馬鞍山市初一數(shù)學(xué)壓軸題專題一、七年級上冊數(shù)學(xué)壓軸題1．如圖，兩個(gè)形狀、大小完全相同的含有30°、60°的直角三角板如圖①放置，PA、PB與直線MN重合，且三角板PAC、三角板PBD均可繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（1）試說明∠DPC=90°；（2）如圖②，若三角板PBD保持不動(dòng)，三角板PAC繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度，PF平分∠APD，PE平分∠CPD，求∠EPF；（3）如圖③．在圖①基礎(chǔ)上，若三角板PAC開始繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為5°/秒，同時(shí)三角板PBD繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為1°/秒，（當(dāng)PA轉(zhuǎn)到與PM重合時(shí)，兩三角板都停止轉(zhuǎn)動(dòng)），在旋轉(zhuǎn)過程中，PC、PB、PD三條射線中，當(dāng)其中一條射線平分另兩條射線的夾角時(shí)，請求出旋轉(zhuǎn)的時(shí)間．答案：（1）見解析；（2）；（3）旋轉(zhuǎn)時(shí)間為15秒或秒時(shí)，PB、PC、PD其中一條射線平分另兩條射線的夾角．【分析】（1）結(jié)合題意利用直角三角形的兩個(gè)銳角互余，即可證明．（2）結(jié)合題意根據(jù)角平分線的解析：（1）見解析；（2）；（3）旋轉(zhuǎn)時(shí)間為15秒或秒時(shí)，PB、PC、PD其中一條射線平分另兩條射線的夾角．【分析】（1）結(jié)合題意利用直角三角形的兩個(gè)銳角互余，即可證明．（2）結(jié)合題意根據(jù)角平分線的定義，利用各角之間的等量關(guān)系即可求解．（3）設(shè)t秒時(shí)，其中一條射線平分另兩條射線的夾角．根據(jù)題意求出t的取值范圍，再根據(jù)情況討論，利用數(shù)形結(jié)合的思想列一元一次方程，求解即可．【詳解】（1）∵兩個(gè)三角板形狀、大小完全相同，∴，又∵，∴，∴．（2）根據(jù)題意可知，∵，，∴，又∵，∴．（3）設(shè)t秒時(shí)，其中一條射線平分另兩條射線的夾角，∵當(dāng)PA轉(zhuǎn)到與PM重合時(shí)，兩三角板都停止轉(zhuǎn)動(dòng)，∴秒．分三種情況討論：當(dāng)PD平分時(shí)，根據(jù)題意可列方程，解得t=15秒<36秒，符合題意．當(dāng)PC平分時(shí)，根據(jù)題意可列方程，解得t=秒<36秒，符合題意．當(dāng)PB平分時(shí)，根據(jù)題意可列方程，解得t=秒>36秒，不符合題意舍去．所以旋轉(zhuǎn)時(shí)間為15秒或秒時(shí)，PB、PC、PD其中一條射線平分另兩條射線的夾角．【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形的性質(zhì)，角平分線的定義，圖形的旋轉(zhuǎn)．掌握圖形旋轉(zhuǎn)的特征，找出其等量關(guān)系來列方程求解是解答本題的關(guān)鍵．2．如圖，半徑為1個(gè)單位的圓片上有一點(diǎn)Q與數(shù)軸上的原點(diǎn)重合（提示：圓的周長）．（1）把圓片沿?cái)?shù)軸向左滾動(dòng)1周，點(diǎn)Q到達(dá)數(shù)軸上點(diǎn)A的位置，點(diǎn)A表示的數(shù)是________；（2）圓片在數(shù)軸上向右滾動(dòng)的周數(shù)記為正數(shù)，圓片在數(shù)軸上向左滾動(dòng)的周數(shù)記為負(fù)數(shù)，依次運(yùn)動(dòng)情況記錄如下：①第幾次滾動(dòng)后，Q點(diǎn)距離原點(diǎn)最近？第幾次滾動(dòng)后，Q點(diǎn)距離原點(diǎn)最遠(yuǎn)？②當(dāng)圓片結(jié)束運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程共有多少？此時(shí)點(diǎn)Q所表示的數(shù)是多少？答案：（1）-2π；（2）①第4次滾動(dòng)后Q點(diǎn)離原點(diǎn)最近，第3次滾動(dòng)后，Q點(diǎn)離原點(diǎn)最遠(yuǎn)；；②34π；2π．【分析】（1）利用圓的半徑以及滾動(dòng)周數(shù)即可得出滾動(dòng)距離；（2）①利用滾動(dòng)的方向以及滾動(dòng)的周數(shù)即解析：（1）-2π；（2）①第4次滾動(dòng)后Q點(diǎn)離原點(diǎn)最近，第3次滾動(dòng)后，Q點(diǎn)離原點(diǎn)最遠(yuǎn)；；②34π；2π．【分析】（1）利用圓的半徑以及滾動(dòng)周數(shù)即可得出滾動(dòng)距離；（2）①利用滾動(dòng)的方向以及滾動(dòng)的周數(shù)即可得出Q點(diǎn)移動(dòng)距離變化；

②利用絕對值得性質(zhì)以及有理數(shù)的加減運(yùn)算得出移動(dòng)距離和Q表示的數(shù)即可．【詳解】解：（1）把圓片沿?cái)?shù)軸向左滾動(dòng)1周，點(diǎn)Q到達(dá)數(shù)軸上點(diǎn)A的位置，點(diǎn)A表示的數(shù)是-2π；故答案為：-2π；

（2）①第4次滾動(dòng)后Q點(diǎn)離原點(diǎn)最近，第3次滾動(dòng)后，Q點(diǎn)離原點(diǎn)最遠(yuǎn)；

②|﹢2|+|-1|+|-5|+|+4|+|+3|+|-2|=17，

Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程共有：17×2π×1=34π；

（+2）+（-1）+（-5）+（+4）+（+3）+（-2）=1，

1×2π=2π，此時(shí)點(diǎn)Q所表示的數(shù)是2π．【點(diǎn)睛】此題主要考查了數(shù)軸的應(yīng)用以及絕對值的性質(zhì)和圓的周長公式應(yīng)用，利用數(shù)軸得出對應(yīng)數(shù)是解題關(guān)鍵．3．?dāng)?shù)軸上有三點(diǎn)，給出如下定義；若其中一個(gè)點(diǎn)與其他兩個(gè)點(diǎn)的距離恰好滿足倍的數(shù)量關(guān)系，則稱該點(diǎn)是其它兩個(gè)點(diǎn)的：“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”（1）例圖，數(shù)軸上點(diǎn)三點(diǎn)所表示的數(shù)分別為，點(diǎn)到點(diǎn)的距離，點(diǎn)到點(diǎn)的距離是，因?yàn)槭堑膬杀叮苑Q點(diǎn)是點(diǎn)的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”．（2）若點(diǎn)表示數(shù)點(diǎn)表示數(shù)，下列各數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)分別是，其中是點(diǎn)的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”的是；（3）點(diǎn)表示數(shù)，點(diǎn)表示數(shù)為數(shù)軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)；若點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，且點(diǎn)是點(diǎn)的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，求此時(shí)點(diǎn)表示的數(shù)；若點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，點(diǎn)中，有一個(gè)點(diǎn)恰好是其它兩個(gè)點(diǎn)的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”．請直接寫出此時(shí)點(diǎn)表示的數(shù)答案：（1）2，1；（2）；；（3）當(dāng)P在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，P表示的數(shù)為-35或或；若點(diǎn)P在點(diǎn)B的右側(cè)，P表示的數(shù)為40或或．