三角形的邊長(zhǎng)為2，進(jìn)而根據(jù)表面積等于兩個(gè)底面積加上側(cè)面正方形的面積即可求解．【詳解】解：∵側(cè)面展開(kāi)圖是邊長(zhǎng)為6的正方形，∴底面周長(zhǎng)為6，∵底面為正三角形，∴正三角形的邊長(zhǎng)為2作CD⊥AB，∵△ABC是等邊三角形，AB=BC=AC=2，∴AD=1，∴在直角ΔADCCD=A∴S

∴該直三棱柱的表面積為6×6+23故答案為：36+23【點(diǎn)睛】本題考查了三棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖的面積，等邊三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2025·四川·統(tǒng)考中考真題）某商品的外包裝盒的三視圖如圖所示，則這個(gè)包裝盒的體積是（）A．200πcm3 B．500πcm3 C．1000πcm3 D．2000πcm3【答案】B【詳解】試題分析：根據(jù)圖示，可得商品的外包裝盒是底面直徑是10cm，高是20cm的圓柱，∴這個(gè)包裝盒的體積是：π×(10÷2)2×20=500π考點(diǎn)：由三視圖判斷幾何體．【變式2-2】（2025·湖北·中考真題）如圖是一個(gè)幾何體的三視圖（圖中尺寸單位：cm），根據(jù)圖中所示數(shù)據(jù)計(jì)算這個(gè)幾何體的表面積為cm2．【答案】4π．【分析】由主視圖和左視圖確定是柱體，錐體還是球體，再由俯視圖確定具體形狀，確定圓錐的母線長(zhǎng)和底面半徑，從而確定其表面積．【詳解】由主視圖和左視圖為三角形判斷出是錐體，由俯視圖是圓形可判斷出這個(gè)幾何體應(yīng)該是圓錐；根據(jù)三視圖知：該圓錐的母線長(zhǎng)為3cm，底面半徑為1cm，故表面積=πrl+πr2=π×1×3+π×12=4πcm2．故答案為4π．【點(diǎn)睛】考查學(xué)生對(duì)三視圖掌握程度和靈活運(yùn)用能力，同時(shí)也體現(xiàn)了對(duì)空間想象能力方面的考查．【變式2-3】（2025·廣西南寧·統(tǒng)考一模）學(xué)習(xí)《設(shè)計(jì)制作長(zhǎng)方體形狀的包裝紙盒》后，小寧從長(zhǎng)方形硬紙片上截去兩個(gè)矩形（圖中陰影部分），再沿虛線折成一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體紙盒．紙片長(zhǎng)為30cm，寬為18cm，AD=A．960cm3 B．800cm3 C．【答案】D【分析】設(shè)AB=xcm，則AD=2xcm，列出關(guān)于【詳解】解：設(shè)AB=xcm，則AD=2x2x+x=18，解得：x=6，所以AB=6cm則長(zhǎng)方體的底面寬為：12所以該紙盒的容積為：12×9×6故選：D【點(diǎn)睛】此題主要考查了展開(kāi)圖折疊成幾何體及一元一次方程應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確題意，然后根據(jù)題目的數(shù)量關(guān)系列出代數(shù)式解決問(wèn)題．【題型3正方體的展開(kāi)圖】【例3】（2025·湖南益陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）下列正方體的展開(kāi)圖中，是軸對(duì)稱圖形的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義分別判斷可得出結(jié)果．【詳解】解：由軸對(duì)稱圖形定義可知：A，B，C不能找到這樣的一條直線使圖形沿著這條直線對(duì)折后兩部分完全重合，所以不是軸對(duì)稱圖形；D選項(xiàng)中的圖形能找到這樣的一條直線使圖形沿著這條直線對(duì)折后兩部分完全重合，是軸對(duì)稱圖形，故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要是考查了軸對(duì)稱圖形的定義，如果一個(gè)圖形沿著一條直線對(duì)折后兩部分完全重合，那么這樣的圖形就叫做軸對(duì)稱圖形．【變式3-1】（2025·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）某同學(xué)學(xué)習(xí)了正方體的表面展開(kāi)圖后，在如圖所示的正方體的表面展開(kāi)圖上寫下了“傳承紅色文化”六個(gè)字，還原成正方體后，“紅”的對(duì)面是（

）

A．傳 B．承 C．文 D．化【答案】D【分析】正方體的平面展開(kāi)圖中，相對(duì)面的特點(diǎn)是之間一定相隔一個(gè)正方形，據(jù)此作答．【詳解】解：∵正方體的平面展開(kāi)圖中，相對(duì)面的特點(diǎn)是之間一定相隔一個(gè)正方形，∴在此正方體上與“紅”字相對(duì)的面上的漢字是“化”．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了正方體的展開(kāi)圖形，解題關(guān)鍵是從相對(duì)面入手進(jìn)行分析及解答問(wèn)題．【變式3-2】（2025·山東·統(tǒng)考中考真題）如圖是一正方體的表面展開(kāi)圖．將其折疊成正方體后，與頂點(diǎn)K距離最遠(yuǎn)的頂點(diǎn)是（）

