§8.6雙曲線分值：90分一、單項(xiàng)選擇題(每小題5分，共30分)1.已知雙曲線mx2y2=1(m>0)的實(shí)軸長(zhǎng)為1，則該雙曲線的漸近線方程為()A.y=±2xB.y=B.y=±12C.y=±2x D.y=±222.(2024·全國(guó)甲卷)已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為(0，4)，(0，4)，點(diǎn)(6，4)在該雙曲線上，則該雙曲線的離心率為()A.4 B.3 C.2 D.23.(2025·張家口模擬)已知雙曲線C：x2a2y2b2=1(a>0，b>0)的一條漸近線的傾斜角為π6，其焦點(diǎn)到漸近線的距離為A.x24y26=1C.x26y24=14.(2024·安陽(yáng)模擬)已知雙曲線的方程為5mx2my2=5(m∈R，m≠0)，則不因m的變化而變化的是()A.頂點(diǎn)坐標(biāo) B.漸近線方程C.焦距 D.離心率5.已知點(diǎn)P是雙曲線x216y220=1右支上的一點(diǎn)，點(diǎn)A，B分別是圓(x+6)2+y2=4和圓(x6)2+y2=1上的點(diǎn).則|PA||PB|A.3 B.5 C.7 D.96.(2024·天津河西區(qū)模擬)已知雙曲線C：x2a2y2b2=1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)F1作C的一條漸近線的垂線，垂足為M，且|MF2|=3|OM|A.2 B.6 C.22 D.3二、多項(xiàng)選擇題(每小題6分，共12分)7.(2024·南通調(diào)研)已知雙曲線C：x24y2b2=1(b>0)的右焦點(diǎn)為F，直線l：x+by=0是C的一條漸近線，P是A.C的虛軸長(zhǎng)為22B.C的離心率為6C.|PF|的最小值為2D.直線PF的斜率不等于28.已知A為雙曲線C：x216y29=1上位于第一象限內(nèi)的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線，垂足為M，點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，F(xiàn)為雙曲線CA.若|AB|=10，則AF⊥BFB.若AF⊥BF，則△ABF的面積為9C.|AF||AM|D.|AF||AM|的最小值為8三、填空題(每小題5分，共10分)9.(2024·新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ)設(shè)雙曲線C：x2a2y2b2=1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)F2作平行于y軸的直線交C于A，B兩點(diǎn)，若|F1A|=13，|AB10.(2024·鄭州模擬)已知雙曲線C：x2a2y2b2=1(a>0，b>0)的離心率為2，A，B分別是它的兩條漸近線上的點(diǎn)(不與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合)，點(diǎn)P在雙曲線C上且OA+OB=2OP，△四、解答題(共28分)11.(13分)求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)焦點(diǎn)在x軸上，a=25，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(5，2)；(6分)(2)過(guò)點(diǎn)P(2，2)，且與橢圓x29+y24=1有相同焦點(diǎn)的雙曲線方程12.(15分)已知雙曲線C：x2a2y2b2=1(a>0，b>0)的焦距為10，(1)求雙曲線C的方程；(7分)(2)若點(diǎn)A(12，0)，點(diǎn)P為雙曲線C左支上一點(diǎn)，求|PA|+|PF|的最小值.(8分)每小題5分，共10分13.(2024·天津)已知雙曲線x2a2y2b2=1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2.P是雙曲線右支上一點(diǎn)，且直線PF2的斜率為2，△PF1F2A.x28y22=1 B.x28y24=114.將雙曲線x22y22=1繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后，能得到反比例函數(shù)y=1x的圖象(其漸近線分別為x軸和y軸)，所以我們也稱反比例函數(shù)y=1x的圖象為雙曲線.同樣“對(duì)勾函數(shù)”y=33x+3xA.43 B.4 C.27 D.26答案精析1.A2.C3.B[由題意可得ba=tanπ6所以a=3b，雙曲線的漸近線方程為y=±33x即x±3y=0，焦點(diǎn)(c，0)到漸近線x+3y=0的距離d=c1+3=c2=2，所以c又a2+b2=c2=16，a=3b，所以b2=4，a2=12，所以C的方程為x212y24.B[將雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得x21m當(dāng)m>0時(shí)，雙曲線x21my25m=1表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，且a2=1m，此時(shí)頂點(diǎn)坐標(biāo)為±1m，0，漸近線方程為y=±5x離心率e=1+b2a2=當(dāng)m<0時(shí)，雙曲線x21my2且a2=5m，b2=1m，此時(shí)頂點(diǎn)坐標(biāo)為0，±-5m，焦距2c=2離心率e=1+b2a2=綜上可得，不因m的變化而變化的是漸近線