【分析】（1）利用數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離公式直接可求得；（2）根據(jù)題意求得CA解析：（1）2，1；（2）；；（3）當(dāng)P在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，P表示的數(shù)為-35或或；若點(diǎn)P在點(diǎn)B的右側(cè)，P表示的數(shù)為40或或．【分析】（1）利用數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離公式直接可求得；（2）根據(jù)題意求得CA與BC的關(guān)系，得到答案；（3）根據(jù)PA=2PB或PB=2PA列方程求解；分當(dāng)P為A、B關(guān)聯(lián)點(diǎn)、A為P、B關(guān)聯(lián)點(diǎn)、B為A、P關(guān)聯(lián)點(diǎn)三種情況列方程解答．【詳解】解：（1）三點(diǎn)所表示的數(shù)分別為，AB=3-1=2；BC=4-3=1，故答案是：2，1；（2）點(diǎn)A表示的數(shù)為-2，點(diǎn)B表示的數(shù)為1，表示的數(shù)為-1=1,=2是點(diǎn)A,B的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”點(diǎn)A表示的數(shù)為-2，點(diǎn)B表示的數(shù)為1，表示的數(shù)為2=4,=1不是點(diǎn)A,B的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”點(diǎn)A表示的數(shù)為-2，點(diǎn)B表示的數(shù)為1，表示的數(shù)為4=6,=3是點(diǎn)A,B的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”點(diǎn)A表示的數(shù)為-2，點(diǎn)B表示的數(shù)為1，表示的數(shù)為6=8,=5不是點(diǎn)A,B的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”故答案為：（3）①若點(diǎn)P在點(diǎn)B的左側(cè)，且點(diǎn)P是點(diǎn)A,B的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，設(shè)點(diǎn)P表示的數(shù)為（I）當(dāng)P在點(diǎn)A的左側(cè)時(shí)，則有：2PA=PB，即2（-10-）=15-解得=-35（II）當(dāng)點(diǎn)P在A,B之間時(shí)，有2PA=PB或PA=2PB既有2（+10）=15-或+10=2（15-）解得=或因此點(diǎn)P表示的數(shù)為-35或或②若點(diǎn)P在點(diǎn)B的右側(cè)（I）若點(diǎn)P是A,B的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”則有2PB=PA即2（-15）=+10解得=40（II）若點(diǎn)B是A,P的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”則有2AB=PB或AB=2PB即2（15+10）=-15或15+10=2（x-15）解得=65或（III）若點(diǎn)A是B,P的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”則有2AB=AP即2（15+10）=+10解得=40因此點(diǎn)P表示的數(shù)為40或或【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，數(shù)軸及數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離、動(dòng)點(diǎn)問題，認(rèn)真理解關(guān)聯(lián)點(diǎn)的概念，分情況討論列式是解題關(guān)鍵．4．?dāng)?shù)軸上有A，B，C三點(diǎn)，給出如下定義：若其中一個(gè)點(diǎn)與其它兩個(gè)點(diǎn)的距離恰好滿足2倍的數(shù)量關(guān)系，則稱該點(diǎn)是其它兩個(gè)點(diǎn)的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”．例如：數(shù)軸上點(diǎn)A，B，C所表示的數(shù)分別為1，3，4，此時(shí)點(diǎn)B是點(diǎn)A，C的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”．回答下列問題：（1）若點(diǎn)A表示數(shù)-2，點(diǎn)B表示數(shù)1．下列各數(shù)-1，2，4，6所對應(yīng)的點(diǎn)是、、.其中是點(diǎn)A，B的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”的是______．（2）點(diǎn)A表示數(shù)4，點(diǎn)B表示數(shù)10，P為數(shù)軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)：①若點(diǎn)P在點(diǎn)B的左側(cè)，且點(diǎn)P是點(diǎn)A，B的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，則此時(shí)點(diǎn)P表示的數(shù)是多少？②若點(diǎn)P在點(diǎn)B的右側(cè)，點(diǎn)P，A，B中，有一個(gè)點(diǎn)恰好是其它兩個(gè)點(diǎn)的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，請直接寫出此時(shí)點(diǎn)P表示的數(shù)．答案：（1）C1，C3；（2）①-2或6或8；②16或22或13【分析】（1）根據(jù)題意求得CA與BC的關(guān)系，得到答案；（2）①根據(jù)PA=2PB列方程求解；②分當(dāng)P為A、B關(guān)聯(lián)點(diǎn)、A為P、B關(guān)聯(lián)點(diǎn)、解析：（1）C1，C3；（2）①-2或6或8；②16或22或13【分析】（1）根據(jù)題意求得CA與BC的關(guān)系，得到答案；（2）①根據(jù)PA=2PB列方程求解；②分當(dāng)P為A、B關(guān)聯(lián)點(diǎn)、A為P、B關(guān)聯(lián)點(diǎn)、B為A、P關(guān)聯(lián)點(diǎn)、B為P、A關(guān)聯(lián)點(diǎn)四種可能列方程解答．【詳解】解：（1）∵點(diǎn)A表示數(shù)-2，點(diǎn)B表示數(shù)1，C1表示的數(shù)為-1，∴AC1=1，BC1=2，∴C1是點(diǎn)A、B的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”；∵點(diǎn)A表示數(shù)-2，點(diǎn)B表示數(shù)1，C2表示的數(shù)為2，∴AC2=4，BC1=1，∴C2不是點(diǎn)A、B的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”；∵點(diǎn)A表示數(shù)-2，點(diǎn)B表示數(shù)1，C3表示的數(shù)為4，∴AC3=6，BC3=3，∴C3是點(diǎn)A、B的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”；∵點(diǎn)A表示數(shù)-2，點(diǎn)B表示數(shù)1，C4表示的數(shù)為6，∴AC4=8，BC4=5，∴C4不是點(diǎn)A、B的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”；故答案為：C1，C3；（2）①若點(diǎn)P在點(diǎn)B的左側(cè)，且點(diǎn)P是點(diǎn)A，B的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，設(shè)點(diǎn)P表示的數(shù)為x（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