A．A點(diǎn) B．B點(diǎn) C．C點(diǎn) D．D點(diǎn)【答案】D【分析】根據(jù)題意畫出立體圖形，即可求解．【詳解】解：折疊之后如圖所示，

則K與點(diǎn)D的距離最遠(yuǎn)，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了正方體的展開(kāi)與折疊，學(xué)生需要有一定的空間想象能力．【變式3-3】（2025·山東青島·統(tǒng)考中考真題）一個(gè)不透明小立方塊的六個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，其展開(kāi)圖如圖①所示．在一張不透明的桌子上，按圖②方式將三個(gè)這樣的小立方塊搭成一個(gè)幾何體，則該幾何體能看得到的面上數(shù)字之和最小是（）

A．31 B．32 C．33 D．34【答案】B【分析】根據(jù)正方體展開(kāi)圖的特征，得出相對(duì)面上的數(shù)字，再結(jié)合正方體擺放方式，得出使該幾何體能看得到的面上數(shù)字之和最小，則看不見(jiàn)的面數(shù)字之和要最大，即可解答．【詳解】解：由圖①可知：1的相對(duì)面是3，2的相對(duì)面是4，5的相對(duì)面是6，由圖2可知：要使該幾何體能看得到的面上數(shù)字之和最小，則看不見(jiàn)的面數(shù)字之和要最大，上面的正方體有一個(gè)面被遮住，則這個(gè)面數(shù)字為6，能看見(jiàn)的面數(shù)字之和為：1+2+3+4+5=15；左下的正方體有3個(gè)面被遮住，其中兩個(gè)為相對(duì)面，則這三個(gè)面數(shù)字分別為4，5，6，能看見(jiàn)的面數(shù)字之和為：1+2+3=6；右下的正方體有2個(gè)面被遮住，這兩個(gè)面不是相對(duì)面，則這兩個(gè)面數(shù)字為4，6，能看見(jiàn)的面數(shù)字之和為：1+2+3+5=11；∴能看得到的面上數(shù)字之和最小為：15+6+11=32，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方體的相對(duì)面，掌握正方體展開(kāi)圖中“相間一行是相對(duì)面”，是解題的關(guān)鍵．【題型4兩點(diǎn)之間的距離】【例4】（2025·山東·中考真題）已知線段AB=8cm，在直線AB上畫線段BC，使它等于3cm，則線段AC=cm．【答案】5或11【分析】由于C點(diǎn)的位置不能確定，故要分兩種情況考慮AC的長(zhǎng)，注意不要漏解．【詳解】由于C點(diǎn)的位置不確定，故要分兩種情況討論：當(dāng)C點(diǎn)在B點(diǎn)右側(cè)時(shí)，如圖所示：AC=AB+BC=8+3=11cm；當(dāng)C點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)時(shí)，如圖所示：AC=AB﹣BC=8﹣3=5cm；所以線段AC等于11cm或5cm.【變式4-1】（2025·重慶江津·重慶市江津中學(xué)校校考二模）如圖，A、B、C、D依次是直線m上的四個(gè)點(diǎn)，且線段AB+CD=5，則線段AD?BC=【答案】5【分析】根據(jù)圖形得出AD-BC=AB+CD即可求解．【詳解】解：∵AB+CD=5，∴AD-BC=AB+CD=5．故答案為：5．【點(diǎn)睛】題目主要考查線段的和差，結(jié)合圖形求解是解題關(guān)鍵．【變式4-2】（2025·四川·中考真題）直線上依次有A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)，AD=7，AB=2，若AB，BC，CD可構(gòu)成以BC為腰的等腰三角形，則BC的長(zhǎng)為．【答案】2或2.5【分析】由AB，BC，CD可構(gòu)成以BC為腰的等腰三角形，分BC=AB或BC=CD兩種情況結(jié)合已知條件進(jìn)行求解即可得.【詳解】解：如圖∵AB=2，AD=7，∴BD=BC+CD=AD-AB=5，∵AB，BC，CD可構(gòu)成以BC為腰的等腰三角形，∴BC=AB或BC=CD，∴BC=2或BC=2.5，故答案為2或2.5.【點(diǎn)睛】本題考查了線段的和差，等腰三角形的概念，關(guān)鍵是根據(jù)等腰三角形的腰相等分兩種情況進(jìn)行討論.【變式4-3】（2025·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，M是線段AB上一定點(diǎn)，AB=12cm，C，D兩點(diǎn)分別從點(diǎn)M，B出發(fā)以1cm/s，2cm/s的速度沿直線BA向左運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方向如箭頭所示（點(diǎn)C（1）當(dāng)點(diǎn)C，D運(yùn)動(dòng)了2s時(shí)，求AC+MD的值．（2）若點(diǎn)C，D運(yùn)時(shí)，總有MD=2AC，則AM=_______．（3）在（2）的條件下，N是直線AB上一點(diǎn)，且AN?BN=MN，求MNAB【答案】（1）6cm；（2）4；（3）13【分析】（1）由題意得CM=2cm，BD=4cm，根據(jù)AC+MD=AM-CM+BM-BD=AB-CM-BD可得答案；（2）根據(jù)C、D的運(yùn)動(dòng)速度知BD=2MC，再由已知條件MD=2AC求得MB=2AM，所以AM=13AB（3）分點(diǎn)N在線段AB上時(shí)和點(diǎn)N在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)分別求解可得．【詳解】解：（1）當(dāng)點(diǎn)C、D運(yùn)動(dòng)了2s時(shí)，CM=2cm，BD=4cm∵AB=12cm，CM=2cm，BD=4cm，∴AC+MD=AM-CM+BM-BD=AB-CM-BD=12-2-4=6（cm）；（2）根據(jù)C、D的運(yùn)動(dòng)速度知：BD=2MC，∵M(jìn)D=2AC，∴BD+MD=2（MC+AC），即MB=2AM，∵AM+BM=AB，∴AM+2AM=AB，∴AM=13AB故答案為：4；（3）①當(dāng)點(diǎn)N在線段AB上時(shí)，如圖1，∵AN-BN=MN，又∵AN-AM=MN，∴BN=AM=4，∴MN=AB-AM-BN=12-4-4=4，∴MNAB②當(dāng)點(diǎn)N在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2，∵AN-BN=MN，又∵AN-BN=AB，∴MN=AB=12，∴MNAB綜上：MNAB的值為1【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，靈活運(yùn)用線段的和、差、倍、分轉(zhuǎn)化線段之間的數(shù)量關(guān)系是十分關(guān)鍵的一點(diǎn)．【題型5與線段中點(diǎn)有關(guān)的計(jì)算】【例5】（2025·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）A、B、C、D四個(gè)車站的位置如圖所示．

