人教版高中數學必修第二冊第五章平面向量及其應用試卷及答案

一、單項選擇題1.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec=(x,-4)\)，若\(\vec{a}\parallel\vec\)，則\(x\)的值為（）A.\(-2\)B.\(2\)C.\(-8\)D.\(8\)答案：A2.向量\(\vec{a}=(3,4)\)，則與\(\vec{a}\)同向的單位向量是（）A.\((\frac{3}{5},\frac{4}{5})\)B.\((-\frac{3}{5},-\frac{4}{5})\)C.\((\frac{3}{5},-\frac{4}{5})\)D.\((-\frac{3}{5},\frac{4}{5})\)答案：A3.已知\(\vert\vec{a}\vert=3\)，\(\vert\vec\vert=4\)，且\(\vec{a}\cdot\vec=-6\)，則\(\vec{a}\)與\(\vec\)的夾角為（）A.\(\frac{\pi}{6}\)B.\(\frac{\pi}{3}\)C.\(\frac{2\pi}{3}\)D.\(\frac{5\pi}{6}\)答案：C4.在\(\triangleABC\)中，\(\overrightarrow{AB}=\vec{c}\)，\(\overrightarrow{AC}=\vec\)，若點\(D\)滿足\(\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{DC}\)，則\(\overrightarrow{AD}\)等于（）A.\(\frac{2}{3}\vec+\frac{1}{3}\vec{c}\)B.\(\frac{5}{3}\vec-\frac{2}{3}\vec{c}\)C.\(\frac{2}{3}\vec-\frac{1}{3}\vec{c}\)D.\(\frac{1}{3}\vec+\frac{2}{3}\vec{c}\)答案：A5.已知向量\(\vec{a}=(2,1)\)，\(\vec=(-1,k)\)，\(\vec{a}\cdot(2\vec{a}-\vec)=0\)，則\(k\)的值為（）A.\(-12\)B.\(-6\)C.\(6\)D.\(12\)答案：D6.若\(\vec{a}\)，\(\vec\)是非零向量，且\(\vec{a}\perp\vec\)，\(\vert\vec{a}\vert\neq\vert\vec\vert\)，則函數\(f(x)=(\vec{a}x+\vec)\cdot(\vecx-\vec{a})\)是（）A.一次函數且是奇函數B.一次函數但不是奇函數C.二次函數且是偶函數D.二次函數但不是偶函數答案：A7.已知\(\triangleABC\)中，\(a=3\)，\(b=5\)，\(c=7\)，則\(\cosC\)的值為（）A.\(\frac{1}{2}\)B.\(-\frac{1}{2}\)C.\(\frac{11}{14}\)D.\(\frac{13}{14}\)答案：B8.在\(\triangleABC\)中，\(A=60^{\circ}\)，\(a=4\sqrt{3}\)，\(b=4\sqrt{2}\)，則\(B\)等于（）A.\(45^{\circ}\)或\(135^{\circ}\)B.\(135^{\circ}\)C.\(45^{\circ}\)D.以上答案都不對答案：C9.已知向量\(\vec{a}\)，\(\vec\)滿足\(\vert\vec{a}\vert=1\)，\(\vert\vec\vert=2\)，\(\vec{a}\)與\(\vec\)的夾角為\(60^{\circ}\)，則\(\vert\vec{a}-\vec\vert\)等于（）A.\(\sqrt{3}\)B.\(\sqrt{5}\)C.\(2\sqrt{3}\)D.\(1\)答案：A10.在\(\triangleABC\)中，\(AB=3\)，\(AC=2\)，\(BC=\sqrt{10}\)，則\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\)等于（）A.\(-\frac{3}{2}\)B.\(-\frac{2}{3}\)C.\(\frac{2}{3}\)D.\(\frac{3}{2}\)答案：D二、多項選擇題1.下列關于向量的說法正確的是（）A.若\(\vec{a}\parallel\vec\)，\(\vec\parallel\vec{c}\)，則\(\vec{a}\parallel\vec{c}\)B.若\(\vec{a}\)與\(\vec\)是單位向量，則\(\vec{a}=\vec\)C.若\(\vert\vec{a}+\vec\vert=\vert\vec{a}-\vec\vert\)，則\(\vec{a}\perp\vec\)D.若\(\vec{a}\)與\(\vec\)是相反向量，則\(\vert\vec{a}\vert=\vert\vec\vert\)答案：CD2.已知向量\(\vec{a}=(1,-2)\)，\(\vec=(-3,4)\)，則（）A.\(\vec{a}+\vec=(-2,2)\)B.\(\vec{a}-\vec=(4,-6)\)C.\(3\vec{a}+\vec=(0,-2)\)D.\(\vert\vec{a}\vert=\sqrt{5}\)答案：ABCD3.設向量\(\vec{a}=(x_1,y_1)\)，\(\vec=(x_2,y_2)\)，則下列為\(\vec{a}\)與\(\vec\)共線的充要條件的有（）A.存在非零實數\(\lambda\)，使得\(\vec{a}=\lambda\vec\)B.\(x_1y_2-x_2y_1=0\)C.\(\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}\)D.\(\vec{a}=(x_1,y_1)\)，\(\vec=(-kx_1,-ky_1)\)（\(k\neq0\)）答案：ABD4.在\(\triangleABC\)中，根據下列條件解三角形，其中有一解的是（）A.\(b=7\)，\(c=3\)，\(C=30^{\circ}\)B.\(b=5\)，\(c=4\sqrt{2}\)，\(B=45^{\circ}\)C.\(a=6\)，\(b=6\sqrt{3}\)，\(B=60^{\circ}\)D.\(a=20\)，\(b=30\)，\(A=30^{\circ}\)答案：BC5.