導數(shù)應用：切線問題解析及習題一、導數(shù)與切線的幾何關聯(lián)（基礎回顧）導數(shù)的幾何意義是函數(shù)在某點的瞬時變化率，反映在圖像上，就是曲線在該點處切線的斜率。對于函數(shù)\(y=f(x)\)，若在點\(x_0\)處可導，則曲線在點\((x_0,f(x_0))\)處的切線斜率為\(k=f'(x_0)\)，切線方程的點斜式為：\[y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)\]二、切線問題的核心類型與解析思路切線問題的本質(zhì)是利用“導數(shù)→斜率→直線方程”的邏輯鏈，結(jié)合已知條件（如切點、斜率、過定點等）建立方程求解。常見類型及思路如下：類型1：已知切點，求切線方程思路：先求函數(shù)在切點處的導數(shù)（得斜率），再用點斜式寫切線方程。例1：求函數(shù)\(f(x)=x^3-2x\)在\(x=1\)處的切線方程。步驟1：求導得\(f'(x)=3x^2-2\)；步驟2：計算切點處的斜率\(f'(1)=3(1)^2-2=1\)；步驟3：計算切點縱坐標\(f(1)=1^3-2\times1=-1\)；步驟4：代入點斜式，切線方程為\(y-(-1)=1\times(x-1)\)，即\(y=x-2\)。類型2：已知切線斜率，求切線方程思路：令導數(shù)等于已知斜率，解出切點橫坐標，再代入原函數(shù)得切點縱坐標，最后用點斜式。例2：求函數(shù)\(f(x)=\lnx\)（\(x>0\)）的斜率為2的切線方程。步驟1：求導得\(f'(x)=\frac{1}{x}\)；步驟2：令\(\frac{1}{x}=2\)，解得\(x=\frac{1}{2}\)（唯一解，因\(x>0\)）；步驟3：計算切點縱坐標\(f\left(\frac{1}{2}\right)=\ln\frac{1}{2}=-\ln2\)；步驟4：切線方程為\(y-(-\ln2)=2\left(x-\frac{1}{2}\right)\)，化簡得\(y=2x-1-\ln2\)。類型3：過定點（非切點）求切線方程思路：設切點為\((x_0,f(x_0))\)，利用“切線過定點”和“斜率為\(f'(x_0)\)”建立方程，解出\(x_0\)后求切線。例3：過點\((0,0)\)作函數(shù)\(f(x)=e^x\)的切線，求切線方程。步驟1：設切點為\((x_0,e^{x_0})\)，導數(shù)\(f'(x)=e^x\)，故切線斜率\(k=e^{x_0}\)；步驟2：切線方程用點斜式表示為\(y-e^{x_0}=e^{x_0}(x-x_0)\)；步驟3：因切線過\((0,0)\)，代入得\(0-e^{x_0}=e^{x_0}(0-x_0)\)，化簡得\(-e^{x_0}=-x_0e^{x_0}\)；步驟4：兩邊除以\(-e^{x_0}\)（\(e^{x_0}\neq0\)），得\(1=x_0\)，即\(x_0=1\)；步驟5：切點為\((1,e)\)，斜率\(e\)，切線方程為\(y=e(x-1)+e\)，即\(y=ex\)。三、實戰(zhàn)習題與深度解析習題1：基礎型（已知切點）求函數(shù)\(f(x)=\sinx\)在\(x=\frac{\pi}{2}\)處的切線方程。解答：求導：\(f'(x)=\cosx\)；斜率：\(f'\left(\frac{\pi}{2}\right)=\cos\frac{\pi}{2}=0\)；切點縱坐標：\(f\left(\frac{\pi}{2}\right)=\sin\frac{\pi}{2}=1\)；切線方程：\(y-1=0\times\left(x-\frac{\pi}{2}\right)\)，即\(y=1\)。習題2：綜合型（切線斜率與過點結(jié)合）已知函數(shù)\(f(x)=x^2+ax+b\)在\(x=1\)處的切線斜率為3，且切線過點\((0,2)\)，求\(a,b\)的值。解答：求導：\(f'(x)=2x+a\)；由“\(x=1\)處斜率為3”得\(f'(1)=2\times1+a=3\)，解得\(a=1\)；切點縱坐標\(f(1)=1^2+1\times1+b=2+b\)；切線方程為\(y-(2+b)=3(x-1)\)；因切線過\((0,2)\)，代入得\(2-(2+b)=3(0-1)\)，化簡得\(-b=-3\)，故\(b=3\)。習題3：過定點（非切點）型過點\((2,0)\)作函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{x}\)（\(x\neq0\)）的切線，求切線方程。解答：設切點為\((x_0,\frac{1}{x_0})\)（\(x_0\neq0\)），求導得\(f'(x)=-\frac{1}{x^2}\)，故切線斜率\(k=-\frac{1}{x_0^2}\)；切線方程用點斜式表示為\(y-\frac{1}{x_0}=-\frac{1}{x_0^2}(x-x_0)\)；因切線過\((2,0)\)，代入得\(0-\frac{1}{x_0}=-\frac{1}{x_0^2}(2-x_0)\)；兩邊乘\(x_0^2\)（\(x_0\neq0\)）得\(-x_0=-(2-x_0)\)，化簡得\(-x_0=-2+x_0\)，即\(2x_0=2\)，解得\(x_0=1\)；切點為\((1,1)\)，斜率\(k=-\frac{1}{1^2}=-1\)；切線方程為\(y-1=-1\times(x-1)\)，化簡得\(y=-x+2\)。四、總結(jié)與提升切線問題的核心是“導數(shù)定斜率，點斜式建方程”，需注意：1.區(qū)分“切點”與“過定點（非切點）”：前者直接用切點求導，后者需設切點列方程；2.多解性：當曲線為“凹/凸”或“對稱”