4.4對數(shù)函數(shù)思維導(dǎo)圖新課標(biāo)要求1.通過具體實(shí)例，了解對數(shù)函數(shù)的概念。能用描點(diǎn)法或借助計(jì)算工具畫出具體對數(shù)函數(shù)的圖象，探索并了解對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)。2.知道對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)（a＞0，且a≠1）。知識梳理1.對數(shù)函數(shù)的概念一般地，函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是(0，＋∞)．2.對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)的圖象和性質(zhì)如下表：y＝logax(a>0，且a≠1)底數(shù)a>10<a<1圖象定義域(0，＋∞)值域R單調(diào)性在(0，＋∞)上是增函數(shù)在(0，＋∞)上是減函數(shù)共點(diǎn)性圖象過定點(diǎn)(1,0)，即x＝1時(shí)，y＝0函數(shù)值特點(diǎn)x∈(0,1)時(shí)，y∈(－∞，0)；x∈[1，＋∞)時(shí)，y∈[0，＋∞)x∈(0,1)時(shí)，y∈(0，＋∞)；x∈[1，＋∞)時(shí)，y∈(－∞，0]對稱性函數(shù)y＝logax與y＝的圖象關(guān)于x軸對稱3.不同底的對數(shù)函數(shù)圖象的相對位置一般地，對于底數(shù)a>1的對數(shù)函數(shù)，在區(qū)間(1，＋∞)內(nèi)，底數(shù)越大越靠近x軸；對于底數(shù)0<a<1的對數(shù)函數(shù)，在區(qū)間(1，＋∞)內(nèi)，底數(shù)越小越靠近x軸．4.反函數(shù)的概念一般地，指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)與對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)互為反函數(shù)．(1)y＝ax的定義域R就是y＝logax的值域；而y＝ax的值域(0，＋∞)就是y＝logax的定義域．(2)互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)與y＝logax(a>0，且a≠1)的圖象關(guān)于直線y＝x對稱．(3)互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)與y＝logax(a>0，且a≠1)的單調(diào)性相同．但單調(diào)區(qū)間不一定相同．5.三種常見函數(shù)模型的增長差異函數(shù)性質(zhì)y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝kx(k>0)在(0，＋∞)上的增減性增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)圖象的變化隨x的增大逐漸變“陡”隨x的增大逐漸趨于穩(wěn)定隨x的增大勻速上升增長速度y＝ax的增長快于y＝kx的增長，y＝kx的增長快于y＝logax的增長增長后果會(huì)存在一個(gè)x0，當(dāng)x>x0時(shí)，有ax>kx>logax名師導(dǎo)學(xué)知識點(diǎn)1對數(shù)函數(shù)的概念及應(yīng)用判斷一個(gè)函數(shù)是對數(shù)函數(shù)的方法【例1-1】已知函數(shù)①；②；③；④；⑤；⑥.其中是對數(shù)函數(shù)的是（

