北京永樂店中學(xué)中考數(shù)學(xué)幾何綜合壓軸題易錯專題一、中考數(shù)學(xué)幾何綜合壓軸題1．小明研究了這樣一道幾何題：如圖1，在中，把繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，把繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接．當(dāng)時，請問邊上的中線與的數(shù)量關(guān)系是什么？以下是他的研究過程：特例驗證：（1）①如圖2，當(dāng)為等邊三角形時，猜想與的數(shù)量關(guān)系為_______；②如圖3，當(dāng)，時，則長為________．猜想論證：（2）在圖1中，當(dāng)為任意三角形時，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．拓展應(yīng)用：（3）如圖4，在四邊形，，，，，，在四邊形內(nèi)部是否存在點，使與之間滿足小明探究的問題中的邊角關(guān)系？若存在，請畫出點的位置（保留作圖痕跡，不需要說明）并直接寫出的邊上的中線的長度；若不存在，說明理由．解析：（1）①；②4，（2）；理由見解析，（3）存在；【分析】（1）①首先證明是含有的直角三角形，可得，即可解決問題；②首先證明，根據(jù)直角三角形斜邊中線定理即可解決問題．（2）與的數(shù)量關(guān)系為，如圖5，延長到，使，連接、，先證四邊形是平行四邊形，再證明，即可解決問題．（3）存在，如圖6，延長交的延長線于，作于，做直線的垂直平分線交于，交于，連接、、，作的中線，連接交于，先證明，，再證明，即可得出結(jié)論，再在中，根據(jù)勾股定理，即可求出的長．【詳解】（1）①如圖2，∵是等邊三角形，把繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，把繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，∴，又∵是邊上的中線，∴，∴，即，∵，，∴，∴，∴在中，，，∴．故答案為：．②如圖3，∵，，∴，即和為直角三角形，∵把繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，把繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，∴在和中，∴，∴，∵是邊上的中線，為直角三角形，∴，又∵，∴．故答案為：．（2），如圖5，延長到，使，連接、，圖5∵，，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵，，∴，∵，∴在和中，∴，∴，∴．（3）存在，如圖6，延長交的延長線于，作于，作直線的垂直平分線交于，交于，連接、、，作的中線，連接交于，圖6∵，∴，∵，∴，在中，∵，，，∴，，，在中，∵，，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，，在中，∵，，∴，∴，∴，∴，∵，∴四邊形是矩形，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∴，∴與之間滿足小明探究的問題中的邊角關(guān)系，在中，∵，，，∴．【點睛】本題考查了三角形的綜合問題．掌握全等三角形的性質(zhì)以及判定定理、直角三角形斜邊中線定理、解直角三角形、勾股定理、中線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．在處理三角形的邊旋轉(zhuǎn)問題時，旋轉(zhuǎn)前后邊長不變，根據(jù)已知角度變化，求得線段之間關(guān)系．在證明某點是否存在問題時，先假設(shè)這點存在，能求出相關(guān)線段或坐標(biāo)，即證實存在性．2．（基礎(chǔ)鞏固）（1）如圖1，在中，M是的中點，過B作，交的延長線于點D．求證：；（嘗試應(yīng)用）（2）在（1）的情況下載線段上取點E（如圖2），已知，，，求；（拓展提高）（3）如圖3，菱形中，點P在對角線上，且，點E為線段上一點，．若，，求菱形的邊長．解析：（1）證明見解析；（2）；（3）．【分析】(1)證明，即可求解；(2)過點B作于點H，得到，進(jìn)而求解；(3)延長交于G，交延長線于F，連結(jié)，可得，所以，設(shè)菱形邊長為，進(jìn)而可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）證明：，，，是的中點，，，．（2）由（1）得，，作，垂足為H，如圖所示：，在中，，．（3）延長交于G，交延長線于F，連結(jié)，如圖所示：過作于由，，設(shè)菱形邊長為，在和中，即，解得（舍負(fù)），菱形的邊長為．【點睛】本題考查四邊形綜合題，主要考查了菱形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形、勾股定理的運(yùn)用，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．3．如圖，在菱形中，，將邊繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至，記旋轉(zhuǎn)角為．過點作于點，過點作直線于點，連接．（探索發(fā)現(xiàn)）填空：當(dāng)時，=．的值是（驗證猜想）當(dāng)時，中的結(jié)論是否仍然成立?若成立，請僅就圖的情形進(jìn)行證明；若不成立，請說明理由；（拓展應(yīng)用）在的條件下，若，當(dāng)是等腰直角三角形時，請直接寫出線段的長．解析：（1），；（2）當(dāng)時，（1）中的結(jié)論仍然成立，理由見解析；（3）線段的長為或．