函數(shù)奇偶綜合試題及答案

一、單項選擇題1.已知函數(shù)\(f(x)\)是定義在\(R\)上的奇函數(shù)，當\(x\gt0\)時，\(f(x)=x^2-2x\)，則\(f(-1)\)的值為（）A.\(3\)B.\(1\)C.\(-1\)D.\(-3\)答案：C2.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是定義域內單調遞增的函數(shù)是（）A.\(y=\sinx\)B.\(y=\log_2x\)C.\(y=x^3\)D.\(y=\frac{1}{x}\)答案：C3.已知函數(shù)\(f(x)=ax^2+bx+3a+b\)是偶函數(shù)，且其定義域為\([a-1,2a]\)，則（）A.\(a=\frac{1}{3},b=0\)B.\(a=-1,b=0\)C.\(a=1,b=0\)D.\(a=3,b=0\)答案：A4.若函數(shù)\(f(x)\)是奇函數(shù)，且當\(x\lt0\)時，\(f(x)=x-1\)，則\(f(3)\)等于（）A.\(-4\)B.\(-2\)C.\(2\)D.\(4\)答案：A5.函數(shù)\(f(x)=\frac{x}{1+x^2}\)是（）A.偶函數(shù)B.奇函數(shù)C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D.非奇非偶函數(shù)答案：B6.已知函數(shù)\(f(x)\)為奇函數(shù)，當\(x\geq0\)時，\(f(x)=x^2-x\)，則\(f(-2)\)的值為（）A.\(2\)B.\(-2\)C.\(6\)D.\(-6\)答案：B7.若函數(shù)\(f(x)=x^2+(a+1)x+a\)是偶函數(shù)，則實數(shù)\(a\)的值為（）A.\(1\)B.\(-1\)C.\(0\)D.\(2\)答案：B8.函數(shù)\(y=f(x)\)是\(R\)上的奇函數(shù)，且\(f(1)=2\)，那么\(f(-1)\)等于（）A.\(2\)B.\(-2\)C.\(0\)D.\(-1\)答案：B9.已知\(f(x)\)是定義在\(R\)上的奇函數(shù)，且滿足\(f(x+4)=f(x)\)，當\(x\in(0,2)\)時，\(f(x)=2x^2\)，則\(f(7)\)等于（）A.\(-2\)B.\(2\)C.\(-98\)D.\(98\)答案：A10.設函數(shù)\(f(x)\)是定義在\(R\)上的奇函數(shù)，且\(f(-1)=2\)，則\(f(1)+f(0)\)等于（）A.\(-2\)B.\(0\)C.\(-1\)D.\(2\)答案：A二、多項選擇題1.下列函數(shù)中是奇函數(shù)的有（）A.\(y=x^3\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=\frac{1}{x}\)D.\(y=x^2+1\)答案：ABC2.已知函數(shù)\(f(x)\)是定義在\(R\)上的奇函數(shù)，且\(f(x)\)在\((0,+\infty)\)上單調遞增，則（）A.\(f(-1)\ltf(0)\ltf(1)\)B.\(f(0)\ltf(1)\ltf(-1)\)C.\(f(1)\gtf(0)\gtf(-1)\)D.\(f(1)\ltf(0)\ltf(-1)\)答案：AC3.若函數(shù)\(f(x)\)為偶函數(shù)，且在\((-\infty,0]\)上單調遞減，則（）A.\(f(-2)\ltf(1)\ltf(3)\)B.\(f(1)\ltf(-2)\ltf(3)\)C.\(f(3)\ltf(-2)\ltf(1)\)D.\(f(1)\ltf(3)\ltf(-2)\)答案：AB4.下列關于函數(shù)奇偶性的說法正確的是（）A.若\(f(x)\)是奇函數(shù)，\(g(x)\)是偶函數(shù)，則\(f(x)g(x)\)是奇函數(shù)B.若\(f(x)\)是奇函數(shù)，\(g(x)\)是偶函數(shù)，則\(f(x)+g(x)\)是奇函數(shù)C.若\(f(x)\)和\(g(x)\)都是奇函數(shù)，則\(f(x)g(x)\)是偶函數(shù)D.