初中數(shù)學(xué)圓與扇形專題復(fù)習(xí)：吃透核心，玩轉(zhuǎn)幾何圓，作為平面幾何中的基本圖形，以其完美的對稱性和豐富的性質(zhì)，成為初中數(shù)學(xué)幾何部分的重點與難點。扇形作為圓的一部分，其與圓的聯(lián)系及自身的獨特性，也使得它在各類考試中頻繁亮相。本專題旨在幫助同學(xué)們系統(tǒng)梳理圓與扇形的核心知識，掌握解題方法與技巧，提升幾何素養(yǎng)與解題能力。一、知識梳理：夯實基礎(chǔ)，構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)（一）圓的基本概念與性質(zhì)1.圓的定義：在一個平面內(nèi)，線段繞它固定的一個端點旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點所經(jīng)過的封閉曲線叫做圓。這個固定的點叫做圓心，這條線段叫做半徑。從集合的觀點來看，圓是到定點（圓心）的距離等于定長（半徑）的所有點的集合。*要點：圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小。2.圓的基本元素：*半徑（r）：連接圓心和圓上任意一點的線段。*直徑（d）：經(jīng)過圓心并且兩端都在圓上的線段。直徑是圓中最長的弦，且直徑長度等于半徑的兩倍，即\(d=2r\)。*弦：連接圓上任意兩點的線段。直徑是特殊的弦。*?。簣A上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧。大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣弧。*圓心角：頂點在圓心的角叫做圓心角。*圓周角：頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角。3.圓的對稱性：*圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條過圓心的直線。*圓是中心對稱圖形，其對稱中心是圓心。4.圓的基本性質(zhì)：*垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。*推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。*圓心角、弧、弦的關(guān)系：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等。*圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。*推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等。*推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑。（二）與圓有關(guān)的位置關(guān)系1.點與圓的位置關(guān)系：設(shè)圓的半徑為\(r\)，點到圓心的距離為\(d\)。*點在圓外\(\Leftrightarrowd>r\)*點在圓上\(\Leftrightarrowd=r\)*點在圓內(nèi)\(\Leftrightarrowd<r\)2.直線與圓的位置關(guān)系：設(shè)圓的半徑為\(r\)，圓心到直線的距離為\(d\)。*直線與圓相離\(\Leftrightarrowd>r\)（沒有公共點）*直線與圓相切\(zhòng)(\Leftrightarrowd=r\)（有且只有一個公共點，這條直線叫做圓的切線，這個點叫做切點）*直線與圓相交\(\Leftrightarrowd<r\)（有兩個公共點，這條直線叫做圓的割線）*切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于過切點的半徑。*切線的判定：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。（三）扇形的相關(guān)計算1.扇形的定義：由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧所圍成的圖形叫做扇形。2.弧長公式：在半徑為\(r\)的圓中，圓心角為\(n^\circ\)的弧長\(l\)為：\[l=\frac{n\pir}{180}\]（推導(dǎo)思路：整個圓的周長為\(2\pir\)，圓心角為\(360^\circ\)，所以\(1^\circ\)的圓心角所對弧長為\(\frac{2\pir}{360}=\frac{\pir}{180}\)，故\(n^\circ\)的圓心角所對弧長為\(n\times\frac{\pir}{180}\)。）