【分析】當(dāng)時，點B′與點C重合，，由四邊形ABCD為菱形，可求∠ABE=90°，由，可求∠ABC=60°，=30°，由DF⊥BC，DC∥AB，∠FDC=∠EBC=30°，由sin∠FDC=sin∠EBC=，可得CF=CE，可求∠CEF=∠FDC=30°即可；當(dāng)時，中的結(jié)論仍然成立．先求，再證．最后證即可；連接，交于點．先求，．．分兩種情況：如圖先求，再證△B′BD∽△EBF，可得，如圖先求．再證△B′BD∽△EBF，．【詳解】當(dāng)時，點B′與點C重合，∵，四邊形ABCD為菱形，CD∥AB，∴⊥AB，∴∠ABE=90°，∵，AD∥BC，∴∠ABC=180°-∠BAD=180°-120°=60°，∴=∠ABE-∠ABC=90°-60°=30°，∵DF⊥BC，DC∥AB，∴DF⊥AD，∠CDA=180°-∠BAD=60°，∴∠FDC=90°-∠CDA=30°，∠FCD=90°-∠FDC=60°，∴∠FDC=∠EBC=30°，∴sin∠FDC=sin∠EBC=，∵DC=BC，∴CF=CE，∴∠CFE=∠CEF=∠FCD=30°，∴∠CEF=∠FDC=30°，∴DF=FE，∵cos∠FDC=，∴=，故答案為，．當(dāng)時，中的結(jié)論仍然成立．證明：如圖，連接．，，．，．．．，即．，，．．，線段的長為或．連接，交于點．，，，，∵DE=BE，∠DEB=90°，∴∠EDB=∠EBD=45°，．，∠B′EB=90°，，．，．．分兩種情況：如圖，，∵∠B′BE=∠DBF=30°，∴cos∠B′BE=cos∠DBF=，又∵∠B′BE+∠EBD=∠EBD+∠DBF，∴∠B′BD=∠EBF，∴△B′BD∽△EBF，∴，．如圖，．∵∠B′BE=∠DBF=30°，∴cos∠B′BE=cos∠DBF=，又∵∠B′BE-∠FBB′=∠DBF-∠FBB′，∴∠B′BD=∠EBF，∴△B′BD∽△EBF，∴，．綜上所述，線段的長為或．【點睛】本題考查圖形旋轉(zhuǎn)變換，菱形性質(zhì)，銳角三角函數(shù)值，等腰直角三角形性質(zhì)，三角形相似判定與性質(zhì)，掌握圖形旋轉(zhuǎn)變換，菱形性質(zhì)，銳角三角函數(shù)值，等腰直角三角形性質(zhì)，三角形相似判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．4．（問題原型）如圖，在矩形中，對角線、交于點，以為直徑作．求證：點、在上．請完成上面問題的證明，寫出完整的證明過程．（發(fā)現(xiàn)結(jié)論）矩形的四個頂點都在以該矩形對角線的交點為圓心，對角線的長為直徑的圓上．（結(jié)論應(yīng)用）如圖，已知線段，以線段為對角線構(gòu)造矩形．求矩形面積的最大值．（拓展延伸）如圖，在正方形中，，點、分別為邊、的中點，以線段為對角線構(gòu)造矩形，矩形的邊與正方形的對角線交于、兩點，當(dāng)?shù)拈L最大時，矩形的面積為_____________________解析：問題原型：見解析；結(jié)論應(yīng)用：見解析；發(fā)現(xiàn)結(jié)論：2；拓展延伸：2【分析】問題原型：運(yùn)用矩形對角線互相平分且相等，即可求證四點共圓；結(jié)論應(yīng)用：根據(jù)結(jié)論矩形面積最大時為正方形，利用對角線的長求得正方形的面積；拓展延伸：由上一問的結(jié)論，可知四邊形為正方形,證明四邊形是正方形，繼而求得面積【詳解】解：【問題原型】∵為直徑，∴為半徑.令.∵四邊形為矩形，∴，，.∴.∴點、在上.【結(jié)論應(yīng)用】連續(xù)交于點，過點作于點.∴.由【發(fā)現(xiàn)結(jié)論】可知，點在以為直徑的圓上，即，∴當(dāng)即時，矩形的面積最大.∴矩形的面積最大值為.【拓展延伸】如圖，連接,設(shè)與的交點為四邊形是正方形,，點、分別為邊、的中點,四邊形是矩形由【結(jié)論應(yīng)用】可知，時，矩形的面積最大為此時四邊形為正方形，此時最大，,四邊形是正方形正方形的面積為：【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)與判定，靈活運(yùn)用矩形，正方形的性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵．5．平面上，矩形ABCD與直徑為QP的半圓K如圖擺放，分別延長DA和QP交于點O，且∠BOQ＝60°，OQ＝OD＝3，OP＝2，OA＝AB＝1．讓線段OD及矩形ABCD位置固定，將線段OQ連帶著半圓K一起繞著點O按逆時針方向形如旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α（0°≤α≤60°）．發(fā)現(xiàn)（1）當(dāng)α＝0°，即初始位置時，點P____直線AB上．（填“在”或“不在”）求當(dāng)α是多少時，OQ經(jīng)過點B？（2）在OQ旋轉(zhuǎn)過程中．簡要說明α是多少時，點P，A間的距離最??？并指出這個最小值：（3）如圖，當(dāng)點P恰好落在BC邊上時．求α及S陰影．拓展如圖．當(dāng)線段OQ與CB邊交于點M，與BA邊交于點N時，設(shè)BM＝x（x＞0），用含x的代數(shù)式表示BN的長，并求x的取值范圍．探究當(dāng)半圓K與矩形ABCD的邊相切時，求sinα的值．解析：發(fā)現(xiàn)：（1）在，15°；（2）當(dāng)α=60°時，最小距離為1；（3）30°，．拓展：x的范圍是；探究：sinα的值為或或．【詳解】解：發(fā)現(xiàn)（1）在；當(dāng)OQ過點B時，在Rt△OAB中，AO＝AB，得∠DOQ＝∠ABO＝45°，∴α＝60°－45°＝15°．（2）如圖3．連AP，有OA＋AP≥OP，當(dāng)OP過點A，即α＝60°時等號成立．∴AP≥OP－OA＝2－1＝1．