線代期末試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.設(shè)矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，則\(\vertA\vert=\)（）A.-2B.2C.10D.-10答案：A2.若\(n\)階方陣\(A\)可逆，則\(r(A)=\)（）A.0B.1C.\(n-1\)D.\(n\)答案：D3.向量組\(\alpha_1=(1,0,0),\alpha_2=(0,1,0),\alpha_3=(0,0,1)\)是（）A.線性相關(guān)B.線性無關(guān)C.部分線性相關(guān)D.無法確定答案：B4.設(shè)\(A\)是\(m\timesn\)矩陣，齊次線性方程組\(Ax=0\)有非零解的充要條件是（）A.\(m\ltn\)B.\(r(A)=n\)C.\(r(A)\ltn\)D.\(m=n\)答案：C5.設(shè)\(\lambda\)是矩陣\(A\)的特征值，則\(A^2\)的特征值為（）A.\(\lambda\)B.\(\lambda^2\)C.\(\sqrt{\lambda}\)D.\(2\lambda\)答案：B6.設(shè)\(A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\)，則\(A\)的特征值為（）A.\(\lambda_1=1,\lambda_2=1\)B.\(\lambda_1=0,\lambda_2=1\)C.\(\lambda_1=1,\lambda_2=2\)D.\(\lambda_1=-1,\lambda_2=1\)答案：A7.若\(A,B\)為同階方陣，且\(AB=BA\)，則\((A+B)^2=\)（）A.\(A^2+2AB+B^2\)B.\(A^2+B^2\)C.\(A^2-2AB+B^2\)D.以上都不對答案：A8.設(shè)\(A\)為\(3\times3\)矩陣，\(\vertA\vert=2\)，則\(\vert-2A\vert=\)（）A.-16B.16C.-4D.4答案：A9.設(shè)\(\alpha=(1,2,3)\)，\(\beta=(3,2,1)\)，則\(\alpha\cdot\beta=\)（）A.10B.8C.6D.4答案：A10.對于\(n\)元非齊次線性方程組\(Ax=b\)，如果\(r(A)=r(A,b)=n\)，則方程組（）A.有無窮多解B.有唯一解C.無解D.無法確定答案：B二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列矩陣中是對稱矩陣的有（）A.\(\begin{pmatrix}1&2\\2&3\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}0&1&2\\1&0&3\\2&3&0\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}\)答案：ABC2.設(shè)\(A,B,C\)為\(n\)階方陣，則下列等式正確的有（）A.\((AB)C=A(BC)\)B.\(A(B+C)=AB+AC\)C.\((A+B)C=AC+BC\)D.\(A^2-B^2=(A+B)(A-B)\)答案：ABC3.向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)線性相關(guān)的充分條件是（）A.\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)中有零向量B.\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)中任意兩個(gè)向量成比例C.\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)的維數(shù)大于向量個(gè)數(shù)D.\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)的秩小于向量個(gè)數(shù)答案：ABD4.設(shè)\(A\)是\(n\)階方陣，\(\lambda\)是\(A\)的特征值，則（）A.\(\lambda^k\)是\(A^k\)的特征值B.\(f(\lambda)\)是\(f(A)\)的特征值（\(f(x)\)是多項(xiàng)式）C.\(\lambda\)也是\(A^T\)的特征值D.\(\frac{1}{\lambda}\)是\(A^{-1}\)的特征值（\(A\)可逆）答案：ABD5.設(shè)\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，則下列矩陣與\(A\)相似的有（）A.\(\begin{pmatrix}4&3\\2&1\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}4&2\\3&1\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}2&1\\4&3\end{pmatrix}\)答案：B6.設(shè)\(A\)為\(m\timesn\)矩陣，\(B\)為\(n\timesm\)矩陣，則（）A.當(dāng)\(m\gtn\)時(shí)，\(\vertAB\vert=0\)B.當(dāng)\(m=n\)時(shí)，\(\vertAB\vert=\vertA\vert\vertB\vert\)C.當(dāng)\(m\ltn\)時(shí)，\(AB\)可能可逆D.當(dāng)\(m=n\)時(shí)，\(AB\)一定可逆答案：ABC7.對于齊次線性方程組\(Ax=0\)（\(A\)為\(m\timesn\)矩陣），下列說法正確的是（）A.若\(m\ltn\)，則方程組必有非零解B.若\(r(A)=n\)，則方程組只有零解C.若\(A\)的行向量組線性無關(guān)，則方程組只有零解D.若\(A\)的列向量組線性相關(guān)，則方程組有非零解答案：ABD8.設(shè)\(\alpha=(1,1,1)\)，\(\beta=(1,2,3)\)，則（）A.\(\alpha+\beta=(2,3,4)\)B.\(\alpha-\beta=(0,-1,-2)\)C.