專(zhuān)題12.4超幾何分布、二項(xiàng)分布、正態(tài)分布1.兩點(diǎn)分布=1\*GB2⑴若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，即其分布列為01其中，則稱(chēng)離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為的兩點(diǎn)分布．其中稱(chēng)為成功概率．=2\*GB2⑵兩點(diǎn)分布的均值與方差：若隨機(jī)變量服從參數(shù)為的兩點(diǎn)分布，則，．注意：=1\*GB2⑴兩點(diǎn)分布的試驗(yàn)結(jié)果只有兩個(gè)可能性，且其概率之和為；=2\*GB2⑵兩點(diǎn)分布又稱(chēng)分布、伯努利分布，其應(yīng)用十分廣泛．2.伯努利試驗(yàn)與二項(xiàng)分布=1\*GB2⑴n重伯努利試驗(yàn)的定義①我們把只包含兩個(gè)可能結(jié)果的試驗(yàn)叫做伯努利試驗(yàn).②將一個(gè)伯努利試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行n次所組成的隨機(jī)試驗(yàn)稱(chēng)為n重伯努利試驗(yàn).=2\*GB2⑵二項(xiàng)分布一般地，在n重伯努利試驗(yàn)中，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1)，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，則稱(chēng)隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作X~=3\*GB2⑶兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差=1\*GB3①若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布,則EX=p,=2\*GB3②若X~B(n,p)3.超幾何分布一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品，從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為PX=k其中n,N,M∈N如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，那么稱(chēng)隨機(jī)變量X服從超幾何分布．4.正態(tài)分布=1\*GB2⑴正態(tài)分布定義：若隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為fx=1σ2πe-(x-μ)22σ2，(x∈R,=2\*GB2⑵正態(tài)曲線的特點(diǎn)①曲線位于x軸上方，與x軸不相交；②曲線是單峰的，它關(guān)于直線x=③曲線在x=μ時(shí)達(dá)到峰值④當(dāng)x<μ時(shí)，曲線上升；當(dāng)x>μ時(shí)，曲線下降.⑤曲線與x軸之間的面積為1；⑥μ決定曲線的位置和對(duì)稱(chēng)性；當(dāng)σ一定時(shí)，曲線的對(duì)稱(chēng)軸位置由μ確定；如下圖所示，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移。⑦σ確定曲線的形狀；當(dāng)μ一定時(shí)，曲線的形狀由σ確定.σ越小，曲線越“高瘦”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散.=3\*GB2⑶正態(tài)分布的3σ原則：正態(tài)分布在三個(gè)特殊區(qū)間的概率值假設(shè)X~N(μ,σ2)特別地，P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827，P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.上述結(jié)果可用右圖表示.此看到，盡管正態(tài)變量的取值范圍是(-∞,+∞)，但在一次試驗(yàn)中，X的值幾乎總是落在區(qū)間μ-3σ,μ+3σ內(nèi)，而在此區(qū)間以外取值的概率大約只有0.0027,通常認(rèn)為這種情況幾乎不可能發(fā)生.在實(shí)際應(yīng)用中，通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布N(μ,σ2)的隨機(jī)變量X【重要結(jié)論】1.對(duì)于小概率事件要有一個(gè)正確的理解：小概率事件是指發(fā)生的概率小于的事件．對(duì)于這類(lèi)事件來(lái)說(shuō)，在大量重復(fù)試驗(yàn)中，平均每試驗(yàn)大約次，才發(fā)生1次，所以認(rèn)為在一次試驗(yàn)中該事件是幾乎不可能發(fā)生的．不過(guò)應(yīng)注意兩點(diǎn)：一是這里的“幾乎不可能發(fā)生”是針對(duì)“一次試驗(yàn)”來(lái)說(shuō)的，如果試驗(yàn)次數(shù)多了，該事件當(dāng)然是很可能發(fā)生的；二是當(dāng)我們運(yùn)用“小概率事件幾乎不可能發(fā)生的原理”進(jìn)行推斷時(shí)，也有犯錯(cuò)的可能性．2.超幾何分布和二項(xiàng)分布的區(qū)別=1\*GB2⑴超幾何分布需要知道總體的容量，而二項(xiàng)分布不需要；=2\*GB2⑵超幾何分布是“不放回”抽取，在每次試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的概率是不相同的；而二項(xiàng)分布是“有放回”抽取（獨(dú)立重復(fù)），在每次試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的概率是相同的.1.【人教A版選擇性必修三習(xí)題7.4第8題P81】為試驗(yàn)一種新藥，某醫(yī)院把該藥分發(fā)給10位患有相關(guān)疾病的志愿者服用.試驗(yàn)方案為：若這10位患者中至少有5人治愈，則認(rèn)為這種新藥有效;否則認(rèn)為這種新藥無(wú)效.假設(shè)新藥有效，治愈率為80%．(1)用X表示這10位志愿者中治愈的人數(shù)，求X的期望E(2)若10位志愿者中治愈的人數(shù)恰好為E(X)，從10人中隨機(jī)選取5人，求(3)求經(jīng)試驗(yàn)認(rèn)定該藥無(wú)效的概率p(保留4位小數(shù));根據(jù)p值的大小解釋試驗(yàn)方案是否合理.(依據(jù)：當(dāng)p值小于0.05時(shí)，可以認(rèn)為試驗(yàn)方案合理，否則認(rèn)為不合理附：記P(X=k)=C10k×0.8kX2345678910P0.00010.00080.00550.02640.08810.20130.30200.26840.10742.【人教A版選擇性必修三復(fù)習(xí)參考題7第10題P91】現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四個(gè)人相互之間傳球，從甲開(kāi)始傳球，甲等可能地把球傳給乙、丙、丁中的任何一個(gè)人，依此類(lèi)推．