)P在A的左側(cè)時(shí)，則有：2PA=PB，即2（4-x）=10-x，解得，x=-2；（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)P在A、B之間時(shí)，有2PA=PB或PA=2PB，即有2（x-4）=10-x或x-4=2（10-x），解得，x=6或x=8；因此點(diǎn)P表示的數(shù)為-2或6或8；②若點(diǎn)P在點(diǎn)B的右側(cè)，（Ⅰ）若點(diǎn)P是點(diǎn)A、B的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，則有，2PB=PA，即2（x-10）=x-4，解得，x=16；（Ⅱ）若點(diǎn)B是點(diǎn)A、P的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，則有，2AB=PB或AB=2PB，即2（10-4）=x-10或10-4=2（x-10），得，x=22或x=13；（Ⅲ）若點(diǎn)A是點(diǎn)B、P的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，則有，2AB=PA，即2（10-4）=x-4，解得，x=16；因此點(diǎn)P表示的數(shù)為16或22或13．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸及數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離、動(dòng)點(diǎn)問題，認(rèn)真理解新定義：關(guān)聯(lián)點(diǎn)表示的數(shù)是與前面的點(diǎn)A的距離是到后面的數(shù)B的距離的2倍，列式可得結(jié)果．5．如圖，數(shù)軸上有三個(gè)點(diǎn)、、，表示的數(shù)分別是、、，請回答：（1）若使、兩點(diǎn)的距離與、兩點(diǎn)的距離相等，則需將點(diǎn)向左移動(dòng)______個(gè)單位．（2）若移動(dòng)、、三點(diǎn)中的兩個(gè)點(diǎn)，使三個(gè)點(diǎn)表示的數(shù)相同，移動(dòng)方法有種，其中移動(dòng)所走的距離和最小的是_______個(gè)單位；（3）若在表示的點(diǎn)處有一只小青蛙，一步跳個(gè)單位長．小青蛙第次先向左跳步，第次再向右跳步，然后第次再向左跳步，第次再向右跳步按此規(guī)律繼續(xù)跳下去，那么跳第次時(shí)，應(yīng)跳_______步，落腳點(diǎn)表示的數(shù)是_______．（4）數(shù)軸上有個(gè)動(dòng)點(diǎn)表示的數(shù)是，則的最小值是_______．答案：（1）3；（2）3，7；（3）197，；（4）9．【分析】（1）設(shè)需將點(diǎn)C向左移動(dòng)x個(gè)單位，再根據(jù)數(shù)軸的定義建立方程，解方程即可得；（2）分為三種：移動(dòng)點(diǎn)B、C；移動(dòng)點(diǎn)A、C；移動(dòng)點(diǎn)A、B，再解析：（1）3；（2）3，7；（3）197，；（4）9．【分析】（1）設(shè)需將點(diǎn)C向左移動(dòng)x個(gè)單位，再根據(jù)數(shù)軸的定義建立方程，解方程即可得；（2）分為三種：移動(dòng)點(diǎn)B、C；移動(dòng)點(diǎn)A、C；移動(dòng)點(diǎn)A、B，再利用數(shù)軸的定義分別求出移動(dòng)所走的距離和即可得；（3）先根據(jù)前4次歸納類推出一般規(guī)律，再列出運(yùn)算式子，計(jì)算有理數(shù)的加減法即可得；（4）分，，和數(shù)四種情況，再分別結(jié)合數(shù)軸的定義、化簡絕對值即可得．【詳解】（1）設(shè)需將點(diǎn)C向左移動(dòng)x個(gè)單位，由題意得：，解得，即需將點(diǎn)C向左移動(dòng)3個(gè)單位，故答案為：3；（2），，，由題意，分以下三種情況：①移動(dòng)點(diǎn)B、C，把點(diǎn)B向左移動(dòng)2個(gè)單位，點(diǎn)C向左移動(dòng)7個(gè)單位，此時(shí)移動(dòng)所走的距離和為；②移動(dòng)點(diǎn)A、C，把點(diǎn)A向右移動(dòng)2個(gè)單位，點(diǎn)C向左移動(dòng)5個(gè)單位，此時(shí)移動(dòng)所走的距離和為；③移動(dòng)點(diǎn)A、B，把點(diǎn)A向右移動(dòng)7個(gè)單位，點(diǎn)B向右移動(dòng)5個(gè)單位，此時(shí)移動(dòng)所走的距離和為；綜上，移動(dòng)方法有3種，其中移動(dòng)所走的距離和最小的是7個(gè)單位，故答案為：3，7；（3）第次跳的步數(shù)為，第次跳的步數(shù)為，第次跳的步數(shù)為，第次跳的步數(shù)為，歸納類推得：第n次跳的步數(shù)為，其中n為正整數(shù)，則第99次跳的步數(shù)為，落腳點(diǎn)表示的數(shù)為，，，，故答案為：197，；（4）由題意，分以下四種情況：①當(dāng)時(shí)，則；②當(dāng)時(shí)，則，，；③當(dāng)時(shí)，則，，；④當(dāng)時(shí)，則；綜上，，則的最小值是9，故答案為：9．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸、化簡絕對值、一元一次方程的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握數(shù)軸的定義是解題關(guān)鍵．6．已知數(shù)軸上點(diǎn)A對應(yīng)的數(shù)為，點(diǎn)B在點(diǎn)A右側(cè)，且兩點(diǎn)間的距離為8．點(diǎn)P為數(shù)軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C在原點(diǎn)位置．（1）點(diǎn)B的數(shù)為____________；（2）①若點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離比到點(diǎn)B的距離大2，點(diǎn)P對應(yīng)的數(shù)為_________；②數(shù)軸上是否存在點(diǎn)P，使點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離是點(diǎn)P到點(diǎn)B的距離的2倍？若存在，求出點(diǎn)P對應(yīng)的數(shù)；若不存在，請說明理由；（3）已知在數(shù)軸上存在點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離與點(diǎn)P到點(diǎn)C的距離之和等于點(diǎn)P到點(diǎn)B的距離時(shí)，點(diǎn)P對應(yīng)的數(shù)為___________；答案：（1）2；（2）①-1；②或10；（3）-8和-4【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離可得結(jié)果；（2）①根據(jù)點(diǎn)P相對于A、B的不同位置分類討論即可；②分點(diǎn)P在點(diǎn)A的左側(cè)，點(diǎn)P在A、B之間，解析：（1）2；（2）①-1；②或10；（3）-8和-4【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離可得結(jié)果；（2）①根據(jù)點(diǎn)P相對于A、B的不同位置分類討論即可；②分點(diǎn)P在點(diǎn)A的左側(cè)，點(diǎn)P在A、B之間，點(diǎn)P在點(diǎn)B右側(cè)三種情況，列方程求解；（3）分點(diǎn)P在點(diǎn)A左側(cè)，點(diǎn)P在A、O之間，點(diǎn)P在O、B之間，點(diǎn)P在點(diǎn)B右側(cè)四種情況，列方程求解，根據(jù)結(jié)果進(jìn)行判斷．