(1)A、C兩站的距離；(2)C、D兩站的距離；(3)若a=6，C為AD的中點(diǎn)，求b的值．【答案】(1)3a(2)a+3b(3)4【分析】（1）根據(jù)題意列出關(guān)系式，合并即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意列出關(guān)系式，去括號(hào)合并即可得到結(jié)果；（3）根據(jù)中點(diǎn)的定義列出方程計(jì)算即可求解．【詳解】（1）∵AC=AB+BC=a+b+2a?b=3a∴A、C兩站的距離為：3a；（2）∵CD=BD?BC=∴C、D兩站的距離為：a+3b；（3）∵C為AD的中點(diǎn)，∴AC=DC,∴3a=a+3b,當(dāng)a=6時(shí)，3×6=解得b=4．【點(diǎn)睛】此題考查了整式的加減，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2025·寧夏·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)A，B，C在數(shù)軸上，點(diǎn)A表示的數(shù)是?1，點(diǎn)B是AC的中點(diǎn)，線段AB=2，則點(diǎn)C表示的數(shù)是

【答案】2【分析】根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式和中點(diǎn)平分線段進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：∵點(diǎn)B是AC的中點(diǎn)，線段AB=2∴AC=22∴點(diǎn)C表示的數(shù)是：22故答案為：22【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離，以及線段的中點(diǎn)．熟練掌握線段中點(diǎn)的定義，以及數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式，是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2025·河南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)C是線段AB上的點(diǎn)，點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，若AB=12，AC=8，則CD=．【答案】2【分析】根據(jù)AB=12，AC=8，求出BC的長(zhǎng)，再根據(jù)點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，得出CD=BD即可得出答案．【詳解】解：∵AB=12，AC=8，∴BC=4，∵點(diǎn)C是線段AB上的點(diǎn)，點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，∴CD=BD=2，故答案為2．【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)距離求法，根據(jù)已知求出BC=4是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2025·河北滄州·?？寄M預(yù)測(cè)）有兩道作圖題：①“延長(zhǎng)線段AB到C，使BC=AB”；②“反向延長(zhǎng)線段DE，使點(diǎn)D是線段EF的一個(gè)三等分點(diǎn)”．小明正確的作出了圖形．他的兩個(gè)同學(xué)嘉嘉、淇淇展開(kāi)了討論：嘉嘉說(shuō)：“點(diǎn)B是線段AC中點(diǎn)”；淇淇說(shuō)：“如果線段DE=xcm，那么線段EF=3xcm”，下列說(shuō)法正確的是(

