第1頁（共1頁）八年級數(shù)學(xué)每日一練（第2周）星期一1．（基礎(chǔ)）（2025春?沈丘縣期末）如圖，已知：AD平分∠BAC，點(diǎn)F是AD反向延長線上的一點(diǎn)，EF⊥BC，∠1＝40°，∠F＝15°．求：∠B和∠C的度數(shù)．2．（強(qiáng)化）（2025春?從江縣校級月考）如圖1，在△ABC中，AE平分∠BAC（∠C＞∠B），F(xiàn)為AE上一點(diǎn)，且FD⊥BC于點(diǎn)D．（1）當(dāng)∠B＝35°，∠C＝75°時，求∠EFD的度數(shù)；（2）若∠B＝α，∠C＝β，請結(jié)合（1）的計(jì)算猜想∠EFD、∠B、∠C之間的數(shù)量關(guān)系，直接寫出答案，不用說明理由；（用含有α、β的式子表示∠EFD）（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)F在AE的延長線上時，其余條件不變，則（2）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請說明為什么；若不成立，請寫出成立的結(jié)論，并說明為什么．星期二3．（基礎(chǔ)）如圖，已知∠A＝50°，∠D＝40°（1）求∠1度數(shù)；（2）求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù)．4．（強(qiáng)化）（2024秋?湖北月考）如圖①，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點(diǎn)P．（1）若∠A＝60°，則∠BPC的度數(shù)是；（2）如圖②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分線交于點(diǎn)Q，試探索∠Q，∠A之間的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖③，延長線段BP，QC交于點(diǎn)E，在△BQE中，存在一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角的3倍，請直接寫出∠A的度數(shù)是．星期三5．（基礎(chǔ)）（2025春?龍泉驛區(qū)校級期中）如圖1所示的圖形，像我們常見的學(xué)習(xí)用品——圓規(guī)．我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”．①如圖1，請直接寫出∠BDC與∠A、∠B、∠C之間的關(guān)系：；②如圖2，把一塊三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的兩條直角邊XY、XZ恰好經(jīng)過點(diǎn)B、C，若∠A＝50°，直接寫出∠ABX+∠ACX的結(jié)果；③如圖3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝50°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度數(shù)．6．（強(qiáng)化）（2024秋?黃岡月考）【概念認(rèn)識】如圖①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，則BD，BE叫做∠ABC的“三分線”其中，BD是“鄰AB三分線”，BE“鄰BC三分線”．【問題解決】（1）如圖①，∠ABC＝60°，BD，BE是∠ABC的“三分線”，則∠ABE＝°；（2）如圖②，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝45°，若∠B的“鄰BC三分線”BD交AC于點(diǎn)D，則∠BDC＝°；（3）如圖③，在△ABC中，BP、CP分別是∠ABC鄰AB“三分線”和∠ACB鄰AC“三分線”，且BP⊥CP，求∠A的度數(shù)．星期四7．（基礎(chǔ)）（2024秋?懷仁市期末）如圖①，已知線段AB，CD相交于點(diǎn)O，連接AC，BD，我們把形如這樣的圖形稱為“八字圖形”．（1）求證：∠A+∠C＝∠B+∠D；（2）如圖②，若∠CAB和∠BDC的平分線AP和DP相交于點(diǎn)P，與CD，AB分別交于點(diǎn)M，N．①觀察圖②，寫出另外兩組“八字圖形”中與（1）類似的結(jié)論論：；．②若∠B＝100°，∠C＝120°，求∠P的度數(shù)；③根據(jù)②的結(jié)果直接寫出∠B，∠C，∠P之間的關(guān)系（不需要證明）．8．（強(qiáng)化）如圖，在△ABC中，分別作其內(nèi)角∠ACB與外角∠DAC的角平分線，且兩條角平分線所在的直線交于點(diǎn)E（1）填空：①如圖1，若∠B＝60°，則∠E＝；②如圖2，若∠B＝90°，則∠E＝；（2）如圖3，若∠B＝α，求∠E的度數(shù)；（3）如圖4，仿照（2）中的方法，在（2）的條件下分別作∠EAB與∠ECB的角平分線，且兩條角平分線交于點(diǎn)G，求∠G的度數(shù)．