(1)通過(guò)三次傳球，球經(jīng)過(guò)乙的次數(shù)為X，求X的分布列與期望；

(2)設(shè)經(jīng)過(guò)n次傳球后，球落在甲手上的概率為an，

(ⅰ)求a1，a2；

(ⅱ)求an，并簡(jiǎn)要解釋隨著傳球次數(shù)的增多，球落在甲、乙、丙、考點(diǎn)一考點(diǎn)一超幾何分布【方法儲(chǔ)備】1.求超幾何分布的分布列的步驟：

=1\*GB2⑴驗(yàn)證隨機(jī)變量服從超幾何分布，并確定參數(shù)N,M,n的值；

=2\*GB2⑵根據(jù)超幾何分布的概率公式計(jì)算出隨機(jī)變量取每一個(gè)值時(shí)的概率；

=3\*GB2⑶用表格的形式列出分布列.說(shuō)明：=1\*GB2⑴超幾何分布描述的是不放回抽樣問(wèn)題，隨機(jī)變量為抽到的某類(lèi)個(gè)體的個(gè)數(shù).超幾何分布的特征是：①考察對(duì)象分兩類(lèi)；②已知各類(lèi)對(duì)象的個(gè)數(shù)；③從中抽取若干個(gè)個(gè)體，考查某類(lèi)個(gè)體數(shù)X的概率分布.=2\*GB2⑵超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類(lèi)別的小球等概率模型，其實(shí)質(zhì)是古典概型.2.二項(xiàng)分布與超幾何分布的辨析袋子中有大小相同的N個(gè)球，其中有M個(gè)紅球，N-M個(gè)白球，令p=MN,設(shè)X表示摸出的n摸球方式X的分布有放回摸球二項(xiàng)分布X無(wú)放回摸球參數(shù)為N,【典例精講】例1.(2025·安徽省·期末考試)（多選）若10件產(chǎn)品中有4件次品和6件正品．現(xiàn)從中隨機(jī)抽取3件產(chǎn)品，記取得的次品數(shù)為隨機(jī)變量X，則下列結(jié)論正確的是

A.若是有放回的抽取，則

B.若是無(wú)放回的抽取，則

C.若是有放回的抽取，X的數(shù)學(xué)期望

D.若是無(wú)放回的抽取，X的數(shù)學(xué)期望例2.(2025·安徽省合肥市·期末考試)3月14日某中學(xué)進(jìn)行了以“數(shù)學(xué)對(duì)”為主題的知識(shí)競(jìng)賽，分初賽和決賽兩個(gè)環(huán)節(jié)進(jìn)行。初賽環(huán)節(jié)規(guī)則如下：每位選手從10道題中隨機(jī)抽取3道題作答，3道題全部答對(duì)的選手晉級(jí)決賽。決賽環(huán)節(jié)進(jìn)行三輪搶答，規(guī)則如下：每位選手每輪搶到題目且回答正確得10分，搶到題目但回答錯(cuò)誤扣5分，該輪未參與搶答或未搶到題目不得分，每輪搶答情況相互獨(dú)立，最終按照決賽中三輪搶答的總得分進(jìn)行排名并表彰.若某選手對(duì)于初賽環(huán)節(jié)中的10道題目，只有4道能回答正確，求他在初賽環(huán)節(jié)中答對(duì)題目數(shù)量的分布列和期望;已知甲晉級(jí)決賽，甲在決賽中每輪搶到題目的概率為，能回答正確的概率為，求甲在決賽中總得分大于10分的概率.【拓展提升】練1-1.(2025·河南省三門(mén)峽市·月考試卷)某袋中裝有大小相同質(zhì)地均勻的黑球和白球共5個(gè)．從袋中隨機(jī)取出3個(gè)球，恰全為黑球的概率為，則黑球的個(gè)數(shù)為