\(2\alpha=(2,2,2)\)D.\(\alpha\cdot\beta=6\)答案：ABCD9.設(shè)\(A\)是\(n\)階方陣，且\(A^2=A\)，則（）A.\(A\)的特征值只能是\(0\)或\(1\)B.\(A\)一定可逆C.\(A\)一定可對角化D.\(r(A)+r(A-E)=n\)答案：ACD10.設(shè)\(A,B\)為\(n\)階方陣，且\(A\)與\(B\)相似，則（）A.\(\vertA\vert=\vertB\vert\)B.\(r(A)=r(B)\)C.\(A\)與\(B\)有相同的特征值D.\(A\)與\(B\)有相同的特征向量答案：ABC三、判斷題（每題2分，共10題）1.若矩陣\(A\)的行列式\(\vertA\vert\neq0\)，則\(A\)可逆。（）答案：對2.對于\(n\)元齊次線性方程組\(Ax=0\)，若\(r(A)=n\)，則方程組有非零解。（）答案：錯(cuò)3.若向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)線性相關(guān)，則\(\alpha_1\)可由\(\alpha_2,\alpha_3\)線性表示。（）答案：錯(cuò)4.設(shè)\(A,B\)為\(n\)階方陣，則\((A+B)(A-B)=A^2-B^2\)。（）答案：錯(cuò)5.若\(\lambda\)是矩陣\(A\)的特征值，則\(\lambda\)也是\(A^T\)的特征值。（）答案：錯(cuò)6.設(shè)\(A\)為\(3\times3\)矩陣，\(\vertA\vert=0\)，則\(A\)的列向量組線性相關(guān)。（）答案：對7.對于\(n\)元非齊次線性方程組\(Ax=b\)，若\(r(A)\neqr(A,b)\)，則方程組有無窮多解。（）答案：錯(cuò)8.若\(A,B\)為同階方陣且可逆，則\((AB)^{-1}=A^{-1}B^{-1}\)。（）答案：錯(cuò)9.設(shè)\(\alpha=(1,2),\beta=(3,4)\)，則\(\alpha\perp\beta\)。（）答案：錯(cuò)10.設(shè)\(A\)是\(n\)階方陣，若\(A\)的行向量組線性無關(guān)，則\(A\)的列向量組也線性無關(guān)。（）答案：對四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述矩陣可逆的充要條件。答案：矩陣\(A\)可逆的充要條件是\(\vertA\vert\neq0\)，或者\(yùn)(A\)滿秩，即\(r(A)\)等于\(A\)的階數(shù)，或者\(yùn)(A\)可以表示為有限個(gè)初等矩陣的乘積。2.什么是向量組的極大線性無關(guān)組？答案：向量組的一個(gè)部分組稱為極大線性無關(guān)組，如果這個(gè)部分組本身線性無關(guān)，并且從向量組的其余向量（如果還有的話）中任取一個(gè)添加進(jìn)去，所得的部分組都線性相關(guān)。3.簡述特征值與特征向量的定義。答案：設(shè)\(A\)是\(n\)階方陣，如果存在數(shù)\(\lambda\)和非零\(n\)維向量\(x\)，使得\(Ax=\lambdax\)，則\(\lambda\)稱為\(A\)的特征值，\(x\)稱為\(A\)對應(yīng)于特征值\(\lambda\)的特征向量。4.簡述齊次線性方程組\(Ax=0\)（\(A\)為\(m\timesn\)矩陣）有非零解的判定條件。答案：齊次線性方程組\(Ax=0\)有非零解的判定條件是\(r(A)\ltn\)，當(dāng)\(m\ltn\)時(shí)，一定有\(zhòng)(r(A)\ltn\)，所以也可以說當(dāng)方程個(gè)數(shù)小于未知數(shù)個(gè)數(shù)時(shí)，齊次線性方程組必有非零解。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論當(dāng)\(a\)取何值時(shí)，矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&a&4\\3&4&5\end{pmatrix}\)可逆。答案：矩陣\(A\)可逆的充要條件是\(\vertA\vert\neq0\)。\(\vertA\vert=\begin{vmatrix}1&2&3\\2&a&4\\3&4&5\end{vmatrix}=1\times\begin{vmatrix}a&4\\4&5\end{vmatrix}-2\times\begin{vmatrix}2&4\\3&5\end{vmatrix}+3\times\begin{vmatrix}2&a\\3&4\end{vmatrix}=5a-16-2\times(10-12)+3\times(8-3a)=-4a+8\)。令\(\vertA\vert\neq0\)，即\(-4a+8\neq0\)，解得\(a\neq2\)。2.討論向量組\(\alpha_1=(1,1,1),\alpha_2=(1,2,3),\alpha_3=(1,3,t)\)的線性相關(guān)性與\(t\)的關(guān)系。答案：設(shè)\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+k_3\alpha_3=0\)，即\(\begin{cases}k_1+k_2+k_3=0\\k_1+2k_2+3k_3=0\\k_1+3k_2+tk_3=0\end{cases}\)，系數(shù)行列式\(D=\begin{vmatrix}1&1&1\\1&2&3\\1&3&t\end{vmatrix}=1\times\begin{vmatrix}2&3\\3&t\end{vmatrix}-1\times\begin{vmatrix}1&3\\1&t\end{vmatrix}+1\times\begin{vmatrix}1&2\\1&3\end{vmatrix}=2t-9-(t-3)+(3-2)=t-5\)。當(dāng)\(t=5\)時(shí)，\(D=0\)，向量組線性相關(guān)；當(dāng)\(t\neq5\)時(shí)，\(D\neq0\)，向量組線性無關(guān)。3.討論矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&