第=page11頁，共=sectionpages11頁2025-2026學(xué)年湖南省湖湘名校聯(lián)盟高二（上）入學(xué)數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合A={?1,0,1,2,3,4}，B={x|?1<x≤3}，則A∩B=(

)A.{0,1,2} B.(0,1,3) C.{0,1,2,3} D.(?1,0,1,2,3)2.已知復(fù)數(shù)z滿足(3?i)z=10i，則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.如果a<b<0，那么下列不等式中成立的是(

)A.a2<b2 B.?a<4.已知單位向量m,n滿足m⊥(m?2A.π6 B.π3 C.2π35.若函數(shù)f(x)=(x2+mx)cos1x的圖象關(guān)于A.?2 B.1 C.2 D.06.已知α，β都是銳角，tan(α+β)=3tanα=6tanβ，則tan(α?β)=(

)A.13 B.23 C.257.已知A，B為樣本空間Ω中的兩個隨機事件，其中n(Ω)=24，n(A)=12，n(B)=8，n(A∪B)=16，則(

)A.事件A與B互斥B.P(A?B?)=12C.事件8.如圖，棱長為2的正方體中，A，B，C均為頂點，P為所在棱的中點，若PC//平面α，且A，B均在平面α內(nèi)，則平面α截正方體所得圖形的外接圓面積為(

)A.5π4

B.7π4

C.9π4二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知函數(shù)f(x)=4ex?1A.f(x)的定義域為(?∞,0)∪(0,+∞) B.f(x)為奇函數(shù)

C.f(x)為R上的減函數(shù) D.f(x)無最值10.已知球O(O為球心)為正方體ABCD?A1B1C1D1A.線段BD1的長為3

B.直線BC1與球O相切

C.△OB1C的面積為11.設(shè)樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x8的平均數(shù)為x?，方差為s12.設(shè)yi=2xi+1，i=1，2，…，8，樣本數(shù)據(jù)y1，A.2x?=y??1 B.4三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知一個底面半徑為1的圓錐側(cè)面展開圖形的面積是其底面面積的2倍，則該圓錐的母線長為______．13.在矩形ABCD中，AB=2，點E為AD中點，BE⊥AC，則CA?CE=14.設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞)，且對于任意的正數(shù)x，y，都有f(x)+f(y)=f(xy)，若f(19)+f(15)=6四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知函數(shù)f(x)=cosx，函數(shù)g(x)滿足9f2(x)+[g(x)?2]2=9，且g(π2)=5．

(1)16.(本小題15分)

已知復(fù)數(shù)z1=2+ai(a∈R)，i(1?z2)=1．

(1)求z2+z2?；

(2)求|z17.(本小題15分)

暑假過后，長沙橘子洲頭旅游景區(qū)為了更好地提升旅游品質(zhì)，以便給游客帶來更好的旅游體驗感，相關(guān)工作人員隨機選擇100名游客對景區(qū)進行滿意度評分(滿分100分)，將評分繪制成如圖頻率分布直方圖．

(1)求圖中x的值；

(2)估計這100名游客對景區(qū)滿意度評分的中位數(shù)；

(3)若工作人員從這100名游客中隨機抽取了5名，其中評分在[50,60)內(nèi)的有2人，評分在[70,80)內(nèi)的有3人.現(xiàn)再從這5人中隨機抽取2人做進一步了解，求抽取的2人評分均在[70,80)內(nèi)的概率．18.(本小題17分)

如圖，三棱柱ABC?DEF中，AB=AC，P，Q分別為線段BC，EF的中點，且AQ⊥平面DEF．

(1)證明：AD//PQ；

(2)證明：∠PQD為二面角P?EF?D的平面角；

(3)若∠EAF=60°，且DE⊥DF，求二面角A?BC?Q的大?。?9.(本小題17分)

