培優(yōu)點7阿波羅尼斯圓與蒙日圓分值：52分一、單項選擇題(每小題5分，共30分)1.若橢圓C：x2a＋1＋y2a＝1(a>0)的離心率為A.x2＋y2＝9 B.x2＋y2＝7C.x2＋y2＝5 D.x2＋y2＝42.已知☉O：x2＋y2＝1，若在直線y＝kx＋2上總存在點P，使得過點P的☉O的兩條切線互相垂直，則實數(shù)k的取值范圍為()A.[1，＋∞) B.(1，＋∞)C.[2，＋∞) D.(2，＋∞)3.已知雙曲線x2a2－y24＝1(a>1)上存在一點M，過點M向圓x2＋y2＝1作兩條切線MA，MB，若MA·MB＝A.(1，2) B.(1，2]C.[2，＋∞) D.(2，＋∞)4.在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，已知點A(1，0)，B(4，0)，若直線x－y＋m＝0上存在點P使得|PA|＝12|PB|，則實數(shù)m的取值范圍是(A.[－2，2]B.(－∞，－2]∪[2，＋∞)C.(－∞，－22]∪[22，＋∞)D.[－22，22]5.現(xiàn)有△ABC，|AC|＝6，sinC＝2sinA，則當(dāng)△ABC的面積最大時，|BC|等于()A.12 B.20 C.25 D.526.已知在平面直角坐標(biāo)系中，圓O：x2＋y2＝1，點A-12，0和點B0，12，M為圓O上的動點，則2|MA|－|A.52 B.172 C.32二、多項選擇題(每小題6分，共12分)7.在平面直角坐標(biāo)系中，A(－1，0)，B(2，0)，動點C滿足|CA||CB|＝12，直線l：mx－y＋m＋1＝0A.動點C的軌跡方程為(x＋2)2＋y2＝4B.直線l與動點C的軌跡一定相交C.動點C到直線l距離的最大值為2＋1D.若直線l與動點C的軌跡交于P，Q兩點，且|PQ|＝22，則m＝－18.若橢圓Γ：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的蒙日圓方程為C：x2＋y2＝32a2，過C上的動點M作Γ的兩條互相垂直的切線，分別與C交于P，Q兩點，直線PQ交ΓA.橢圓Γ的離心率為2B.△MPQ面積的最大值為32aC.M到Γ的左焦點的距離的最小值為(2－2)aD.若動點D在Γ上，將直線DA，DB的斜率分別記為k1，k2，則k1k2＝－1三、填空題(每小題5分，共10分)9.(2024·南京模擬)滿足條件|AB|＝2，|AC|＝2|BC|的△ABC的面積的最大值為.

10.已知在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，A(－2，1)，B(－2，4)，點P是滿足|PA||PB|＝12的阿氏圓上的任一點，則該阿氏圓的方程為；若點Q為拋物線E：y2＝4x上的動點，Q在y軸上的射影為H，則|PA|＋|PQ|＋|QH|答案精析1.B[因為橢圓C：x2a+1+y2a=1(a所以1a+1=12，解得所以橢圓C的方程為x24+y根據(jù)蒙日圓的定義知，蒙日圓的半徑r=22+(3所以橢圓C的蒙日圓方程為x2+y2=7.]2.A[由題分析可知點P的軌跡方程為x2+y2=2，又點P在直線y=kx+2上，所以直線y=kx+2與圓x2+y2=2必有交點，即2k+1≤2，解得k≥13.B[雙曲線x2a2y24=1(a>1)上存在一點M，過點M向圓x2+y2=1若MA·MB=0，可知四邊形MAOB是正方形，|MO|=2，所以雙曲線的實半軸長的最大值為2，所以實數(shù)a的取值范圍是(1，2].]4.D[設(shè)P(x，y)，則|PA|=(x|PB|=(x因為|PA|=12|PB|所以(=12兩邊同時平方，化簡得x2+y2=4，故點P的軌跡為圓心為(0，0)，半徑為2的圓，又點P在直線xy+m