.若記取出3個(gè)球中黑球的個(gè)數(shù)為X，則

.練1-2(2025·全國(guó)·模擬題)某商店售賣(mài)一種珠環(huán)，消費(fèi)者從紅、藍(lán)兩種顏色的裝飾珠中各選出偶數(shù)個(gè)，按隨機(jī)的順序用繩子穿成“串”穿在一根繩子上，之后固定位置不可移位，再將繩子首尾相接連成“環(huán)”.小王現(xiàn)在選了6個(gè)紅珠4個(gè)藍(lán)珠穿成一個(gè)“串”.如果小王將這一串裝飾珠剪了一刀分成了兩串，每串各有5個(gè)裝飾珠，求這兩串裝飾珠都恰好是3個(gè)紅珠和2個(gè)藍(lán)珠的概率;在把10個(gè)裝飾珠連成環(huán)后，小王剪了兩刀將珠環(huán)分成各含4個(gè)裝飾珠和6個(gè)裝飾珠的兩串.設(shè)4個(gè)裝飾珠串里紅珠的個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列與期望;如果小王選了2m個(gè)紅珠和2n個(gè)藍(lán)珠以任意順序連成一個(gè)“環(huán)”，求證：只需要在合適的位置剪兩刀，總可將環(huán)分成兩串，每串都恰好是m個(gè)紅珠和n個(gè)藍(lán)珠.考點(diǎn)二考點(diǎn)二獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布【方法儲(chǔ)備】1.解決二項(xiàng)分布的分布列問(wèn)題的步驟：=1\*GB2⑴先判斷隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布，判斷是否滿(mǎn)足：

=1\*GB3①對(duì)立性：一次試驗(yàn)中時(shí)間A發(fā)生與否必居其一；=2\*GB3②重復(fù)性：試驗(yàn)在相同條件下獨(dú)立重復(fù)地進(jìn)行，且每次試驗(yàn)事件A發(fā)生的概率均為同一常數(shù)p，=3\*GB3③連續(xù)性：X的取值是0-n的整數(shù)，中間不間斷；=2\*GB2⑵若該隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布,求出每次試驗(yàn)事件A發(fā)生的概率p；=3\*GB2⑶根據(jù)二項(xiàng)分布的分布列PX=k=Cnkpk(1-p)n-k,k=1,2,3,???,n，列出相應(yīng)的分布列.

2.與二項(xiàng)分布有關(guān)的期望與方差的求法

=1\*GB2⑴求隨機(jī)變量X的期望與方差時(shí),可首先分析EX=np,DX=np(1-p)求解,可大大減少計(jì)算量.

=2\*GB2⑵有些隨機(jī)變量雖不服從二項(xiàng)分布,但與之具有線性關(guān)系的另一隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布,則可以綜合應(yīng)用E3.求n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率解題的一般思路是：根據(jù)題意設(shè)出隨機(jī)變量→分析出隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布→找到參數(shù)n,p→寫(xiě)出二項(xiàng)分布的分布列→將【典例精講】

例3.(2025·福建省·單元測(cè)試)在高三的一個(gè)班中，有的學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀，若從班中隨機(jī)找出5名學(xué)生，那么數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)，則取最大值時(shí)

.例4.(2025·遼寧省沈陽(yáng)市模擬)某會(huì)議室用3盞燈照明，每盞燈各使用節(jié)能燈棍一只，且型號(hào)相同．假定每盞燈能否正常照明只與燈棍的壽命有關(guān)，該型號(hào)的燈棍壽命為1年以上的概率為0.8，壽命為2年以上的概率為0.3，從使用之日起每滿(mǎn)1年進(jìn)行一次燈棍更換工作，只更換已壞的燈棍，平時(shí)不換．(Ⅰ)在第一次燈棍更換工作中，求不需要更換燈棍的概率；(Ⅱ)在第二次燈棍更換工作中，對(duì)其中的某一盞燈來(lái)說(shuō)，求該燈需要更換燈棍的概率；(Ⅲ)設(shè)在第二次燈棍更換工作中，需要更換的燈棍數(shù)為ξ，求ξ的分布列和期望．【拓展提升】練2-1(2025·江蘇省鹽城市·模擬題)為了防止受到核污染的產(chǎn)品影響我國(guó)民眾的身體健康，要求產(chǎn)品在進(jìn)入市場(chǎng)前必須進(jìn)行兩輪核輻射檢測(cè)，只有兩輪都合格才能進(jìn)行銷(xiāo)售，否則不能銷(xiāo)售.已知某產(chǎn)品第一輪檢測(cè)不合格的概率為，第二輪檢測(cè)不合格的概率為，兩輪檢測(cè)是否合格相互沒(méi)有影響.若產(chǎn)品可以銷(xiāo)售，則每件產(chǎn)品獲利40元；若產(chǎn)品不能銷(xiāo)售，則每件產(chǎn)品虧損80元.已知一箱中有4件產(chǎn)品，記一箱產(chǎn)品獲利X元，則