【詳解】解：（1）∵點(diǎn)A對應(yīng)的數(shù)為-6，點(diǎn)B在點(diǎn)A右側(cè)，A，B兩點(diǎn)間的距離為8，∴-6+8=2，即點(diǎn)B表示的數(shù)為2；（2）①設(shè)點(diǎn)P表示的數(shù)為x，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A的左側(cè)，PA＜PB，不符合；當(dāng)點(diǎn)P在A、B之間，x-（-6）=2-x+2，解得：x=-1；當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右側(cè)，PA-PB=AB=8，不符合；故答案為：-1；②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A的左側(cè)，PA＜PB，不符合；當(dāng)點(diǎn)P在A、B之間，x-（-6）=2（2-x），解得：x=；當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右側(cè)，x-（-6）=2（x-2），解得：x=10；∴P對應(yīng)的數(shù)為或10；（3）當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A左側(cè)時(shí)，-6-x+0-x=2-x，解得：x=-8；當(dāng)點(diǎn)P在A、O之間時(shí)，x-（-6）+0-x=2-x，解得：x=-4；當(dāng)點(diǎn)P在O、B之間時(shí)，x-（-6）+x-0=2-x，解得：x=，不符合；當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，x-（-6）+x-0=x-2，解得：x=-8，不符合；綜上：點(diǎn)P表示的數(shù)為-8和-4．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次的方程的應(yīng)用，利用分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想解決問題是本題的關(guān)鍵．7．如圖，點(diǎn)、和線段都在數(shù)軸上，點(diǎn)、、、起始位置所表示的數(shù)分別為、0、2、14：線段沿?cái)?shù)軸的正方向以每秒2個(gè)單位的速度移動(dòng)，移動(dòng)時(shí)間為秒．（1）當(dāng)時(shí)，的長為______，當(dāng)秒時(shí)，的長為_____．（2）用含有的代數(shù)式表示的長為______．（3）當(dāng)_____秒時(shí)，，當(dāng)______秒時(shí)，．（4）若點(diǎn)與線段同時(shí)出發(fā)沿?cái)?shù)軸的正方向移動(dòng)，點(diǎn)的速度為每秒3個(gè)單位，在移動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻是的，若存在，請求出的值，若不存在，請說明理由．答案：（1）1；5；（2）1+2t；（3）4，7；（4）t=5或t=【分析】（1）依據(jù)A、C兩點(diǎn)間的距離求解即可；（2）t秒后點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的距離為2t個(gè)單位長度，從而點(diǎn)C表示的數(shù)；根據(jù)A、C兩點(diǎn)間的距離解析：（1）1；5；（2）1+2t；（3）4，7；（4）t=5或t=【分析】（1）依據(jù)A、C兩點(diǎn)間的距離求解即可；（2）t秒后點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的距離為2t個(gè)單位長度，從而點(diǎn)C表示的數(shù)；根據(jù)A、C兩點(diǎn)間的距離求解即可．（3）t秒后點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的距離為2t個(gè)單位長度，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的距離為2t個(gè)單位長度，從而可得到點(diǎn)A、點(diǎn)D表示的數(shù)；根據(jù)兩點(diǎn)間的距離=|a-b|表示出AC、BD，根據(jù)AC-BD=5和AC+BD=17得到關(guān)于t的含絕對值符號的一元一次方程，分別解方程即可得出結(jié)論；（4）假設(shè)能夠相等，找出AC、BD，根據(jù)AC=2BD即可列出關(guān)于t的含絕對值符號的一元一次方程，解方程即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）當(dāng)t=0秒時(shí)，AC=1+0=1；當(dāng)t=2秒時(shí)，移動(dòng)后C表示的數(shù)為4，∴AC=1+4=5．故答案為：1；5．（2）點(diǎn)A表示的數(shù)為-1，點(diǎn)C表示的數(shù)為2t；∴AC=1+2t．故答案為1+2t．（3）∵t秒后點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的距離為2t個(gè)單位長度，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的距離為2t個(gè)單位長度，∴C表示的數(shù)是2t，B表示的數(shù)是2+2t，∴AC=1+2t，BD=|14-（2+2t）|，∵AC-BD=5，∴1+2t-|14-（2+2t）|=5，解得：t=4．∴當(dāng)t=4秒時(shí)AC-BD=5；∵AC+BD=17，∴1+2t+|14-（2+2t）|=17，解得：t=7；當(dāng)t=7秒時(shí)AC+BD=17，故答案為4，7；（4）假設(shè)能相等，則點(diǎn)A表示的數(shù)為-1+3t，C表示的數(shù)為2t，B表示的數(shù)為2t+2，D表示的數(shù)為14，∴AC=|-1+3t-2t|=|-1+t|，BD=|2t+2-14|=|2t-12|，∵AC=2BD，∴|-1+t|=2|2t-12|，解得：t=5或t=．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸以及一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．8．已知射線在的內(nèi)部，射線平分，射線平分．（1）如圖1，若，則__________度；（2）若，①如圖2，若射線在的內(nèi)部繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，求的度數(shù)；②若射線在的外部繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)中、均是指小于180°的角），其余條件不變，請借助圖3探究的大小，直接寫出的度數(shù)．答案：（1）60；（2）①∠EOF=α；②當(dāng)射線OE，OF只有1條在∠AOB外部時(shí)，∠EOF=α；當(dāng)射線OE，OF都在∠AOB外部時(shí)，∠EOF=180°-α．【分析】（1）先求出∠BOC度數(shù)，根據(jù)角平解析：（1）60；（2）①∠EOF=α；②當(dāng)射線OE，OF只有1條在∠AOB外部時(shí)，∠EOF=α；當(dāng)射線OE，OF都在∠AOB外部時(shí)，∠EOF=180°-α．【分析】（1）先求出∠BOC度數(shù)，根據(jù)角平分線定義求出∠EOC和∠FOC的度數(shù)，求和即可得出答案；（2）①根據(jù)角平分線定義得出∠COE=∠AOC，∠COF=∠BOC，求出∠EOF=∠EOC+∠FOC=∠AOB，代入求出即可；②分兩種情況：當(dāng)射線OE，OF只有1條在∠AOB外部時(shí)，根據(jù)角平分線定義得出∠COE=∠AOC，∠COF=∠BOC，求出∠EOF=∠FOC-∠COE=∠AOB；當(dāng)射線OE，OF都在∠AOB外部時(shí)，根據(jù)角平分線定義得出∠EOF=∠AOC，∠COF=∠BOC，求出∠EOF=∠EOC+∠COF=（360°-∠AOB），代入求出即可．【詳解】解：（1）∵∠AOB=120°，∠AOC=32°，∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=88°，

∵OE，OF分別是∠AOC和∠COB的角平分線，

∴∠EOC=∠AOC=16°，∠FOC=∠BOC=44°，∴∠EOF=∠EOC+∠FOC=16°+44°=60°．故答案為：60；（2）①∵OE，OF分別是∠AOC和∠COB的角平分線，