方程.]5.B[由雙曲線x216ya=4，b=25，c=a2且圓(x+6)2+y2=4的圓心為F1(6，0)，半徑r1=2，圓(x6)2+y2=1的圓心為F2(6，0)，半徑r2=1，由圓的性質(zhì)可知|PA|≥|PF1|r1=|PF1|2，|PB|≤|PF2|+r2=|PF2|+1，可得|PA||PB|≥(|PF1|2)(|PF2|+1)=|PF1||PF2|3，可知F1(6，0)，F(xiàn)2(6，0)為雙曲線的焦點(diǎn)，則|PF1||PF2|=2a=8，可得|PA||PB|≥|PF1||PF2|3=5，所以|PA||PB|的最小值為5.]6.B[由題意得F1(c，0)，由雙曲線的對(duì)稱性，設(shè)一條漸近線的方程為bxay=0，所以|MF1|=|-bc|b2+(-由勾股定理得|OM|=OF1|因?yàn)镸F1垂直于漸近線，所以cos∠MOF1=a因?yàn)閨MF2|=3|OM|，所以|MF2|=3a，而|OF2|=c，在△MOF2中，由余弦定理得cos∠MOF2=a因?yàn)椤螹OF1+∠MOF2=π，所以a2+c2化簡(jiǎn)得c2=6a2，所以c=6a，故e=ca=6.7.AD[雙曲線C：x24y2b2=1的漸近線方程為bx±2y=0，依題意得1b對(duì)于A，C的虛軸長(zhǎng)為2b=22，A對(duì)于B，C的離心率e=a2+b2對(duì)于C，點(diǎn)F(6，0)到直線l：x+2y=0的距離為61即|PF|的最小值為2，C對(duì)于D，直線l：x+2y=0的斜率為22，而點(diǎn)F不在l上，點(diǎn)P在l上，則直線PF的斜率不等于22，8.ABD[設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F1，依題意，四邊形AFBF1為平行四邊形，如圖，由雙曲線C：x216y29=1知a=4，b=3對(duì)于A，|AB|=10=|FF1|，則四邊形AFBF1為矩形，AF⊥BF，A正確；對(duì)于B，由雙曲線定義得|AF||AF1|=8，而|FF1|=10，AF⊥BF，則|AF|2+|AF1|2=|FF1|2，即(|AF|-AF1|)2+2|AF||于是|AF||AF1|=18，因此△ABF的面積S=12|AF||AF1|=9，B對(duì)于C，在Rt△AFM中，|AF||AM|=|AM|雙曲線C：x216y29=1的漸近線方程為y=±34x，直線即有|FM||AM|>|AF||AM|>1+432對(duì)于D，|AF||AM|=8+|AF1||AM|≥8，當(dāng)且僅當(dāng)|AF1|=|AM|時(shí)取等號(hào)，D正確.]9.3解析|F1A|=13，|AF2|=12|AB|=5且AF2⊥F1F2，|F1F2|=|F1由雙曲線定義可得2a=|F1A||AF2|=8，2c=|F1F2|=12，化簡(jiǎn)得a=4，c=6，則C的離心率e=ca=310.26解析如圖，由e=2=ca=可得a=b，故雙曲線C：x2a2y2b2由雙曲線的對(duì)稱性，不妨設(shè)A(x1，x1)，B(x2，x2)，因?yàn)镺A+OB=2OP則點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，則Px將其代入x2y2=a2中，整理得x1x2=a2，又|OA|=2|x1|，|OB|=2|x2|，且OA⊥OB，則△AOB的面積為12×2|x1|×2|x即a2=6，解得a=6故雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為26.11.解(1)因?yàn)閍=25，且雙曲線的焦點(diǎn)在x可設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x220y2b2=1將點(diǎn)A(5，2)代入雙曲線的方程得252022b2=1，解得因此，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x220y(2)在橢圓x29+yc=9-4=5所以橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(5，0)，F(xiàn)2(5，0設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2y2b2=1(a因?yàn)殡p曲線與橢圓有相同焦點(diǎn)，所以a2+b2=c2=5，點(diǎn)P(2，2)可得2a24聯(lián)立2a2所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2y2412.解(1)x2a2y2b2=1的漸近線的方程為y=±ba由雙曲線的對(duì)稱性不妨取漸近線為bxay=0，則點(diǎn)F(c，0)到bxay=0的距離d=|bc|b2+a又因?yàn)榻咕?c=10，所以c=5，所以a2=c2b2=9，所以雙曲線C的方程為x29y(2)記雙曲線C的左焦點(diǎn)為F0，則F0(5，0)，|PA|+|PF|=|PA|+|PF0|+2a=|PA|+|PF0|+6，當(dāng)F0，P，A三點(diǎn)共線時(shí)，|PA|+|PF0|最小，且最小值為|AF0|=17.故|PA|+|PF|的最小值為17+6=23.13.C[由題意可知，∠F1PF2=90°，又直線PF2的斜率為2，可得tan∠PF2F1=PF1根據(jù)雙曲線定義|PF1||PF2|=2a，得|PF1|=4a，|PF2|=2a，S△PF1F2=12|PF1||PF2|=12×4又S△PF1F2所以|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2