.練2-2.(2025·山東省·月考試卷)袋中有大小、形狀完全相同的4個(gè)紅球，2個(gè)白球，采用有放回摸球，從袋中隨機(jī)摸出1個(gè)球，定義T變換為：若摸出的球是白球，則把圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍縱坐標(biāo)不變；若摸出的是紅球，則將圖象上所有的點(diǎn)向上平移1個(gè)單位，函數(shù)經(jīng)過(guò)1次T變換后的函數(shù)記為，經(jīng)過(guò)2次T變換后的函數(shù)記為，…，經(jīng)過(guò)n次T變換后的函數(shù)記為現(xiàn)對(duì)函數(shù)進(jìn)行連續(xù)的T變換．若第一次摸出的是白球，第二次摸出的是紅球，求；記，求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望．練2-3(2025·吉林省長(zhǎng)春市模擬)昭通蘋(píng)果種植歷史悠久，可追溯到民國(guó)十五年(1926年)，法國(guó)人賈海義從歐洲引入，種植于昆明并傳入昭通.昭通蘋(píng)果主要品種有金帥、紅富士等，經(jīng)過(guò)馴化的富士系列蘋(píng)果在昭陽(yáng)區(qū)種植產(chǎn)量高、口味好、耐貯藏、含糖量高、風(fēng)味佳，有成熟早、甜度好、香味濃、口感脆等特點(diǎn).昭通蘋(píng)果開(kāi)發(fā)公司從進(jìn)入市場(chǎng)的“昭通蘋(píng)果”中隨機(jī)抽檢100個(gè)，利用等級(jí)分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)得到數(shù)據(jù)如下：等級(jí)A級(jí)B級(jí)C級(jí)個(gè)數(shù)504010(1)以表中抽檢的樣本估計(jì)全市“昭通蘋(píng)果”的等級(jí)，現(xiàn)從全市上市的“昭通蘋(píng)果”中隨機(jī)抽取10個(gè)，求取到4個(gè)A級(jí)品的概率;(2)某超市每天都采購(gòu)一定量的A級(jí)“昭通蘋(píng)果”，超市記錄了20天“昭通蘋(píng)果”的實(shí)際銷(xiāo)量，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表：銷(xiāo)量(150160170180190200天數(shù)245621今年A級(jí)“昭通蘋(píng)果”的采購(gòu)價(jià)為6元/kg，超市以10元/kg的價(jià)格賣(mài)出.為了保證蘋(píng)果質(zhì)量，如果當(dāng)天不能賣(mài)完，就以4元/kg退回供貨商.若超市計(jì)劃一天購(gòu)進(jìn)170kg或180kg“昭通蘋(píng)果”，你認(rèn)為應(yīng)該購(gòu)進(jìn)考點(diǎn)三考點(diǎn)三正態(tài)分布【方法儲(chǔ)備】1.求解正態(tài)分布的概率計(jì)算問(wèn)題的一般步驟：

=1\*GB2⑴根據(jù)題目中給出的條件確定μ與σ的值；

=2\*GB2⑵將待求問(wèn)題向[μ-σ,μ+σ，[μ-2σ=3\*GB2⑶利用x在上述區(qū)間的概率、正態(tài)曲線的對(duì)稱(chēng)性和曲線與x軸之間的面積為1求出最后結(jié)果．2.解正態(tài)分布概率計(jì)算題的關(guān)鍵是借助正態(tài)曲線的對(duì)稱(chēng)軸確定所求概率對(duì)應(yīng)的隨機(jī)變量的區(qū)間與已知概率對(duì)應(yīng)的隨機(jī)變量的區(qū)間的關(guān)系,必要時(shí)可借助圖形判斷.常用結(jié)論有：=1\*GB2⑴對(duì)任意的a,有PX<μ-a=PX=2\*GB2⑵PX<x0=1-PX≥x0；

=3\*GB2⑶Pa<x<b=PX<b-P(X≤a).

=4\*GB2【典例精講】例5.(2025·陜西省西安市·模擬題)某類(lèi)考試報(bào)名人數(shù)為10000人，已知考試的成績(jī)服從正態(tài)分布，若錄取分?jǐn)?shù)線為350分，則錄取人數(shù)約為

結(jié)果四舍五入取整數(shù)參考數(shù)據(jù)：若服從正態(tài)分布，則例6.(2025·江蘇省蘇州市·月考試卷)為進(jìn)一步提升人才選拔的公正性，某省擬在三年內(nèi)實(shí)現(xiàn)高考使用新高考全國(guó)Ⅰ卷，為測(cè)試學(xué)生對(duì)新高考試卷的適應(yīng)性，特此舉辦了一次全省高三年級(jí)數(shù)學(xué)模擬考試滿(mǎn)分150分，其中甲市有10000名學(xué)生參加考試．根據(jù)成績(jī)反饋，該省及各市本次模擬考試成績(jī)X都近似服從正態(tài)分布已知本次模擬考試甲市平均成績(jī)?yōu)榉郑煽?jī)位于區(qū)間內(nèi)的學(xué)生共有4772人．甲市學(xué)生A的成績(jī)?yōu)?14分，試估計(jì)學(xué)生A在甲市的大致名次；在參加該省本次模擬考試的學(xué)生中隨機(jī)抽取500人作為研究樣本，隨機(jī)變量Y為本次考試數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)谥獾娜藬?shù)，求的概率及隨機(jī)變量Y的數(shù)學(xué)期望．附：參考數(shù)據(jù)：參考公式：若有，【拓展提升】練3-1(2025·江蘇省南京市模擬)（多選）隨機(jī)變量X~N(μ,σ2)且P(X≤2)=0.5,隨機(jī)變量Y~B(3,p),若E(Y)=E(X),則（