∴∠EOC=∠AOC，∠FOC=∠BOC，∴∠EOF=∠EOC+∠FOC=∠AOB=α；②分以下兩種情況：當(dāng)射線OE，OF只有1條在∠AOB外部時(shí)，如圖3①，∠EOF=∠FOC-∠COE=∠BOC-∠AOC=（∠BOC-∠AOC）=∠AOB=α．當(dāng)射線OE，OF都在∠AOB外部時(shí)，如圖3②，

∠EOF=∠EOC+∠COF=∠AOC+∠BOC=（∠AOC+∠BOC）=（360°-∠AOB）=180°-α．綜上所述，當(dāng)射線OE，OF只有1條在∠AOB外面時(shí)，∠EOF=α；當(dāng)射線OE，OF都在∠AOB外部時(shí)，∠EOF=180°-α．【點(diǎn)睛】本題考查的是角的計(jì)算，角平分線的定義，熟知從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線叫做這個(gè)角的平分線是解答此題的關(guān)鍵．注意分類思想的運(yùn)用．9．已知，一個(gè)點(diǎn)從數(shù)軸上的原點(diǎn)開始．先向左移動(dòng)6cm到達(dá)A點(diǎn)，再從A點(diǎn)向右移動(dòng)10cm到達(dá)B點(diǎn)，點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)．（1）點(diǎn)C表示的數(shù)是；（2）若點(diǎn)A以每秒2cm的速度向左移動(dòng)，同時(shí)C、B兩點(diǎn)分別以每秒1cm、4cm的速度向右移動(dòng)，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t秒，①運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，點(diǎn)C表示的數(shù)是（用含有t的代數(shù)式表示）；②當(dāng)t＝2秒時(shí)，CB?AC的值為．③試探索：點(diǎn)A、B、C在運(yùn)動(dòng)的過程中，線段CB與AC總有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．答案：（1）-1；（2）①﹣1+t；②121；③線段CB與AC相等，理由詳見解析．【分析】（1）依據(jù)條件即可得到點(diǎn)A表示﹣6，點(diǎn)B表示﹣6+10＝4，再根據(jù)點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，即可得出點(diǎn)C表示的數(shù)；解析：（1）-1；（2）①﹣1+t；②121；③線段CB與AC相等，理由詳見解析．【分析】（1）依據(jù)條件即可得到點(diǎn)A表示﹣6，點(diǎn)B表示﹣6+10＝4，再根據(jù)點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，即可得出點(diǎn)C表示的數(shù)；（2）依據(jù)點(diǎn)C表示的數(shù)為﹣1，點(diǎn)以每秒1cm的速度向右移動(dòng)，即可得到運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，點(diǎn)C表示的數(shù)是﹣1+t；②依據(jù)點(diǎn)A表示的數(shù)為﹣6﹣2×2＝﹣10，點(diǎn)B表示的數(shù)為4+4×2＝12，點(diǎn)C表示的數(shù)是﹣1+2＝1，即可得到CB?AC的值；③依據(jù)點(diǎn)A表示的數(shù)為﹣6﹣2t，點(diǎn)B表示的數(shù)為4+4t，點(diǎn)C表示的數(shù)是﹣1+t，即可得到點(diǎn)A、B、C在運(yùn)動(dòng)的過程中，線段CB與AC相等．【詳解】解：（1）∵一個(gè)點(diǎn)從數(shù)軸上的原點(diǎn)開始，先向左移動(dòng)6cm到達(dá)A點(diǎn)，再從A點(diǎn)向右移動(dòng)10cm到達(dá)B點(diǎn)，∴點(diǎn)A表示﹣6，點(diǎn)B表示﹣6+10＝4，又∵點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，∴點(diǎn)C表示的數(shù)為＝﹣1，故答案為：﹣1．（2）①∵點(diǎn)C表示的數(shù)為﹣1，點(diǎn)以每秒1cm的速度向右移動(dòng)，∴運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，點(diǎn)C表示的數(shù)是﹣1+t，故答案為：﹣1+t；②由題可得，當(dāng)t＝2秒時(shí)，點(diǎn)A表示的數(shù)為﹣6﹣2×2＝﹣10，點(diǎn)B表示的數(shù)為4+4×2＝12，點(diǎn)C表示的數(shù)是﹣1+2＝1，∴當(dāng)t＝2秒時(shí)，AC＝11，BC＝11，∴CB?AC＝121，故答案為：121；③點(diǎn)A、B、C在運(yùn)動(dòng)的過程中，線段CB與AC相等．理由：由題可得，點(diǎn)A表示的數(shù)為﹣6﹣2t，點(diǎn)B表示的數(shù)為4+4t，點(diǎn)C表示的數(shù)是﹣1+t，∴BC＝（4+4t）﹣（﹣1+t）＝5+3t，AC＝（﹣1+t）﹣（﹣6﹣2t）＝5+3t，∴點(diǎn)A、B、C在運(yùn)動(dòng)的過程中，線段CB與AC相等．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)軸上動(dòng)點(diǎn)問題，整式的加減,與線段有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問題．（1）理解數(shù)軸上線段的中點(diǎn)表示的數(shù)是兩個(gè)端點(diǎn)所表示的數(shù)的和除以2；（2）掌握數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離求解方法是解決問題的關(guān)鍵，數(shù)軸上兩點(diǎn)之間對應(yīng)的距離等于它們所表示的數(shù)差的絕對值．10．如果兩個(gè)角的差的絕對值等于60°，就稱這兩個(gè)角互為“伙伴角”，其中一個(gè)角叫做另一個(gè)角的“伙伴角”（本題所有的角都指大于0°小于180°的角），例如，，，則和互為“伙伴角”，即是的“伙伴角”，也是的“伙伴角”．（1）如圖1．O為直線上一點(diǎn)，，，則的“伙伴角”是_______________．（2）如圖2，O為直線上一點(diǎn)，，將繞著點(diǎn)O以每秒1°的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，同時(shí)射線從射線的位置出發(fā)繞點(diǎn)O以每秒4°的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)射線與射線重合時(shí)旋轉(zhuǎn)同時(shí)停止，若設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒，求當(dāng)t何值時(shí)，與互為“伙伴角”．（3）如圖3，，射線從的位置出發(fā)繞點(diǎn)O順時(shí)針以每秒6°的速度旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒，射線平分，射線平分，射線平分．問：是否存在t的值使得與互為“伙伴角”？若存在，求出t值；若不存在，請說明理由．答案：（1）；（2）t為35或15；（3）存在，當(dāng)t=或時(shí)，與互為“伙伴角”．【分析】（1）按照“伙伴角”的定義寫出式子，解方程即可求解；（2）通過時(shí)間t把與表示出來，根據(jù)與互為“伙伴角”，列出方程解析：（1）；（2）t為35或15；（3）存在，當(dāng)t=或時(shí)，與互為“伙伴角”．【分析】（1）按照“伙伴角”的定義寫出式子，解方程即可求解；（2）通過時(shí)間t把與表示出來，根據(jù)與互為“伙伴角”，列出方程，解出時(shí)間t；（3）根據(jù)OI在∠AOB的內(nèi)部和外部以及∠AOP和∠AOI的大小分類討論，分別畫出對應(yīng)的圖形，由旋轉(zhuǎn)得出經(jīng)過t秒旋轉(zhuǎn)角的大小，角的和差，利用角平分線的定義分別表示出∠AOI和∠POI及“伙伴角”的定義求出結(jié)果即可．【詳解】解：（1）∵兩個(gè)角差的絕對值為60°，則此兩個(gè)角互為“伙伴角”，而，∴設(shè)其伙伴角為，，則，由圖知，∴的伙伴角是．