增函數(shù)5道題目及答案一、單項(xiàng)選擇題1.下列函數(shù)在給定區(qū)間上是增函數(shù)的是（）A.$y=-2x+1$（$x\inR$）B.$y=x^2-2x+3$（$x\gt1$）C.$y=\frac{1}{x}$（$x\gt0$）D.$y=\log_{\frac{1}{2}}x$（$x\gt0$）答案：B2.函數(shù)$f(x)=2x^3-3x^2$在區(qū)間$(0,+\infty)$上的單調(diào)性是（）A.單調(diào)遞增B.單調(diào)遞減C.先增后減D.先減后增答案：C3.若函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$I$上是增函數(shù)，且$x_1,x_2\inI$，那么（）A.若$x_1\gtx_2$，則$f(x_1)\gtf(x_2)$B.若$f(x_1)\gtf(x_2)$，則$x_1\gtx_2$C.若$x_1\ltx_2$，則$f(x_1)\gtf(x_2)$D.若$f(x_1)\ltf(x_2)$，則$x_1\ltx_2$答案：A4.已知函數(shù)$f(x)=x+\frac{1}{x}$，則$f(x)$在$(1,+\infty)$上的單調(diào)性是（）A.單調(diào)遞增B.單調(diào)遞減C.先增后減D.先減后增答案：A5.函數(shù)$f(x)=\sqrt{x}$在其定義域內(nèi)是（）A.增函數(shù)B.減函數(shù)C.不單調(diào)函數(shù)D.無法確定單調(diào)性答案：A二、多項(xiàng)選擇題1.下列函數(shù)在$(0,+\infty)$上是增函數(shù)的有（）A.$y=2^x$B.$y=\log_{3}x$C.$y=x^2-2x+3$D.$y=\frac{1}{x}$答案：AB2.對于函數(shù)$f(x)=x^3-3x$，下列說法正確的是（）A.在$(-\infty,-1)$和$(1,+\infty)$上是增函數(shù)B.在$(-1,1)$上是減函數(shù)C.在$x=1$處取得極大值D.在$x=-1$處取得極小值答案：ABC3.若函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$I$上是增函數(shù)，$g(x)$在區(qū)間$I$上是減函數(shù)，則（）A.$f(x)+g(x)$在區(qū)間$I$上是增函數(shù)B.$f(x)-g(x)$在區(qū)間$I$上是增函數(shù)C.$f(x)g(x)$在區(qū)間$I$上是增函數(shù)D.$\frac{f(x)}{g(x)}$在區(qū)間$I$上是增函數(shù)答案：B4.已知函數(shù)$f(x)$是增函數(shù)，$x_1,x_2\inR$，則下列結(jié)論正確的是（）A.$f(x_1+x_2)=f(x_1)+f(x_2)$B.$f(x_1x_2)=f(x_1)f(x_2)$C.若$x_1\ltx_2$，則$f(x_1)\ltf(x_2)$D.若$f(x_1)\ltf(x_2)$，則$x_1\ltx_2$答案：CD5.函數(shù)$f(x)=\tanx$在其定義域內(nèi)的單調(diào)性是（）A.在$(-\frac{\pi}{2}+k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi)$（$k\inZ$）上是增函數(shù)B.在整個(gè)定義域內(nèi)是增函數(shù)C.在$(k\pi,(k+1)\pi)$（$k\inZ$）上是增函數(shù)D.在$(-\pi,0)$和$(0,\pi)$上是增函數(shù)答案：A三、判斷題1.一次函數(shù)$y=kx+b$（$k\gt0$）在$R$上是增函數(shù)。（）答案：√2.反比例函數(shù)$y=\frac{k}{x}$（$k\gt0$）在$(0,+\infty)$上是增函數(shù)。（）答案：×3.二次函數(shù)$y=ax^2+bx+c$（$a\gt0$）在$(-\infty,-\frac{2a})$上是增函數(shù)。（）答案：√4.