）A.μ=2 B.D(X)=2σ2 C.p=23 D.D(3練3-2(2025·湖北省荊州市模擬)為貫徹落實(shí)《健康中國(guó)行動(dòng)(2019-2030年)》《關(guān)于全面加強(qiáng)和改進(jìn)新時(shí)代學(xué)校體育工作的意見(jiàn)》等文件精神,確保2030年學(xué)生體質(zhì)達(dá)到規(guī)定要求,各地將認(rèn)真做好學(xué)生的體制健康監(jiān)測(cè).某市決定對(duì)某中學(xué)學(xué)生的身體健康狀況進(jìn)行調(diào)查,現(xiàn)從該校抽取200名學(xué)生測(cè)量他們的體重,得到如下樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖.(1)求這200名學(xué)生體重的平均數(shù)x和方差s2(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表(2)由頻率分布直方圖可知,該校學(xué)生的體重Z服從正態(tài)分布N(μ,σ2),其中μ近似為平均數(shù)x,σ2近似為方差=1\*GB3①利用該正態(tài)分布,求P(50.73<Z≤69.27);=2\*GB3②若從該校隨機(jī)抽取50名學(xué)生,記X表示這50名學(xué)生的體重位于區(qū)間(50.73,69.27]內(nèi)的人數(shù),利用=1\*GB3①的結(jié)果,求E(X).參考數(shù)據(jù):86≈9.27.若Z~N(μ,σ2),則P(μ-σ<Z≤μ+σ)≈0.6826,

P(μ-2σ<Z≤μ+2σ)≈0.9544,P(μ-3σ<Z≤?考點(diǎn)四考點(diǎn)四離散型隨機(jī)變量的分布列及其綜合應(yīng)用【方法儲(chǔ)備】離散型隨機(jī)變量的性質(zhì)容易和其他知識(shí)相結(jié)合,所涉及的參數(shù)范圍(最值)問(wèn)題容易與函數(shù)、基本不等式相結(jié)合,做題時(shí)需注意分布列的性質(zhì)與其他模塊內(nèi)容的聯(lián)系.【典例精講】例7.(2025·福建省龍巖市模擬)現(xiàn)有兩個(gè)口袋，A口袋中有m個(gè)球，一部分是紅球，另一部分是白球，從中取出一個(gè)球恰好是白球的概率為23，B口袋中有6個(gè)球，4個(gè)紅球，2個(gè)白球．若將兩個(gè)口袋混合在一起，從中取出一個(gè)球，恰好是白球的概率為49(1)若甲從B口袋中每次有放回地取一個(gè)球，直到取到白球停止，則恰好第三次后停止的概率；(2)甲乙兩人進(jìn)行游戲，由第三人從兩個(gè)口袋中各取一個(gè)球，若同色甲勝，否則乙勝，通過(guò)計(jì)算說(shuō)明這個(gè)游戲?qū)扇耸欠窆剑?3)從B口袋中一次取3個(gè)球，取到一個(gè)白球得2分，取到一個(gè)紅球得1分，求得分的期望．例8.(2025·河南省洛陽(yáng)市·聯(lián)考題)已知某次數(shù)學(xué)考試中試卷有11道選擇題，其中8道單選題，3道多選題此份試卷恰巧每個(gè)多選題都只有兩個(gè)正確選項(xiàng)，單選題每題5分，選對(duì)得5分，選錯(cuò)得0分；多選題每題6分，全部選對(duì)的得6分，選對(duì)1個(gè)選項(xiàng)的得3分，有選錯(cuò)的得0分.甲、乙兩位同學(xué)參加了此次數(shù)學(xué)考試，甲同學(xué)的試卷正常，而乙同學(xué)的試卷中選擇題被打亂，無(wú)法分辨是單選題還是多選題，所以他認(rèn)為11道選擇題均是單選題，假設(shè)兩人選對(duì)一個(gè)單選題的概率都是設(shè)此次考試中甲同學(xué)選對(duì)了X道單選題，求X的數(shù)學(xué)期望；若對(duì)于多選題，乙同學(xué)選對(duì)1個(gè)選項(xiàng)的概率為，記此次考試中乙同學(xué)選擇題的得分為Y，求Y的數(shù)學(xué)期望；已知甲同學(xué)遇到3個(gè)多選題時(shí)，每個(gè)題只能判斷出有一個(gè)選項(xiàng)是正確的，且甲同學(xué)最多再選1個(gè)其他選項(xiàng)，假設(shè)他選對(duì)剩下1個(gè)選項(xiàng)的概率是，請(qǐng)你幫甲同學(xué)制定回答3個(gè)多選題的策略，使得分的期望最高.【拓展提升】練4-1(2025·江蘇省泰州市·聯(lián)考題)某人工智能芯片需經(jīng)過(guò)兩道獨(dú)立的性能測(cè)試.首次測(cè)試測(cè)試通過(guò)率為，末通過(guò)測(cè)試I的芯片進(jìn)入第二次測(cè)試測(cè)試，通過(guò)率為通過(guò)任意一次測(cè)試即為合格芯片，否則報(bào)廢.若某批次生產(chǎn)了n枚芯片，合格數(shù)為隨機(jī)變量當(dāng)，時(shí)，求X的期望與方差；已知一枚芯片合格，求其是通過(guò)測(cè)試I的概率；為估計(jì)中的，工廠隨機(jī)抽取m枚合格芯片，其中k枚為通過(guò)測(cè)試記若要使得總能不超過(guò)，試根據(jù)參考內(nèi)容估計(jì)最小樣本量參考內(nèi)容：設(shè)隨機(jī)變量X的期望為，方差為，則對(duì)任意，均有練4-2(2025·廣西壯族自治區(qū)·模擬題)某學(xué)校舉行教師趣味籃球運(yùn)動(dòng)會(huì)比賽，選手在連續(xù)投籃時(shí)，規(guī)定：第一次投進(jìn)得1分，若某次投進(jìn)，則下一次投進(jìn)的得分是本次得分的兩倍；若某次未投進(jìn)，則該次得0分，且下一次投進(jìn)得1分.已知某教師連續(xù)投籃n次，記投中次數(shù)為X，總得分為Y，每次投進(jìn)的概率為，且每次投籃相互獨(dú)立.當(dāng)時(shí)，計(jì)算隨機(jī)變量X的分布列；①當(dāng)時(shí)，求的概率；②記的概率為，求的表達(dá)式.1.(2025·浙江省紹興市·期末考試)（多選）甲、乙兩名高中同學(xué)歷次數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)百分制分別服從正態(tài)分布，，其正態(tài)分布的密度曲線如圖所示，則下列說(shuō)法中正確的是