（2）∵繞O點(diǎn)，每秒1°逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，則t秒旋轉(zhuǎn)了，而從開始逆時(shí)針繞O旋轉(zhuǎn)且每秒4°，則t秒旋轉(zhuǎn)了，∴此時(shí)，，又與重合時(shí)旋轉(zhuǎn)同時(shí)停止，∴，（秒），又與互為伙伴角，∴，∴，∴，秒或15秒．答：t為35或15時(shí)，與互為伙伴角．（3）①若OI在∠AOB的內(nèi)部且OI在OP左側(cè)時(shí)，即∠AOP＞∠AOI，如下圖所示∵從出發(fā)繞O順時(shí)針每秒6°旋轉(zhuǎn)，則t秒旋轉(zhuǎn)了，∴°，∵平分，∴∠AOM=∠IOM==3t°此時(shí)6t＜160解得：t＜∵射線平分，∴∠ION=∴∠MON=∠IOM＋∠ION=（＋）=∠AOB=80°∵射線平分∴∠POM==40°∴∠POI=∠POM－∠IOM=40°－3t根據(jù)題意可得即解得：t=或（不符合實(shí)際，舍去）∴此時(shí)∠AOI=6×=°∠AOP=∠AOM＋∠MOP=（3×）°＋40°=＞∠AOI，符合前提條件∴t=符合題意；②若OI在∠AOB的內(nèi)部且OI在OP右側(cè)時(shí)，即∠AOP＜∠AOI，如下圖所示∵從出發(fā)繞O順時(shí)針每秒6°旋轉(zhuǎn)，則t秒旋轉(zhuǎn)了，∴°，∵平分，∴∠AOM=∠IOM==3t°此時(shí)6t＜160解得：t＜∵射線平分，∴∠ION=∴∠MON=∠IOM＋∠ION=（＋）=∠AOB=80°∵射線平分∴∠POM==40°∴∠POI=∠IOM－∠POM=3t－40°根據(jù)題意可得即解得：t=或（不符合實(shí)際，舍去）∴此時(shí)∠AOI=6×=40°∠AOP=∠AOM＋∠MOP=（3×）°＋40°=60°＞∠AOI，不符合前提條件∴t=不符合題意，舍去；③若OI在∠AOB的外部但OI運(yùn)動(dòng)的角度不超過180°時(shí)，如下圖所示∵從出發(fā)繞O順時(shí)針每秒6°旋轉(zhuǎn)，則t秒旋轉(zhuǎn)了，∴°，∵平分，∴∠AOM=∠IOM==3t°此時(shí)解得：＜t≤30∵射線平分，∴∠ION=∴∠MON=∠IOM－∠ION=（－）=∠AOB=80°∵射線平分∴∠POM==40°∴∠POI=∠IOM－∠POM=3t－40°根據(jù)題意可得即解得：t=（不符合前提條件，舍去）或（不符合實(shí)際，舍去）∴此時(shí)不存在t值滿足題意；④若OI運(yùn)動(dòng)的角度超過180°且OI在OP右側(cè)時(shí)，即∠AOI＞∠AOP如下圖所示此時(shí)解得：t＞30∵從出發(fā)繞O順時(shí)針每秒6°旋轉(zhuǎn)，則t秒旋轉(zhuǎn)了，∴，∵平分，∴∠AOM=∠IOM==180°－3t∵射線平分，∴∠ION=∴∠MON=∠IOM＋∠ION=（＋）=（360°－∠AOB）=100°∵射線平分∴∠POM==50°∴∠POI=∠IOM－∠POM=130°－3t根據(jù)題意可得即解得：t=（不符合，舍去）或（不符合，舍去）∴此時(shí)不存在t值滿足題意；⑤若OI運(yùn)動(dòng)的角度超過180°且OI在OP左側(cè)時(shí)，即∠AOI＜∠AOP，如下圖所示此時(shí)解得：t＞30∵從出發(fā)繞O順時(shí)針每秒6°旋轉(zhuǎn)，則t秒旋轉(zhuǎn)了，∴，∵平分，∴∠AOM=∠IOM==180°－3t∵射線平分，∴∠ION=∴∠MON=∠IOM＋∠ION=（＋）=（360°－∠AOB）=100°∵射線平分∴∠POM==50°∴∠POI=∠POM－∠IOM=3t－130°根據(jù)題意可得即解得：t=或（不符合，舍去）∴此時(shí)∠AOI=360°－6×=°∠AOP=∠AOM＋∠MOP=180°－（3×）°＋50°=°＞∠AOI，符合前提條件∴t=符合題意；綜上：當(dāng)t=或時(shí)，與互為“伙伴角”．【點(diǎn)睛】本題考查了角的計(jì)算、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、一元一次方程的運(yùn)用及角平分線性質(zhì)的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是利用“伙伴角”列出一元一次方程求解．11．如圖1，在內(nèi)部作射線，，在左側(cè)，且．（1）圖1中，若平分平分，則______；（2）如圖2，平分，探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）設(shè)，過點(diǎn)O作射線，使為的平分線，再作的角平分線，若，畫出相應(yīng)的圖形并求的度數(shù)（用含m的式子表示）．答案：（1）120；（2），見解析；（3）見解析，或【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，再結(jié)合已知條件即可得出答案；（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)與已知條件進(jìn)行角之間的加減即可證明出結(jié)論；（3）根據(jù)角解析：（1）120；（2），見解析；（3）見解析，或【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，再結(jié)合已知條件即可得出答案；（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)與已知條件進(jìn)行角之間的加減即可證明出結(jié)論；（3）根據(jù)角平分線的性質(zhì)結(jié)合已知條件進(jìn)行角度之間的加減運(yùn)算，分類討論得出結(jié)論即可．【詳解】解：（1）∵，，∴，∴，∵平分平分，∴，∴，∴，故答案為：120；（2）．證明：∵平分，∴，∵，∴．∴．∵，∴．∵，∴，∴；（3）如圖1，當(dāng)在的左側(cè)時(shí)，∵平分，∴，，∴，∵，，∴，∴，∴．∵為的平分線，∴．∴；如圖2，當(dāng)在的右側(cè)時(shí)，∵平分，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∴．∵為的平分線，．綜上所述，的度數(shù)為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)與角度之間的加減運(yùn)算，關(guān)鍵在于根據(jù)圖形分析出各角之間的數(shù)量關(guān)系．12．如圖，點(diǎn)O在直線AB上，．（1）如圖①，當(dāng)?shù)囊贿吷渚€OC在直線AB上（即OC與OA重合），另一邊射線OD在直線AB上方時(shí)，OF是的平分線，則的度數(shù)為_______．（2）在圖①的基礎(chǔ)上，將繞著點(diǎn)O順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角度小于），OE是的平分線，OF是的平分線，試探究的大?。偃鐖D②，當(dāng)?shù)膬蛇吷渚€OC、OD都在直線AB的上方時(shí)，求的度數(shù)．小紅、小英對該問題進(jìn)行了討論：小紅：先求出與的和，從而求出與的和，就能求出的度數(shù)．小英：可設(shè)為x度，用含x的代數(shù)式表示、的度數(shù)，也能求出的度數(shù)．請你根據(jù)她們的討論內(nèi)容，求出的度數(shù)．②如圖③，當(dāng)?shù)囊贿吷渚€OC在直線AB的上方，另一邊射線OD在直線AB的下方時(shí)，小紅和小英認(rèn)為也能求出的度數(shù)．你同意她們的看法嗎?若同意，請求出的度數(shù)；若不同意，請說明理由．③如圖④，當(dāng)?shù)膬蛇吷渚€OC、OD都在直線AB的下方時(shí)，能否求出的度數(shù)?若不能求出，請說明理由；若能求出，請直接寫出的度數(shù)．答案：（1）；（2）①；②同意，；③能求出，【分析】（1）由得，再由角平分線的性質(zhì)求出的度數(shù)，由即可求出結(jié)果；（2）①根據(jù)小紅和小英的方法，利用角的互補(bǔ)關(guān)系和角平分線的性質(zhì)去求解角度；②用同上的方解析：（1）；（2）①；②同意，；③能求出，【分析】（1）由得，再由角平分線的性質(zhì)求出的度數(shù)，由即可求出結(jié)果；（2）①根據(jù)小紅和小英的方法，利用角的互補(bǔ)關(guān)系和角平分線的性質(zhì)去求解角度；②用同上的方法去求出結(jié)果；③設(shè)，則，由角平分線的性質(zhì)表示出和，根據(jù)即可求出結(jié)果．