在△ABC中，AC+AB=4，且cosA+2cos(A+3π4)sin(A+3π4)=0．

(1)求A；

(2)求△ABC面積的最大值；

(3)若D是△ABC邊BC上的一點，且AB?AD|AB|=AD?參考答案1.C

2.B

3.C

4.B

5.D

6.A

7.C

8.C

9.ABD

10.BCD

11.ACD

12.2

13.8

14.?12

15.(1)由f(x)=cosx，且9f2(x)+[g(x)?2]2=9，

可得[g(x)?2]2=9(1?cos2x)=9sin2x，即g(x)=2±3sinx，

當(dāng)g(x)=2+3sinx時，g(π2)=2+3=5，符合題意；

當(dāng)g(x)=2?3sinx時，g(π2)=2?3=?1，不符合題意，舍去．

綜上所述，g(x)=2+3sinx，

結(jié)合sinx∈[?1,1]，可知g(x)∈[?1,5]，即函數(shù)g(x)的值域為[?1,5]；

(2)由(1)的結(jié)論，可得?(x)=f(x)+g(x)=cosx+3sinx+2，

所以?(x)=10sin(x+φ)+216.(1)因為i(1?z2)=1，所以1?z2=1i=?i，所以z2=1+i，

所以z2+z2?=(1+i)+(1?i)=2；

(2)因為z1=2+ai，z2=1+i，

所以z1?z2=(2+ai)?(1+i)=1+(a?1)i，

所以|z1?z2|=117.(1)由圖知：0.02+10x+0.18+0.25+0.4=1，解得x=0.015；

(2)由0.02+0.15+0.18=0.35<0.5，0.02+0.15+0.18+0.25=0.6>0.5，

所以中位數(shù)在[80,90)之間，且為80+0.5?0.350.025=86；

(3)設(shè)評分在[50,60)中抽取的2人分別為a，b，在[70,80)中抽取的3人分別為C，D，E，

則從這5人中隨機抽取2人所得樣本空間為：{(a,b)，(a,C)，(a,D)，(a,E)，(b,C)，(b,D)，(b,E)，(C,D)，(C,E)，(D,E)}，共有10個樣本點，

設(shè)選取的2人評分均在[70,80)內(nèi)為事件A，則A={(C,D)，(C,E)，(D,E)}，共有3個樣本點，

18.(1)證明：由三棱柱性質(zhì)，四邊形BCFE為平行四邊形，故BC//FE，

又P，Q分別為線段BC，EF的中點，則易有BP=EQ，

即四邊形BPQE為平行四邊形，則BE//PQ，

又由三棱柱性質(zhì)有BE//AD，

故AD//PQ；

(2)證明：由于AQ⊥平面DEF，EF?平面DEF，故AQ⊥EF，又AB=AC，

由三棱柱性質(zhì)知△ABC≌△DEF，則DF=DE，

又Q為線段EF的中點，故EF⊥DQ，

由于AQ⊥EF，EF⊥DQ，且AQ∩QD=Q，AQ，QD?平面AQD，

故EF⊥平面AQD，

由(1)可知AD//PQ，即點P在平面AQD內(nèi)，又AD=BE=PQ，

則四邊形APQD為平行四邊形，且EF⊥平面APQD，

又PQ?平面APQD，故EF⊥PQ，

由于平面PEF與平面EFD的交線EF滿足EF⊥DQ，EF⊥PQ，

故∠PQD為二面角P?EF?D的平面角．

(3)由于EF⊥平面APQD，EF//BC，

故BC⊥平面APQD，

連接AP，同理可證∠APQ為二面角A?BC?Q的平面角，

由于AQ⊥EF，且Q為線段EF的中點，故AE=AF，

又∠EAF=60°，故△AEF為等邊三角形，

不妨設(shè)AE=AF=EF=2a，則AQ=3a，

由于DF=DE，DE⊥DF，

故△DEF為等腰直角三角形，故QD=a，即AD=2a，

則cos∠ADQ=QDAD=a2a=119.(1)在△ABC中，由cosA+2cos(A+3π4)sin(A+3π4)=0，

得cosA?2cos2A+1=0，

解得cosA=?12或cosA=1，

又0<A<π，所以cosA=?12，

所以A=2π3；

(2)由4=AC+AB≥2AB?AC得AB?AC≤4，當(dāng)且僅當(dāng)AB=AC=2時等號成立，

所以SΔABC=12AB?ACsinA≤3，

所以△A