附：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則A.乙同學(xué)的平均成績(jī)優(yōu)于甲同學(xué)的平均成績(jī)

B.甲同學(xué)的平均成績(jī)優(yōu)于乙同學(xué)的平均成績(jī)

C.甲同學(xué)的成績(jī)比乙同學(xué)成績(jī)更集中于平均值附近

D.若，則甲同學(xué)成績(jī)高于80分的概率約為2.(2025·河南省·模擬題)（多選）某企業(yè)使用新技術(shù)對(duì)某款芯片制造工藝進(jìn)行改進(jìn)．部分芯片由智能檢測(cè)系統(tǒng)進(jìn)行篩選，其中部分次品芯片會(huì)被淘汰，篩選后的芯片及未經(jīng)篩選的芯片進(jìn)入流水線由工人進(jìn)行抽樣檢驗(yàn)．記A表示事件“某芯片通過(guò)智能檢測(cè)系統(tǒng)篩選”，B表示事件“某芯片經(jīng)人工抽檢后合格”．改進(jìn)生產(chǎn)工藝后，該款芯片的某項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取M個(gè)，這M個(gè)芯片中恰有m個(gè)的質(zhì)量指標(biāo)位于區(qū)間，則下列說(shuō)法正確的是

參考數(shù)據(jù)：若，則A.

B.

C.

D.取得最大值時(shí)，M的估計(jì)值為533.(2025·山東省煙臺(tái)市·期末考試)某學(xué)校計(jì)劃舉辦人工智能創(chuàng)新挑戰(zhàn)賽，挑戰(zhàn)賽包括個(gè)人賽和團(tuán)隊(duì)賽兩種類(lèi)型.個(gè)人賽中，每位選手回答隨機(jī)給出的4個(gè)題目，若答對(duì)不少于3個(gè)題目，則其個(gè)人賽挑戰(zhàn)成功.團(tuán)隊(duì)賽中，4名選手組成一個(gè)團(tuán)隊(duì)，且平分成兩個(gè)小組分別挑戰(zhàn)甲、乙兩個(gè)題目.每個(gè)團(tuán)隊(duì)可自主從以下兩種參賽方式中選擇一種參賽：方式一，將甲、乙兩個(gè)題目隨機(jī)分配給兩個(gè)小組，每小組中的兩名選手各自獨(dú)立答題，若兩人中至少一人答對(duì)，則該小組挑戰(zhàn)成功，若兩小組都挑戰(zhàn)成功，則該團(tuán)隊(duì)挑戰(zhàn)成功；方式二，將甲、乙兩個(gè)題目隨機(jī)分配給兩個(gè)小組，每小組中的兩名選手各自獨(dú)立答題，若兩人都答對(duì)，則該小組挑戰(zhàn)成功，若兩小組至少有一組挑戰(zhàn)成功，則該團(tuán)隊(duì)挑戰(zhàn)成功.某選手參加個(gè)人賽，若其前兩個(gè)題答對(duì)的概率均為，

后兩個(gè)題答對(duì)的概率均為，且各題答對(duì)與否互不影響，求該選手個(gè)人賽挑戰(zhàn)成功的概率；假設(shè)某團(tuán)隊(duì)的每位選手答對(duì)甲、乙兩題的概率分別為p，，若對(duì)任意，均有選擇方式二參賽時(shí)該團(tuán)隊(duì)挑戰(zhàn)成功的概率更大，求的取值范圍.

