§5.4平面向量中的綜合問題重點解讀平面向量中的范圍、最值問題是熱點問題，也是難點問題，此類問題綜合性強，體現(xiàn)了知識的交匯組合.其基本題型是根據(jù)已知條件求某個變量的范圍、最值，比如向量的模、數(shù)量積、向量夾角、系數(shù)的范圍等.題型一平面向量在幾何中的應用例1(1)設P是△ABC所在平面內(nèi)一點，若AB·(CB+CA)=2AB·CP，且AB2=AC22BC·AP，則點P是△ABC的(A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心(2)△ABC的外心O滿足OA+OB+2OC=0，|AB|=2，則△ABC的面積為(A.2+22 B.1+2思維升華用向量方法解決平面幾何問題的步驟平面幾何問題向量問題解決向量問題解決幾何問題.跟蹤訓練1(1)在△ABC中，若OA·OB=OB·OC=OC·OA，則點O是△ABC的()A.內(nèi)心 B.外心C.垂心 D.重心(2)如圖所示，在矩形ABCD中，AB=3，BC=3，BE⊥AC，垂足為E，則ED的長為.

題型二和向量有關的最值問題命題點1與平面向量基本定理有關的最值問題例2已知OA，OB是兩個夾角為120°的單位向量，如圖所示，點C在以O為圓心的AB上運動.若OC=xOA+yOB，其中x，y∈R，則x+y的最大值是(A.2 B.2 C.3 D.3命題點2與數(shù)量積有關的最值問題例3在△ABC中，AC=3，BC=4，∠C=90°.P為△ABC所在平面內(nèi)的動點，且PC=1，則PA·PB的取值范圍是()A.[5，3] B.[3，5]C.[6，4] D.[4，6]命題點3與模有關的最值問題例4已知a，b是單位向量，a·b=0，且向量c滿足|cab|=1，則|c|的取值范圍是()A.[21，2+1] B.[21，2]C.[2，2+1] D.[22，2+思維升華向量求最值(范圍)的常用方法(1)利用三角函數(shù)求最值(范圍).(2)利用基本不等式求最值(范圍).(3)建立坐標系，設變量構(gòu)造函數(shù)求最值(范圍).(4)數(shù)形結(jié)合，應用圖形的幾何性質(zhì)求最值.跟蹤訓練2(1)(2024·銅川模擬)在△ABC中，D是AB邊上的點，滿足AD=2DB，E在線段CD上(不含端點)，且AE=xAB+yAC(x，y∈R)，則x+2yxy的最小值為A.3+22 B.4+23C.8+43 D.8(2)(2025·韶關模擬)已知平面向量a，b，c均為單位向量，且|a+b|=1，則向量a與b的夾角為，(a+b)·(bc)的最小值為.

(3)(2024·會寧模擬)已知單位向量a，b滿足|3a4b|=m，則實數(shù)m的取值范圍是.

四心問題一、引理(“奔馳”定理)如圖1，O是△ABC內(nèi)一點，△BOC，△AOC，△AOB的面積分別為SA，SB，SC，則SAOA＋SBOB＋SCOC＝0.圖1與奔馳汽車的標志(圖2)類似，故該引理又稱為“奔馳”定理.證明如圖，延長AO與BC相交于點D，BDDC記BDDC＝λ，則BD＝λDC，即OD－OB＝λ(所以－(1＋λ)OD＋OB＋λOC＝又OD＝－|OD||所以SASB從而SAOA＋SBOB＋SCOC＝0.推論若O是△ABC內(nèi)的一點，且xOA＋yOB＋zOC＝0，則SA∶SB∶SC＝x∶y∶z.二、三角形“四心”的定義、幾何性質(zhì)和向量特征1.重心(1)定義：三角形三條中線的交點.(2)幾何性質(zhì)：三角形的重心是中線的三等分點，它到頂點的距離等于它到對邊中點距離的2倍.(3)向量特征：定理1G是△ABC的重心?GA＋GB＋證明由引理得G是△ABC的重心?SA＝SB＝SC?GA＋GB＋推論1P是△ABC所在平面內(nèi)任意一點，PG＝13(PA＋PB＋證明G是△ABC的重心?GA＋GB＋GC＝0?PA－PG2.外心(1)定義：三角形三條邊的中垂線的交點，也是三角形外接圓的圓心.(2)幾何性質(zhì)：三角形的外心到三個頂點的距離相等.(3)向量特征：定理2O是銳角△ABC的外心?OAsin2A＋OBsin2B＋OCsin2C＝0.