∴當(dāng)α＝60°時．P，A間的距離最小．∴PA的最小值為1．（3）如圖3，設(shè)半圓K與PC交點為R，連接RK，過點P作PH⊥AD于點H，過點R作RE⊥KQ于點E．在Rt△OPH中，PH＝AB＝1，OP＝2，∴∠POH＝30°，∴α＝60°－30°＝30°．由AD//BC知，∠RPQ＝∠POH＝30°．∴∠RKQ＝2×30°＝60°．，在Rt△RKE中，，，；拓展如圖5，∠OAN＝∠MBN＝90°，∠ANO＝∠BNM，所以△AON∽△BMN．∴，即，∴．如圖4，當(dāng)點Q落在BC上時，x取最大值，作QF⊥AD于點F．．∴x的范圍是．【注：如果考生答“或”均不扣分】探究半圓與矩形相切，分三種情況：①如圖5，半圓K與BC切于點T，設(shè)直線KT與AD和OQ的初始位置所在直線分別交于S，O′，則∠KSO＝∠KTB＝90°，作KG⊥OO′于點G．Rt△OSK中，．Rt△OSO′中，，．Rt△KGO′中，∠O′=30°，KG=Rt△OGK中，②半圓K與AD切于點T，如圖6，同理可得．③當(dāng)半圓K與CD相切時，成Q與點D重合，且為切點．∴α＝60°，∴．綜上述，sinα的值為或或．考點：圓，直線與圓的位置關(guān)系，銳角三角函數(shù)，相似，三角形法則求最值6．我們定義：有一組鄰角相等的凸四邊形叫做“等鄰角四邊形”（1）概念理解：請你根據(jù)上述定義舉一個等鄰角四邊形的例子；（2）問題探究；如圖1，在等鄰角四邊形ABCD中，∠DAB=∠ABC，AD，BC的中垂線恰好交于AB邊上一點P，連結(jié)AC，BD，試探究AC與BD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）應(yīng)用拓展；如圖2，在Rt△ABC與Rt△ABD中，∠C=∠D=90°，BC=BD=3，AB=5，將Rt△ABD繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)角α（0°＜∠α＜∠BAC）得到Rt△AB′D′（如圖3），當(dāng)凸四邊形AD′BC為等鄰角四邊形時，求出它的面積．解析：（1）矩形或正方形；（2）AC=BD，理由見解析；（3）10或12﹣．【分析】（1）矩形或正方形鄰角相等，滿足“等鄰角四邊形”條件；（2）AC=BD，理由為：連接PD，PC，如圖1所示，根據(jù)PE、PF分別為AD、BC的垂直平分線，得到兩對角相等，利用等角對等角得到兩對角相等，進(jìn)而確定出∠APC=∠DPB，利用SAS得到三角形ACB與三角形DPB全等，利用全等三角形對應(yīng)邊相等即可得證；（3）分兩種情況考慮：（i）當(dāng)∠AD′B=∠D′BC時，延長AD′，CB交于點E，如圖3（i）所示，由S四邊形ACBD′=S△ACE﹣S△BED′，求出四邊形ACBD′面積；（ii）當(dāng)∠D′BC=∠ACB=90°時，過點D′作D′E⊥AC于點E，如圖3（ii）所示，由S四邊形ACBD′=S△AED′+S矩形ECBD′，求出四邊形ACBD′面積即可．【詳解】（1）矩形或正方形；（2）AC=BD，理由為：連接PD，PC，如圖1所示：∵PE是AD的垂直平分線，PF是BC的垂直平分線，∴PA=PD，PC=PB，∴∠PAD=∠PDA，∠PBC=∠PCB，∴∠DPB=2∠PAD，∠APC=2∠PBC，即∠PAD=∠PBC，∴∠APC=∠DPB，∴△APC≌△DPB（SAS），∴AC=BD；（3）分兩種情況考慮：（i）當(dāng)∠AD′B=∠D′BC時，延長AD′，CB交于點E，如圖3（i）所示，∴∠ED′B=∠EBD′，∴EB=ED′，設(shè)EB=ED′=x，由勾股定理得：42+（3+x）2=（4+x）2，解得：x=4.5，過點D′作D′F⊥CE于F，∴D′F∥AC，∴△ED′F∽△EAC，∴，即，解得：D′F=，∴S△ACE=AC×EC=×4×（3+4.5）=15；S△BED′=BE×D′F=×4.5×=，則S四邊形ACBD′=S△ACE﹣S△BED′=15﹣=10；（ii）當(dāng)∠D′BC=∠ACB=90°時，過點D′作D′E⊥AC于點E，如圖3（ii）所示，∴四邊形ECBD′是矩形，∴ED′=BC=3，在Rt△AED′中，根據(jù)勾股定理得：AE=，∴S△AED′=AE×ED′=××3=，S矩形ECBD′=CE×CB=（4﹣）×3=12﹣3，則S四邊形ACBD′=S△AED′+S矩形ECBD′=+12﹣3=12﹣．【點睛】此題是四邊形綜合題，主要考查了“等鄰角四邊形”的理解，三角形，四邊形的內(nèi)角和定理，角平分線的意義，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，理解“等鄰角四邊形”的定義是解本題的關(guān)鍵，分類討論是解本題的難點，是一道中考?？碱}．7．如圖，分別為中上的動點（點除外），連接交于點P，.我們約定：線段所對的，稱為線段的張角.情景發(fā)現(xiàn)（1）已知三角形是等邊三角形，，①求線段的張角的度數(shù)；②求點P到的最大距離；③若點P的運(yùn)動路線的長度稱為點P的路徑長，求點P的路徑長.拓展探究（2）在（1）中，已知是圓P的外切三角形，若點的運(yùn)動路線的長度稱為點的路徑長，試探究點的路徑長與點P的路徑長之間有何關(guān)系？請通過計算說明.解析：（1）①120°，②點P到的最大距離，③；（2）點的路徑長與點P的路徑長的比值是2：1（或點的路徑長是點P的路徑長的2倍）.【分析】（1）①利用等邊三角形的性質(zhì)證△AEB與△BCF全等，得到∠EBA＝∠BCF，利用三角形的內(nèi)角和定理即可求出∠CPB的度數(shù)；②由題意可知當(dāng)PO⊥BC于點N時，點P到BC的距離最大，根據(jù)垂徑定理及三角函數(shù)即可求出點P到BC的最大距離；③由題意知點P的路徑長為弧BC的長，在②的基礎(chǔ)上直接利用公式即可求出結(jié)果；（2）由題意可知張角∠CPB的度數(shù)始終為120°，可得∠CBP＋∠BCP＝60°，因為圓P是△A'BC的內(nèi)切圓，由此可推出A'是等邊三角形ABC外接圓上優(yōu)弧BAC上的一動點，其半徑為2，圓心角240°，根據(jù)弧長公式可直接求出其長度，并計算出點A'的路徑長是點P的路徑長的2倍．