【答案解析】1.【人教A版選擇性必修三習(xí)題7.4第8題P81】解：(1)

每位患者治愈的概率為0.8,且每位患者是否治愈相互獨(dú)立,

則治愈人數(shù)X~B(10,0.8),故E(X)=10×0.8=8；

(2)記事件A=“任選5位志愿者全部治愈”,

由（1）知，10位志愿者中治愈的人數(shù)為8人，則P(A)=C85C105=29；

(3)記事件B=“經(jīng)過(guò)試驗(yàn)該藥被認(rèn)定無(wú)效”,事件B發(fā)生等價(jià)于{X≤4},

則p=P(B)=P(X≤4)=k=04C102.【人教A版選擇性必修三復(fù)習(xí)參考題7第10題P91】解：(1)由題意可知，X的可能取值為0，1，2，

所以P(X=0)=23×23×23X

01

2P

8

16

1X的數(shù)學(xué)期望是E(X)=0×827+1×1627+2×19=2227；

(2)(i)由題意可知，a1=0，a2=13；

(ii)由題意可知，an=13(1-an-1)(n≥2)，

則an例1.解：若是有放回的抽取，則，則，，故選項(xiàng)A和C正確，若是無(wú)放回的抽取，則X可能取0，1，2，3，又，，，，所以，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確，故選：例2.解：設(shè)初賽答對(duì)題目數(shù)量為隨機(jī)變量X，則X可能取值為，

，

，

，

，

因此X的分布列為：X0123P期望

設(shè)每輪得分為，則可能取值為：0，，10，

則，，

因?yàn)榭偟梅郑砸?，則可能的得分組合為：

三次都得10分：，

兩次得10分，一次得0分：，

兩次得10分，一次得分：，

因此甲在決賽中總得分大于10分的概率為：

練1-1.解：設(shè)黑球的個(gè)數(shù)為n，由得，

記取出3個(gè)球中黑球的個(gè)數(shù)為X，X的取值可以為：1，2，3，

畫(huà)出分布列如下：X123P，

故答案為：3；練1-2.解：設(shè)兩串裝飾珠都恰好是3個(gè)紅珠和2個(gè)藍(lán)珠為事件A，

則

隨機(jī)變量X的可能取值有0，1，2，3，4，

，，

，，

，

所以X的分布列為X01234P所以，

編號(hào)：任選一個(gè)紅珠記其編號(hào)為1，

并按順時(shí)針?lè)较蛞来谓o每個(gè)裝飾珠編號(hào)2，3，4，5，6，，

編組：1號(hào)珠，連同它順時(shí)針?lè)较蚝蟮膫€(gè)裝飾珠，

共個(gè)裝飾珠編為一組，稱(chēng)為1號(hào)組;

2號(hào)珠，連同它順時(shí)針?lè)较蚝蟮膫€(gè)裝飾珠，

共個(gè)裝飾珠編為一組，稱(chēng)為2號(hào)組;

共組，每組均有個(gè)裝飾珠.

則①不可能每組中紅珠都多于或少于m個(gè)，

因?yàn)槊總€(gè)裝飾珠都同時(shí)在組中，

所以每組中的紅珠數(shù)目之和為，

若每組中紅珠都多于或少于個(gè)，因?yàn)楣步M，

則此時(shí)紅珠總數(shù)會(huì)多于或少于，

與每組中的紅珠數(shù)目之和為矛盾.

②相鄰兩組中紅珠數(shù)量最多相差

因?yàn)楹笠唤M的裝飾珠為前一組的裝飾珠去掉第一個(gè)并在最后加上一個(gè)，

所以它們之間只有2個(gè)裝飾珠有區(qū)別，前一組裝飾珠的第一個(gè)可能為紅珠或藍(lán)珠，

最后加上的這一個(gè)也可能為紅珠或藍(lán)珠，

所以有以下四種情形：

去掉紅珠，加上紅珠;

去掉紅珠，加上藍(lán)珠;

去掉藍(lán)珠，加上藍(lán)珠;

去掉藍(lán)珠，加上紅珠.

不論哪種情況，相鄰兩組中紅珠數(shù)量只能相差1或

現(xiàn)假設(shè)沒(méi)有任何一組中的紅珠數(shù)量為m，

由①知，必存在兩相鄰號(hào)組A，B，A中紅珠數(shù)，B中紅珠數(shù)，

即二者紅珠數(shù)至少相差2，與②矛盾.

因此，必有某號(hào)組恰好有m個(gè)紅珠，n個(gè)藍(lán)珠，

在該號(hào)組的兩側(cè)各剪一刀，即可滿(mǎn)足條件.

例3.解：依題意，可得，

則，且

解得又，所以

故答案為例4.解：(Ⅰ)設(shè)在第一次更換燈棍工作中，不需要更換燈棍的概率為

P1

，

則

P1=0.83=0.512

．

(Ⅱ)對(duì)該盞燈來(lái)說(shuō)，第1、第一次未更換燈棍而第二次需要更換燈棍的概率為0.8×(1-0.3)

，

故所求概率為：P=(1-0.8(Ⅲ)