星期五9．（基礎(chǔ)）探索歸納：（1）如圖1，已知△ABC為直角三角形，∠A＝90°，若沿圖中虛線剪去∠A，則∠1+∠2等于A.90° B.135° C.270° D.315°（2）如圖2，已知△ABC中，∠A＝40°，剪去∠A后成四邊形，則∠1+∠2＝（3）如圖2，根據(jù)（1）與（2）的求解過程，請你歸納猜想∠1+∠2與∠A的關(guān)系是（4）如圖3，若沒有剪掉，而是把它折成如圖3形狀，試探究∠1+∠2與∠A的關(guān)系并說明理由．10．（強(qiáng)化）如圖：將△ABC紙片沿DE折疊成圖①，此時點(diǎn)A落在四邊形BCDE內(nèi)部，則∠A與∠1、∠2之間有一種數(shù)量關(guān)系保持不變，請找出這種數(shù)量關(guān)系并說明理由．（1）若折成圖②或圖③，即點(diǎn)A落在BE或CD上時，分別寫出∠A與∠2；∠A與∠1之間的關(guān)系；（不必證明）（2）若折成圖④，寫出∠A與∠1、∠2之間的關(guān)系式；（不必證明）（3）若折成圖⑤，寫出∠A與∠1、∠2之間的關(guān)系式．（不必證明）

參考答案與試題解析1．如圖，已知：AD平分∠BAC，點(diǎn)F是AD反向延長線上的一點(diǎn)，EF⊥BC，∠1＝40°，∠F＝15°．求：∠B和∠C的度數(shù)．【答案】∠B＝35°；∠C＝65°．【分析】由三角形的內(nèi)角和定理，結(jié)合垂線的定義可求解∠ADC的度數(shù)，根據(jù)角平分線的定義可求解∠DAC，∠BAC的度數(shù)，利用三角形的內(nèi)角和定理可求解∠C，∠B的度數(shù)．【解答】解：∵EF⊥BC，∴∠DEF＝90°，∵∠F＝15°，∠ADE+∠F+∠DEF＝180°，∴∠ADE＝75°，∵AD平分∠BAC，∠1＝40°，∴∠BAC＝2∠DAC＝2∠1＝80°，∴∠DAC＝40°，∵∠ADE+∠C+∠DAC＝180°，∴∠C＝180°﹣40°﹣75°＝65°，∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，∴∠B＝180°﹣65°﹣80°＝35°．2．如圖1，在△ABC中，AE平分∠BAC（∠C＞∠B），F(xiàn)為AE上一點(diǎn)，且FD⊥BC于點(diǎn)D．（1）當(dāng)∠B＝35°，∠C＝75°時，求∠EFD的度數(shù)；（2）若∠B＝α，∠C＝β，請結(jié)合（1）的計(jì)算猜想∠EFD、∠B、∠C之間的數(shù)量關(guān)系，直接寫出答案，不用說明理由；（用含有α、β的式子表示∠EFD）（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)F在AE的延長線上時，其余條件不變，則（2）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請說明為什么；若不成立，請寫出成立的結(jié)論，并說明為什么．【答案】（1）20°．（2）12（3）12【分析】（1）由FD⊥BC，得∠EDF＝90°．欲求∠EFD，需求∠FED．由∠B+∠C+∠BAC＝180°，得∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C）＝180°﹣（35°+75°）＝70°．由AE平分∠BAC，得∠BAE＝∠CAE=12∠BAC=35°，那么∠FED＝∠B（2）由FD⊥BC，得∠EDF＝90°．欲求∠EFD，需求∠FED．由∠B+∠C+∠BAC＝180°，得∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C）＝180°﹣（α+β）．由AE平分∠BAC，得∠BAE＝∠CAE=12∠BAC=90°?12(α+β)，那么∠FED＝∠B+∠BAE＝（3）與（2）同理．【解答】解：（1）∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，∴∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C）＝180°﹣（35°+75°）＝70°．∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE=1∴∠FED＝∠B+∠BAE＝35°+35°＝70°．∵FD⊥BC，∴∠EDF＝90°．∴∠EFD＝180°﹣∠EDF﹣∠FED＝180°﹣90°﹣70°＝20°．（2）∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，∴∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C）＝180°﹣（α+β）．∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE=12∠BAC=∴∠FED＝∠B+∠BAE＝α+90°?12(α+β)=∵FD⊥BC，∴∠EDF＝90°．