)A．嘉嘉對(duì)，淇淇不對(duì) B．嘉嘉不對(duì)，淇淇對(duì)C．嘉嘉、淇淇都不對(duì) D．嘉嘉、淇淇都對(duì)【答案】A【分析】根據(jù)作圖的方法以及線段的中點(diǎn)，三等分點(diǎn)的定義，即可求解．【詳解】解：①“延長(zhǎng)線段AB到C，使BC=AB”，則點(diǎn)B是線段AC中點(diǎn)，故嘉嘉說(shuō)法正確；②“反向延長(zhǎng)線段DE，使點(diǎn)D是線段EF的一個(gè)三等分點(diǎn)”，如圖，如果線段DE=xcm，那么線段EF=3x或32x故選：A．

【點(diǎn)睛】本題考查了線段的中點(diǎn)，線段的三等分點(diǎn)，畫線段，分類討論是解題的關(guān)鍵【題型6角平分線的相關(guān)計(jì)算】【例6】（2025·山東·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線AC∥BD，AO、BO分別是∠BAC、∠ABD的平分線，那么∠BAO與∠ABO之間的大小關(guān)系一定為（）A．互余 B．相等 C．互補(bǔ) D．不等【答案】A【分析】根據(jù)AC∥BD，可得∠CAB+∠ABD=180°，再由AO、BO分別是∠BAC、∠ABD的平分線，即可求解．【詳解】解：∵AC∥BD，∴∠CAB+∠ABD=180°，∵AO、BO分別是∠BAC、∠ABD的平分線，∴∠CAB=2∠OAB，∠ABD=2∠ABO，∴∠BAO+∠ABO=90°，即∠BAO與∠ABO互余．故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，余角的性質(zhì)，熟練掌握兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；互余的兩角的和等于90°是解題的關(guān)鍵．【變式6-1】（2025·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）如圖1所示∠AOB的紙片，OC平分∠AOB，如圖2把∠AOB沿OC對(duì)折成∠COB（OA與OB重合），從O點(diǎn)引一條射線OE，使∠BOE=12∠EOC，再沿OE把角剪開(kāi)，若剪開(kāi)后得到的3個(gè)角中最大的一個(gè)角為76°，則∠AOB=

【答案】114【分析】由OC是∠AOB的平分線，可得∠AOB=2∠AOC=2∠BOC，由題意知，剪開(kāi)后得到的3個(gè)角中最大的一個(gè)角為2∠COE，即2∠COE=76°，解得∠COE=38°，由∠BOE=12∠EOC，可得∠BOE=19°，則∠BOC=∠BOE+∠COE=57°【詳解】解：∵OC是∠AOB的平分線，∴∠AOB=2∠AOC=2∠BOC，由題意知，剪開(kāi)后得到的3個(gè)角中最大的一個(gè)角為2∠COE，∴2∠COE=76°，解得∠COE=38°，∵∠BOE=1∴∠BOE=19°，∴∠BOC=∠BOE+∠COE=57°，∴∠AOB=2∠BOC=114°，故答案為：114．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，角平分線．解題的關(guān)鍵在于明確最大的角，以及正確表示角度之間的數(shù)量關(guān)系．【變式6-2】（2025·河南·中考真題）如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，射線OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠AOM=35°，則∠CON的度數(shù)為（）A．35° B．45° C．55° D．65°【答案】C【分析】根據(jù)角平分線的定義，得出∠MOC=35°，再根據(jù)題意，得出∠MON=90°，然后再根據(jù)角的關(guān)系，計(jì)算即可得出∠CON的度數(shù)．【詳解】解：∵射線OM平分∠AOC，∠AOM=35°，∴∠MOC=35°，∵ON⊥OM，∴∠MON=90°，∴∠CON=∠MON﹣∠MOC=90°﹣35°=55°．故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的定義和垂線的定義，解決本題的關(guān)鍵在正確找出角的關(guān)系．【變式6-3】（2025·湖南張家界·統(tǒng)考中考真題）如圖，AO為∠BAC的平分線，且∠BAC=50°，將四邊形ABOC繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后，得到四邊形AB′O′C′，且

【答案】75°【分析】根據(jù)角平分線的定義可得∠BAO=∠OAC=25°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠BAC=∠B′AC′【詳解】∵AO為∠BAC的平分線，∠BAC=50°，∴∠BAO=∠OAC=25°，∵將四邊形ABOC繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后，得到四邊形AB∴∠BAC=∠B′A∴∠OAO故答案為：75°．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握以上性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【題型7與余角、補(bǔ)角、對(duì)頂角有關(guān)的計(jì)算】【例7】（2025·內(nèi)蒙古呼和浩特·統(tǒng)考中考真題）如圖，直角三角板的直角頂點(diǎn)落在矩形紙片的一邊上．若∠1=68°，則∠2的度數(shù)是（

