第頁4.1指數(shù)思維導(dǎo)圖新課標(biāo)要求通過對有理指數(shù)冪、實(shí)數(shù)指數(shù)冪（a>0,且，a≠1，x∈R）含義的認(rèn)識，了解指數(shù)冪的拓展過程，掌握指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)。知識梳理一、n次方根、n次根式1．a(chǎn)的n次方根的定義一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.2．a(chǎn)的n次方根的表示n的奇偶性a的n次方根的表示符號a的取值范圍n為奇數(shù)eq\r(n,a)a∈Rn為偶數(shù)±eq\r(n,a)[0，＋∞)3.根式式子eq\r(n,a)叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù)．二、根式的性質(zhì)1.eq\r(n,0)＝0(n∈N*，且n>1)．2．(eq\r(n,a))n＝a(a≥0，n∈N*，且n>1)．3.eq\r(n,an)＝a(n為大于1的奇數(shù))．4.eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0))(n為大于1的偶數(shù))．三、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義分?jǐn)?shù)指數(shù)冪正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪規(guī)定：＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪規(guī)定：＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)0的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪無意義四、有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，可以推廣到有理數(shù)指數(shù)冪，即：(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．五、無理數(shù)指數(shù)冪一般地，無理數(shù)指數(shù)冪aα(a>0，α為無理數(shù))是一個確定的實(shí)數(shù)．有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)同樣適用于無理數(shù)指數(shù)冪．六、實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)1．a(chǎn)ras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)．2．(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)．3．(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)．名師導(dǎo)學(xué)知識點(diǎn)1由根式的意義求范圍對于eq\r(n,a)，當(dāng)n為偶數(shù)時，要注意兩點(diǎn)(1)只有a≥0才有意義．(2)只要eq\r(n,a)有意義，eq\r(n,a)必不為負(fù)．【例1-1】求使等式eq\r(a－3a2－9)＝(3－a)eq\r(a＋3)成立的實(shí)數(shù)a的取值范圍．解eq\r(a－3a2－9)＝eq\r(a－32a＋3)＝|a－3|eq\r(a＋3)，要使|a－3|eq\r(a＋3)＝(3－a)eq\r(a＋3)成立，需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－3≤0，,a＋3≥0，))解得a∈[－3,3]．【變式訓(xùn)練1-1】若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】把等式左邊變形為，結(jié)合，可得，則答案可求.【詳解】解：由，可得，即．實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：．【變式訓(xùn)練1-2】，則實(shí)數(shù)a的取值范圍_________

【答案】【分析】由二次根式的化簡求解【詳解】由題設(shè)得，，所以所以，．故答案為：知識點(diǎn)2利用根式的性質(zhì)化簡求值正確區(qū)分eq\r(n,an)與(eq\r(n,a))n(1)(eq\r(n,a))n已暗含了eq\r(n,a)有意義，根據(jù)n的奇偶性可知a的范圍．(2)eq\r(n,an)中的a可以是全體實(shí)數(shù)，eq\r(n,an)的值取決于n的奇偶性．【例2-1】求下列各式的值：(1)；(2)；(3)；(4)．【解】(1).(2).(3).(4).【變式訓(xùn)練2-1】化簡下列各式：(1)eq\r(5,－25)＋(eq\r(5,－2))5；(2)eq\r(6,－26)＋(eq\r(6,2))6；(3)eq\r(4,x＋24).解(1)原式＝(－2)＋(－2)＝－4.(2)原式＝|－2|＋2＝2＋2＝4.(3)原式＝|x＋2|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2，x≥－2，,－x－2，x<－2.))【變式訓(xùn)練2-2】已知，化簡：．【解】因?yàn)?，所以，所以?知識點(diǎn)3根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化（重點(diǎn)）根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪互化的規(guī)律(1)根指數(shù)分?jǐn)?shù)指數(shù)的分母，被開方數(shù)(式)的指數(shù)分?jǐn)?shù)指數(shù)的分子．(2)在具體計(jì)算時，通常會把根式轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，然后利用有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)解題．【例3-1】將下列根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式：(1)eq\r(a\r(a))(a>0)；(2)eq\f(1,\r(3,x\r(5,x2)2))(x>0)；(3)(b>0)．解(1)原式＝＝＝.(2)原式＝＝＝＝＝＝.(3)原式＝＝＝.【變式訓(xùn)練3-1】將下列各式用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表示：(1)；(2)；(3)【解】(1)原式.(2)原式.(3)原式.【變式訓(xùn)練3-2】下列各式正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)根式的性質(zhì)，結(jié)合分?jǐn)?shù)冪指數(shù)與根式的互化公式、指數(shù)冪的公式進(jìn)行逐一判斷即可.【詳解】A：因?yàn)?，所以，因此本選項(xiàng)正確；B：因?yàn)?，所以本選項(xiàng)不正確；C：因?yàn)椋员具x項(xiàng)不正確；D：因?yàn)?，所以本選項(xiàng)不正確，故選：A【變式訓(xùn)練3-3】（多選）下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的定義判斷．【詳解】，A錯；，B正確；，C正確；，D錯．故選：BC．知識點(diǎn)4利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡求值（重點(diǎn)）指數(shù)冪運(yùn)算的常用技巧(1)有括號先算括號里的，無括號先進(jìn)行指數(shù)運(yùn)算．(2)負(fù)指數(shù)冪化為正指數(shù)冪的倒數(shù)．(3)底數(shù)是小數(shù)，先要化成分?jǐn)?shù)；底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)，要先化成假分?jǐn)?shù)，然后要盡可能用冪的形式表示，便于運(yùn)用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)．【例4-1】化簡下列各式：(1)；(2)．【解】(1)解：．(2)解：．【例4-2】計(jì)算：(1)；(2)．【解】（1）原式．（2）原式.【變式訓(xùn)練4-1】化簡(a>0)等于（

