線性代數(shù)a試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共20分）1.設(shè)\(A\)為\(3\)階方陣，且\(\vertA\vert=2\)，則\(\vert2A\vert=(\)\)A.\(2\)B.\(4\)C.\(8\)D.\(16\)2.若\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，且\(AB=O\)，則（）A.\(A=O\)或\(B=O\)B.\(\vertA\vert=0\)或\(\vertB\vert=0\)C.\(A+B=O\)D.\(A-B=O\)3.設(shè)向量組\(\alpha_1=(1,0,0)\)，\(\alpha_2=(0,1,0)\)，\(\alpha_3=(0,0,1)\)，則向量組\(\alpha_1\)，\(\alpha_2\)，\(\alpha_3\)的秩為（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(3\)D.\(4\)4.已知\(A\)是\(n\)階可逆矩陣，則下列等式中不一定成立的是（）A.\((A^{-1})^{-1}=A\)B.\((kA)^{-1}=kA^{-1}\)（\(k\neq0\)）C.\((A^T)^{-1}=(A^{-1})^T\)D.\(\vertA^{-1}\vert=\vertA\vert^{-1}\)5.設(shè)\(A\)是\(3\)階方陣，\(A\)的特征值為\(1\)，\(-1\)，\(2\)，則\(\vertA\vert=(\)\)A.\(-2\)B.\(2\)C.\(1\)D.\(-1\)6.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，且\(R(A)=n-1\)，\(\alpha_1\)，\(\alpha_2\)是\(Ax=0\)的兩個不同的解，則\(Ax=0\)的通解為（）A.\(k\alpha_1\)（\(k\)為任意常數(shù)）B.\(k\alpha_2\)（\(k\)為任意常數(shù)）C.\(k(\alpha_1-\alpha_2)\)（\(k\)為任意常數(shù)）D.\(k(\alpha_1+\alpha_2)\)（\(k\)為任意常數(shù)）7.二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3\)的矩陣為（）A.\(\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&0\\1&0&3\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}1&2&2\\2&2&0\\2&0&3\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&1\\1&1&3\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}\)8.若\(A\)與\(B\)相似，則下列說法錯誤的是（）A.\(\vertA\vert=\vertB\vert\)B.\(R(A)=R(B)\)C.\(A\)與\(B\)有相同的特征值D.\(A\)與\(B\)有相同的特征向量9.設(shè)\(A\)是\(n\)階方陣，\(E\)是\(n\)階單位矩陣，若\(A^2=E\)，則（）A.\(A=E\)B.\(A=-E\)C.\(A\)可逆，且\(A^{-1}=A\)D.\(A\)不可逆10.設(shè)向量組\(\alpha_1\)，\(\alpha_2\)，\(\cdots\)，\(\alpha_s\)線性相關(guān)，則（）A.存在一組全為零的數(shù)\(k_1\)，\(k_2\)，\(\cdots\)，\(k_s\)，使得\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0\)B.存在一組不全為零的數(shù)\(k_1\)，\(k_2\)，\(\cdots\)，\(k_s\)，使得\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0\)C.任意一組數(shù)\(k_1\)，\(k_2\)，\(\cdots\)，\(k_s\)，都有\(zhòng)(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0\)D.向量組中任意一個向量都能由其余向量線性表示二、多項選擇題（每題2分，共20分）1.下列關(guān)于矩陣運算正確的有（）A.\((A+B)^T=A^T+B^T\)B.\((AB)^T=A^TB^T\)C.\((kA)^T=kA^T\)（\(k\)為常數(shù)）D.\(A+B=B+A\)2.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，則下列說法正確的有（）A.若\(A\)可逆，則\(A\)的行向量組線性無關(guān)B.若\(A\)可逆，則\(A\)的列向量組線性無關(guān)C.若\(A\)的行向量組線性相關(guān)，則\(A\)不可逆D.若\(A\)的列向量組線性相關(guān)，則\(A\)不可逆3.已知\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，則（）A.若\(A\)，\(B\)可逆，則\(AB\)可逆B.若\(AB\)可逆，則\(A\)，\(B\)都可逆C.若\(A\)可逆，\(B\)不可逆，則\(AB\)不可逆D.若\(A\)，\(B\)都不可逆，則\(AB\)不可逆4.設(shè)\(A\)是\(n\)階方陣，\(\lambda\)是\(A\)的一個特征值，則（）A.存在非零向量\(\xi\)，使得\(A\xi=\lambda\xi\)B.齊次線性方程組\((A-\lambdaE)x=0\)有非零解C.\(\vertA-\lambdaE\vert=0\)D.\(\lambda\)是\(A\)的特征多項式\(f(\lambda)=\vert\lambdaE-A\vert\)的根5.二次型\(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=x^TAx\)（\(A^T=A\)）為正定二次型的等價條件有（）A.\(A\)的所有特征值都大于零B.\(A\)的各階順序主子式都大于零C.存在可逆矩陣\(C\)，使得\(A=C^TC\)D.