）

A．30° B．32° C．22° D．68°【答案】C【分析】由平行線的性質(zhì)和余角的定義求解即可．【詳解】解：如圖，

由題意可知a∥b，∴∠3=∠1=68°，∴∠2=90°?∠3=90°?68°=22°．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查三角板中的角度計(jì)算，平行線的性質(zhì)和余角的定義．掌握兩直線平行，同位角相等是解題關(guān)鍵．【變式7-1】（2025·四川樂(lè)山·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)O在直線AB上，OD是∠BOC的平分線，若∠AOC=140°，則∠BOD的度數(shù)為．

【答案】20°/20度【分析】根據(jù)鄰補(bǔ)角得出∠BOC=180°?140°=40°，再由角平分線求解即可．【詳解】解：∵∠AOC=140°，∴∠BOC=180°?140°=40°，∵OD是∠BOC的平分線，∴∠BOD=20°，故答案為：20°．【點(diǎn)睛】題目注意考查鄰補(bǔ)角及角平分線的計(jì)算，找準(zhǔn)各角之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．【變式7-2】（2025·河南·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，若∠1=80°，∠2=30°，則∠AOE的度數(shù)為（

）

A．30° B．50° C．60° D．80°【答案】B【分析】根據(jù)對(duì)頂角相等可得∠AOD=∠1=80°，再根據(jù)角的和差關(guān)系可得答案．【詳解】解：∵∠1=80°，∴∠AOD=∠1=80°，∵∠2=30°，∴∠AOE=∠AOD?∠2=80°?30°=50°，故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了對(duì)頂角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握對(duì)頂角相等．【變式7-3】（2025·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知正方形ABCD和正方形BEFG，點(diǎn)G在AD上，GF與CD交于點(diǎn)H，tan∠ABG=12，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8，則BH

【答案】10【分析】根據(jù)正切的概念和正方形的性質(zhì)，求得AG的長(zhǎng)度，再根據(jù)勾股定理求得BG的長(zhǎng)度，證明∠ABG=∠DGH，求得DH,GH，最后根據(jù)勾股定理即可求得BH的長(zhǎng)．【詳解】解：∵正方形ABCD和正方形BEFG，∴∠A=∠D=∠BGH=90°，AB=AD=8，∵tan∴AG∴AG=8×12=4在Rt△ABG中，BG=∵∠AGB+∠DGH=90°，∠AGB+∠ABG=90°，∴∠ABG=∠DGH，∴∴DH=2，在Rt△CDH中，HG=∴在Rt△BGH中，HB=故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，正切的概念，熟知正切的概念再進(jìn)行角度轉(zhuǎn)換是解題的關(guān)鍵．【題型8利用平行線的判定進(jìn)行證明】【例8】（2025·貴州·統(tǒng)考中考真題）已知：如圖，點(diǎn)A、D、C、B在同一條直線上，AD=BC，AE=BF，CE=DF，求證：AE∥BF．

【答案】證明見(jiàn)解析．【分析】可證明△ACE≌△BDF，得出∠A=∠B，即可得出AE∥BF；【詳解】證明：∵AD=BC，∴AC=BD，在△ACE和△BDF中，AC＝∴△ACE≌△BDF（SSS）∴∠A=∠B，∴AE∥BF；【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)以及平行線的判定問(wèn)題，關(guān)鍵是用SSS證明△ACE≌△BDF．【變式8-1】（2025·江蘇揚(yáng)州·?？级＃┩瓿上旅娴淖C明：已知：如圖，∠1=30°，∠B=60°，AB⊥AC．求證：AD∥證明：∵AB⊥AC（已知），∴∠BAC=90°（），∴在△ABC中，∠B+∠ACB=90°（），∵∠B=60°（已知），∴∠ACB=30°，∵∠1=30°，∴=（），∴AD∥BC（【答案】垂直定義；直角三角形的兩個(gè)銳角互余(或三角形的內(nèi)角和為180°)；∠1；∠ACB；等量代換；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行【分析】根據(jù)垂線的定義，直角三角形的兩個(gè)銳角互余，平行線的判定，完成證明過(guò)程即可求解．【詳解】證明：∵AB⊥AC（已知），∴∠BAC=90°（垂直定義），∴在△ABC中，∠B+∠ACB=90°（直角三角形的兩個(gè)銳角互余），∵∠B=60°（已知），∴∠ACB=30°，∵∠1=30°，∴∠1=∠ACB（等量代換），∴AD∥故答案為：垂直定義；直角三角形的兩個(gè)銳角互余(或三角形的內(nèi)角和為180°)；∠1；∠ACB；等量代換；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．【點(diǎn)睛】本題考查了垂線的定義，直角三角形的兩個(gè)銳角互余，平行線的判定，熟練掌握平行線的判定定理是解題的關(guān)鍵．【變式8-2】（2025·陜西西安·統(tǒng)考一模）如圖，AD，BC相交于點(diǎn)O，OB=OC，OA=OD，延長(zhǎng)AD到F，延長(zhǎng)DA到E，AE=DF，連接

