第頁拓展二圓錐曲線的軌跡問題知識點(diǎn)1求圓錐曲線軌跡方程的方法解軌跡問題注意：（1）求點(diǎn)的軌跡與求軌跡方程是不同的要求，求軌跡時，應(yīng)先求軌跡方程，然后根據(jù)方程說明軌跡的形狀、位置、大小等.（2）要驗(yàn)證曲線上的點(diǎn)是否都滿足方程，以方程解為坐標(biāo)點(diǎn)是否都在曲線上，補(bǔ)上在曲線上而不滿足方程解得點(diǎn)，去掉滿足方程的解而不再曲線上的點(diǎn).1、直接法求曲線軌跡方程（1）直接法求曲線方程的關(guān)鍵就是把幾何條件或等量關(guān)系翻譯為代數(shù)方程,要注意翻譯的等價性．通常將步驟簡記為建系、設(shè)點(diǎn)、列式、代換、化簡、證明這幾個步驟,但最后的證明可以省略．（2）求出曲線的方程后還需注意檢驗(yàn)方程的純粹性和完備性．（3）對方程化簡時,要保證前后方程解集相同,必要時可說明x,y的取值范圍．注：基本步驟：（1）建系,建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系；（2）設(shè)點(diǎn),設(shè)軌跡上的任一點(diǎn)P(x，y)；（3）列式,列出動點(diǎn)P所滿足的關(guān)系式；（4）代換,依條件式的特點(diǎn)，選用距離公式、斜率公式等將其轉(zhuǎn)化為x，y的方程式，并化簡；（5）證明,證明所求方程即為符合條件的動點(diǎn)軌跡方程.2、定義法求曲線軌跡方程如果動點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律合乎我們已知的某種曲線（如圓、橢圓、雙曲線、拋物線）的定義，則可先設(shè)出軌跡方程，再根據(jù)已知條件，待定方程中的常數(shù)，即可得到軌跡方程。注：（1）平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)F1,F2的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓．這兩個定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a},|F1F2|＝2c,其中a>0,c>0,且a,c為常數(shù)：①若a>c,則集合P為橢圓；②若a＝c,則集合P為線段；③若a<c,則集合P為空集．（2）平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)F1,F2的距離的差的絕對值等于常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線．這兩個定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a},|F1F2|＝2c,其中a,c為常數(shù)且a>0,c>0.①當(dāng)2a<|F1F2|時,P點(diǎn)的軌跡是雙曲線；②當(dāng)2a＝|F1F2|時,P點(diǎn)的軌跡是以F1,F2為端點(diǎn)的兩條射線；③當(dāng)2a>|F1F2|時,P點(diǎn)不存在．（3）平面內(nèi)與一個定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過點(diǎn)F)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線．點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn),直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線．注意：①定直線l不經(jīng)過定點(diǎn)F.②定義中包含三個定值,分別為一個定點(diǎn),一條定直線及一個確定的比值.(4)一般涉及到動圓與兩定圓相切問題(包括內(nèi)切、外切)，利用定義求圓心軌跡，軌跡為橢圓或雙曲線，主要確定和還是差能消去動圓半徑r。(5)如圖，圓的半徑為定長r，A是圓O內(nèi)一個定點(diǎn)，P是圓上的動點(diǎn)，線段AP的垂直平分線和半徑OP相交于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動時，點(diǎn)Q的軌跡是以O(shè)、A為焦點(diǎn)，r為長軸長的橢圓。(6)如圖，圓O的半徑為定長r，A是圓O外一個定點(diǎn)，P是圓上的動點(diǎn)，線段AP的垂直平分線和直線OP交于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動時，點(diǎn)Q的軌跡是以O(shè)、A為焦點(diǎn)，r為實(shí)軸長的雙曲線。(7)已知定點(diǎn)F和定直線，F(xiàn)不在直線上，動圓M過F且與直線相切，則圓心M的軌跡是一條拋物線。3、相關(guān)點(diǎn)法求曲線軌跡方程如果動點(diǎn)的運(yùn)動是由另外某一點(diǎn)的運(yùn)動引發(fā)的，而該點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律已知，（該點(diǎn)坐標(biāo)滿足某已知曲線方程），則可以設(shè)出，用表示出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后把的坐標(biāo)代入已知曲線方程，即可得到動點(diǎn)的軌跡方程。注：“相關(guān)點(diǎn)法”求軌跡方程的基本步驟(1)設(shè)點(diǎn)：設(shè)被動點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),主動點(diǎn)坐標(biāo)為(x1,y1)；(2)求關(guān)系式：求出兩個動點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系式eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝f（x，y），,y1＝g（x，y）；))(3)代換：將上述關(guān)系式代入已知曲線方程,便可得到所求動點(diǎn)的軌跡方程．