）A．6a B．－aC．－9a D．9a2【答案】C【分析】根據(jù)指數(shù)運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算.【詳解】故選：C【變式訓(xùn)練4-2】計(jì)算：___________________．【答案】【分析】利用根式、指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)化簡求值即可.【詳解】原式=.故答案為：【變式訓(xùn)練4-3】化簡：(1)；(2)；(3)．【解】（1）,（2）,（3）方法一（從外向里化簡）

．方法二（從里向外化簡）．知識點(diǎn)5整體替換法求分?jǐn)?shù)指數(shù)冪【例5-1】(1)已知＋＝eq\r(5)，則x2＋x－2＝________.答案7解析將＋＝eq\r(5)，兩邊平方得x＋x－1＋2＝5，則x＋x－1＝3，兩邊再平方得x2＋x－2＋2＝9，所以x2＋x－2＝7.(2)已知x＋x－1＝7，求值：①＋；②x2－x－2.解①設(shè)m＝＋，兩邊平方得m2＝x＋x－1＋2＝7＋2＝9，因?yàn)閙>0，所以m＝3，即＋＝3.②設(shè)n＝－，兩邊平方得n2＝x＋x－1－2＝7－2＝5，因?yàn)閚∈R，所以n＝±eq\r(5)，即－＝±eq\r(5).所以x－x－1＝(＋)(－)＝±3eq\r(5)，x2－x－2＝(x＋x－1)(x－x－1)＝±21eq\r(5).【變式訓(xùn)練5-1】已知，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】利用指數(shù)運(yùn)算結(jié)合完全平方判斷AB,D利用立方和公式逐項(xiàng)C,判斷【詳解】易知x>0，A正確；，B正確；，C錯誤；,D錯誤故選：AB【變式訓(xùn)練5-2】已知,，則的值為______.【答案】47【分析】由兩邊平方得，再兩邊平方可求出結(jié)果.【詳解】由，得，即，所以，則.故答案為：.【變式訓(xùn)練5-3】（1）若，求的值；（2）已知，求的值．【解】（1），則．（2），且,．名師導(dǎo)練A組-[應(yīng)知應(yīng)會]1．下列選項(xiàng)中，計(jì)算結(jié)果等于4a3的是（

）A． B．

C． D．【答案】D【分析】根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則，即可判斷出答案.【詳解】由題意可得，A錯誤；時，，B錯誤；，C錯誤；，D正確，故選：D2．化簡的結(jié)果是（

）A．0 B． C．0或 D．【答案】C【分析】根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算化簡，然后根據(jù)的大小關(guān)系討論即可.【詳解】．當(dāng)時，原式；當(dāng)是，原式．故選:C．3．下列運(yùn)算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則以及根式的化簡，對選項(xiàng)中的算式一一計(jì)算，即可得答案.【詳解】對于A，，故A錯誤；對于B，，故B錯誤；對于C，，故C正確；對于D，，故D錯誤，故選：C4．化簡（