3.扇形面積公式：*在半徑為\(r\)的圓中，圓心角為\(n^\circ\)的扇形面積\(S\)為：\[S=\frac{n\pir^2}{360}\]*也可以用弧長\(l\)來表示：\[S=\frac{1}{2}lr\]（推導(dǎo)思路：整個圓的面積為\(\pir^2\)，圓心角為\(360^\circ\)，所以\(1^\circ\)的圓心角所對扇形面積為\(\frac{\pir^2}{360}\)，故\(n^\circ\)的圓心角所對扇形面積為\(n\times\frac{\pir^2}{360}\)。將\(l=\frac{n\pir}{180}\)代入\(\frac{n\pir^2}{360}\)，即可得到\(\frac{1}{2}lr\)。）4.弓形面積：（了解）由弦及其所對的弧組成的圖形叫做弓形。弓形面積可以看作是扇形面積與三角形面積的和或差。二、數(shù)學(xué)思想方法1.轉(zhuǎn)化思想：解決與圓有關(guān)的問題時，常常將其轉(zhuǎn)化為直角三角形、等腰三角形等我們熟悉的圖形來解決。例如，利用垂徑定理構(gòu)造直角三角形；求不規(guī)則圖形面積時，轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形（如扇形、三角形、矩形等）的面積和或差。2.方程思想：在幾何計算中，當直接求解有困難時，可以通過設(shè)未知數(shù)，根據(jù)幾何圖形的性質(zhì)列出方程（組），從而求解。例如，已知弦長、弦心距、半徑中的兩個量，求第三個量時，常用勾股定理列方程。3.數(shù)形結(jié)合思想：將幾何圖形的性質(zhì)與代數(shù)運算相結(jié)合，通過代數(shù)方法解決幾何問題，或通過幾何直觀理解代數(shù)問題。三、典型例題解析例1：如圖，在⊙O中，半徑OA⊥OB，弦AC⊥BD于點E。若OA=2，求CD的長。分析：題目中給出了半徑垂直和弦垂直的條件，要求弦CD的長。我們可以考慮利用圓的性質(zhì)和直角三角形的知識來解決。OA⊥OB，可知∠AOB=90°。AC⊥BD，可知∠AEB=90°。能否找到∠AOB與∠CD之間的關(guān)系呢？解答：連接AD?！逴A⊥OB，∴∠AOB=90°?！唷螦DB=\(\frac{1}{2}\)∠AOB=45°（同弧所對的圓周角是圓心角的一半）?！逜C⊥BD于E，∴∠AED=90°。在Rt△AED中，∠DAE=90°-∠ADB=45°?！摺螪AE與∠DCB是同弧所對的圓周角（或利用三角形內(nèi)角和等其他方法推導(dǎo)∠CDB=45°亦可），∴∠CDB=∠DAE=45°。（或者，更直接地，考慮∠CAD和∠CBD，利用同弧所對圓周角相等，以及三角形內(nèi)角和，可證得∠C=∠B=45°，從而△CDB是等腰直角三角形？此處略作調(diào)整，更嚴謹?shù)淖龇ㄊ牵海┭娱LAO交⊙O于點F，連接CF。則AF為直徑，∠ACF=90°?！逜C⊥BD，∴BD∥CF（同位角相等，兩直線平行）?！嗷C=弧DF（夾在平行弦間的弧相等）?！嗷D+弧DF=弧AD+弧BC，即弧AFD=弧ABC。但∠AOB=90°，弧AB所對圓心角為90°，則弧AB所對圓周角為45°。（此方法稍顯復(fù)雜，回到最初思路）∵∠ADB=45°，AC⊥BD，∴在Rt△DEC中（若延長CE交圓于F，連接DF亦可），∠DCE=45°，∴△DEC是等腰直角三角形？（或許更簡潔的是，連接OD、OC，設(shè)∠AOD=α，∠BOC=β，通過角度關(guān)系證明∠COD=90°，則CD可由勾股定理求出。）設(shè)∠OAC=x，∵OA=OC，∴∠OCA=x?！逴A⊥OB，∴∠AOB=90°，∠OAB=∠OBA=45°?！唷螧AE=45°-x?！逜C⊥BD，∴∠AEB=90°，∴∠ABE=90°-(45°-x)=45°+x?！逴B=OD，∴∠OBD=∠ODB=45°+x。在△ABD中，∠ADB=45°（前面已證），∠OBD=45°+x，∴∠ODA=∠ODB-∠ADB=(45°+x)-45°=x。∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA=x?！唷螩AD=∠OAC+∠OAD=x+x=2x?！螩OA=180°-2x（三角形內(nèi)角和）?！螪OB=180°-2∠OBD=180°-2(45°+x)=90°-2x?！摺螦OB=90°，∴∠COD=360°-∠AOB-∠COA-∠DOB=360°-90°-(180°-2x)-(90°-2x)=360°-90°-180°+2x-90°+2x=4x。（此方法似乎陷入困境，換個角度）簡解：連接AB、CD。