【詳解】解：（1）①∵是等邊三角形，∴，∵，∴，∴.∵，∴，.②（2）如圖所示，由于始終為，故過點作圓O,∴.當(dāng)于點N時，點P到的距離最大.∵，∴，∴，∴點P到的最大距離.③由②可知點P的路徑為的長度，即（2）點的路徑長與點P的路徑長的比值是（或點的路徑長是點P的路徑長的2倍），理由：由（1）中題意可知張角的度數(shù)始終為，可得，又因為圓P是的內(nèi)切圓，所以，所以，所以是等邊三角形外接圓上優(yōu)弧上的一動點，由題意可得等邊三角形外接圓的半徑為，點的路徑是優(yōu)弧的長度，即以的圓心角，半徑為的弧長，如圖，所以點的路徑長=，點的路徑長與點P的路徑長的比值是：，所以點的路徑長與點P的路徑長的比值是2：1（或點的路徑長是點P的路徑長的2倍）.【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，圓的有關(guān)性質(zhì)，弧長公式等，解題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)題意畫出圖形.8．如圖①，在中，為邊上一點，過點作交于點，連接，為的中點，連接．（觀察猜想）（1）①的數(shù)量關(guān)系是___________②的數(shù)量關(guān)系是______________（類比探究）（2）將圖①中繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，如圖②所示，則(1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；（拓展遷移）（3）將繞點旋轉(zhuǎn)任意角度，若，請直接寫出點在同一直線上時的長．解析：（1）①；②；（2）成立，證明見解析；（3）的長為或【分析】（1）①根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可得到答案；②由①知，利用等邊對等角和三角形的外角性質(zhì)，得到，，然后即可得到答案；（2）①過點作交的延長線于點，EF與交于點，利用等腰直角三角形的性質(zhì)，證明，即可得到結(jié)論成立；②由全等三角形的性質(zhì)，求出∠OEC=90°，即可得到結(jié)論成立；（3）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，點在同一直線上可分為兩種情況：①點C在線段OB上；②點C在OB的延長線上；利用等腰直角三角形的性質(zhì)，分別求出OE的長度，即可得到答案.【詳解】解：（1）如圖，在△AOD和△ACD中，∵，為AD中點，，，E為AD中點，，；②，為AD中點，，∴；同理可得：，，．（2）成立．證明：①如圖，過點作交的延長線于點與交于點，∵是等腰三角形，∴∵，∴，∴，∴均為等腰直角三角形，∴，又∵，∴，∴；②，∴，，，；（3）的長為或；∵在等腰直角中，，，由（2）可知，，，∴是等腰直角三角形，∴；當(dāng)點在同一直線上時，有①點C在線段OB上；如圖：∴，∴；②點C在OB的延長線上；如圖：∴，∴；綜上所述，的長為或；【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，以及三角形的外角性質(zhì)等，綜合能力強(qiáng)，知識的運(yùn)用廣泛.解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的性質(zhì)進(jìn)行解題，注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想和分類討論的思想進(jìn)行分析.9．（基礎(chǔ)鞏固）（1）如圖①，，求證：．（嘗試應(yīng)用）（2）如圖②，在菱形中，，點E，F(xiàn)分別為邊上兩點，將菱形沿翻折，點A恰好落在對角線上的點P處，若，求的值．（拓展提高）（3）如圖③，在矩形中，點P是邊上一點，連接，若，求的長．解析：（1）見解析；（2）；（3）．【分析】（1）由證明，再根據(jù)相似三角形的判定方法解題即可；（2）由菱形的性質(zhì)，得到，，繼而證明是等邊三角形，結(jié)合（1）中相似三角形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，設(shè)，則可整理得到，據(jù)此解題；（3）在邊上取點E，F(xiàn)，使得，由矩形的性質(zhì)，得到，結(jié)合（1）中相似三角形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)解題即可．【詳解】解：（1）證明：∵，∴，即，∵，∴；（2）∵四邊形是菱形，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，由（1）得，，∴，設(shè)，則∴，可得①，②，①－②，得，∴，∴的值為；（3）如圖，在邊上取點E，F(xiàn)，使得，設(shè)AB=CD=m，∵四邊形是矩形，∴，∴，=DF，，由（1）可得，，∴，∴，整理，得，解得或（舍去），∴．【點睛】本題考查相似三角形的綜合題、等邊三角形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)等知識，是重要考點，難度一般，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．10．（1）問題發(fā)現(xiàn)如圖1，在和中，，，，連接交于點.