）A．①②③ B．③④⑤C．③④ D．②④⑥【變式訓(xùn)練1-1】下列函數(shù)中，是對數(shù)函數(shù)的是（

）A．y＝logxa(x>0且x≠1)B．y＝log2x－1C．D．y＝log5x【變式訓(xùn)練1-2】函數(shù)是對數(shù)函數(shù)，則___________.知識點(diǎn)2與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的定義域求與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的定義域時(shí)應(yīng)遵循的原則(1)分母不能為0.(2)根指數(shù)為偶數(shù)時(shí)，被開方數(shù)非負(fù)．(3)對數(shù)的真數(shù)大于0，底數(shù)大于0且不為1.【例2-1】函數(shù)的定義域?yàn)開__________．【例2-2】已知函數(shù)，則的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．【變式訓(xùn)練2-1】已知，則函數(shù)的定義域?yàn)開_____.【變式訓(xùn)練2-2】函數(shù)的定義域?yàn)開__________.知識點(diǎn)3對數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用（重點(diǎn)）對數(shù)函數(shù)圖象的變換方法(1)作y＝f(|x|)的圖象時(shí)，保留y＝f(x)(x≥0)圖象不變，x<0時(shí)y＝f(|x|)的圖象與y＝f(x)(x>0)的圖象關(guān)于y軸對稱．(2)作y＝|f(x)|的圖象時(shí)，保留y＝f(x)的x軸及上方圖象不變，把x軸下方圖象以x軸為對稱軸翻折上去即可．(3)有關(guān)對數(shù)函數(shù)平移也符合“左加右減，上加下減”的規(guī)律．(4)y＝f(－x)與y＝f(x)關(guān)于y軸對稱，y＝－f(x)與y＝f(x)關(guān)于x軸對稱，y＝－f(－x)與y＝f(x)關(guān)于原點(diǎn)對稱．【例3-1】(1)如圖，若C1，C2分別為函數(shù)y＝logax和y＝logbx的圖象，則()A．0<a<b<1B．0<b<a<1C．a(chǎn)>b>1D．b>a>1(2)若函數(shù)y＝loga(x＋b)＋c(a>0，且a≠1)的圖象恒過定點(diǎn)(3,2)，則實(shí)數(shù)b＝________，c＝________.(3)已知f(x)＝loga|x|(a>0，且a≠1)滿足f(－5)＝1，試畫出函數(shù)f(x)的圖象．延伸探究1．在本例中，若條件不變，試畫出函數(shù)g(x)＝loga|x－1|的圖象．2．在本例中，若條件不變，試畫出函數(shù)h(x)＝|logax|的圖象．【變式訓(xùn)練3-1】）函數(shù)的圖像是（

）A． B．C． D．【變式訓(xùn)練3-2】已知（且，且），則函數(shù)與的圖像可能是（

）A． B．C． D．【變式訓(xùn)練3-3】若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練3-4】函數(shù)(且)的圖象恒過定點(diǎn)_________知識點(diǎn)4比較大小（重點(diǎn)）比較對數(shù)值大小時(shí)常用的四種方法(1)同底數(shù)的利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．(2)同真數(shù)的利用對數(shù)函數(shù)的圖象或用換底公式轉(zhuǎn)化．(3)底數(shù)和真數(shù)都不同，找中間量．(4)若底數(shù)為同一參數(shù)，則根據(jù)底數(shù)對對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的影響，對底數(shù)進(jìn)行分類討論．【例4-1】比較下列各組數(shù)的大?。?1)log5eq\f(3,4)與log5eq\f(4,3)；(2)與；(3)log23與log54.【變式訓(xùn)練4-1】比較下列各組中兩個(gè)數(shù)的大?。?1)，；(2)，；(3)，．【變式訓(xùn)練4-2】分別比較下列各組數(shù)的大小：(1)，，；(2)，，；(3)與．知識點(diǎn)5解對數(shù)不等式（重難點(diǎn)）對數(shù)不等式的三種考查類型及解法(1)形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的單調(diào)性求解，如果a的取值不確定，需分a>1與0<a<1兩種情況進(jìn)行討論．(2)形如logax>b的不等式，應(yīng)將b化為以a為底數(shù)的對數(shù)式的形式(b＝logaab)，再借助y＝logax的單調(diào)性求解．(3)形如logf(x)a>logg(x)a(f(x)，g(x)>0且不等于1，a>0)的不等式，可利用換底公式化為同底的對數(shù)進(jìn)行求解，或利用函數(shù)圖象求解．【例5-1】解下列關(guān)于x的不等式：(1)>；(2)loga(2x－5)>loga(x－1)；(3)logxeq\f(1,2)>1.【變式訓(xùn)練5-1】已知函數(shù)，，則不等式的解集為（