ξ

的可能取值為0，1，2，3；某盞燈在第二次燈棍更換工作中需要更換燈棍的概率為p=0.6

P(P(P(P(∴

ξ

的分布列為：P0123ξCCCC此分布為二項(xiàng)分布

ξ～

B∴

Eξ=練2-1.解：由題意得該產(chǎn)品能銷(xiāo)售的概率為，

易知X的所有可能取值為，，，40，160，

設(shè)表示一箱產(chǎn)品中可以銷(xiāo)售的件數(shù)，則，所以，，1，2，3，4，所以

，，，故練2-2.解：第一次從袋中摸出的是白球，把函數(shù)變換為，第二次從袋中摸出的是紅球，把函數(shù)變換為，所以

;經(jīng)過(guò)3次T變換后，有4種情況：若摸出的3個(gè)球都是白球，則；若摸出的3個(gè)球?yàn)?個(gè)白球、1個(gè)紅球，則；若摸出的3個(gè)球?yàn)?個(gè)白球、2個(gè)紅球，則；若摸出的3個(gè)球都是紅球，則

，所以隨機(jī)變量X的可能取值為

，因?yàn)閺拇须S機(jī)摸出1個(gè)球，是白球的概率為，是紅球的概率為，故，，，

，所以所求隨機(jī)變量X的分布列為X13P所以練2-3.解：(1)由題意可知,從全市上市的“昭通蘋(píng)果”中隨機(jī)抽取1個(gè),

取到A級(jí)品的概率P=50100=12,

從全市上市的“昭通蘋(píng)果”中隨機(jī)抽取10個(gè),取到A級(jí)品的個(gè)數(shù)X~B(10,12),

則P(X=4)=C104(12)10=105512.

(2)當(dāng)超市一天購(gòu)進(jìn)170kg“昭通蘋(píng)果”時(shí),設(shè)利潤(rùn)為ξ1,銷(xiāo)量為X1,

則X1的可能取值為150,160,170,ξ?1的可能取值為560,620,680,

P(ξ1=560)=P(X1=150)=220=110,

P(ξ1=620)=P(X1=160)=4ξ560620680P117E(ξ1)=560×110+620×15+680×710=656.

當(dāng)超市一天購(gòu)進(jìn)180kg“昭通蘋(píng)果”時(shí),設(shè)利潤(rùn)為ξ2,銷(xiāo)量為X2,

X2的可能取值為150,160,170,180,ξ?2的可能取值為540,600,660,720,

P(ξ2=540)=P(X2=150)=220=110,

P(ξ2=600)=P(X2=160)=420=15,

P(ξ2=660)=P(X2=170)=520=1ξ540600660720P1119E(ξ2)=540×110+600×15+660×14+720×920=663,

E(ξ2)>E(例5.解：，所以錄取人數(shù)為人故答案為：例6.解：已知本次模擬考試成績(jī)X近似服從正態(tài)分布，由題意可得，因?yàn)椋裕?/p>

即，解得，因?yàn)榧资袑W(xué)生A在該次考試中成績(jī)?yōu)?14分，且，又，

即，所以，即學(xué)生A在甲市本次考試的大致名次為1587名．設(shè)事件B：在樣本中抽取的學(xué)生在本次考試中數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)谥?，由于成?jī)?cè)谥畠?nèi)的概率為，所以，所以隨機(jī)變量Y服從二項(xiàng)分布，即，則，Y的數(shù)學(xué)期望為練3-1.解：因?yàn)閄～N(μ,所以μ=2

，故E(X)=μ=2，D因?yàn)閅～B(3,p)

，所以

E(Y)=3p=ED(3Y)=9D(Y)=9×3×23練3-2.解：(1)由題意可得x=40×0.02+50×0.3+60×0.4+70×0.23+80×0.04+90×0.01=60;s2=400×0.02+100×0.3+0×0.4+100×0.23+400×0.04+900×(2)=1\*GB3①由(1)可知μ=60,δ=86=9.27,則P(50.73<Z≤69.27)=P(60-9.27<Z≤60+9.27)=P(μ-σ<Z≤μ+σ)≈=2\*GB3②由=1\*GB3①可知1名學(xué)生的體重位于(50.73,69.27]的概率為0.6826.因?yàn)閄~B(50,0.6826),所以E(X)=50×0.6826=34.13.例7.解：(1)設(shè)A口袋中有n個(gè)白球，則由題知nm=232+n設(shè)事件Bi表示從B口袋中第i(i設(shè)事件C表示從B口袋中有放回的各取1球恰好第3次后停止，則PC(2)設(shè)事件D1表示從A口袋中取出一個(gè)球是紅球，PD2表示從B口袋中取出一個(gè)球是紅球，P事件E表示第三人從兩個(gè)口袋中各取一球是同色球，有P(E)=所以游戲不公平．(3)設(shè)X表示從B口袋中一次取3個(gè)球的得分，則X的可取值為3，4，5，有PX=3=C43從而EX例8.解：由題意，得，所以，

即X的數(shù)學(xué)期望為2；由題意，對(duì)于單選題，乙同學(xué)每個(gè)單選題做對(duì)的概率為，

對(duì)于多選題，乙同學(xué)選對(duì)1個(gè)選項(xiàng)的概率為，設(shè)乙同學(xué)做對(duì)單選題的個(gè)數(shù)為，多選題得3分的個(gè)數(shù)為，

則，，所以，，又此次考試中乙同學(xué)選擇題的得分為，所以；對(duì)于每一道多選題，