專題03不等式性質(zhì)與證明真題特點(diǎn)分析：1.【2022年中科大3】已知，（1）求滿足什么條件恒成立。（2）若存在,使得則滿足什么條件。2.【2020中科大11．】已知，證明：當(dāng)時(shí)，不等式成立，且當(dāng)時(shí)，該不等式不成立．3.【2020年武大】設(shè)正整數(shù)使得關(guān)于方程在區(qū)間內(nèi)恰有個(gè)實(shí)根，則（）A.B.C.D.，，成等差數(shù)列二、知識(shí)要點(diǎn)拓展1.作差比較與作商比較法作差比較：作商比較法：注：作完差之后，我們一般采用配方或因式分解只有正數(shù)的比較大小我們才會(huì)采用作商比較2.逐步調(diào)整法特征：變量的個(gè)數(shù)大等于三個(gè)；變量之間滿足對(duì)稱性；等號(hào)在相等或極端值時(shí)取到。注：逐步調(diào)整法可以和反證法相結(jié)合；這樣步驟顯得更精簡(jiǎn)些。3.絕對(duì)值不等式公式：等號(hào)成立條件：A與B同號(hào)或異號(hào)時(shí)取到注：不等式中加減號(hào)的選取依照具體題目的特點(diǎn)而定，關(guān)鍵是削去變量。不等式中的等號(hào)成立條件一定要牢固掌握不等式可以從兩個(gè)進(jìn)行推廣4．構(gòu)造法與放縮法構(gòu)造法：一般我們可以構(gòu)造函數(shù)，三角形或四邊形來(lái)解決不等式的證明問(wèn)題；這些問(wèn)題需要我們豐富的聯(lián)想和扎時(shí)的基礎(chǔ)。放縮法：一般運(yùn)用在多變量求和的不等式中，許多式子在沒(méi)有放縮時(shí)是無(wú)法求和的，經(jīng)常是需要放縮之后，通過(guò)裂項(xiàng)相削來(lái)求和。所以，這類題目經(jīng)常和數(shù)列結(jié)合在一起考。5．不等式的衍生問(wèn)題不等式經(jīng)常和函數(shù)，數(shù)列等內(nèi)容結(jié)合在一起考，屬于比較重要和綜合的考點(diǎn)；這更要求我們?cè)诖蚶位A(chǔ)的同時(shí)，積極思考，注意類比和推廣，這樣才能掌握好這塊內(nèi)容。三、應(yīng)試技巧和準(zhǔn)備策略強(qiáng)基計(jì)劃中涉及到不等式的問(wèn)題主要分為三類：不等式的證明、解不等式、不等式的應(yīng)用，其中“不等式的證明”是難點(diǎn)。證明不等式?jīng)]有固定的程序，證法因題而異，而且靈活多樣、技巧性強(qiáng)，一個(gè)不等式的證法常不止一種。證明不等式的基本方法主要有：反證法、數(shù)學(xué)歸納法、變量代換法、構(gòu)造法（如構(gòu)造函數(shù)、構(gòu)造圖形）等。四、例題精講例1.（復(fù)旦）設(shè)有集合，滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）。（B）（C）（D）例2.（復(fù)旦）設(shè)實(shí)數(shù)，且滿足，則函數(shù)的最大值是（）。（B）（C）（D）例3.（同濟(jì)）求證：對(duì)于任何實(shí)數(shù)，三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)不小于。例4.（清華），數(shù)列滿足，且。求的通項(xiàng)；求證：。例5.（清華）如圖：，且，求面積的最大值。（原題為選擇題）例6.（復(fù)旦）設(shè)，則有性質(zhì)（）對(duì)任何實(shí)數(shù)，總是大于0對(duì)任何實(shí)數(shù)，總是小于0當(dāng)時(shí)，以上均不對(duì)例7.設(shè)，且，求證例8.（北大）求的最小值。例9.已知，且，求的最小值。例10.（清華）已知實(shí)數(shù)，，，當(dāng)取到最大值時(shí)，有多少個(gè)-6？五、強(qiáng)基真題精練1.（復(fù)旦）若實(shí)數(shù)滿足：對(duì)任意正數(shù)，均有，則的取值范圍是（）（B）（C）（D）不能確定2.（復(fù)旦）設(shè)為非負(fù)實(shí)數(shù)，且滿足方程，則的最大值和最小值（）?；榈箶?shù)（B）其和為13（C）其乘積為4（D）均不存在3.（復(fù)旦）下列不等式中正確的是（）（B）（C）（D）4.（交大）已知是非負(fù)整數(shù)，且，，則的取值范圍是。5.（交大）已知不等式組有唯一解，則。6.（復(fù)旦）是各不相同的自然數(shù)，，求證：。7.（復(fù)旦）滿足何條件，可使恒成立？（復(fù)旦）求證：。（交大）已知正整數(shù)列，對(duì)大于的，有，。試證：中至少有一個(gè)小于。高考真題精練【2021年】1．（2021年全國(guó)高考乙卷數(shù)學(xué)（文）試題）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集;（2）若，求a的取值范圍．2．（2021年全國(guó)高考甲卷數(shù)學(xué)（理）試題）已知函數(shù)．（1）畫出和的圖像；（2）若，求a的取值范圍．3．（2021年全國(guó)新高考Ⅰ卷數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且，證明：.【2012年——2020年】1．（2020年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標(biāo)Ⅰ））已知函數(shù)．（1）畫出的圖像；（2）求不等式的解集．2．（2020年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標(biāo)Ⅱ））已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若，求a的取值范圍.3．