八年級數(shù)學(xué)全等三角形證明題集錦全等三角形是平面幾何的入門與基石，其證明過程不僅能鍛煉邏輯推理能力，更是后續(xù)學(xué)習(xí)更復(fù)雜幾何知識的基礎(chǔ)。掌握全等三角形的證明，關(guān)鍵在于對基本判定定理的熟練運用和對圖形結(jié)構(gòu)的敏銳觀察。本文將梳理全等三角形證明的常見思路與技巧，并輔以典型例題，希望能為同學(xué)們的學(xué)習(xí)提供有益的參考。一、全等三角形判定定理回顧在開始證明之前，我們先回顧一下判定兩個三角形全等的基本定理，這是我們推理的“武器庫”：1.SSS（邊邊邊）：三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等。2.SAS（邊角邊）：兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等。3.ASA（角邊角）：兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等。4.AAS（角角邊）：兩角和其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等。5.HL（斜邊、直角邊）：在直角三角形中，斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等。溫馨提示：*“SAS”中的“角”必須是兩對應(yīng)邊的夾角，注意與“SSA”（邊邊角）的區(qū)別，后者不能作為判定全等的依據(jù)。*“HL”定理僅適用于直角三角形。二、證明思路與技巧面對一道全等三角形證明題，通?？梢园凑找韵虏襟E進行思考：1.明確目標(biāo)：要證哪兩個三角形全等？2.已知條件：題目中直接給出了哪些邊或角相等的條件？3.隱含條件：圖形中是否存在公共邊、公共角、對頂角等隱含的相等關(guān)系？4.選擇定理：根據(jù)已知條件和隱含條件，結(jié)合全等判定定理，判斷還需要什么條件才能證得全等。5.規(guī)范書寫：證明過程要做到步步有據(jù)，邏輯清晰，書寫規(guī)范。常用輔助線技巧：*連接已知點：構(gòu)造全等三角形。*作高：特別是在涉及角平分線或等腰三角形時，高往往是重要的輔助線。*截長補短：用于證明線段的和差關(guān)系。*平移或旋轉(zhuǎn)：（初步接觸）通過圖形變換構(gòu)造全等。三、證明題集錦（一）基礎(chǔ)鞏固型例題1已知：如圖，點A、B、C、D在同一條直線上，AB=CD，AE=DF，且AE∥DF。求證：△AEC≌△DFB。思路分析：要證△AEC≌△DFB，已知AE=DF（一組邊）。因為AE∥DF，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得到∠A=∠D（一組角）。題目中AB=CD，而AC=AB+BC，BD=CD+BC，所以AC=BD（另一組邊）。至此，兩邊及其夾角對應(yīng)相等，可用“SAS”判定。證明過程：∵AE∥DF（已知）∴∠A=∠D（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）∵AB=CD（已知）∴AB+BC=CD+BC（等式的性質(zhì)）即AC=DB在△AEC和△DFB中，AE=DF（已知）∠A=∠D（已證）AC=DB（已證）∴△AEC≌△DFB（SAS）例題2已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，點D、E分別在AB、AC上，且AD=AE。求證：△ABE≌△ACD。思路分析：要證△ABE≌△ACD，已知AB=AC（一組邊），AD=AE（另一組邊）。觀察圖形，∠A是△ABE和△ACD的公共角（一組角）。因此，可用“SAS”判定全等。證明過程：在△ABE和△ACD中，AB=AC（已知）∠A=∠A（公共角）AE=AD（已知）∴△ABE≌△ACD（SAS）（二）適度提升型例題3已知：如圖，AD是△ABC的中線，過點B作BE⊥AD于E，過點C作CF⊥AD交AD的延長線于F。求證：BE=CF。思路分析：要證BE=CF，可考慮證明它們所在的三角形全等，即△BED和△CFD。已知AD是中線，所以BD=CD（一組邊）。BE⊥AD，CF⊥AD，可得∠BED=∠CFD=90°（一組角）。對頂角∠BDE=∠CDF（另一組角）。因此，可用“AAS”判定全等。證明過程：∵AD是△ABC的中線（已知）∴BD=CD（中線的定義）∵BE⊥AD，CF⊥AD（已知）∴∠BED=∠CFD=90°（垂直的定義）在△BED和△CFD中，∠BED=∠CFD（已證）∠BDE=∠CDF（對頂角相等）BD=CD（已證）∴△BED≌△CFD（AAS）∴BE=CF（全等三角形的對應(yīng)邊相等）例題4已知：如圖，AB=CD，AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，且CE=BF。求證：AB∥CD。思路分析：要證AB∥CD，可證∠B=∠C。要證∠B=∠C，可證△ABE≌△DCF。已知AB=CD（斜邊），AE⊥BC，DF⊥BC，所以△ABE和△DCF都是直角三角形。CE=BF，而BC是公共部分，所以BF-EF=CE-EF，即BE=CF（直角邊）。因此，可用“HL”定理證Rt△ABE≌Rt△DCF。證明過程：∵AE⊥BC，DF⊥BC（已知）∴△ABE和△DCF都是直角三角形（直角三角形的定義）∵CE=BF（已知）∴CE-EF=BF-EF（等式的性質(zhì)）即CF=BE在Rt△ABE和Rt△DCF中，AB=CD（已知）BE=CF（已證）∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL）∴∠B=∠C（全等三角形的對應(yīng)角相等）∴AB∥CD（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）（三）綜合應(yīng)用型例題5已知：如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點D是AB的中點，點E、F分別在AC、BC上，且AE=CF。求證：DE=DF。思路分析：要證DE=DF，連接CD（輔助線）。因為△ABC是等腰直角三角形，D是AB中點，根據(jù)等腰直角三角形“三線合一”的性質(zhì)，CD=AD=BD，CD平分∠ACB，∠A=∠B=∠ACD=∠BCD=45°。已知AE=CF，AC=BC，所以EC=FB。在△DCE和△DBF中，CD=BD，∠DCE=∠B=45°，EC=FB，可用“SAS”證全等，從而得到DE=DF。證明過程：連接CD。∵∠ACB=90°，AC=BC，D是AB的中點（已知）∴CD=BD（等腰直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，且三線合一）∠DCE=∠B=45°（等腰直角三角形的性質(zhì)，CD平分∠ACB）∵AC=BC，AE=CF（已知）∴AC-AE=BC-CF（等式的性質(zhì)）即EC=FB在△DCE和△DBF中，EC=FB（已證）∠DCE=∠B（已證）CD=BD（已證）∴△DCE≌△DBF（SAS）∴DE=DF（全等三角形的對應(yīng)邊相等）四、總結(jié)與提升全等三角形的證明，核心在于“找條件，定定理”。同學(xué)們在平時練習(xí)中，要注意以下幾點：1.仔細審題：不放過任何一個已知條件，包括圖形中的隱含條件。2.多思多想：嘗試從不同角度分析問題，尋找最優(yōu)證明路徑。3.規(guī)范表達：證明過程要條理清晰，每一步推理都要有