【答案】見(jiàn)解析【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)得出OE=OF，再利用SAS證明△BOE≌△COF，再利用全等三角形的性質(zhì)和平行線的判定解答即可．【詳解】證明：∵OA=OD，∴OA+AE=OD+DF，即OE=OF，∵∠EOB=∠FOC，∴△BOE≌△COF(SAS∴∠E=∠F．∴BE∥CF．【點(diǎn)睛】此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是利用邊角邊證明兩個(gè)三角形全等．【變式8-3】（2025·湖北荊州·統(tǒng)考中考真題）如圖，將△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度得到ΔDBE，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E恰好落在AB的延長(zhǎng)線上，連接AD．（1）求證：BC//AD；（2）若AB=4，BC=1，求A，C兩點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)之和．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）5【分析】（1）先利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明△ABD為等邊三角形，則可證∠DAB=60°，即（2）利用弧長(zhǎng)公式分別計(jì)算路徑，相加即可求解．【詳解】（1）證明：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得：ΔABC?ΔDBE,∠ABD=∠CBE=∴AB=BD,∴ΔABD是等邊三角形所以∠DAB=∴∠CBE=∠DAB,∴BC//AD；（2）依題意得：AB=BD=4，BC=BE=1，所以A，C兩點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)之和為60π×4180【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定、弧長(zhǎng)公式等知識(shí)，熟練掌握這些知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系及弧長(zhǎng)公式是解答的關(guān)鍵．【題型9平行線判定或性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用】【例9】（2025·四川涼山·統(tǒng)考中考真題）光線在不同介質(zhì)中的傳播速度是不同的，因此光線從水中射向空氣時(shí)，要發(fā)生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光線，在空氣中也是平行的．如圖，∠1=45°,∠2=120°，則∠3+∠4=（

）

A．165° B．155° C．105° D．90°【答案】C【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，兩直線平行，同位角相等或同旁內(nèi)角互補(bǔ)，即可求出答案.【詳解】解：如圖所示，AB∥

∴∠1=∠3，∠2+∠4=180°.∵∠1=45°,∠2=120°，∴∠3=45°，∠4=180°?120°=60°.∴∠3+∠4=45°+60°=105°.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握平行線的性質(zhì).【變式9-1】（2025·安徽滁州·?？家荒＃緮?shù)學(xué)抽象】實(shí)驗(yàn)證明：平面鏡反射光線的規(guī)律是射到平面鏡上的光線和被反射出的光線與平面鏡所夾的銳角相等，如圖①，一束光線m射到平面鏡a上，被a反射后的光線為n，則入射光線m，反射光線n與平面鏡a所夾的銳角相等，即∠1=∠2．(1)利用這個(gè)規(guī)律人們制作了潛望鏡，圖②是潛望鏡工作原理示意圖，AB、CD是平行放置的兩面平面鏡，請(qǐng)解釋進(jìn)入潛望鏡的光線m為什么和離開(kāi)潛望鏡的光線n是平行的？(2)如圖③，改變兩平面鏡之間的位置關(guān)系，經(jīng)過(guò)兩次反射后，入射光線m與反射光線n之間的位置關(guān)系會(huì)隨之改變．若入射光線m與反射光線n平行但方向相反，則兩平面鏡的夾角∠ABC為多少度？【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)90°【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)及等量代換、平角的概念即可得證；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)、平角的概念及等量代換即可求得答案．【詳解】（1）證明：由題可知AB//CD，∠1=∠2，∠3=∠4，∵AB//CD，∴∠2=∠3，∴∠1=∠2=∠3=∠4，∵∠5=180°?∠1?∠2，∠6=180°?∠3?∠4，∴∠5=∠6，∴m//n；（2）∠ABC=90°，由題可知AD//CE，∠1=∠2，∠3=∠4，∵AD//CE，∴∠DAC+∠ACE=180°，又∵∠1+∠2+∠DAC=180°，∠3+∠4+∠ACE=180°，∴∠2+∠3=90°，∴∠B=90°.【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、平角的概念，能夠?qū)?shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為我們所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式9-2】（2025·山西呂梁·統(tǒng)考三模）如圖所示是地球截面圖，其中AB，EF分別表示南回歸線和北回歸線，CD表示赤道，點(diǎn)P表示太原市的位置．現(xiàn)已知地球南回歸線的緯度是南緯23°26′∠BOD=23°26′，太原市的緯度是北緯37°32′∠POD=37°32′，而冬至正午時(shí)，太陽(yáng)光直射南回歸線（光線