【詳解】解：（1）∵，∴，∵OF平分，∴，∴，故答案是：；（2）①方法1：∵，∴∵OE平分，OF平分，∴，，∴，∴，方法2：設(shè)為x度，∵OE平分，∴，∵，∴，∵OF平分，∴，∴；②同意，方法1：∵，OE平分，∴，∵，∴，∵OF平分，∴，∴，方法2：設(shè)為x度，∵OE平分，∴，∴，∵，∴，∵OF平分，∴，∴，③能求出，，理由：設(shè)，則，∴，∵OE平分，OF平分，∴，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查角度求解，解題的關(guān)鍵是掌握角平分線的性質(zhì)，角度互補(bǔ)和互余的性質(zhì)．13．已知點(diǎn)C在線段AB上，AC＝2BC，點(diǎn)D，E在直線AB上，點(diǎn)D在點(diǎn)E的左側(cè)．（1）若AB＝15，DE＝6，線段DE在線段AB上移動(dòng)．①如圖1，當(dāng)E為BC中點(diǎn)時(shí)，求AD的長；②點(diǎn)F（異于A，B，C點(diǎn)）在線段AB上，AF＝3AD，CF＝3，求AD的長；（2）若AB＝2DE，線段DE在直線AB上移動(dòng)，且滿足關(guān)系式＝，求的值．答案：（1）①AD的長為6.5；②AD的長為或；（2）的值為或【分析】（1）根據(jù)已知條件得到BC＝5，AC＝10，①由線段中點(diǎn)的定義得到CE＝2.5，求得CD＝3.5，由線段的和差得到AD＝AC﹣C解析：（1）①AD的長為6.5；②AD的長為或；（2）的值為或【分析】（1）根據(jù)已知條件得到BC＝5，AC＝10，①由線段中點(diǎn)的定義得到CE＝2.5，求得CD＝3.5，由線段的和差得到AD＝AC﹣CD；②如圖2，當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)C的右側(cè)時(shí)，如圖3，當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)C的左側(cè)時(shí)，由線段的和差即可得到結(jié)論；（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段BC之間時(shí)，①如圖4，設(shè)BC＝x，則AC＝2BC＝2x，求得AB＝3x，設(shè)CE＝y(tǒng)，得到AE＝2x+y，BE＝x﹣y，求得y＝x，表示出CD、BD，即可求解；②當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)A的左側(cè)，如圖5，與①類似的步驟可求解；③當(dāng)點(diǎn)D、E都在點(diǎn)C的右側(cè)，如圖6，與①類似的步驟可求解，于是得到結(jié)論．【詳解】解：（1）∵AC＝2BC，AB＝15，∴BC＝5，AC＝10，①∵E為BC中點(diǎn)，∴CE＝2.5，∵DE＝6，∴CD＝3.5，∴AD＝AC﹣CD＝10﹣3.5＝6.5；②如圖2，當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)C的右側(cè)時(shí)，∵CF＝3，AC＝10，∴AF＝AC+CF＝13，∵AF＝3AD，∴AD＝；如圖3，當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)C的左側(cè)時(shí)，∵AC＝10，CF＝3，∴AF＝AC﹣CF＝7，∴AF＝3AD，∴AD＝＝；綜上所述，AD的長為或；（2）①當(dāng)點(diǎn)E在線段BC之間時(shí)，如圖4，設(shè)BC＝x，則AC＝2BC＝2x，∴AB＝3x，∵AB＝2DE，∴DE＝1.5x，設(shè)CE＝y(tǒng)，∴AE＝2x+y，BE＝x﹣y，∴AD＝AE﹣DE＝2x+y﹣1.5x＝0.5x+y，∵，∴，∴y＝x，∴CD＝1.5x﹣x＝x，BD＝3x﹣(0.5x+y)＝x，∴＝＝；②當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)A的左側(cè)，如圖5，設(shè)BC＝x，則DE＝1.5x，設(shè)CE＝y(tǒng)，∴DC＝EC+DE＝y(tǒng)+1.5x，∴AD＝DC﹣AC＝y(tǒng)+1.5x﹣2x＝y(tǒng)﹣0.5x，∵＝，BE＝EC+BC＝x+y，∴，∴y＝4x，∴CD＝y(tǒng)+1.5x＝4x+1.5x＝5.5x，BD＝DC+BC＝y(tǒng)+1.5x+x＝6.5x，∴，③點(diǎn)D、E都在點(diǎn)C的右側(cè)時(shí)，如圖6，設(shè)BC＝x，則DE＝1.5x，設(shè)CE＝y(tǒng)，∴DC＝EC-DE＝y(tǒng)-1.5x，∴AD＝DC+AC＝y(tǒng)-1.5x+2x＝y(tǒng)+0.5x，∵＝，BE＝EC-BC＝y(tǒng)-x，∴，∴y＝-4x（舍去）綜上所述的值為或．【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，線段的和差，線段的中點(diǎn)，以及分類討論的數(shù)學(xué)思想，比較難，分類討論是解答本題的關(guān)鍵．14．已知，OD為∠AOB內(nèi)部的一條射線．（1）如圖（1），若，OD為∠AOB內(nèi)部的一條射線，，OE平分∠AOB，求∠DOE的度數(shù)；（2）如圖（2），若OC、OD是∠AOB內(nèi)部的兩條射線，OM、ON分別平分∠AOD，∠BOC，且，求的值；（3）如圖（3），C1為射線OB的反向延長線上一點(diǎn)，將射線OB繞點(diǎn)O順時(shí)針以6°/s的速度旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后OB對應(yīng)射線為OB1，旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒（0＜t35），OE平分∠AOB1，OF為∠C1OB1的三等分線，，若，直接寫出t的值為_________．答案：（1）當(dāng)OD在∠BOC內(nèi)部時(shí)，；當(dāng)OD在∠AOC內(nèi)部時(shí)，；（2）的值為2；（3）3或15．【分析】（1）先根據(jù)當(dāng)OD在∠BOC內(nèi)部時(shí)，當(dāng)OD在∠AOC內(nèi)部時(shí)，求出的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義求出解析：（1）當(dāng)OD在∠BOC內(nèi)部時(shí)，；當(dāng)OD在∠AOC內(nèi)部時(shí)，；（2）的值為2；（3）3或15．【分析】（1）先根據(jù)當(dāng)OD在∠BOC內(nèi)部時(shí)，當(dāng)OD在∠AOC內(nèi)部時(shí)，求出的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義求出，然后根據(jù)角的和差即可得；（2）設(shè)，先根據(jù)角平分線的定義得出，再根據(jù)角的和差化簡所求式子的分子分母即可得；（3）先依題意，找到兩個(gè)臨界位置：在AO的反向延長線上；與重合；然后根據(jù)角平分線的定義、角的和差倍分求解即可得．【詳解】（1）如圖1，當(dāng)OD在∠BOC內(nèi)部時(shí)，，，平分，，，；當(dāng)OD在∠AOC內(nèi)部時(shí)，，，平分，，，；（2）設(shè)，則，∴，，，，，故的值為2；（3），旋轉(zhuǎn)速度為，射線OB旋轉(zhuǎn)到OA即停止轉(zhuǎn)動(dòng)，由題意得，，平分，，因，則有兩個(gè)臨界位置：在AO的反向延長線上，此時(shí)；與重合，此時(shí)，因此，分以下三種情況分析：如圖3-1，當(dāng)時(shí)，則，，解得，符合題設(shè)，②如圖3-2，當(dāng)時(shí)，則，，解得，符合題設(shè)，③如圖3-3，當(dāng)時(shí)，則，，解得或，均不符題設(shè)，舍去，綜上，t的值為3或15，故答案為：3或15．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義、角的和差倍分，較難的是題（3），依據(jù)題意，找出兩個(gè)臨界位置，從而分三種情況討論構(gòu)造方程是解題關(guān)鍵．15．綜合與探究：射線是內(nèi)部的一條射線，若，則我們稱射線是射線的伴隨線．例如，如圖1，，，則，稱射線是射線的伴隨線；同時(shí)，由于，稱射線是射線的伴隨線．完成下列任務(wù)：（1）如圖2，，射線是射線的伴隨線，則，若的度數(shù)是，射線是射線的伴隨線，射線是的平分線，則的度數(shù)是．