§7.2球的切、接問題分值：52分一、單項選擇題(每小題5分，共30分)1.設(shè)正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，則其棱切球的表面積是()A.π B.2π C.8π D.12π2.各棱長都相等的四面體的內(nèi)切球和外接球的體積之比為()A.1∶27 B.1∶9C.1∶3 D.9∶13.一個側(cè)棱長為23的直棱柱的底面用斜二測畫法所畫出的水平放置的直觀圖為如圖所示的菱形O'A'B'C'，其中O'A'=2，則該直棱柱外接球的表面積為()A.8π B.16π C.32π D.64π4.(2024·重慶模擬)已知直三棱柱ABCA1B1C1中，底面邊長分別為3，3，3，高AA1=22，則該三棱柱的外接球的表面積為(A.5π B.20π C.20535.已知三棱錐SABC中，SA⊥平面ABC，SA=4，BC=23，∠BAC=60°，則三棱錐SABC外接球的表面積為()A.32π B.64πC.80π D.128π6.(2025·常德模擬)如圖，現(xiàn)有棱長為6cm的正方體玉石缺失了一個角，缺失部分為正三棱錐A1EFG，且E，F(xiàn)，G分別為棱A1A，A1B1，A1D1上靠近A1的四等分點，若將該玉石打磨成一個球形飾品，則該球形飾品的體積的最大值為()A.273π2cmC.1253π2cm二、多項選擇題(每小題6分，共12分)7.正四棱錐PABCD的底面邊長為2，外接球的表面積為20π，則正四棱錐PABCD的高可能是()A.5+1B.B.51C.5+3 D.538.如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1=2，AB=BC=1，∠ABC=120°，點E是側(cè)棱BB1上的一個動點，下列結(jié)論正確的是()A.直三棱柱的側(cè)面積是4+23B.直三棱柱的外接球表面積是8πC.直三棱柱的內(nèi)置球的最大表面積為4πD.AE+EC1的最小值為22三、填空題(每小題5分，共10分)9.(2025·白銀模擬)在三棱錐PABC中，PA=PB=PC，PA，PB，PC兩兩垂直，且該三棱錐外接球的表面積為9π，則該三棱錐的體積為.10.(2024·福州模擬)在三棱錐ABCD中，∠ABD=∠ABC=60°，BC=BD=32，AB=62，則三棱錐ABCD外接球的表面積為.答案精析1.B2.A3.C[由已知O'A'=O'C'=2，∠C'O'A'=45°，根據(jù)斜二測畫法的性質(zhì)可得，該直棱柱的底面OA=2，OC=4，OC⊥OA，OC∥AB，OA∥BC，所以該直棱柱的底面為長為4，寬為2的矩形，其體對角線AC1=22+所以該直棱柱外接球的半徑R=22，則該直棱柱外接球的表面積S=4πR2=4π×8=32π.4.B[不妨設(shè)AB=AC=3，BC=3由余弦定理可得cosA=AB2且A∈(0，π)，則A=2π所以△ABC的外接圓半徑r=BC2sinA可得該三棱柱的外接球的半徑R=r2+所以該三棱柱的外接球的表面積為4πR2=20π.]5.A[△ABC中，BC=23，∠BAC=60°，設(shè)△ABC的外接圓半徑為r，根據(jù)正弦定理有2r=BCsin∠BAC=23sin60°=4如圖，設(shè)點O1為△ABC的外心，O為三棱錐外接球的球心，∵SA⊥平面ABC，∴OO1∥SA，且OS=OA，∴OO1=12SA=2在Rt△AO1O中，AO1=r=2，OO1=2，∠AO1O=90°，∴AO=22即三棱錐外接球的半徑為22，∴外接球的表面積為4π·(22)6.B[由題意知A1E=A1F=A1G=32cm，設(shè)點A1到平面EFG的距離為d而EF=EG=FG=322S△EFG=12×322×322×由V三棱錐E-得13×12×32×32×棱長為6cm的正方體的內(nèi)切球的半徑為3cm，棱長為6cm的正方體體對角線的長度為63cm，因為3332=53所以所求球形飾品的體積最大時即為棱長為6cm的正方體的內(nèi)切球，則該球形飾品的體積的最大值為43π×33=36π(cm3).7.CD[依題意，外接球的球心可能在正四棱錐內(nèi)，也可能在正四棱錐外，如果球心在正四棱錐內(nèi)，如圖1，其中O1是正方形ABCD的中心，O是外接球的球心，∵PABCD是正四棱錐，∴PO1⊥平面ABCD，BO1=2設(shè)外接球的半徑為R，則BO=PO=R，4πR2=20π，R=5在Rt△BOO1中，OO1=BO2-BO12=3=5+3；如果球心在正四棱錐外，如圖2，PO1=POOO1=53.]8.ABD[對于A，由余弦定理得AC2=AB2+BC22AB·BC·cos120°=3，所以AC=3，所以直三棱柱的側(cè)面積為2×(1+1+3)=4+23，對于B，由正弦定理可得底面△ABC的外接圓半徑r1=32sin120°=1，易知直三棱柱ABCA1B1C1的外接球球心到底面ABC的距離為1所以外接球半徑R=r12+12=2，所以外接球表面積為4π對于C，若內(nèi)置球與上、下底面相切，則半徑為1；若內(nèi)置球與三個側(cè)面相切，由截面圖可知，該球半徑等于△ABC的內(nèi)切圓半徑r2，由三角形面積公式可得12×(1+1+3)r2=12×1×1×sin解得r2=2因為r2=23-32<1所以直三棱柱的內(nèi)置球的最大表面積為4×23-322π=(21123)對于D，將側(cè)面BB1C1C繞著BB1所在直線旋轉(zhuǎn)到與側(cè)面AA1B1B共面的位置BB1C'1C'，如圖，則當(dāng)A，E，C'1共線時，AE+EC1取得最小值，為AA12+A1C'9.3解析由于PA=PB=PC，PA，PB，PC兩兩垂直，將該三棱錐放入正方體中，如圖.則該三棱錐的外接球與正方體的外接球相同，故該三棱錐的外接球的半徑為PA2+由4π×32PA2=9π，得PA由于PA⊥平面PBC，所以該三棱錐的體積為13×12PA10.72π解析由題意知∠ABD=∠ABC=60°，BC=BD=32，AB=6在△ABC中，由余弦定理可得AC=A=(6=36所以AC2+BC2=AB2，則AC⊥BC，在△ABD中，由