=0上，故圓x2+y2=4與直線xy+m=0必有公共點，所以m1+1≤2解得22≤m≤22.]5.C[如圖所示，以AC的中點為原點，AC邊所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，因為|AC|=6，所以A(3，0)，C(3，0)，設(shè)B(x，y)，因為sinC=2sinA，由正弦定理可得|AB|=2|BC|，所以(x+3)2+y2=4(x3)2+4y2，化簡得(x5)2+y2=16，且y≠0，圓的位置如圖所示，圓心為(5，0)，半徑r=4，觀察可得，在三角形底邊長|AC|不變的情況下，當(dāng)B點位于圓心D的正上方或正下方時，高最大，此時△ABC的面積最大，B點坐標(biāo)為(5，4)或(5，4)，所以|BC|=(5-3)2+46.B[設(shè)點M(x，y)，令2|MA|=|MC|，則|MA||MC|=1由題知圓x2+y2=1是關(guān)于點A，C的阿波羅尼斯圓，設(shè)點C(m，n)，則|MA||MC|=x+1整理得x2+y2+2m+43x+2n比較兩方程可得2m+43=0，2n3=0，m2+n2-13=1，即m=2當(dāng)點M位于圖中M1的位置時，即2|MA||MB|=|M1C||M1B|，此時取得最大值，最大值為|BC|=172.7.ABD[對于A選項，設(shè)C(x，y).因為|CA||CB|=1所以(x+1)整理得x2+y2+4x=0，即(x+2)2+y2=4，所以動點C的軌跡為以N(2，0)為圓心，2為半徑的圓，軌跡方程為(x+2)2+y2=4，故A正確；對于B選項，因為直線l過定點M(1，1)，而點M(1，1)在圓N內(nèi)，所以直線l與圓N一定相交，故B正確；對于C選項，當(dāng)直線l與直線NM垂直時，動點C到直線l的距離最大，且最大值為r+|NM|=2+2，故C錯誤；對于D選項，記圓心N到直線l的距離為d，則d=m-1因為|PQ|2=4(r2d2)=8.又r=2，所以d=2.由(m-1)2m2+1=2，得m8.ABD[由蒙日圓的定義得a2+b2=32a2，即a2=2b2所以橢圓Γ的離心率e=ca=1-b2a2因為點M，P，Q都在圓C上，且∠PMQ=90°，所以PQ為圓C的直徑，所以|PQ|=2×32a2=所以△MPQ面積的最大值為12|PQ|·32a2=6a2·32設(shè)M(x0，y0)，Γ的左焦點為F(c，0)，連接MF(圖略)，因為c2=a2b2=12a2所以|MF|2=(x0+c)2+y02=x02+y02+2x0c+c2=32a2+2x0·2又62a≤x0≤62所以|MF|2的取值范圍為[(23)a2，(2+3)a2]，則M到Γ的左焦點的距離的最小值為(6-2由直線PQ經(jīng)過坐標(biāo)原點，易得點A，B關(guān)于原點對稱，設(shè)A(x1，y1)，D(x2，y2)(x2≠±x1)，則B(x1，y1)，k1=y1-y2x1又x所以x12-x所以y12-y22x所以k1k2=12，故D正確.9.22解析方法一(直解法)建立如圖的平面直角坐標(biāo)系，則A(1，0)，B(1，0)，設(shè)C點的坐標(biāo)為(x，y)，因為|AC|=2|BC|，所以(=2×(x整理得(x3)2+y2=8(y≠0)，所以點C的軌跡是以(3，0)為圓心，22為半徑的圓(除去與x軸的交點).設(shè)圓心為M，當(dāng)CM⊥x軸時，△ABC的面積最大，此時|CM|=r=22，(S△ABC)max=12|AB|·r=12×2×2方法二(秒解法)由題意可知，動點C的軌跡是圓M，且半徑r=|AB|λ-1λ=當(dāng)且僅當(dāng)CM⊥AB時，△ABC面積最大，(S△ABC)max=12|AB|·r=12×2×210.(x+2