證明由O是銳角△ABC的外心，得|OA|＝|OB|＝|OC|，則∠AOB＝2∠ACB，∠BOC＝2∠BAC，∠COA＝2∠ABC，于是SA∶SB∶SC＝sin2A∶sin2B∶sin2C，根據(jù)引理，得到OAsin2A＋OBsin2B＋OCsin2C＝0.反之亦然(證明略).推論2P是銳角△ABC所在平面內(nèi)任意一點，PO＝PAsin2A＋PBsin2推論2可仿照推論1進行證明.3.內(nèi)心(1)定義：三角形三條內(nèi)角平分線的交點，也是三角形內(nèi)切圓的圓心.(2)幾何性質(zhì)：三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等.(3)向量特征：定理3O是△ABC的內(nèi)心?aOA＋bOB＋cOC＝0.(其中a，b，c分別是△ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊長)證明設△ABC的內(nèi)切圓半徑為r，O是△ABC的內(nèi)心，則SA∶SB∶SC＝ar2∶br2∶cr2＝a∶b根據(jù)引理得，O是△ABC的內(nèi)心?aOA＋bOB＋cOC＝0.推論3P是△ABC所在平面內(nèi)任意一點，O是△ABC的內(nèi)心?PO＝推論3可仿照推論1進行證明.4.垂心(1)定義：三角形三條高所在直線的交點.(2)幾何性質(zhì)：三角形的垂心分每條高線所得的兩條線段長的乘積相等.(3)向量特征：定理4O是△ABC(非直角三角形)的垂心?OAtanA＋OBtanB＋OCtanC＝0.證明O是△ABC(非直角三角形)的垂心?OA·OB＝OB·OC?|OA|·|OB|cos(π－C)＝|OB|·|OC|cos(π－A)＝|OC|·|OA|cos(π－B)?|OA|∶|OB|∶|OC|＝cosA∶cosB∶cosC?SA∶SB∶SC＝tanA∶tanB∶tanC，由引理得，O是△ABC(非直角三角形)的垂心?OAtanA＋OBtanB＋OCtanC＝0.推論4P是△ABC(非直角三角形)所在平面內(nèi)任意一點，O是△ABC(非直角三角形)的垂心?PO＝推論4可仿照推論1進行證明.典例奔馳定理與三角形四心(重心、內(nèi)心、外心、垂心)有著神秘的關聯(lián).它的具體內(nèi)容是：已知M是△ABC內(nèi)一點，△BMC，△AMC，△AMB的面積分別為SA，SB，SC，則SA·MA＋SB·MB＋SC·MC＝0.以下命題錯誤的是()A.若SA∶SB∶SC＝1∶1∶1，則M為△ABC的重心B.若M為△ABC的內(nèi)心，則BC·MA＋AC·MB＋AB·MC＝0C.若∠BAC＝45°，∠ABC＝60°，M為△ABC的外心，則SA∶SB∶SC＝3∶2∶1D.若M為△ABC的垂心，3MA＋4MB＋5MC＝0，則cos∠AMB＝－6答案精析例1(1)A[由AB·(CB+CA)=2AB·CP，得AB·(CB+CA2CP)=0，即AB·[(CBCP)+(CACP)]=0，所以AB·(PB+PA)=0.設D為AB的中點，則AB·2PD=0，故AB·PD=0.由AB2=AC22BC·得(AB+AC)·(ABAC)=2BC·AP，即(AB+AC2AP)·CB=0.設E為BC的中點，則(2AE2AP)·CB=0，則2PE·CB=0，故CB·PE=0.所以P為AB與BC的垂直平分線的交點，所以P是△ABC的外心.](2)B[設AB的中點為D，則OA+OB+2OC=0可化為2OD+2OC=即OC=2OD∴O，D，C三點共線且CD⊥AB，∴△ABC為等腰三角形，|OA|2=|OD|2+|AD|2，設△ABC外接圓的半徑為R，則R2=R22+解得R=1，CD=1+22∴S△ABC=12|AB||CD|=12×2×1+22跟蹤訓練1(1)C[∵OA·OB=OB·OC，∴OB·(OAOC)=0，∴OB·CA=0，∴OB⊥CA，即OB為△ABC邊CA上的高所在的直線.同理OA·BC=0，OC·AB=0，∴OA⊥BC，OC⊥AB，故O是△ABC的垂心.](2)21解析以A為坐標原點，AD，AB所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標系，則A(0，0)，B(0，3)，C(3，3)，D(3，0)，AC=(3，3)，設AE=λAC，則E的坐標為(3λ，3λ)，故BE=(3λ，3λ3).