已知向量\(\vec{a}=(2,-1)\)，\(\vec=(-3,2)\)，則（）A.\(\vec{a}\cdot\vec=-8\)B.\(\vert\vec{a}\vert=\sqrt{5}\)C.\(\vec{a}\)與\(\vec\)的夾角為鈍角D.向量\(\vec{a}\)在向量\(\vec\)上的投影向量為\(-\frac{8}{13}\vec\)答案：ABCD6.下列命題正確的是（）A.若\(\vec{a}\cdot\vec=\vec{a}\cdot\vec{c}\)，則\(\vec=\vec{c}\)B.若\(\vert\vec{a}+\vec\vert=\vert\vec{a}-\vec\vert\)，則\(\vec{a}\cdot\vec=0\)C.若\(\vec{a}\)與\(\vec\)是兩個非零向量，則\(\vert\vec{a}\cdot\vec\vert\leqslant\vert\vec{a}\vert\vert\vec\vert\)D.若\(\vec{a}\parallel\vec\)，則存在唯一實數\(\lambda\)，使得\(\vec{a}=\lambda\vec\)答案：BC7.在\(\triangleABC\)中，內角\(A\)，\(B\)，\(C\)所對的邊分別為\(a\)，\(b\)，\(c\)，則下列等式成立的是（）A.\(a^2=b^2+c^2-2bc\cosA\)B.\(b^2=a^2+c^2-2ac\cosB\)C.\(c^2=a^2+b^2-2ab\cosC\)D.\(abc=4R\)（\(R\)為\(\triangleABC\)外接圓半徑）答案：ABC8.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec=(-2,m)\)，若\(\vec{a}\parallel\vec\)，則（）A.\(m=-4\)B.\(\vert\vec\vert=2\sqrt{5}\)C.\(\vec{a}\cdot\vec=-10\)D.向量\(\vec{a}\)與\(\vec\)方向相反答案：ABCD9.對于任意向量\(\vec{a}\)，\(\vec\)，\(\vec{c}\)，下列說法正確的是（）A.\((\vec{a}+\vec)+\vec{c}=\vec{a}+(\vec+\vec{c})\)B.\(\vec{a}\cdot(\vec\cdot\vec{c})=(\vec{a}\cdot\vec)\cdot\vec{c}\)C.若\(\vec{a}\cdot\vec=\vec{a}\cdot\vec{c}\)，且\(\vec{a}\neq\vec{0}\)，則\(\vec=\vec{c}\)D.\(\vert\vec{a}\cdot\vec\vert\leqslant\vert\vec{a}\vert\vert\vec\vert\)答案：AD10.在\(\triangleABC\)中，角\(A\)，\(B\)，\(C\)所對的邊分別為\(a\)，\(b\)，\(c\)，已知\(a=3\)，\(b=2\)，\(\sinB=\frac{\sqrt{3}}{3}\)，則（）A.\(\sinA=\frac{\sqrt{3}}{2}\)B.\(\triangleABC\)可能是銳角三角形C.\(c\)可能為\(3\)D.\(c\)可能為\(\sqrt{3}\)答案：AC三、判斷題1.零向量與任意向量平行。（）答案：對2.若\(\vec{a}\cdot\vec=0\)，則\(\vec{a}=\vec{0}\)或\(\vec=\vec{0}\)。（）答案：錯3.向量\(\vec{a}=(x_1,y_1)\)，\(\vec=(x_2,y_2)\)，則\(\vec{a}\parallel\vec\)的充要條件是\(x_1y_2-x_2y_1=0\)。（）答案：對4.在\(\triangleABC\)中，\(a^2=b^2+c^2-2bc\cosA\)。（）答案：對5.若\(\vert\vec{a}\vert=\vert\vec\vert\)，則\(\vec{a}=\vec\)。（）答案：錯6.向量\(\vec{a}\)在向量\(\vec\)上的投影向量為\(\vert\vec{a}\vert\cos\theta\frac{\vec}{\vert\vec\vert}\)（\(\theta\)為\(\vec{a}\)與\(\vec\)的夾角）。（）答案：對7.若\(\vec{a}\)，\(\vec\)，\(\vec{c}\)為非零向量，且\(\vec{a}\cdot\vec=\vec{a}\cdot\vec{c}\)，則\(\vec=\vec{c}\)。（）答案：錯8.若\(\vec{a}\)與\(\vec\)是相反向量，則\(\vec{a}=-\vec\)。（）答案：對9.在\(\triangleABC\)中，若\(a\gtb\)，則\(A\gtB\)。（）答案：對10.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec=(-2,m)\)，若\(\vec{a}\parallel\vec\)，則\(m=-4\)。（）答案：對四、簡答題1.已知向量\(\vec{a}=(1,-3)\)，\(\vec=(-2,4)\)，求\(3\vec{a}-2\vec\)的坐標。答：先計算\(3\vec{a}\)與\(2\vec\)的坐標。\(3\vec{a}=3(1,-3)=(3,-9)\)，\(2\vec=2(-2,4)=(-4,8)\)。再計算\(3\vec{a}-2\vec\)，即\((3,-9)-(-4,8)=(3-(-4),-9-8)=(7,-17)\)。2.已知\(\vec{a}=(2,1)\)，\(\vec=(-3,4)\)，求\(\vec{a}\cdot\vec\)以及\(\vec{a}\)與\(\vec\)夾角的余弦值。答：根據向量點積公式\(\vec{a}\cdot\vec=2\times(-3)+1\times4=-6+4=-2\)。\(\vert\vec{a}\vert=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}\)，\(\vert\vec\vert=\sqrt{(-3)^2+4^2}=5\)。設夾角為\(\theta\)，則\(\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\v