初等函數基礎入門練習題及解析初等函數是我們打開數學世界大門的一把重要鑰匙，無論是進一步學習高等數學，還是在物理、經濟等其他學科的應用中，都扮演著不可或缺的角色。掌握初等函數的概念、性質及運算，離不開扎實的練習。本文精心選編了一些基礎入門級別的練習題，并附上詳細解析，希望能幫助初學者鞏固所學知識，加深理解。一、函數的基本概念與表示法練習題1.求函數\(f(x)=\frac{1}{x-2}+\sqrt{x+1}\)的定義域。2.已知函數\(f(x)=2x+3\)，求\(f(0)\)，\(f(a)\)，以及\(f(f(x))\)。3.設函數\(f(x)\)滿足\(f(x+1)=x^2-2x\)，求\(f(x)\)的表達式。解析1.求定義域：要使函數\(f(x)=\frac{1}{x-2}+\sqrt{x+1}\)有意義，需滿足：*分式的分母不為零：\(x-2\neq0\)，即\(x\neq2\)。*偶次根式的被開方數非負：\(x+1\geq0\)，即\(x\geq-1\)。綜合以上兩個條件，函數的定義域為\(x\geq-1\)且\(x\neq2\)。用區(qū)間表示即為\([-1,2)\cup(2,+\infty)\)。2.函數值與復合函數：*\(f(0)=2\times0+3=3\)。*\(f(a)=2\timesa+3=2a+3\)。*\(f(f(x))=f(2x+3)=2(2x+3)+3=4x+6+3=4x+9\)。3.求函數表達式：方法一（換元法）：令\(t=x+1\)，則\(x=t-1\)。代入\(f(x+1)=x^2-2x\)，得：\(f(t)=(t-1)^2-2(t-1)=t^2-2t+1-2t+2=t^2-4t+3\)。所以，\(f(x)=x^2-4x+3\)。方法二（配湊法）：\(f(x+1)=x^2-2x=(x^2+2x+1)-4x-1=(x+1)^2-4(x+1)+3\)。所以，\(f(x)=x^2-4x+3\)。二、一次函數與反比例函數練習題4.已知一次函數的圖像經過點\((1,3)\)和\((-2,-3)\)，求該一次函數的解析式。5.函數\(f(x)=kx+b\)在\(R\)上是減函數，且圖像與\(y\)軸交于正半軸，試確定\(k\)和\(b\)的符號。6.求反比例函數\(y=\frac{6}{x}\)與一次函數\(y=x+1\)的交點坐標。解析4.求一次函數解析式：設一次函數的解析式為\(y=kx+b\)（\(k\neq0\)）。因為函數圖像經過點\((1,3)\)和\((-2,-3)\)，將這兩點坐標代入解析式得：\[\begin{cases}k\times1+b=3\\k\times(-2)+b=-3\end{cases}\]即：\[\begin{cases}k+b=3\quad(1)\\-2k+b=-3\quad(2)\end{cases}\]用方程(1)減去方程(2)：\(3k=6\)，解得\(k=2\)。將\(k=2\)代入方程(1)：\(2+b=3\)，解得\(b=1\)。所以，該一次函數的解析式為\(y=2x+1\)。5.一次函數的單調性與圖像：一次函數\(f(x)=kx+b\)的單調性由斜率\(k\)決定：*當\(k>0\)時，函數在\(R\)上是增函數；*當\(k<0\)時，函數在\(R\)上是減函數。題目中說函數在\(R\)上是減函數，因此\(k<0\)。圖像與\(y\)軸的交點為\((0,b)\)，交點在正半軸，說明\(b>0\)。綜上，\(k\)為負，\(b\)為正。6.函數交點問題：求反比例函數\(y=\frac{6}{x}\)與一次函數\(y=x+1\)的交點坐標，即解方程組：\[\begin{cases}y=\frac{6}{x}\\y=x+1\end{cases}\]將第二個方程代入第一個方程：\(x+1=\frac{6}{x}\)。兩邊同乘以\(x\)（\(x\neq0\)）：\(x(x+1)=6\)，即\(x^2+x-6=0\)。解這個一元二次方程：\((x+3)(x-2)=0\)，所以\(x_1=-3\)，\(x_2=2\)。將\(x_1=-3\)代入\(y=x+1\)，得\(y_1=-2\)；將\(x_2=2\)代入\(y=x+1\)，得\(y_2=3\)。因此，兩函數的交點坐標為\((-3,-2)\)和\((2,3)\)。三、二次函數練習題7.求二次函數\(f(x)=x^2-4x+5\)的頂點坐標、對稱軸、單調區(qū)間及最值。8.已知二次函數\(f(x)\)的圖像頂點為\((1,-2)\)，且經過點\((2,1)\)，求其解析式。9.當\(x\in[0,3]\)時，求函數\(f(x)=-x^2+2x+3\)的最大值和最小值。解析7.二次函數的基本性質：對于二次函數\(f(x)=x^2-4x+5\)，其中\(zhòng)(a=1\)，\(b=-4\)，\(c=5\)。*對稱軸：\(x=-\frac{2a}=-\frac{-4}{2\times1}=2\)。