因為BE⊥AC，所以BE·AC=0，即9λ+3λ3=0，解得λ=14所以E34故ED=94，-34，即ED=212例2B[由題意，以O為原點，OA的方向為x軸的正方向，建立如圖所示的平面直角坐標系，設C(cosθ，sinθ)，0°≤θ≤120°，可得A(1，0)，B-1由OC=x(1，0)+y-=(cosθ，sinθ)，得x12y=cosθ，32y=sin∴32y=3sinθ∴x+y=x-12=cosθ+3sinθ=2sin(θ+30°)，∵0°≤θ≤120°，∴30°≤θ+30°≤150°，∴當θ=60°時，x+y的最大值為2，此時C為AB的中點，∴x+y的最大值是2.]例3D[方法一(坐標法)以C為坐標原點，CA，CB所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標系(圖略)，則A(3，0)，B(0，4).設P(x，y)，則x2+y2=1，PA=(3x，y)，PB=(x，4y)，所以PA·PB=x23x+y24y=x-322+(y2又x-322+(y2)2表示圓x2+y2=1上一點到點32，2距離的平方，圓心(0，0)到點3252即PA·PB的取值范圍是[4，6].方法二(極化恒等式法)設AB的中點為M，CM與CP的夾角為θ，由題意知AB=5，CM=52由極化恒等式得PA·PB=PM214AB2=(CM=CM2+CP22CM·=254+15cosθ254=15cos因為cosθ∈[1，1]，所以PA·PB的取值范圍是[4，6].]例4A[a，b是單位向量，a·b=0，設a=(1，0)，b=(0，1)，c=(x，y)，|cab|=|(x1，y1)|=(x-1)2+(y-1)2=1，∴(x1)2+(y1)2=1，∴|c|表示以(1，1)為圓心，1為半徑的圓上的點到原點的距離，故12+121≤|c|≤12跟蹤訓練2(1)B[∵AE=xAB+yAC(x，y∈R)，AD=2DB，∴AE=3x2AD+又E在線段CD上(不含端點)，∴3x2+y=1，且x>0，y∴x+2yxy==1=4+3x2y+2y當且僅當3x2y=2yx，即x=3-33，y=3-1(2)2π3解析由題意知，|a|=|b|=|c|=1，由|a+b|2=a2+2a·b+b2=1，得a·b=12所以cos〈a，b〉=a·b|又〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉=2π3即a與b的夾角為2π3(a+b)·(bc)=a·b+b2(a+b)·c=12|a+b||c|cos〈a+b，c=12cos〈a+b，c又cos〈a+b，c〉∈[1，1]，所以32≥12cos〈a+b，c〉≥當且僅當a+b與c同向時，右側(cè)等號成立.所以(a+b)·(bc)的最小值為12(3)[1，7]解析設a，b的夾角為θ(θ∈[0，π])，因為|3a4b|2=9a224a·b+16b2=9|a|224|a||b|cosθ+16|b|2，又a，b為單位向量，則m2=9+1624cosθ=2524cosθ，又cosθ∈[1，1]，則1≤m2≤49，所以1≤m≤7.微拓展典例C[對于A，取BC的中點D，連接MD，如圖，由SA∶SB∶SC=1∶1∶1，則MA+MB+MC=0，所以2MD=MB+MC=MA，所以A，M，D三點共線，且AM=23設E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點，同理可得CM=23CE，BM=23BF，所以M對于B，由M為△ABC的內(nèi)心，則可設其內(nèi)切圓半徑為r，則有SA=12BC·r，SB=12AC·r，SC=1所以12r·BC·MA+12r·AC·MB+12r·AB·MC即BC·MA+AC·MB+AB·MC=0，故B正確；對于C，由M為△ABC的外心，則可設△ABC的外接圓半徑為R，又∠BAC=45°，∠ABC=60°，則有∠BMC=2∠BAC=90°，∠AMC=2∠ABC=120°，∠AMB=2∠ACB=150°，所以SA=12R2·sin∠=12R2·sin90°=12RSB=12R2·sin∠=12R2·sin120°=34