填空：①的值為______；②的度數(shù)為______．（2）類比探究如圖2，在和中，，，連接交的延長線于點.請判斷的值及的度數(shù)，并說明理由；（3）拓展延伸在（2）的條件下，將繞點在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，所在直線交于點，若，，請直接寫出當(dāng)點與點在同一條直線上時的長．解析：（1）①1；②；（2），．理由見解析；（3）2或4．【分析】（1）①證明△COA≌△DOB（SAS），得AC=BD，比值為1；②由△COA≌△DOB，得∠CAO=∠DBO，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理先求∠OAB+∠OBA的值，再求∠AMB的值即可；（2）根據(jù)銳角三角比可得，根據(jù)兩邊的比相等且夾角相等可得△AOC∽△BOD，根據(jù)相似撒尿性的性質(zhì)求解即可；（3）當(dāng)點與點在同一條直線上，有兩種情況：如圖3和圖4，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和勾股定理，可得AD的長．【詳解】（1）①∵，∴∠BOD=∠AOC，又∵，，∴△BOD≌△AOC，∴BD=AC，∴=1；②∵，∴∠OAB+∠OBA=140°，∵△BOD≌△AOC，∴∠CAO=∠DBO，∴∠CAO+∠OAB+∠ABM=∠DBO+∠OAB+∠ABM=∠OAB+∠OBA=140°，∴∠AMB=；（2）如圖2，，．理由如下：中，，，，同理得：，，，，，，∠CAO=∠DBO，∵∠BEO+∠DBO=90°，∴∠CAE+∠AEM=90°，∴∠AMB=90°；（3）∵∠A=30°，，∴OA==3．如圖3，當(dāng)點D和點A在點O的同側(cè)時，∵，∴AD=3-2=2；如圖4，當(dāng)點D和點A在點O的兩側(cè)時，∵，，OA=3∴AD=3+1=4．綜上可知，AD的長是2或4．【點睛】本題是三角形的綜合題，主要考查了三角形全等和相似的性質(zhì)和判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，以及分類討論的數(shù)學(xué)思想，解題的關(guān)鍵是能得出：△AOC∽△BOD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，并運(yùn)用類比的思想解決問題，本題是一道比較好的題目．11．?dāng)?shù)學(xué)課外活動小組的同學(xué)在學(xué)習(xí)了完全平方公式之后，針對兩個正數(shù)之和與這兩個正數(shù)之積的算術(shù)平方根的兩倍之間的關(guān)系進(jìn)行了探究，請閱讀以下探究過程并解決問題．猜想發(fā)現(xiàn)：由；；；；；猜想：如果，，那么存在（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）．猜想證明：∵∴①當(dāng)且僅當(dāng)，即時，，∴；②當(dāng)，即時，，∴．綜合上述可得：若，，則成立（當(dāng)日僅當(dāng)時等號成立）．猜想運(yùn)用：（1）對于函數(shù)，當(dāng)取何值時，函數(shù)的值最小？最小值是多少？變式探究：（2）對于函數(shù)，當(dāng)取何值時，函數(shù)的值最??？最小值是多少？拓展應(yīng)用：（3）疫情期間、為了解決疑似人員的臨隔離問題．高速公路榆測站入口處，檢測人員利用檢測站的一面墻（墻的長度不限），用63米長的鋼絲網(wǎng)圍成了9間相同的長方形隔離房，如圖．設(shè)每間離房的面積為（米2）．問：每間隔離房的長、寬各為多少時，可使每間隔離房的面積最大？最大面積是多少？解析：（1），函數(shù)的最小值為2；（2），函數(shù)的最小值為5；（3）每間隔離房長為米，寬為米時，的最大值為【分析】猜想運(yùn)用：根據(jù)材料以及所學(xué)完全平方公式證明求解即可；變式探究：將原式轉(zhuǎn)換為，再根據(jù)材料中方法計算即可；拓展應(yīng)用：設(shè)每間隔離房與墻平行的邊為米，與墻垂直的邊為米，依題意列出方程，然后根據(jù)兩個正數(shù)之和與這兩個正數(shù)之積的算術(shù)平方根的兩倍之間的關(guān)系探究最大值即可．【詳解】猜想運(yùn)用：∵，∴，∴，∴當(dāng)時，，此時，只取，即時，函數(shù)的最小值為2．變式探究：∵，∴，，∴，∴當(dāng)時，，此時，∴，（舍去），即時，函數(shù)的最小值為5.拓展應(yīng)用：設(shè)每間隔離房與墻平行的邊為米，與墻垂直的邊為米，依題意得：，即，∵，，∴，即，整理得：，即，∴當(dāng)時，此時，，即每間隔離房長為米，寬為米時，的最大值為．【點睛】本題主要考查根據(jù)完全平方公式探究兩個正數(shù)之和與這兩個正數(shù)之積的算術(shù)平方根的兩倍之間的關(guān)系，熟練運(yùn)用完全平方公式并參照材料中步驟進(jìn)行計算是解題關(guān)鍵，屬于創(chuàng)新探究題．12．我們定義:如果一個三角形一條邊上的高等于這條邊,那么這個三角形叫做“等高底”三角形,這條邊叫做這個三角形的“等底”．（1）概念理解:如圖1,在中,,.,試判斷是否是“等高底”三角形，請說明理由.（2）問題探究:如圖2,是“等高底”三角形,是“等底”，作關(guān)于所在直線的對稱圖形得到,連結(jié)交直線于點.若點是的重心,求的值.（3）應(yīng)用拓展:如圖3,已知,與之間的距離為2.“等高底”的“等底”在直線上,點在直線上,有一邊的長是的倍.將繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到,所在直線交于點.求的值.