∴∠EFD＝180°﹣∠EDF﹣∠FED＝180°﹣90°﹣（90°+12α?（3）成立，理由如下：由（2）知：∠FED＝∠B+∠BAE＝90°+12α?∴∠EFD＝180°﹣（∠FED+∠EDF）＝180°﹣（90°+12α?3．如圖，已知∠A＝50°，∠D＝40°（1）求∠1度數(shù)；（2）求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可得∠1＝∠A+∠C，∠2＝∠B+∠D，然后利用三角形的內(nèi)角和定理列式計(jì)算即可得解．【解答】解：（1）∠1＝∠A+∠D＝90°；（2）∵∠1＝∠A+∠D，∠2＝∠B+∠E，∠1+∠2+∠C＝180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．4．如圖①，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點(diǎn)P．（1）若∠A＝60°，則∠BPC的度數(shù)是120°；（2）如圖②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分線交于點(diǎn)Q，試探索∠Q，∠A之間的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖③，延長線段BP，QC交于點(diǎn)E，在△BQE中，存在一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角的3倍，請直接寫出∠A的度數(shù)是60°或120°或45°或135°．【答案】（1）120°；（2）∠Q=90°?1（3）60°或120°或45°或135°．【分析】（1）根據(jù)角平分線定義及三角形內(nèi)角和定理得∠PBC+∠PCB=12(∠ABC+∠ACB)=12(180°?∠A)，則（2）由三角形的外角定理及三角形三角形內(nèi)角和定理得∠MBC+∠NCB＝180°+∠A，再由角平分線定義得∠QBC+∠QCB=12(∠MBC+∠NCB)=90°+12（3）先求出∠EBQ＝90°，根據(jù)∠Q=90°?12∠A得∠E=12∠A，然后分四種情況討論如下：①當(dāng)∠EBQ＝3∠E時，②當(dāng)∠EBQ＝3∠Q時，③當(dāng)∠Q＝3∠E時，【解答】解：（1）在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∵∠PBC=12∠ABC∴∠PBC+∠PCB=1∴∠BPC=180°?(∠PBC+∠PCB)=180°?1∵∠A＝60°，∴∠BPC=90°+1故答案為：120°；（2）∠Q，∠A之間的數(shù)量關(guān)系是：∠Q=90°?1∵∠MBC＝∠ACB+∠A，∠NCB＝∠ABC+∠A，∠ACB+∠A+∠ABC＝180°，∴∠MBC+∠NCB＝∠ACB+∠A+∠ABC+∠A＝180°+∠A，∵點(diǎn)Q是∠MBC和∠NCB的角平分線的交點(diǎn)，∴∠QBC=12∴∠QBC+∠QCB=1∴∠Q=180°?(∠QBC+∠QCB)=180°?(90°+1故∠Q，∠A之間的數(shù)量關(guān)系是：∠Q=90°?1（3）由題意可得：∠PBC=12∠ABC∴∠PBC+∠QBC=1即∠EBQ＝90°，∴∠E+∠Q＝90°，由（2）可知：∠Q=90°?1∴∠E+90°?1∴∠E=1如果在△BQE中，存在一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角的3倍，那么有以下四種情況：①當(dāng)∠EBQ＝3∠E時，則3∠E＝90°，∴∠E＝30°，此時∠A＝2∠E＝60°，②當(dāng)∠EBQ＝3∠Q時，則3∠Q＝90°，∴∠Q＝30°，則∠E＝60°，此時∠A＝2∠E＝120°，③當(dāng)∠Q＝3∠E時，則∠E+3∠E＝90°，∴∠E＝22.5°，此時∠A＝2∠E＝45°，④當(dāng)∠E＝3∠Q時，則3∠Q+∠Q＝90°，∴∠Q＝22.5°，∴∠E＝67.5°，此時∠A＝2∠E＝135°，故答案為：60°或120°或45°或135°．5．如圖1所示的圖形，像我們常見的學(xué)習(xí)用品——圓規(guī)．我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”．①如圖1，請直接寫出∠BDC與∠A、∠B、∠C之間的關(guān)系：∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C；②如圖2，把一塊三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的兩條直角邊XY、XZ恰好經(jīng)過點(diǎn)B、C，若∠A＝50°，直接寫出∠ABX+∠ACX的結(jié)果；③如圖3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝50°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度數(shù)．