【答案】29°【分析】設(shè)PQ與OM交于點(diǎn)K，先由三角形內(nèi)角和定理求出．∠OKP=29°2【詳解】如圖，設(shè)PQ與OM交于點(diǎn)K，

∵∠BOD=23°26′，∴∠POM=∠POD+∠BOD=60°58在△OPK中，∠POK+∠OPK+∠OKP=180°，∠OPK=90°，∴∠OKP=29°2∵PN∥∴∠α=∠OKP=29°2故答案為：29°2【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)，讀懂題意并熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【變式9-3】（2025·河北邯鄲·統(tǒng)考一模）為了亮化某景點(diǎn)，石家莊市在兩條筆直且互相平行的景觀道MN、QP上分別放置A、B兩盞激光燈，如圖所示．A燈發(fā)出的光束自AM逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AN便立即回轉(zhuǎn)，B燈發(fā)出的光束自BP逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至BQ便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不間斷照射，A燈每秒轉(zhuǎn)動(dòng)30°，B燈每秒轉(zhuǎn)動(dòng)10°，B燈先轉(zhuǎn)動(dòng)2秒，A燈才開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)B燈光束第一次到達(dá)BQ之前，兩燈的光束互相平行時(shí)A燈旋轉(zhuǎn)的時(shí)間是（）A．1或6秒 B．8.5秒 C．1或8.5秒 D．2或6秒【答案】C【分析】設(shè)A燈旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為t秒，求出t的取值范圍為0<t≤16，再分①0<t≤6，②6<t≤12和③12<t≤16三種情況，先分別求出∠MAM′和∠PBP【詳解】解：設(shè)A燈旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為t秒，A燈光束第一次到達(dá)AN所需時(shí)間為180°30°=6秒，B燈光束第一次到達(dá)BQ所需時(shí)間為∵B燈先轉(zhuǎn)動(dòng)2秒，A燈才開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)，∴0<t≤18?2，即0<t≤16，由題意，分以下三種情況：①如圖，當(dāng)0<t≤6時(shí)，AM∴∠MAM∵M(jìn)N//∴∠MAM∴∠MAM′=∠PB解得t=1，符合題設(shè)；②如圖，當(dāng)6<t≤12時(shí)，AM∴∠MAM∵M(jìn)N//∴∠MAM∴∠MAM′=∠PB解得t=8.5符合題設(shè)；③如圖，當(dāng)12<t≤16時(shí)，AM∴∠MAM同理可得：∠MAM′=∠PB解得t=19>16，不符題設(shè)，舍去；綜上，A燈旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為1秒或8.5秒，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、一元一次方程的幾何應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，正確求出時(shí)間t的取值范圍，并據(jù)此分三種情況討論是解題關(guān)鍵．【題型10由平行線的性質(zhì)求解】【例10】（2025·西藏·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知a∥b，點(diǎn)A在直線a上，點(diǎn)B，C在直線b上，∠BAC=90°，∠1=30°，則∠2的度數(shù)是（

A．30° B．45° C．60° D．75°【答案】C【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)與三角形的內(nèi)角和為180°進(jìn)行解題即可．【詳解】解：∵a∥b，∠1=30°，∴∠ABC=∠1=30°，由題可知：∠BAC=90°，∴∠ABC+∠2=90°，∴∠2=90°?30°=60°．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式10-1】（2025·湖南永州·統(tǒng)考中考真題）如圖，AB∥CD,BC∥ED,∠B=80°，則∠D=度．

【答案】100【分析】根據(jù)AB∥CD,∠B=80°，得出∠C=80°，根據(jù)BC∥ED，即可得出∠D=180°?∠C，即可求解．【詳解】解：∵AB∥CD,∠B=80°，∴∠C=∠B=80°，∵BC∥ED，∴∠D=180°?∠C=180°?80°=100°，故答案為：100．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．【變式10-2】（2025·遼寧盤錦·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線AB∥CD，將一個(gè)含60°角的直角三角尺EGF按圖中方式放置，點(diǎn)E在AB上，邊GF、EF分別交CD于點(diǎn)H、K，若∠BEF=64°，則∠GHC等于（

A．44° B．34° C．24° D．14°【答案】B【分析】根據(jù)平行的性質(zhì)可得∠EKC=∠BEF=64°，再根據(jù)四邊形內(nèi)角和為360°可得∠GHK=146°，問(wèn)題隨之得解．【詳解】∵AB∥CD，∴∠EKC=∠BEF=64°，∵∠EKC+∠G+∠GEK+∠GHK=360°，∠GEK=60°，∠G=90°，∴∠GHK=146°，∵∠GHK+∠GHC=180°，∴∠GHC=34°，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行的性質(zhì)以及四邊形內(nèi)角和為360°，掌握四邊形內(nèi)角和為360°是解答本題的關(guān)鍵．【變式10-3】（2025·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，若DE∥BC,FG∥AC,∠BDE=120°,∠DFG=115°，則∠C=°．