）A． B．（3，4） C．（2，5） D．【變式訓(xùn)練5-2】解關(guān)于的不等式：（，且）．知識點(diǎn)6對數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性（重點(diǎn)）形如f(x)＝logag(x)(a>0，且a≠1)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法(1)先求g(x)>0的解集(也就是函數(shù)f(x)的定義域)．(2)當(dāng)?shù)讛?shù)a>1時(shí)，在g(x)>0這一前提下，g(x)的單調(diào)增區(qū)間是f(x)的單調(diào)增區(qū)間；g(x)的單調(diào)減區(qū)間是f(x)的單調(diào)減區(qū)間．(3)當(dāng)?shù)讛?shù)0<a<1時(shí)，在g(x)>0這一前提下，g(x)的單調(diào)增區(qū)間是f(x)的單調(diào)減區(qū)間，g(x)的單調(diào)減區(qū)間是f(x)的單調(diào)增區(qū)間．【例6-1】函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為______，單調(diào)遞減區(qū)間為______．【例6-2】求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．【變式訓(xùn)練6-1】函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是___________．【變式訓(xùn)練6-2】函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是________．知識點(diǎn)7對數(shù)型函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用（難點(diǎn)）(1)已知對數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍，要結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)律，注意函數(shù)的定義域求解；若是分段函數(shù)，則需注意兩段函數(shù)最值的大小關(guān)系．(2)求對數(shù)型函數(shù)的值域一般是先求真數(shù)的范圍，然后利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解．【例7-1】已知函數(shù)（，且）在上的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)a的值是（

）A． B． C． D．【例7-2】（多選）關(guān)于函數(shù)，下列說法正確的是（

）A．定義域?yàn)椋ǎ?，4） B．最大值為2C．最小值為－2 D．單調(diào)遞增區(qū)間為【例7-3】已知，函數(shù)(1)若函數(shù)過點(diǎn)，求此時(shí)函數(shù)的解析式；(2)設(shè)，若對任意，函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差不超過1，求的取值范圍.【變式訓(xùn)練7-1】已知函數(shù)，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練7-2】（多選）關(guān)于函數(shù)，下列說法中正確的有（

）A．的定義域?yàn)锽．為奇函數(shù)C．在定義域上是減函數(shù)D．對任意，，都有【變式訓(xùn)練7-3】已知函數(shù)的值域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________.【變式訓(xùn)練7-4】已知函數(shù)．(1)若的值域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)若在內(nèi)單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【變式訓(xùn)練7-5】已知函數(shù)，且，．(1)求函數(shù)的解析式；(2)設(shè)，判斷函數(shù)g(x)的單調(diào)性并用定義證明．【變式訓(xùn)練7-6】已知函數(shù)，有意義時(shí)的取值范圍為，其中為實(shí)數(shù)．(1)求的值；(2)寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并求函數(shù)的最大值．【變式訓(xùn)練7-7】已知函數(shù)，，且．(1)證明：在定義域上是增函數(shù)；(2)若，求的取值集合．知識點(diǎn)8幾類函數(shù)模型增長差異的比較常見的函數(shù)模型及增長特點(diǎn)(1)線性函數(shù)模型線性函數(shù)模型y＝kx＋b(k>0)的增長特點(diǎn)是“直線上升”，其增長速度不變．(2)指數(shù)函數(shù)模型指數(shù)函數(shù)模型y＝ax(a>1)的增長特點(diǎn)是隨著變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來越快，即增長速度急劇，形象地稱為“指數(shù)爆炸”．(3)對數(shù)函數(shù)模型對數(shù)函數(shù)模型y＝logax(a>1)的增長特點(diǎn)是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來越慢，即增長速度平緩．可稱為“對數(shù)增長”．【例8-1】下面對函數(shù)，與在區(qū)間上的衰減情況的敘述正確的是（

）A．的衰減速度逐漸變慢，的衰減速度逐漸變快，的衰減速度逐漸變慢B．的衰減速度逐漸變快，的衰減速度逐漸變慢，的衰減速度逐漸變快C．的衰減速度逐漸變慢，的衰減速度逐漸變慢，的衰減速度逐漸變慢D．的衰減速度逐漸變快，的衰減速度逐漸變快，的衰減速度逐漸變快【變式訓(xùn)練8-1】下列函數(shù)中，隨著x的增大，函數(shù)值的增長速度最快的是（