解析：（1）證明見解析；（2）（3）的值為,,2【解析】分析：（1）過點A作AD⊥直線CB于點D，可以得到AD=BC=3，即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)ΔABC是“等高底”三角形，BC是“等底”，得到AD=BC，再由ΔA′BC與ΔABC關(guān)于直線BC對稱，得到∠ADC=90°，由重心的性質(zhì)，得到BC=2BD．設(shè)BD=x，則AD=BC=2x，CD=3x，由勾股定理得AC=x，即可得到結(jié)論；（3）分兩種情況討論即可：①當(dāng)AB=BC時，再分兩種情況討論；②當(dāng)AC=BC時，再分兩種情況討論即可．詳解：（1）是．理由如下：如圖1，過點A作AD⊥直線CB于點D，∴ΔADC為直角三角形，∠ADC=90°．∵∠ACB=30°，AC=6，∴AD=AC=3，∴AD=BC=3，即ΔABC是“等高底”三角形．（2）如圖2，∵ΔABC是“等高底”三角形，BC是“等底”，∴AD=BC，∵ΔA′BC與ΔABC關(guān)于直線BC對稱，∴∠ADC=90°．∵點B是ΔAA′C的重心，∴BC=2BD．設(shè)BD=x，則AD=BC=2x，∴CD=3x，∴由勾股定理得AC=x，∴．（3）①當(dāng)AB=BC時，Ⅰ．如圖3，作AE⊥l1于點E，DF⊥AC于點F．∵“等高底”ΔABC的“等底”為BC，l1//l2，l1與l2之間的距離為2，AB=BC，∴BC=AE=2，AB=2，∴BE=2，即EC=4，∴AC=．∵ΔABC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)45°得到ΔA'B'C，∴∠CDF=45°．設(shè)DF=CF=x．∵l1//l2，∴∠ACE=∠DAF，∴，即AF=2x．∴AC=3x=，可得x=，∴CD=x=．Ⅱ．如圖4，此時ΔABC是等腰直角三角形，∵ΔABC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)45°得到ΔA'B'C，∴ΔACD是等腰直角三角形，∴CD=AC=．②當(dāng)AC=BC時，Ⅰ．如圖5，此時△ABC是等腰直角三角形．∵ΔABC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)45°得到ΔA′B′C，∴A′C⊥l1，∴CD=AB=BC=2．Ⅱ．如圖6，作AE⊥l1于點E，則AE=BC，∴AC=BC=AE，∴∠ACE=45°，∴ΔABC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)45°得到ΔA′B′C時，點A′在直線l1上，∴A′C∥l2，即直線A′C與l2無交點．綜上所述：CD的值為，，2．點睛：本題是幾何變換-旋轉(zhuǎn)綜合題．考查了重心的性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及閱讀理解能力．解題的關(guān)鍵是對新概念“等高底”三角形的理解．13．(1)問題發(fā)現(xiàn)

如圖1,△ACB和△DCE均為等腰直角三角形,∠ACB=90°,B,C,D在一條直線上.

填空:線段AD,BE之間的關(guān)系為

.(2)拓展探究

如圖2,△ACB和△DCE均為等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,請判斷AD,BE的關(guān)系,并說明理由.

(3)解決問題

如圖3,線段PA=3,點B是線段PA外一點,PB=5,連接AB,將AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AC,隨著點B的位置的變化,直接寫出PC的范圍.

解析：(1)AD=BE，AD⊥BE．(2)AD=BE，AD⊥BE．(3)5-3≤PC≤5+3．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)證△ACD≌△BCE（SAS），得AD=BE，∠EBC=∠CAD，延長BE交AD于點F，由垂直定義得AD⊥BE．（2）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)證△ACD≌△BCE（SAS），AD=BE，∠CAD=∠CBE，由垂直定義得∠OHB=90°，AD⊥BE；（3）作AE⊥AP，使得AE=PA，則易證△APE≌△ACP，PC=BE，當(dāng)P、E、B共線時，BE最小，最小值=PB-PE；當(dāng)P、E、B共線時，BE最大，最大值=PB+PE，故5-3≤BE≤5+3.【詳解】（1）結(jié)論：AD=BE，AD⊥BE．理由：如圖1中，∵△ACB與△DCE均為等腰直角三角形，∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ACD=90°，在Rt△ACD和Rt△BCE中∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE，∠EBC=∠CAD延長BE交AD于點F，∵BC⊥AD，∴∠EBC+∠CEB=90°，∵∠CEB=AEF，∴∠EAD+∠AEF=90°，∴∠AFE=90°，即AD⊥BE．∴AD=BE，AD⊥BE．故答案為AD=BE，AD⊥BE．（2）結(jié)論：AD=BE，AD⊥BE．理由：如圖2中，設(shè)AD交BE于H，AD交BC于O．∵△ACB與△DCE均為等腰直角三角形，∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=90°，∴ACD=∠BCE，在Rt△ACD和Rt△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE，∠CAD=∠CBE，∵∠CAO+∠AOC=90°，∠AOC=∠BOH，∴∠BOH+∠OBH=90°，∴∠OHB=90°，∴AD⊥BE，∴AD=BE，AD⊥BE．