（2020年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)Ⅲ））設(shè)a，b，cR，a+b+c=0，abc=1．（1）證明：ab+bc+ca<0；（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，證明：max{a，b，c}≥．4．（2019年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標(biāo)Ⅰ））已知a，b，c為正數(shù)，且滿足abc=1．證明：（1）；（2）．5．（2019年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)Ⅱ））已知（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若時(shí)，，求的取值范圍.6．（2019年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標(biāo)Ⅲ））設(shè)，且.（1）求的最小值；（2）若成立，證明：或.7．（2018年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（新課標(biāo)I卷））已知.（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若時(shí)不等式成立，求的取值范圍.8．（2018年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)頂?shù)（全國(guó)卷II））設(shè)函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若恒成立，求的取值范圍.9．（2018年全國(guó)卷Ⅲ理數(shù)高考試題）設(shè)函數(shù)．（1）畫出的圖像；（2）當(dāng)，，求的最小值．10．（2017年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（新課標(biāo)1卷））已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若不等式的解集包含[–1，1]，求的取值范圍．11．（2017年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（新課標(biāo)2卷））已知，，，證明：(1)；(2).12．（2017年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（新課標(biāo)3卷））已知函數(shù)=│x+1│–│x–2│.（1）求不等式≥1的解集；（2）若不等式≥x2–x+m的解集非空，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.13．（2016年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（新課標(biāo)1卷））（2016高考新課標(biāo)Ⅰ，理24）選修4-5：不等式選講已知函數(shù)fx（Ⅰ）畫出y=fx（Ⅱ）求不等式fx14．（2016年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（新課標(biāo)2卷））選修4-5：不等式選講已知函數(shù)，M為不等式的解集.（Ⅰ）求M；（Ⅱ）證明：當(dāng)a，b時(shí)，.15．（2016年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試）已知函數(shù).（1）當(dāng)a=2時(shí)，求不等式的解集；（2）設(shè)函數(shù).當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍.16．（2015年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（新課標(biāo)））已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若的圖象與軸圍成的三角形面積大于6，求的取值范圍.17．（2015年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（新課標(biāo)Ⅱ））選修4-5不等式選講設(shè)均為正數(shù)，且，證明：（Ⅰ）若，則；（Ⅱ）是的充要條件．18．（2014年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（新課標(biāo)Ⅰ））若且（I）求的最小值；（II）是否存在，使得？并說(shuō)明理由.19．（2014年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（全國(guó)Ⅱ卷））設(shè)函數(shù)（1）證明：；（2）若，求的取值范圍．20．（2013年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（新課標(biāo)1卷））選修4—5：不等式選講已知函數(shù)f（x）＝|2x－1|＋|2x＋a|，g（x）＝x＋3．（1）當(dāng)a＝－2時(shí)，求不等式f（x）＜g（x）的解集；（2）設(shè)a＞－1，且當(dāng)x∈時(shí)，f（x）≤g（x），求a的取值范圍．21．（20