【答案】55°/55度【分析】先由鄰補(bǔ)角求得∠ADE=60°，∠BFG=65°，進(jìn)而由平行線的性質(zhì)求得∠B=【詳解】解：∵∠BDE=120°,∠DFG=115°，∠BDE+∠ADE=180°∴∠ADE=60°，∠∵DE∥BC,FG∥AC，∴∠B=∠ADE=60°∵∠A+∴∠C=180°?65°?60°=55°故答案為：55°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了鄰補(bǔ)角，平行線的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【題型11根據(jù)平行線性質(zhì)與判定求角度】【例11】（2025·湖北荊州·統(tǒng)考中考真題）如圖所示的“箭頭”圖形中，AB∥CD，∠B=∠D=80°，

A．80° B．76° C．66°【答案】C【分析】延長(zhǎng)AB交EG于點(diǎn)M，延長(zhǎng)CD交GF于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)G作AB的平行線GH，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可解答．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)AB交EG于點(diǎn)M，延長(zhǎng)CD交GF于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)G作AB的平行線GH，

∵∠E=∠F=47∴∠EMA=∠EBA?∠E=33°，∠FNC=∠FDC?∠F=33°，∵AB∥∴HG∥∴∠MGH=∠EMA=33°，∠NGH=∠FND=33°，∴∠EGF=33°+33°=66°，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定及性質(zhì)，三角形外角的定義和性質(zhì)，作出正確的輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式11-1】（2025·浙江·校聯(lián)考中考模擬）如圖所示，是我們生活中經(jīng)常接觸的小刀，刀柄外形是一個(gè)直角梯形（挖去一小半圓），刀片上下是平行的，轉(zhuǎn)動(dòng)刀片時(shí)會(huì)形成∠1、∠2，則∠1+∠2=．【答案】90°【分析】如圖，過(guò)點(diǎn)O作OP∥AB，則AB∥OP∥CD．所以根據(jù)平行線的性質(zhì)將（∠1+∠2）轉(zhuǎn)化為（∠AOP+∠POC）來(lái)解答即可．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)O作OP∥AB，則∠1=∠AOP．∵AB∥CD，∴OP∥CD，∴∠2=∠POC，∵刀柄外形是一個(gè)直角梯形，∴∠AOP+∠POC=90°，∴∠1+∠2=90°．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定．平行線性質(zhì)定理：兩直線平行，同位角相等．兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．【變式11-2】（2025·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知AB是⊙O的直徑，BC為弦，過(guò)圓心O作OD⊥BC交弧BC于點(diǎn)D，連接DC，若∠DCB＝34°，則∠BAC＝．【答案】68°/68度【分析】由圓周角定理可知，∠BOD=2∠BCD=64°，由AB為直徑可知，AC⊥BC，又OD⊥BC，可知AC//OD，利用平行線的性質(zhì)可求∠BAC．【詳解】解：∵∠BOD與∠BCD為BD所對(duì)的圓心角和圓周角，∠DCB＝34°，∴∠BOD=2∠BCD=68°，∵AB是⊙O的直徑，∴AC⊥BC，又∵OD⊥BC，∴AC∥OD，∴∠BAC=∠BOD=68°，故答案為：68°．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理以及平行線的判定與性質(zhì)，利用圓周角定理求圓心角是解題的關(guān)鍵．【變式11-3】（2025·河南周口·校聯(lián)考二模）已知一個(gè)零刻度落在點(diǎn)A的量角器（半圓O）的直徑為AB，一等腰直角三角板繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)．

(1)如圖1所示，當(dāng)?shù)妊苯侨前宓男边吔话雸A于C點(diǎn)，一直邊交半圓于D點(diǎn)，另一直邊交半圓于E點(diǎn)，若點(diǎn)C在量角器上的讀數(shù)為25°，求此時(shí)點(diǎn)E在量角器上的讀數(shù)；(2)如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)C、D在量角器上的讀數(shù)α、β滿足什么關(guān)系時(shí)，直角邊與半圓O相切于點(diǎn)D？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)點(diǎn)E在量角器上的讀數(shù)為115°(2)當(dāng)點(diǎn)C、D在量角器上的讀數(shù)α、β滿足β?45°=12α?xí)r，直角邊與半圓O【分析】（1）連接OC、OE，由題意可知∠AOC=25°，求得∠COE=90°，于是得到∠AOE=∠AOC+∠COE=25°+90°=115°．（2）連接