（用含的代數(shù)式表示）（2）如圖3，如，射線與射線重合，并繞點(diǎn)以每秒的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，射線與射線重合，并繞點(diǎn)以每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)射線與射線重合時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止．①是否存在某個(gè)時(shí)刻（秒），使得的度數(shù)是，若存在，求出的值，若不存在，請說明理由；②當(dāng)為多少秒時(shí)，射線，，中恰好有一條射線是其余兩條射線的伴隨線．請直接寫出結(jié)果．答案：（1），；（2）①存在，當(dāng)秒或12.5秒時(shí)，的度數(shù)是；②秒或秒或秒或15秒【分析】（1）根據(jù)伴隨線和角平分線的性質(zhì)求解即可；（2）分為若OC與OD在相遇之前、OC與OD在相遇之后兩種情況求解解析：（1），；（2）①存在，當(dāng)秒或12.5秒時(shí)，的度數(shù)是；②秒或秒或秒或15秒【分析】（1）根據(jù)伴隨線和角平分線的性質(zhì)求解即可；（2）分為若OC與OD在相遇之前、OC與OD在相遇之后兩種情況求解即可；（3）分為（Ⅰ）OC、OD未相遇之前：當(dāng)OC是OA的伴隨線時(shí)，當(dāng)OC是OD的伴隨線時(shí)；（Ⅱ）OC、OD相遇之后：當(dāng)OD是OC的伴隨線時(shí)，當(dāng)OD是OA的伴隨線時(shí)，四種情況求解即可.【詳解】解：（1）如圖4所示，，,如圖4所示：，,；故答案為：，；（2）射線與重合時(shí)，（秒）①當(dāng)?shù)亩葦?shù)是時(shí)，有兩種可能：若OC與OD在相遇之前，如圖5：則，∴，若OC與OD在相遇之后，如圖6：則，∴；所以，當(dāng)秒或12.5秒時(shí)，的度數(shù)是．②（Ⅰ）OC、OD未相遇之前：，，，當(dāng)OC是OA的伴隨線時(shí)，如圖7：，即：，解得；當(dāng)OC是OD的伴隨線時(shí)，如圖8：即：，解得；（Ⅱ）OC、OD相遇之后：，，當(dāng)OD是OC的伴隨線時(shí)，9如圖：,即：，解得；當(dāng)OD是OA的伴隨線時(shí)，如圖10：,即：，解得；綜上：當(dāng)，，，15秒時(shí)，、、中恰好有一條射線是其余兩條射線的伴隨線．【點(diǎn)睛】本題考查了提取信息的能力，列代數(shù)式，一元一次方程的應(yīng)用，分類討論的思想；關(guān)鍵在于根據(jù)題意畫出圖形，建立方程解答．16．如圖1，為直線上一點(diǎn)，過點(diǎn)作射線，，將一直角三角板（）的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)處，一邊在射線上，另一邊與都在直線的上方．（注：本題旋轉(zhuǎn)角度最多．）（1）將圖1中的三角板繞點(diǎn)以每秒的速度沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)．如圖2，經(jīng)過秒后，______度（用含的式子表示），若恰好平分，則______秒（直接寫結(jié)果）．（2）在（1）問的基礎(chǔ)上，若三角板在轉(zhuǎn)動(dòng)的同時(shí)，射線也繞點(diǎn)以每秒的速度沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，如圖3，經(jīng)過秒后，______度（用含的式子表示）若平分，求為多少秒？（3）若（2）問的條件不變，那么經(jīng)過秒平分？（直接寫結(jié)果）答案：（1），5；（2），；（3）經(jīng)過秒平分【分析】（1）根據(jù)圖形和題意得出，再除以每秒速度，即可得出；（2）根據(jù)圖形和題意得出，再根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)速度從而得出答案；（3）分別根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)速度關(guān)系和平分畫圖即解析：（1），5；（2），；（3）經(jīng)過秒平分【分析】（1）根據(jù)圖形和題意得出，再除以每秒速度，即可得出；（2）根據(jù)圖形和題意得出，再根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)速度從而得出答案；（3）分別根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)速度關(guān)系和平分畫圖即可．【詳解】（1）∵∴∵平分，∴∴∴解得：秒（2）度∵，平分∴∴∴解得：秒（3）如圖：∵，由題可設(shè)為，為∴∵解得：秒答：經(jīng)過秒平分．【點(diǎn)睛】此題考查了角的計(jì)算，關(guān)鍵是應(yīng)該認(rèn)真審題并仔細(xì)觀察圖形，找到各個(gè)量之間的關(guān)系求出角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．17．如圖①，O是直線上的一點(diǎn)，是直角，平分．（1）若，則____________°，____________°；（2）將圖①中的繞頂點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖②的位置，其他條件不變，若，求的度數(shù)（用含的式子表示）；（3）將圖①中的繞頂點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖③的位置，其他條件不變，直接寫出和的度數(shù)之間的關(guān)系：__________________．（不用證明）答案：（1）60°，15°；（2）∠DOE；（3）∠AOC=360°-2∠DOE．【分析】（1）由已知可求出∠BOC=180°-∠AOC=150°，∠BOD=180°-∠COD-∠AOC=60°，再由解析：（1）60°，15°；（2）∠DOE；（3）∠AOC=360°-2∠DOE．【分析】（1）由已知可求出∠BOC=180°-∠AOC=150°，∠BOD=180°-∠COD-∠AOC=60°，再由∠COD是直角，OE平分∠BOC利用角的和差即可求出∠DOE的度數(shù)；（2）由∠AOC的度數(shù)可以求得∠BOC的度數(shù)，由OE平分∠BOC，可以求得∠COE的度數(shù)，又由∠DOC=90°可以求得∠DOE的度數(shù)；（3）由∠COD是直角，OE平分∠BOC，∠BOC+∠AOC=180°，可以建立各個(gè)角之間的關(guān)系，從而可以得到∠AOC和∠DOE的度數(shù)之間的關(guān)系．【詳解】解：（1）∵，∴∠BOC=180°-∠AOC=150°，∵OE平分∠BOC，∴∠COE=∠BOC=×150°=75°，又∵∠COD是直角，∴∠BOD=90°-∠AOC=60°，∠DOE=∠COD-∠COE=90°-75°=15°，故答案為：60°，15°；（2）∵，∴∠BOC=180°-∠AOC=180°-α，∵OE平分∠BOC，∴∠COE=∠BOC=，又∵∠COD是直角，∴∠DOE=∠COD-∠COE=；（3）∠AOC=360°-2∠DOE；理由：∵OE平分∠BOC，∴∠BOE=∠COE，

則得∠AOC=180°-∠BOC=180°-2∠COE=180°-2（∠DOE-90°），所以得：∠AOC=360°-2∠DOE；故答案為：∠AOC=360°-2∠DOE．【點(diǎn)睛】本題考查角的計(jì)算、角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題目中的信息，建立各個(gè)角之間的關(guān)系，然后找出所求問題需要的條件．18．已知是內(nèi)部的一條射線，分別為上的點(diǎn)，線段同時(shí)分別以的速度繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒．（1）如圖①，若，當(dāng)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到處，①若旋轉(zhuǎn)時(shí)間t為2時(shí)，則______；②若平分平分_____；（2）如圖②，若分別在內(nèi)部旋轉(zhuǎn)時(shí)，請猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）若在旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)時(shí)，求t的值．答案：（1）①40°；②60°；