）A． B． C．2 D．【答案】D【分析】利用配方法將被開方數(shù)配湊成完全平方形式即可求解.【詳解】解：，故選：D．5．若則（

）A．10 B．15 C． D．【答案】C【分析】將已知等式兩邊平方，利用完全平方公式化簡求出的值，原式分子分母除以變形后，將代入計(jì)算即可．【詳解】因?yàn)閮蛇吰椒降?，即，所以原式，故選：C6．化簡結(jié)果為（

）A．a(chǎn) B．b C． D．【答案】A【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則運(yùn)算，即可求解.【詳解】根據(jù)實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算公式，可得：.故選：A.7．已知，則化為（

）A． B． C．m D．1【答案】C【分析】把根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪進(jìn)行運(yùn)算．【詳解】，.故選：C．8．（多選題）下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化正確的是（

）A． B．C． D．【答案】CD【分析】計(jì)算得選項(xiàng)AB錯誤；計(jì)算得選項(xiàng)CD錯誤.【詳解】解：對于選項(xiàng)A，因?yàn)?，而，所以A錯誤；對于選項(xiàng)B，因?yàn)?，所以B錯誤；對于選項(xiàng)C，因?yàn)槌闪?，所以C正確；對于選項(xiàng)D，當(dāng)時，，所以D正確.故選：CD.9．(多選)下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化正確的是（

）A．B．C．)D．【答案】BD【分析】根據(jù)根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化公式確定正確選項(xiàng).【詳解】A選項(xiàng)，由于，所以，A選項(xiàng)錯誤.B選項(xiàng)，正確，B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，，C選項(xiàng)錯誤.D選項(xiàng)，，D選項(xiàng)正確.故選：BD10．（多選）以下化簡結(jié)果正確的是（字母均為正數(shù)）（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】根據(jù)指數(shù)運(yùn)算公式直接計(jì)算即可.【詳解】A選項(xiàng)：，A選項(xiàng)錯誤；B選項(xiàng)：，B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)：，C選項(xiàng)錯誤；D選項(xiàng)：，D選項(xiàng)正確；故選：BD.11．化簡的結(jié)果為________【答案】【分析】直接將表示成，結(jié)合平方差公式即可得結(jié)果.【詳解】.故答案為：.12．計(jì)算：___．【答案】【分析】應(yīng)用有理指數(shù)冪的運(yùn)算法則化簡求值即可.【詳解】原式.故答案為：13．已知，則的值為_______【答案】0【分析】將代入代數(shù)式，然后根據(jù)二次根式混合運(yùn)算法則進(jìn)行化簡計(jì)算.【詳解】當(dāng)時，，故答案為：0.14．已知，，，且，則______．【答案】4【分析】由題設(shè)可得、，根據(jù)指數(shù)冪運(yùn)算，代入目標(biāo)式求值即可.【詳解】因?yàn)?，，所以兩式相乘得，則．將代入，得，所以．故答案為：415．已知，則___________.【答案】【分析】根據(jù)對原式化簡計(jì)算即可.【詳解】.故答案為：.16．（1）化簡：；（2）計(jì)算：．【答案】（1）；（2）【分析】（1）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算；（2）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算.【詳解】（1）原式．（2）原式．17．化簡下列各式：(1)(2)若，，求．【答案】(1)0(2)12【分析】（1）根據(jù)根式的性質(zhì)計(jì)算可得；（2）根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則計(jì)算可得.(1)解：(2)解：因?yàn)?，，所?8．求解下列問題：(1)已知，且，求.(2)已知，求和的值.【答案】(1)(2)，【分析】（1）通過平方再開方的運(yùn)算，化簡求得所求表達(dá)式的值.（2）通過平方的方法求得所求表達(dá)式的值.(1)，，，.(2)，.，，.B組-[素養(yǎng)提升]1．設(shè)、，滿足，則的值為___________.【答案】【分析】利用指數(shù)冪的運(yùn)算可得出，根據(jù)已知條件求出、的值，即可得解.【詳解】由可得，因?yàn)榍?，可得，則，由、可知、，則或，則或.當(dāng)時，無意義；當(dāng)時，.綜上所述，.故答案為：.2．已知m＝2，n＝3，則eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3,m2)\r(n－3),n·\r(3,m－2))÷\r(\f(m\r(n－4),n\r(m－2)))))3的值是________．答案eq\f(2,27)解析m＝2，n＝3，則原式＝＝＝m·n－3＝2×3－3＝eq\f(2,27).3．已知，，求的值.【