指數(shù)函數(shù)$y=a^x$（$a\gt1$）在$R$上是增函數(shù)。（）答案：√5.對數(shù)函數(shù)$y=\log_{a}x$（$a\gt1$）在$(0,+\infty)$上是增函數(shù)。（）答案：√四、簡答題1.請簡述增函數(shù)的定義。答案：一般地，設(shè)函數(shù)$f(x)$的定義域?yàn)?I$，如果對于定義域$I$內(nèi)某個(gè)區(qū)間$D$上的任意兩個(gè)自變量的值$x_1$，$x_2$，當(dāng)$x_1\ltx_2$時(shí)，都有$f(x_1)\ltf(x_2)$，那么就說函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$D$上是增函數(shù)。2.如何判斷一個(gè)函數(shù)在給定區(qū)間上是增函數(shù)？答案：可以通過定義法，即設(shè)$x_1$，$x_2$屬于給定區(qū)間，若$x_1\ltx_2$時(shí)，$f(x_1)\ltf(x_2)$，則函數(shù)為增函數(shù)；也可以通過求導(dǎo)法，若函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在給定區(qū)間上大于$0$，則函數(shù)在該區(qū)間上是增函數(shù)。3.列舉幾個(gè)常見的增函數(shù)。答案：常見的增函數(shù)有一次函數(shù)$y=2x$（$x\inR$），指數(shù)函數(shù)$y=2^x$（$x\inR$），對數(shù)函數(shù)$y=\log_{2}x$（$x\gt0$）等。4.增函數(shù)的圖像有什么特點(diǎn)？答案：增函數(shù)的圖像是上升的，從左到右逐漸升高。五、討論題1.討論增函數(shù)的性質(zhì)在實(shí)際問題中的應(yīng)用。答案：在實(shí)際問題中，增函數(shù)的性質(zhì)可以幫助我們分析一些隨著自變量增加而函數(shù)值也增加的情況。例如，在成本函數(shù)中，隨著產(chǎn)量的增加，成本可能會逐漸增加，這就可以用增函數(shù)來描述。又如在銷售利潤函數(shù)中，隨著銷售量的增加，利潤也可能會增加，這也體現(xiàn)了增函數(shù)的性質(zhì)。通過對增函數(shù)性質(zhì)的理解，可以更好地解決實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系。2.討論增函數(shù)與其他函數(shù)性質(zhì)的聯(lián)系與區(qū)別。答案：增函數(shù)與減函數(shù)是相反的概念，增函數(shù)隨著自變量的增加函數(shù)值增加，而減函數(shù)隨著自變量的增加函數(shù)值減小。與奇偶函數(shù)相比，增函數(shù)主要關(guān)注函數(shù)值隨自變量的變化趨勢，而奇偶函數(shù)更強(qiáng)調(diào)函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)或y軸的對稱性。例如，一次函數(shù)$y=2x$是增函數(shù)，而二次函數(shù)$y=x^2$在$(0,+\infty)$上是增函數(shù)，在$(-\infty,0)$上是減函數(shù)，它具有奇偶性。增函數(shù)與其他函數(shù)性質(zhì)的聯(lián)系與區(qū)別在不同的函數(shù)中會有不同的表現(xiàn)，需要具體情況具體分析。3.討論如何利用增函數(shù)的性質(zhì)來解決不等式問題。答案：利用增函數(shù)的性質(zhì)解決不等式問題時(shí)，若函數(shù)是增函數(shù)，那么當(dāng)函數(shù)值大的自變量也大。例如，已知函數(shù)$f(x)$是增函數(shù)，若$f(x_1)\gtf(x_2)$，則$x_1\gtx_2$?？梢酝ㄟ^這種方式將不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)值的比較問題，從而利用函數(shù)的單調(diào)性來求解不等式。4.討論增函數(shù)在數(shù)學(xué)證明中