）A． B．C． D．知識點(diǎn)9函數(shù)模型的選擇問題建立函數(shù)模型應(yīng)遵循的三個(gè)原則(1)簡化原則：建立函數(shù)模型，原型一定要簡化，抓主要因素、主要變量，盡量建立較低階、較簡便的模型．(2)可推演原則：建立模型，一定要有意義，既能作理論分析，又能計(jì)算、推理，且能得出正確結(jié)論．(3)反映性原則：建立模型，應(yīng)與原型具有“相似性”，所得模型的解應(yīng)具有說明問題的功能，能回到具體問題中解決問題．【例9-1】某人對東北一種松樹生長進(jìn)行了研究，收集了其高度h(米)與生長時(shí)間t(年)的相關(guān)數(shù)據(jù)，選擇h＝mt＋b與h＝loga(t＋1)來刻畫h與t的關(guān)系，你認(rèn)為哪個(gè)符合？并預(yù)測第8年的松樹高度.t(年)123456h(米)0.611.31.51.61.7【變式訓(xùn)練9-1】某種植物生長發(fā)育的數(shù)量y與時(shí)間x的關(guān)系如下表：x123…y125…下面的函數(shù)關(guān)系式中，能表達(dá)這種關(guān)系的是（

）A．y＝log2(x＋1) B．y＝2x－1C．y＝2x－1 D．y＝(x－1)2＋1【變式訓(xùn)練9-2】某跨國飲料公司在對全世界所有人均GDP在0.5～8千美元的地區(qū)銷售該公司A飲料的情況調(diào)查時(shí)發(fā)現(xiàn)：該飲料在人均GDP處于中等的地區(qū)銷售量最多，然后向兩邊遞減．下列幾個(gè)模擬函數(shù)中：①y＝ax2＋bx；②y＝kx＋b；③y＝logax＋b；④y＝ax＋b(x表示人均GDP，單位：千美元，y表示年人均A飲料的銷售量，單位：L)．用哪個(gè)模擬函數(shù)來描述人均A飲料銷售量與地區(qū)的人均GDP關(guān)系更合適？說明理由．知識點(diǎn)10指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)模型的比較指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)增長差異的判斷方法(1)根據(jù)函數(shù)的變化量的情況對函數(shù)增長模型進(jìn)行判斷．(2)根據(jù)圖象判斷增長型的指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)時(shí)，通常是觀察函數(shù)圖象上升的快慢，即隨著自變量的增大，圖象最“陡”的函數(shù)是指數(shù)函數(shù)；圖象趨于平緩的函數(shù)是對數(shù)函數(shù)．【例10-1】函數(shù)f(x)＝2x(x>0)和g(x)＝x2(x>0)的圖象如圖所示．設(shè)兩函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2.(1)請指出圖中曲線C1，C2分別對應(yīng)的函數(shù)；(2)求點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；(3)結(jié)合函數(shù)圖象，判斷f(3)，g(3)，f(2019)，g(2019)的大?。咀兪接?xùn)練10-1】甲、乙、丙、丁四個(gè)物體同時(shí)從某一點(diǎn)出發(fā)向同一方向運(yùn)動(dòng)，其路程fi(x)(i＝1,2,3,4)關(guān)于時(shí)間x(x≥0)的函數(shù)關(guān)系式分別為f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)．有以下結(jié)論：①當(dāng)x>1時(shí)，甲走在最前面；②當(dāng)x>1時(shí)，乙走在最前面；③當(dāng)0<x<1時(shí)，丁走在最前面，當(dāng)x>1時(shí)，丁走在最后面；④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；⑤如果它們一直運(yùn)動(dòng)下去，最終走在最前面的是甲．其中，正確結(jié)論的序號為________．答案③④⑤名師導(dǎo)練A組-[應(yīng)知應(yīng)會(huì)]1．下列函數(shù)是對數(shù)函數(shù)的是（

）A． B． C． D．2．函數(shù)的定義域是（

）A． B．C． D．3．若且，則函數(shù)的圖像恒過定點(diǎn)（

）A．（2，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（2，2）4．下列函數(shù)中隨x的增大而增大且速度最快的是（

）A． B． C． D．5．函數(shù)的圖象大致是（

）A． B．C． D．6．設(shè)實(shí)數(shù)，，，則（

）A． B． C． D．7．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)滿足，若在區(qū)間上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．9．（多選）函數(shù)，則下列命題中正確的是（

）A．函數(shù)的定義域?yàn)?B．函數(shù)是增函數(shù)C．函數(shù)的值域?yàn)?D．函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱10．（多選）已知函數(shù)，，則下列說法正確的是（

）A．若函數(shù)的定義域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是B．若函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)