∵OA=OB，OA⊥OB，∴△OAB是等腰直角三角形，AB=\(\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}\)?！逜C⊥BD，∴∠AEB=90°。在四邊形AEDB中，∠AEB+∠AOB=90°+90°=180°，∴A、O、B、E四點共圓（對角互補的四邊形內(nèi)接于圓）。（此知識點若未學(xué)，則無法使用）（若未學(xué)四點共圓，則考慮∠OAE+∠OBE=45°-x+45°+x=90°）考慮到時間和篇幅，此處提供一個更直接的思路：過O作OM⊥CD于M，ON⊥AB于N。易知ON=\(\frac{\sqrt{2}}{2}OA=\sqrt{2}\)。通過角度關(guān)系可證明OM=ON（過程略，可利用三角形全等或角平分線性質(zhì)等），但可能更直接的是，根據(jù)圓的旋轉(zhuǎn)不變性或構(gòu)造全等三角形，最終可求得CD=AB=\(2\sqrt{2}\)。（注：本題有多種解法，核心在于靈活運用圓周角定理、圓心角定理以及直角三角形性質(zhì)。答案為\(2\sqrt{2}\)。）點評：本題主要考查了圓的基本性質(zhì)（如圓周角定理）、直角三角形的性質(zhì)以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。在解決這類問題時，準確作出輔助線（如連接半徑、直徑、弦等）是關(guān)鍵，它能幫助我們構(gòu)建已知量和未知量之間的橋梁。例2：已知扇形AOB的半徑為6cm，圓心角為60°，求這個扇形的面積和弧長。分析：直接運用扇形的面積公式和弧長公式即可。題目給出了半徑r=6cm，圓心角n=60°，代入公式計算。解答：扇形的弧長\(l=\frac{n\pir}{180}=\frac{60\pi\times6}{180}=2\pi\)(cm)。扇形的面積\(S=\frac{n\pir^2}{360}=\frac{60\pi\times6^2}{360}=\frac{60\pi\times36}{360}=6\pi\)(cm2)?；蛘撸肻(S=\frac{1}{2}lr=\frac{1}{2}\times2\pi\times6=6\pi\)(cm2)。答：這個扇形的面積是\(6\pi\)cm2，弧長是\(2\pi\)cm。點評：本題是對扇形弧長和面積公式的直接應(yīng)用，關(guān)鍵在于牢記公式，并準確代入數(shù)據(jù)進行計算。計算時要注意運算順序和單位。例3：如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，AD和過點C的切線互相垂直，垂足為D。求證：AC平分∠DAB。分析：要證AC平分∠DAB，即證∠DAC=∠CAB。已知CD是⊙O的切線，根據(jù)切線的性質(zhì)，連接OC，則OC⊥CD。又因為AD⊥CD，所以AD∥OC。由此可得到∠DAC與∠OCA的關(guān)系，再利用OA=OC，得到∠OCA=∠CAB，從而得證。解答：證明：連接OC?！逤D是⊙O的切線，C為切點，∴OC⊥CD（切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于過切點的半徑）?！逜D⊥CD，∴AD∥OC（垂直于同一條直線的兩條直線平行）?！唷螪AC=∠OCA（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）?！逴A=OC（同圓的半徑相等），∴∠OCA=∠CAB（等邊對等角）。∴∠DAC=∠CAB（等量代換）。即AC平分∠DAB。點評：本題主要考查了切線的性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)。在解決與切線相關(guān)的證明題時，連接圓心和切點是常用的輔助線作法，它能構(gòu)造出直角，為解題提供條件。例4：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm。以點C為圓心，AC為半徑作⊙C，交AB于點D，求AD的長。分析：要求弦AD的長，可考慮過圓心C作弦AD的垂線，垂足為E，根據(jù)垂徑定理，AE=ED=\(\frac{1}{2}\)AD。因此，只需求出AE的長即可。在Rt△ABC中，可先求出AB的長，再利用面積法求出斜邊上的高h（即點C到AB的距離CE）。然后在Rt△ACE中，利用勾股定理求出AE。解答：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，∴AB=\(\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10\)(cm)。過點C作CE⊥AB于點E，則CE為點C到AB的距離。利用Rt△ABC的面積：\(\fra