（3）如圖3中，作AE⊥AP，使得AE=PA，則易證△APE≌△ACP，∴PC=BE，圖3-1中，當(dāng)P、E、B共線時，BE最小，最小值=PB-PE=5-3，圖3-2中，當(dāng)P、E、B共線時，BE最大，最大值=PB+PE=5+3，∴5-3≤BE≤5+3，即5-3≤PC≤5+3．【點睛】本題是幾何變換綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找三角形全等的條件，學(xué)會添加輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考壓軸題．14．（問題）如圖1，在中，，過點作直線平行于．，點在直線上移動，角的一邊始終經(jīng)過點，另一邊與交于點，研究和的數(shù)量關(guān)系．（探究發(fā)現(xiàn)）（1）如圖2，某數(shù)學(xué)興趣小組運(yùn)用“從特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想，發(fā)現(xiàn)當(dāng)點移動到使點與點重合時，通過推理就可以得到，請寫出證明過程；（數(shù)學(xué)思考）（2）如圖3，若點是上的任意一點（不含端點），受（1）的啟發(fā)，這個小組過點作交于點，就可以證明，請完成證明過程；（拓展引申）（3）如圖4，在（1）的條件下，是邊上任意一點（不含端點），是射線上一點，且，連接與交于點，這個數(shù)學(xué)興趣小組經(jīng)過多次取點反復(fù)進(jìn)行實驗，發(fā)現(xiàn)點在某一位置時的值最大．若，請你直接寫出的最大值．解析：【探究發(fā)現(xiàn)】（1）見解析；【數(shù)學(xué)思考】（2）見解析；【拓展引申】（3）時，有最大值為2．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及平行的定義即可解得根據(jù)證明即可推出過點作交于點，連接，可證明，再推出即可得=，則.【詳解】證明：【探究發(fā)現(xiàn)】（1）∵∴∵∴，且∴∴即【數(shù)學(xué)思考】（2）∵∴∴，∵∴，且，∴∴【拓展引申】（3）如圖4，過點作交于點，連接，∵，∴∵∴∴∴，且∴∴∵，∴∴∴∴∴∵∴點，點，點，點四點共圓，∴∴，且∴∴∴∴∴時，有最大值為2．【點睛】本題考查等腰三角形，解題關(guān)鍵在于熟練掌握等腰三角形的性質(zhì).15．（1）（探究發(fā)現(xiàn)）如圖1，的頂點在正方形兩條對角線的交點處，，將繞點旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中，的兩邊分別與正方形的邊和交于點和點（點與點，不重合）．則之間滿足的數(shù)量關(guān)系是．（2）（類比應(yīng)用）如圖2，若將（1）中的“正方形”改為“的菱形”，其他條件不變，當(dāng)時，上述結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請猜想結(jié)論并說明理由．（3）（拓展延伸）如圖3，，，，平分，，且，點是上一點，，求的長．解析：（1）（2）結(jié)論不成立．（3）【分析】（1）結(jié)論：．根據(jù)正方形性質(zhì)，證，根據(jù)全等三角形性質(zhì)可得結(jié)論；（2）結(jié)論不成立．．連接，在上截取，連接．根據(jù)菱形性質(zhì)，證，四點共圓，分別證是等邊三角形，是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形性質(zhì)證，根據(jù)全等三角形性質(zhì)可得結(jié)論；（3）由可知是鈍角三角形，，作于，設(shè)．根據(jù)勾股定理，可得到，由，得四點共圓，再證是等邊三角形，由（2）可知：，故可得．【詳解】（1）如圖1中，結(jié)論：．理由如下：∵四邊形是正方形，∴，，，∵，∴，∴，∴，∴．故答案為．（2）如圖2中，結(jié)論不成立．．理由：連接，在上截取，連接．∵四邊形是菱形，，∴，∵，∴四點共圓，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，，∵，，∴是等邊三角形，∴，，∴，∴，∴，∴，（3）如圖3中，由可知是鈍角三角形，，作于，設(shè)．在中，，∵，∴，解得（舍棄）或，∴，∵，∴四點共圓，∵平分，∴，∴，∵，∴是等邊三角形，由（2）可知：，∴．【點睛】考核知識點：正方形性質(zhì)，全等三角形判定和性質(zhì)，等邊三角形判定和性質(zhì)，圓的性質(zhì).綜合運(yùn)用各個幾何性質(zhì)定理是關(guān)鍵；此題比較綜合.16．（1）證明推斷：如圖（1），在正方形中，點，分別在邊，上，于點，點，分別在邊，上，．①求證：；②推斷：的值為；（2）類比探究：如圖（2），在矩形中，（為常數(shù)）．將矩形沿折疊，使點落在邊上的點處，得到四邊形，交于點，連接交于點．試探究與CP之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）拓展應(yīng)用：在（2）的條件下，連接，當(dāng)時，若，，求的長．解析：（1）①證明見解析；②解：結(jié)論：．理由見解析；（2）結(jié)論：．理由見解析；（3）．【解析】【分析】（1）①由正方形的性質(zhì)得AB=DA，∠ABE=90°=∠DAH．所以∠HAO+∠OAD=90°，又知∠ADO+∠OAD=90°，所以∠HAO=∠ADO，于是△ABE≌△DAH，可得AE=DQ．②證明四邊形DQFG是平行四邊形即可解決問題．（2）結(jié)論：如圖2中，作GM⊥AB于M．