*頂點橫坐標為\(x=2\)，代入函數得頂點縱坐標：\(f(2)=2^2-4\times2+5=4-8+5=1\)。所以頂點坐標為\((2,1)\)。*因為\(a=1>0\)，拋物線開口向上。*單調區(qū)間：在對稱軸左側，即\((-\infty,2]\)上單調遞減；在對稱軸右側，即\([2,+\infty)\)上單調遞增。*最值：因為開口向上，函數有最小值，且最小值為頂點的縱坐標，即\(f(x)_{\text{min}}=1\)，無最大值。8.求二次函數解析式（頂點式）：已知二次函數的頂點為\((1,-2)\)，故可設其頂點式為\(f(x)=a(x-1)^2-2\)（\(a\neq0\)）。又因為函數圖像經過點\((2,1)\)，將\(x=2\)，\(y=1\)代入上式：\(1=a(2-1)^2-2\)，即\(1=a-2\)，解得\(a=3\)。因此，該二次函數的解析式為\(f(x)=3(x-1)^2-2\)。展開化為一般式為\(f(x)=3x^2-6x+1\)。9.二次函數在閉區(qū)間上的最值：函數\(f(x)=-x^2+2x+3\)，其中\(zhòng)(a=-1<0\)，拋物線開口向下，對稱軸為\(x=-\frac{2a}=-\frac{2}{2\times(-1)}=1\)。給定區(qū)間為\([0,3]\)，對稱軸\(x=1\)在該區(qū)間內。*最大值：因為開口向下，函數在對稱軸處取得最大值。\(f(1)=-(1)^2+2\times1+3=-1+2+3=4\)。*最小值：比較區(qū)間端點函數值。\(f(0)=-0^2+2\times0+3=3\)。\(f(3)=-3^2+2\times3+3=-9+6+3=0\)。因為\(0<3\)，所以最小值為\(f(3)=0\)。綜上，當\(x\in[0,3]\)時，函數的最大值為\(4\)，最小值為\(0\)。四、指數函數與對數函數練習題10.計算下列各式的值：(1)\(2^3\times2^{-1}\)(2)\((2^3)^2\)(3)\(\log_28+\log_3\frac{1}{3}\)(4)\(\lg1000-\lne^2\)11.比較下列各組數的大小：(1)\(2^{0.3}\)與\(2^{0.5}\)(2)\(0.3^{2}\)與\(0.3^{0.2}\)(3)\(\log_23\)與\(\log_25\)(4)\(\log_{0.5}1.2\)與\(\log_{0.5}1.1\)12.解不等式\(\log_2(x-1)<1\)。解析10.指數與對數運算：(1)\(2^3\times2^{-1}=2^{3+(-1)}=2^2=4\)（同底數冪相乘，底數不變，指數相加）。(2)\((2^3)^2=2^{3\times2}=2^6=64\)（冪的乘方，底數不變，指數相乘）。(3)\(\log_28+\log_3\frac{1}{3}=\log_22^3+\log_33^{-1}=3\log_22+(-1)\log_33=3\times1+(-1)\times1=3-1=2\)。(4)\(\lg1000-\lne^2=\log_{10}10^3-2\lne=3\lg10-2\times1=3\times1-2=1\)。（\(\lg\)是以10為底的對數，\(\ln\)是以e為底的對數）11.利用函數單調性比較大?。?1)考察函數\(y=2^x\)，因為底數\(2>1\)，所以該函數在\(R\)上是增函數。由于\(0.3<0.5\)，所以\(2^{0.3}<2^{0.5}\)。(2)考察函數\(y=0.3^x\)，因為底數\(0<0.3<1\)，所以該函數在\(R\)上是減函數。由于\(2>0.2\)，所以\(0.3^2<0.3^{0.2}\)。(3)考察函數\(y=\log_2x\)，因為底數\(2>1\)，所以該函數在\((0,+\infty)\)上是增函數。由于\(3<5\)，所以\(\log_23<\log_25\)。(4)考察函數\(y=\log_{0.5}x\)，因為底數\(0<0.5<1\)，所以該函數在\((0,+\infty)\)上是減函數。由于\(1.2>1.1\)，所以\(\log_{0.5}1.2<\log_{0.5}1.1\)。12.解對數不等式：解不等式\(\log_2(x-1)<1\)。首先，對數函數的真數必須大于零，即\(x-1>0\)，得\(x>1\)。（條件1）原不等式可化為\(\log_2(x-1)<\log_22\)（因為\(1=\log_22\)）。因為函數\(y=\log_2x\)是增函數，所以不等式兩邊同時去掉對數符號得：\(x-1<2\)，即\(x<3\)。（條件2）綜合條件1和條件2，原不等式的解集為\(1<x<3\)，用區(qū)間表示為\((1,3)\)。五、總結與提示初等函數的學習，關鍵在于理解其定義、圖像和基本性質，并能熟練運用這些知識解決簡單的數學問題。通過上述練習題，我們回顧了函數的基本概念、一次函數、反比例函數、二次函數以及指數