一、知識回顧與核心定理1.三角形中位線定義：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段，稱為三角形的中位線（注意與“中線”區(qū)分：中線連接頂點(diǎn)與對邊中點(diǎn)）。核心定理：三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半。定理證明（構(gòu)造平行四邊形法）：在△ABC中，D、E分別為AB、AC的中點(diǎn)。過E作EF∥AB，交BC于F。由EF∥AB、DE∥BC（待證），四邊形DBFE是平行四邊形，故DE=BF。因EF∥AB，E是AC中點(diǎn)，根據(jù)“平行線分線段成比例”，F(xiàn)是BC中點(diǎn)（即BF=FC）。因此DE=BF=FC=?BC，且DE∥BC（平行四邊形對邊平行）。2.梯形中位線定義：連接梯形兩腰中點(diǎn)的線段，稱為梯形的中位線。核心定理：梯形的中位線平行于兩底，且等于兩底和的一半。定理證明（割補(bǔ)法轉(zhuǎn)化為三角形）：設(shè)梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分別為AB、CD的中點(diǎn)。連接AF并延長交BC的延長線于G。由AD∥BC，得∠D=∠FCG，結(jié)合DF=FC、∠AFD=∠GFC，可證△ADF≌△GCF（ASA），故AD=CG，AF=FG。此時E是AB中點(diǎn)，F(xiàn)是AG中點(diǎn)，故EF是△ABG的中位線。由三角形中位線定理，EF∥BG（即EF∥AD∥BC），且EF=?BG=?(BC+CG)=?(BC+AD)。二、基礎(chǔ)題型突破題型1：三角形中位線的“平行+倍分”應(yīng)用例1：在△ABC中，D、E、F分別為AB、BC、CA的中點(diǎn)，AC=8，BC=10，求四邊形DECF的周長。分析：D、E為AB、BC中點(diǎn)→DE是△ABC的中位線→DE∥AC，DE=?AC=4。E、F為BC、CA中點(diǎn)→EF∥AB，EF=?AB？不，四邊形DECF的邊為DE、EC、CF、FD：EC=?BC=5（E是BC中點(diǎn)），CF=?AC=4（F是AC中點(diǎn)），F(xiàn)D是△ABC的中位線→FD∥BC，F(xiàn)D=?BC=5（D、F為AB、AC中點(diǎn)）。周長=DE+EC+CF+FD=4+5+4+5=18。題型2：梯形中位線的長度與面積計算例2：梯形ABCD中，AD∥BC，中位線EF長為12，高為8，求梯形的面積。分析：梯形面積公式為“（上底+下底）×高÷2”，而中位線EF=?(AD+BC)，因此：面積=EF×高=12×8=96。三、拓展題型探究題型3：多中點(diǎn)問題（中點(diǎn)四邊形）例3：在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，求證：四邊形EFGH是平行四邊形。分析：連接AC，將四邊形分解為兩個三角形：在△ABC中，E、F為AB、BC中點(diǎn)→EF是中位線→EF∥AC，EF=?AC。在△ADC中，G、H為CD、DA中點(diǎn)→GH是中位線→GH∥AC，GH=?AC。因此EF∥GH且EF=GH，故四邊形EFGH是平行四邊形。題型4：動態(tài)幾何中的中位線例4：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，點(diǎn)D從A沿AC向C運(yùn)動（速度1單位/秒），點(diǎn)E從B沿BC向C運(yùn)動（速度2單位/秒），當(dāng)一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時停止。設(shè)運(yùn)動時間為t秒，取DE的中點(diǎn)F，連接CF，求CF的長度表達(dá)式及最小值。分析：建立坐標(biāo)系：C(0,0)，A(0,6)，B(8,0)，則t秒后D(0,6?t)，E(8?2t,0)（t∈[0,4]，因E到C需4秒）。由直角三角形斜邊中線定理（F是DE中點(diǎn)，∠C=90°），CF=?DE（斜邊中線等于斜邊的一半）。計算DE長度：DE=√[(8?2t)2+(6?t)2]，故CF=?√(5t2?44t+100)。求最小值：二次函數(shù)5t2?44t+100的對稱軸為t=4.4（超出t∈[0,4]），故t=4時CF最小，此時DE=2，CF=1。四、思維方法提煉1.“中點(diǎn)聯(lián)想”策略遇到中點(diǎn)時，優(yōu)先考慮三種方向：若有兩個中點(diǎn)，嘗試連接成三角形中位線（如例3、例4）；若在直角三角形中，聯(lián)想斜邊中線定理（如例4）；若只有一個中點(diǎn)，考慮倍長中線（構(gòu)造全等三角形，拓展題型中會涉及）。2.轉(zhuǎn)化思想梯形→三角形：通過“割補(bǔ)法”將梯形轉(zhuǎn)化為三角形，利用三角形中位線（如梯形中位線定理證明）；多邊形→三角形/四邊形：通過連接對角線，將復(fù)雜圖形分解為多個三角形（如中點(diǎn)四邊形問題）。五、分層訓(xùn)練題基礎(chǔ)鞏固（A組）1.已知△ABC中，D、E是AB、AC中點(diǎn)，DE=5，則BC=______。2.梯形上底3，下底5，中位線長______；若高為4，面積為______。3.如圖，△ABC中，D、E、F分別是各邊中點(diǎn)，若△DEF的周長為12，則△ABC的周長為______。能力提升（B組）4.四邊形ABCD中，E、F、G、H是各邊中點(diǎn)，若AC=10，BD=8，則四邊形EFGH的周長為______。5.在△ABC中，AB=AC，E是AB中點(diǎn)，F(xiàn)是AC中點(diǎn)，D是BC上一點(diǎn)，連接DE、DF，若∠EDF=90°，求證：BD=CD。挑戰(zhàn)創(chuàng)新（C組）6.平面直角坐標(biāo)系中，A(2,4)，B(6,2)，C(4,?2)，D是AB中點(diǎn)，E是AC中點(diǎn)，求直線DE與BC的位置關(guān)系，并證明。7.動點(diǎn)P在邊長為4的正方形ABCD的邊AB上（A→B），速度1單位/秒，Q在邊CD上（C→D），速度2單位/秒，取PQ中點(diǎn)M，連接AM，求AM的最小值。答案與解析提示：A組：1.$\boldsymbol{10}$；2.$\boldsymbol{4}$，$\boldsymbol{16}$；3.$\boldsymbol{24}$（△DEF的邊長是△ABC的$\frac{1}{2}$）。B組：4.$\boldsymbol{18}$（EF=$\frac{1}{2}$AC=5，EH=$\frac{1}{2}$BD=4，周長=$2\times(5+4)=18$）；5.連接AD，證DE、DF是中位線，得DE∥AC，DF∥AB，故四邊形AEDF是平行四邊形；結(jié)合∠EDF=90°，得AEDF是矩形，進(jìn)而由等腰三角形“三線合一”證BD=CD。C組：6.$\boldsymbol{DE\parallelBC}$（中位線定理）；7.建立坐標(biāo)系，A(0,0)，B(4,0)，C(4,4)，D(0,4)，P(t,0)，Q(4?2