證明：△ABE∽△GMF即可解決問題．（3）如圖2-1中，作PM⊥BC交BC的延長線于M．利用相似三角形的性質(zhì)求出PM，CM即可解決問題．【詳解】（1）①證明：∵四邊形是正方形，∴，．∴．∵，∴．∴．∴≌，∴．②解：結(jié)論：．理由：∵，，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，∴．故答案為1．（2）解：結(jié)論：．理由：如圖2中，作于．∵，∴，∴，，∴，∴∽，∴，∵，∴四邊形是矩形，∴，∴．（3）解：如圖2﹣1中，作交的延長線于．∵，，∴，∴，∴可以假設(shè)，，，∵，，∴，∴，∴或﹣1（舍棄），∴，，∵，∴，∴，，∵，∴，，∴，∴∽，∴，∴，∴，，∴，∴．【點睛】本題屬于相似形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問題，學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考壓軸題．17．（1）（閱讀與證明）如圖1，在正的外角內(nèi)引射線，作點C關(guān)于的對稱點E（點E在內(nèi)），連接，、分別交于點F、G．①完成證明：點E是點C關(guān)于的對稱點，，，．正中，，，，得．在中，，______．在中，，______．②求證：．（2）（類比與探究）把（1）中的“正”改為“正方形”，其余條件不變，如圖2．類比探究，可得：①______；②線段、、之間存在數(shù)量關(guān)系___________．（3）（歸納與拓展）如圖3，點A在射線上，，，在內(nèi)引射線，作點C關(guān)于的對稱點E（點E在內(nèi)），連接，、分別交于點F、G．則線段、、之間的數(shù)量關(guān)系為__________．解析：（1）①60°，30°；②證明見解析；（2）①45°；②BF=(AF+FG)；（3）．【分析】（1）①根據(jù)等量代換和直角三角形的性質(zhì)即可確定答案；②在FB上取AN=AF，連接AN．先證明△AFN是等邊三角形，得到∠BAN=∠2=∠1，然后再證明△ABN≌△AEF，然后利用全等三角形的性質(zhì)以及線段的和差即可證明；（2）類比（1）的方法即可作答；（3）根據(jù)（1）（2）的結(jié)論，即可總結(jié)出答案．【詳解】解：（1）①∵，，∴，即60°；∵∴故答案為60°，30°；②在FB上取FN=AF，連接AN∵∠AFN=∠EFG=60°∴△AFN是等邊三角形∴AF=FN=AN∵FN=AF∴∠BAC=∠NAF=60°∴∠BAN+∠NAC=∠NAC+∠2∴∠BAN=∠2∵點C關(guān)于的對稱點E∴∠2=∠1,AC=AE∴∠BAN=∠2=∠1∵AB=AC∴AB=AE在△ABN和△AEFFN=AF,∠BAN=∠1,AB=AE∴△ABN≌△AEF∴BN=EF∵AG⊥CE，∠FEG=30°∴EF=2FG∴BN=EF=2FG∵BF=BN+NF∴BF=2FG+AF（2）①點E是點C關(guān)于的對稱點，，，．正方形ABCD中，，，，得．在中，，45．在中，，45．故答案為45°；②在FB上取FN=AF，連接AN∵∠AFN=∠EFG=45°∴△AFN是等腰直角三角形∴∠NAF=90°，AF=AN∴∠BAN+∠NAC=∠NAC+∠2=90°,FN=AF∴∠BAN=∠2∵點C關(guān)于的對稱點E∴∠2=∠1,AC=AE∴∠BAN=∠2=∠1∵AB=AC∴AB=AE在△ABN和△AEFFN=AF,∠BAN=∠1,AB=AE∴△ABN≌△AEF∴BN=EF∵AG⊥CE，∠FEG=45°∴EF=FG∴BN=EF=FG∵BF=BN+NF∴BF=FG+AF（3）由（1）得：當(dāng)∠BAC=60°時BF=AF+2FG=；由（2）得：當(dāng)∠BAC=90°時BF=AF+2FG=；以此類推，當(dāng)當(dāng)∠BAC=60°時，．【點睛】本題考查了軸對稱的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及三角函數(shù)的應(yīng)用，靈活應(yīng)用所學(xué)知識是解答本題的關(guān)鍵．18．問題提出如圖（1），在和中，，，，點在內(nèi)部，直線與交于點，線段，，之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？問題探究（1）先將問題特殊化．如圖（2），當(dāng)點，重合時，直接寫出一個等式，表示，，之間的數(shù)量關(guān)系；（2）再探究一般情形．如圖（1），當(dāng)點，不重合時，證明（1）中的結(jié)論仍然成立．問題拓展如圖（3），在和中，，，（是常數(shù)），點在內(nèi)部，直線與交于點，直接寫出一個等式，表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系．解析：（1）．（2）見解析；問題拓展：．【分析】（1）先證明△BCE≌△ACD,得到AF=BE，BF-BE=BF-AF=EF=；（2）過點作交于點，證明，，是等腰直角三角形即可；利用前面的方法變?nèi)葹橄嗨谱C明即可．【詳解】問題探究（1）．理由如下：如圖（2），∵∠BCA=∠ECF=90°，∴∠BCE=∠ACF，∵BC=AC，EC=CF，△BCE≌△ACF，∴BE=AF，∴BF-BE=BF-AF=EF=；（2）證明：過點作交于點，則，∴．∵，∴．又∵，，∴，∴．∴．∴，，∴是等腰直角三角形．∴．∴．問題拓展．理由如下：∵∠BCA=∠ECD=90°，∴∠BCE=∠ACD，∵BC=kAC，EC=kCD，∴△BCE∽△ACD，∴∠EBC=∠FAC，過點作交于點M，則，∴．∴△BCM∽△ACF，∴BM:AF=BC:AC=MC:CF=k，∴BM=kAF,MC=kCF，∴BF-BM=MF，MF==∴BF-kAF=．【點睛】本題考查了等腰直角三角