【答案】①∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C；②∠ABX+∠ACX＝40°；③∠DCE＝90°．【分析】①作射線AF，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)可得結(jié)論：∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C；②先根據(jù)三角尺可知：∠X＝90°，根據(jù)（1）的結(jié)論可得：∠A+∠ABX+∠ACX＝∠BXC＝90°，從而得結(jié)論；③先根據(jù)第①題的結(jié)論可得：∠ADE+∠AEB的度數(shù)，由角平分線可得：∠ADC+∠AEC＝（∠ADE+∠AEB）＝40°，從而得結(jié)論．【解答】解：①∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C，理由如下：過點(diǎn)A、D作射線AF，∵∠FDC＝∠DAC+∠C，∠BDF＝∠B+∠BAD，∴∠FDC+∠BDF＝∠DAC+∠BAD+∠C+∠B，即∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C，故答案為：∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C；②∵∠BXC＝90°，由①知：∠A+∠ABX+∠ACX＝∠BXC＝90°，∵∠A＝50°，∴∠ABX+∠ACX＝40°；③∵∠DAE＝50°，∠DBE＝130°，∴∠ADB+∠AEB＝130°﹣50°＝80°，∵DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，∴∠ADC=12∠ADB，∠AEC=1∴∠ADC+∠AEC=12（∠ADB+∠∴∠DCE＝∠A+∠ADC+∠AEC＝50°+40°＝90°．6．【概念認(rèn)識】如圖①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，則BD，BE叫做∠ABC的“三分線”其中，BD是“鄰AB三分線”，BE“鄰BC三分線”．【問題解決】（1）如圖①，∠ABC＝60°，BD，BE是∠ABC的“三分線”，則∠ABE＝40°；（2）如圖②，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝45°，若∠B的“鄰BC三分線”BD交AC于點(diǎn)D，則∠BDC＝90°；（3）如圖③，在△ABC中，BP、CP分別是∠ABC鄰AB“三分線”和∠ACB鄰AC“三分線”，且BP⊥CP，求∠A的度數(shù)．【考點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理．【專題】三角形；推理能力．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）根據(jù)三等分線的定義即可得到答案；（2）根據(jù)BD是“鄰BC三分線”，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)計(jì)算即可；（3）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠PBC+∠PCB＝180°﹣90°＝90°，根據(jù)“鄰三分線”的定義計(jì)算即可．【解答】解：（1）∵∠ABC＝60°，BD，BE是∠ABC的“三分線”，∴∠ABE=2故答案為：40；（2）如圖，∵BD是“鄰BC三分線”時，∠ABD=23∠則∠BDC＝∠ABD+∠A＝30°+60°＝90°，故答案為：90；（3）∵BP⊥CP，∴∠BPC＝90°，∴∠PBC+∠PCB＝90°．∵BP，CP分別是∠ABC鄰AB三分線和∠ACB鄰AC三分線，∴∠PBC=23∠ABC，∠PCB=223∠ABC+23∴∠ABC+∠ACB＝135°，∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣135°＝45°．7．如圖①，已知線段AB，CD相交于點(diǎn)O，連接AC，BD，我們把形如這樣的圖形稱為“八字圖形”．（1）求證：∠A+∠C＝∠B+∠D；（2）如圖②，若∠CAB和∠BDC的平分線AP和DP相交于點(diǎn)P，與CD，AB分別交于點(diǎn)M，N．①觀察圖②，寫出另外兩組“八字圖形”中與（1）類似的結(jié)論：∠C+∠1＝∠P+∠3；∠B+∠4＝∠P+∠2．②若∠B＝100°，∠C＝120°，求∠P的度數(shù)；③根據(jù)②的結(jié)果直接寫出∠B，∠C，∠P之間的關(guān)系（不需要證明）．【答案】（1）詳見解答；（2）①∠C+∠1＝∠P+∠3，∠B+∠4＝∠P+∠2；②110°；③∠B+∠C＝2∠P．