對任意非零向量\(x\)，都有\(zhòng)(x^TAx>0\)6.設(shè)\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，且\(A\)與\(B\)相似，則（）A.\(A-\lambdaE\)與\(B-\lambdaE\)相似B.\(A^k\)與\(B^k\)相似（\(k\)為正整數(shù)）C.\(f(A)\)與\(f(B)\)相似（\(f(x)\)為多項式）D.\(A\)與\(B\)合同7.設(shè)向量組\(\alpha_1\)，\(\alpha_2\)，\(\alpha_3\)線性無關(guān)，則下列向量組中線性無關(guān)的有（）A.\(\alpha_1\)，\(\alpha_2\)B.\(\alpha_1+\alpha_2\)，\(\alpha_2+\alpha_3\)，\(\alpha_3+\alpha_1\)C.\(\alpha_1-\alpha_2\)，\(\alpha_2-\alpha_3\)，\(\alpha_3-\alpha_1\)D.\(2\alpha_1\)，\(3\alpha_2\)，\(4\alpha_3\)8.對于\(n\)元齊次線性方程組\(Ax=0\)，下列說法正確的有（）A.若\(R(A)=n\)，則方程組只有零解B.若\(R(A)<n\)，則方程組有非零解C.方程組的解向量的線性組合還是方程組的解D.方程組的基礎(chǔ)解系所含向量個數(shù)為\(n-R(A)\)9.設(shè)\(A\)是\(n\)階實對稱矩陣，則（）A.\(A\)的特征值都是實數(shù)B.\(A\)一定可以相似對角化C.不同特征值對應(yīng)的特征向量正交D.存在正交矩陣\(Q\)，使得\(Q^{-1}AQ=\Lambda\)（\(\Lambda\)為對角矩陣）10.若矩陣\(A\)與\(B\)等價，則（）A.\(R(A)=R(B)\)B.存在可逆矩陣\(P\)，\(Q\)，使得\(PAQ=B\)C.\(A\)與\(B\)有相同的特征值D.\(A\)與\(B\)有相同的行列式三、判斷題（每題2分，共20分）1.若\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，則\((A+B)(A-B)=A^2-B^2\)。（）2.若向量組\(\alpha_1\)，\(\alpha_2\)，\(\cdots\)，\(\alpha_s\)線性無關(guān)，則其中任意一個向量都不能由其余向量線性表示。（）3.設(shè)\(A\)是\(n\)階方陣，若\(\vertA\vert=0\)，則\(A\)的行向量組線性相關(guān)。（）4.若\(A\)與\(B\)相似，則\(A\)與\(B\)合同。（）5.二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+x_3^2\)是正定二次型。（）6.齊次線性方程組\(Ax=0\)只有零解的充分必要條件是\(A\)的列向量組線性無關(guān)。（）7.若\(\lambda\)是\(A\)的特征值，則\(k\lambda\)（\(k\)為常數(shù)）是\(kA\)的特征值。（）8.若\(A\)是\(n\)階可逆矩陣，則\(A\)的伴隨矩陣\(A^\)也可逆。（）9.設(shè)\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，若\(AB=E\)，則\(A\)，\(B\)都可逆，且\(A^{-1}=B\)，\(B^{-1}=A\)。（）10.若向量組\(\alpha_1\)，\(\alpha_2\)，\(\cdots\)，\(\alpha_s\)的秩為\(r\)，則其中任意\(r+1\)個向量都線性相關(guān)。（）四、簡答題（每題5分，共20分）1.簡述矩陣可逆的充要條件。答：矩陣\(A\)可逆的充要條件有：\(\vertA\vert\neq0\)；\(A\)的行（列）向量組線性無關(guān)；\(R(A)=n\)（\(A\)為\(n\)階方陣）；\(Ax=0\)只有零解；\(A\)可表示為有限個初等矩陣的乘積等。2.什么是向量組的線性相關(guān)性？答：對于向量組\(\alpha_1\)，\(\alpha_2\)，\(\cdots\)，\(\alpha_s\)，若存在一組不全為零的數(shù)\(k_1\)，\(k_2\)，\(\cdots\)，\(k_s\)，使得\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0\)，則稱向量組線性相關(guān)；若僅當\(k_1=k_2=\cdots=k_s=0\)時等式成立，則稱向量組線性無關(guān)。3.簡述求矩陣特征值和特征向量的步驟。答：先求矩陣\(A\)的特征多項式\(f(\lambda)=\vert\lambdaE-A\vert\)；令\(f(\lambda)=0\)，解出特征值\(\lambda_i\)；對于每個特征值\(\lambda_i\)，求解齊次線性方程組\((A-\lambda_iE)x=0\)，其非零解即為對應(yīng)于\(\lambda_i\)的特征向量。4.如何判斷二次型\(f(x)=x^TAx\)（\(A^T=A\)）的正定性？答：可通過判斷\(A\)的所有特征值都大于零；\(A\)的各階順序主子式都大于零；存在可逆矩陣\(C\)，使得\(A=C^TC\)；對任意非零向量\(x\)，都有\(zhòng)(x^TAx>0\)等方法來判斷正定性。五、討論題（每題5分，共20分）1.討論矩陣的相似與合同的區(qū)別與聯(lián)系。答：區(qū)別：相似要求存在可逆矩陣\(P\)使\(P^{-1}AP=B\)，合同要求存在可逆矩陣\(C\)使\(C^TAC=B\)。相似保特征值等，合同保正定性等。聯(lián)系：實對稱矩陣若相似則一定合同；當\(P\)為正交矩陣時，相似與合同等價。2.討論線性方程組解的情況與系數(shù)矩陣秩的關(guān)系。答：對于\(n\)元線性方程組\(Ax=b\)，當\(R(A)=R(A,b)=n\)時，有唯一解；當\(R(A)=R(A,b)<n\)時，有無窮多解；當\(R(A)\neqR(A,b)\)時，無解。對于齊次線性方程組\(Ax=0\)，\(R(A)=n\)時只有零解，\(R(A)<n\)時有非零解。3.討論向量組的極大線性無關(guān)組的性質(zhì)和作用。答：性質(zhì)：極大線性無關(guān)組所含向量個數(shù)唯一；向量組中任一向量可由極大線性無關(guān)組線性表示。作用：可確定向量組的秩；可將向量組的研究轉(zhuǎn)化