若\(f(x)\)和\(g(x)\)都是偶函數(shù)，則\(f(x)g(x)\)是偶函數(shù)答案：ACD5.已知函數(shù)\(f(x)\)是定義在\(R\)上的奇函數(shù)，且滿足\(f(x+2)=-f(x)\)，則（）A.\(f(x)\)的周期是\(4\)B.\(f(2)=0\)C.\(f(1)=f(3)\)D.\(f(4)=f(0)\)答案：ABD6.下列函數(shù)中，滿足\(f(-x)=-f(x)\)且在\((0,+\infty)\)上單調遞增的有（）A.\(y=x\)B.\(y=x^3\)C.\(y=\frac{1}{x}\)D.\(y=\log_2x\)答案：AB7.若函數(shù)\(f(x)\)是偶函數(shù)，其定義域為\([-2,2]\)，且在\([0,2]\)上單調遞減，則（）A.\(f(-1)\gtf(1)\)B.\(f(-\frac{1}{2})\gtf(\frac{3}{2})\)C.\(f(-\sqrt{2})\ltf(\sqrt{2})\)D.\(f(0)\gtf(2)\)答案：BD8.已知函數(shù)\(f(x)\)是奇函數(shù)，當\(x\gt0\)時，\(f(x)=x^2-3x\)，則（）A.\(f(-1)=2\)B.\(f(0)=0\)C.當\(x\lt0\)時，\(f(x)=-x^2-3x\)D.函數(shù)\(f(x)\)有\(zhòng)(3\)個零點答案：ABD9.對于定義在\(R\)上的函數(shù)\(f(x)\)，下列說法正確的是（）A.若\(f(x)\)是奇函數(shù)，則\(f(0)=0\)B.若\(f(x)\)是偶函數(shù)，則\(f(x)=f(-x)\)對任意\(x\inR\)都成立C.若\(f(x)\)滿足\(f(x+1)=-f(x)\)，則\(f(x)\)的周期是\(2\)D.若\(f(x)\)是奇函數(shù)且在\((0,+\infty)\)上單調遞增，則\(f(x)\)在\((-\infty,0)\)上也單調遞增答案：ABCD10.設函數(shù)\(f(x)\)的定義域為\(R\)，且\(f(x)\)滿足\(f(x+3)=f(x)\)，\(f(x)\)是偶函數(shù)，當\(x\in[0,1]\)時，\(f(x)=x\)，則（）A.\(f(5)=1\)B.\(f(\frac{7}{2})=\frac{1}{2}\)C.\(f(-\frac{5}{2})=\frac{1}{2}\)D.\(f(2023)=1\)答案：ABC三、判斷題1.若函數(shù)\(f(x)\)滿足\(f(-x)=f(x)\)，則\(f(x)\)一定是偶函數(shù)。（）答案：對2.奇函數(shù)的圖象一定過原點。（）答案：錯3.若\(f(x)\)是定義在\(R\)上的奇函數(shù)，且\(f(1)=2\)，則\(f(-1)=-2\)。（）答案：對4.函數(shù)\(y=x^2+1\)是偶函數(shù)。（）答案：對5.若函數(shù)\(f(x)\)在定義域\(D\)上滿足\(f(-x)=-f(x)\)，則\(f(x)\)在\(D\)上是奇函數(shù)。（）答案：對6.偶函數(shù)的圖象關于\(y\)軸對稱。（）答案：對7.若\(f(x)\)是奇函數(shù)，\(g(x)\)是偶函數(shù)，則\(f(x)g(x)\)是奇函數(shù)。（）答案：對8.函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)在其定義域內是奇函數(shù)且單調遞減。（）答案：錯9.若函數(shù)\(f(x)\)滿足\(f(x+2)=f(x)\)，則\(f(x)\)的周期是\(2\)。（）答案：對10.若\(f(x)\)是定義在\(R\)上的偶函數(shù)，且在\((0,+\infty)\)上單調遞增，則在\((-\infty,0)\)上單調遞減。（）答案：對四、簡答題1.已知函數(shù)\(f(x)\)是定義在\(R\)上的奇函數(shù)，當\(x\gt0\)時，\(f(x)=x^2-3x\)，求\(f(x)\)的解析式。答案：因為\(f(x)\)是奇函數(shù)，所以\(f(0)=0\)。當\(x\lt0\)時，\(-x\gt0\)，則\(f(-x)=(-x)^2-3(-x)=x^2+3x\)。