【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論；（2）①根據(jù)（1）的結(jié)論直接得出答案；②根據(jù)角平分線的定義以及（2）①的結(jié)論進(jìn)行計(jì)算即可；③根據(jù)角平分線的定義以及（2）①的結(jié)論可得出∠B+∠C＝2∠P．【解答】（1）證明：如圖①，∵∠A+∠C+∠AOC＝180°＝∠B+∠D+∠BOD，而∠AOC＝∠BOD，∴∠A+∠C＝∠B+∠D；（2）①如圖②，由（1）的結(jié)論可得，∠C+∠1＝∠P+∠3，∠B+∠4＝∠P+∠2，故答案為：∠C+∠1＝∠P+∠3，∠B+∠4＝∠P+∠2；②∵∠CAB和∠BDC的平分線AP和DP相交于點(diǎn)P，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵∠C+∠1＝∠P+∠3，∠B+∠4＝∠P+∠2，∴∠C﹣∠P＝∠P﹣∠B，即∠B+∠C＝2∠P，∵∠B＝100°，∠C＝120°，∴∠P=100°+120°③∠B+∠C＝2∠P，理由如下：∵∠CAB和∠BDC的平分線AP和DP相交于點(diǎn)P，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵∠C+∠1＝∠P+∠3，∠B+∠4＝∠P+∠2，∴∠C﹣∠P＝∠P﹣∠B，即∠B+∠C＝2∠P．8．如圖，在△ABC中，分別作其內(nèi)角∠ACB與外角∠DAC的角平分線，且兩條角平分線所在的直線交于點(diǎn)E（1）填空：①如圖1，若∠B＝60°，則∠E＝30°；②如圖2，若∠B＝90°，則∠E＝45°；（2）如圖3，若∠B＝α，求∠E的度數(shù)；（3）如圖4，仿照（2）中的方法，在（2）的條件下分別作∠EAB與∠ECB的角平分線，且兩條角平分線交于點(diǎn)G，求∠G的度數(shù)．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）①根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得∠DAC﹣∠ACB＝∠B＝60°，再根據(jù)角平分線的定義可得∠FAC﹣∠ACE＝30°，可求∠E的度數(shù)；②根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得∠DAC﹣∠ACB＝∠B＝90°，再根據(jù)角平分線的定義可得∠FAC﹣∠ACE＝45°，可求∠E的度數(shù)；（2）根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得∠DAC﹣∠ACB＝∠B=12α，再根據(jù)角平分線的定義可得∠FAC﹣∠ACE=12（3）根據(jù)角平分線的定和義可得三角形的外角性質(zhì)可得∠G＝∠HAC﹣∠ACG=32∠FAC?32∠ACE=32（∠【解答】解：（1）①∠DAC﹣∠ACB＝∠B＝60°，∵EA平分∠DAC，EC平分∠ACB，∴∠FAC=12∠DAC，∠ACE=1∴∠E＝∠FAC﹣∠ACE=12∠②∠DAC﹣∠ACB＝∠B＝90°，∵EA平分∠DAC，EC平分∠ACB，∴∠FAC=12∠DAC，∠ACE=1∴∠E＝∠FAC﹣∠ACE=12∠（2）∠DAC﹣∠ACB＝∠B＝α，∵EA平分∠DAC，EC平分∠ACB，∴∠FAC=12∠DAC，∠ACE=1∴∠E＝∠FAC﹣∠ACE=12∠B=（3）∵AG，CG分別是∠EAB與∠ECB的角平分線，∴∠G＝∠HAC﹣∠ACG=32∠FAC?32∠ACE=32（∠FAC﹣∠ACE）9．探索歸納：（1）如圖1，已知△ABC為直角三角形，∠A＝90°，若沿圖中虛線剪去∠A，則∠1+∠2等于CA.90°B.135℃.270°D.315°（2）如圖2，已知△ABC中，∠A＝40°，剪去∠A后成四邊形，則∠1+∠2＝220°（3）如圖2，根據(jù)（1）與（2）的求解過程，請你歸納猜想∠1+∠2與∠A的關(guān)系是∠1+∠2＝180°+∠A（4）如圖3，若沒有剪掉，而是把它折成如圖3形狀，試探究∠1+∠2與∠A的關(guān)系并說明理由．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）利用了四邊形內(nèi)角和為360°和直角三角形的性質(zhì)求解；（2）根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和求解；（3）根據(jù)（1）（2）可以直接寫出結(jié)果；（4）根據(jù)折疊的性質(zhì)，對應(yīng)角相等，以及鄰補(bǔ)角的性質(zhì)即可求解．【解答】解：（1）：∵四邊形的內(nèi)角和為360°，直角三角形中兩個銳角和為90°∴∠1+∠2＝360°﹣（∠A+∠B）＝360°﹣90°＝270°．∴∠1+∠2等于270°．故選C；（2）∠1+∠2＝180°+40°＝220°，故答案為：220°；（3）∠1+∠2與∠A的關(guān)系是：∠1+∠2＝180°+∠A；（4）∵△EFP是由△EFA折疊得到的，∴∠AFE＝∠PFE，∠AEF＝∠PEF∴∠1＝180°﹣2∠AFE，∠2＝18