又因為\(f(x)\)是奇函數(shù)，所以\(f(x)=-f(-x)=-x^2-3x\)。綜上，\(f(x)=\begin{cases}x^2-3x,&x\gt0\\0,&x=0\\-x^2-3x,&x\lt0\end{cases}\)2.已知函數(shù)\(f(x)=ax^2+bx+3a+b\)是偶函數(shù)，且定義域為\([a-1,2a]\)，求\(a\)，\(b\)的值。答案：因為函數(shù)\(f(x)\)是偶函數(shù)，所以定義域關于原點對稱，即\(a-1+2a=0\)，解得\(a=\frac{1}{3}\)。又因為\(f(x)\)是偶函數(shù)，所以\(f(-x)=f(x)\)，即\(a(-x)^2+b(-x)+3a+b=ax^2+bx+3a+b\)，化簡得\(-bx=bx\)對任意\(x\)都成立，所以\(b=0\)。3.證明函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{x^2}\)在\((0,+\infty)\)上是減函數(shù)，在\((-\infty,0)\)上是增函數(shù)。答案：在\((0,+\infty)\)上任取\(x_1\ltx_2\)，則\(f(x_1)-f(x_2)=\frac{1}{x_1^2}-\frac{1}{x_2^2}=\frac{x_2^2-x_1^2}{x_1^2x_2^2}=\frac{(x_2-x_1)(x_2+x_1)}{x_1^2x_2^2}\)。因為\(0\ltx_1\ltx_2\)，所以\(x_2-x_1\gt0\)，\(x_2+x_1\gt0\)，\(x_1^2x_2^2\gt0\)，則\(f(x_1)-f(x_2)\gt0\)，即\(f(x_1)\gtf(x_2)\)，所以\(f(x)\)在\((0,+\infty)\)上是減函數(shù)。同理可證在\((-\infty,0)\)上是增函數(shù)。4.已知函數(shù)\(f(x)\)是定義在\(R\)上的奇函數(shù)，且\(f(x+4)=f(x)\)，當\(x\in(0,2)\)時，\(f(x)=2x^2\)，求\(f(2023)\)的值。答案：因為\(f(x+4)=f(x)\)，所以函數(shù)\(f(x)\)的周期是\(4\)。則\(f(2023)=f(4\times505+3)=f(3)\)。又因為\(f(x)\)是奇函數(shù)，所以\(f(3)=f(-1+4)=f(-1)=-f(1)\)。當\(x\in(0,2)\)時，\(f(x)=2x^2\)，所以\(f(1)=2\times1^2=2\)，則\(f(2023)=-2\)。五、討論題1.結合具體函數(shù)，討論奇函數(shù)和偶函數(shù)在圖象和性質上的區(qū)別與聯(lián)系。答案：以\(y=x^3\)（奇函數(shù)）和\(y=x^2\)（偶函數(shù)）為例。圖象上，奇函數(shù)圖象關于原點對稱，如\(y=x^3\)過原點且在一三象限呈中心對稱；偶函數(shù)圖象關于\(y\)軸對稱，如\(y=x^2\)是開口向上且以\(y\)軸為對稱軸的拋物線。性質上，奇函數(shù)滿足\(f(-x)=-f(x)\)，在關于原點對稱區(qū)間單調性相同；偶函數(shù)滿足\(f(-x)=f(x)\)，在關于原點對稱區(qū)間單調性相反。2.已知函數(shù)\(f(x)\)滿足\(f(x+a)=-f(x)\)（\(a\)為正常數(shù)），討論函數(shù)\(f(x)\)的周期性。答案：因為\(f(x+a)=-f(x)\)，那么將\(x\)換為\(x+a\)，可得\(f((x+a)+a)=-f(x+a)\)。又因為\(f(x+a)=-f(x)\)，所以\(f(x+2a)=-f(x+a)=f(x)\)。這表明對于函數(shù)\(f(x)\)，當自變量增加\(2a\)時，函數(shù)值重復出現(xiàn)，所以函數(shù)\(f(x)\)的周期是\(2a\)。3.討論在實際問題中，如何利用函數(shù)的奇偶性來簡化問題的求解過程。答案：在實際問題中，若函數(shù)具有奇偶性可帶來便利。比如在研究物理量隨時間變化規(guī)律時，若確定函數(shù)是偶函數(shù)，那么只需要研究一半區(qū)間（如\