4、參數(shù)法求曲線軌跡方程有時不容易得出動點(diǎn)應(yīng)滿足的幾何條件，也無明顯的相關(guān)點(diǎn)，但卻較容易發(fā)現(xiàn)（或經(jīng)分析可發(fā)現(xiàn)）該動點(diǎn)常常受到另一個變量（角度，斜率，比值，解距或時間等）的制約，即動點(diǎn)坐標(biāo)中的分別隨另一變量的變化而變化，我們稱這個變量為參數(shù)，由此建立軌跡的參數(shù)方程，這種方法叫參數(shù)法（或設(shè)參消參法），如果需要得到軌跡的普通方程，只要消去參數(shù)即可，在選擇參數(shù)時，選用的參變量可以具有某種物理或幾何性質(zhì)，如時間，速度，距離，角度，有向線段的數(shù)量，直線的斜率及點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)等，也可以沒有具體的意義，還要特別注意選定的參變量的取值范圍對動點(diǎn)坐標(biāo)取值范圍的影響．注：1、參數(shù)法求動點(diǎn)的軌跡方程一般步驟（1）選擇坐標(biāo)系，設(shè)動點(diǎn)坐標(biāo)；（2）分析軌跡的已知條件，選定參數(shù)（選擇參數(shù)時要考慮，既要有利于建立方程又要便于消去參數(shù)）；（3）建立參數(shù)方程；（4）消去參數(shù)得到普通方程；（5）討論并判斷軌跡．常用的消參方法有：代人消參，加減消參，整體代換法，三角消參法（）等．要特別注意：消參前后變量的取值范圍不能改變．2、參數(shù)法求動點(diǎn)的軌跡方程應(yīng)用舉例利用參數(shù)求動點(diǎn)軌跡方程，關(guān)鍵是如何合理地選擇參數(shù)，以及使用參數(shù)求動點(diǎn)軌跡方程還應(yīng)注意哪些問題題．（1）如何選擇參數(shù)求動點(diǎn)軌邊方程利用參數(shù)是求動點(diǎn)軌跡的重要方法，而參數(shù)選擇的恰當(dāng)與否，直接影響著解題速度和解題質(zhì)量．若考察軌跡上點(diǎn)的變動因素，通常可取點(diǎn)的坐標(biāo)或角度或有向線段作為參數(shù)；若所求的軌跡上的點(diǎn)可看作經(jīng)過某定點(diǎn)的直線束上的點(diǎn)，常以直線束的斜率為參數(shù)．（2）選擇參數(shù)的幾點(diǎn)注意事項：①點(diǎn)的坐標(biāo)、角、直線斜率等均可選作參數(shù)，且選擇的參數(shù)越少越好；②所選參數(shù)最好能表示所有與動點(diǎn)有關(guān)的點(diǎn)的坐標(biāo)或直線方程；③若選擇了一個參數(shù)，則必須且只需列兩個方程，然后消去參數(shù)，即可得到動點(diǎn)軌跡方程；若選擇了兩個參數(shù)，則必須且只需列三個方程，然后消去參數(shù)，即可得到動點(diǎn)軌跡方程；也就是說，若選擇了個參數(shù)，則必須且只需列個方程，然后消去這個參數(shù)，即可得到動點(diǎn)軌跡方程．5、交軌法求曲線軌跡方程求兩曲線的交點(diǎn)軌跡時,可由方程直接消去參數(shù),或者先引入?yún)?shù)來建立這些動曲線的聯(lián)系,然后消去參數(shù)來得到軌跡方程,稱之交軌法.若動點(diǎn)是兩曲線的交點(diǎn),可以通過這兩曲線的方程直接求出交點(diǎn)的軌跡方程,也可以解方程組先求出交點(diǎn)坐標(biāo)的參數(shù)方程,再化為普通方程.注：（1）求兩條動直線交點(diǎn)軌跡方程一般用交軌法運(yùn)用交軌法探求軌跡方程問題，主要是把選取的參數(shù)看成已知數(shù)，寫出兩條動曲線方程，關(guān)鍵是參數(shù)的選取，困難是參數(shù)的消去．怎么把選取的參數(shù)看成已知數(shù)，寫出兩條動曲線方程？如何選取參數(shù)？怎樣消去參數(shù)？如果動點(diǎn)影響動點(diǎn)的軌跡，起制約作用，那么就選取動點(diǎn)為參數(shù)．如果動直線的斜率影響動點(diǎn)的軌跡，起制約作用，那么就選取動直線的斜率為參數(shù)．如果動直線在軸上的截距影響動點(diǎn)的軌跡，起制約作用，那么就選取動直線在軸上的截距為參數(shù)．如果動直線的傾斜角影響動點(diǎn)成跡，起制約作用，那么就選取動直線的傾斜角為參數(shù)類型一直接法求曲線軌跡方程1．已知的周長為，頂點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、，則點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B．C． D．2．【多選】已知：，直線相交于，直線的斜率分別為，則（

）A．當(dāng)時，點(diǎn)的軌跡為除去兩點(diǎn)的橢圓B．當(dāng)時，點(diǎn)的軌跡為除去兩點(diǎn)的雙曲線C．當(dāng)時，點(diǎn)的軌跡為一條直線D．當(dāng)時，的軌跡為除去兩點(diǎn)的拋物線3．平面直角坐標(biāo)系內(nèi)動點(diǎn)M（）與定點(diǎn)F（4，0）的距離和M到定直線的距離之比是常數(shù)，則動點(diǎn)M的軌跡是___________．4．已知動點(diǎn)Q到點(diǎn)的距離與到直線的距離之比為，Q點(diǎn)的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程；(2)已知，，A，B為曲線C上異于M，N的兩點(diǎn)，直線，相交于點(diǎn)T，點(diǎn)T在直線上，問直線是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，請求出定點(diǎn)坐標(biāo)：若不過定點(diǎn)，請說明理由.5．已知平面內(nèi)兩點(diǎn)，，動點(diǎn)P滿足．(1)求動點(diǎn)P的軌跡方程；(2)過定點(diǎn)的直線l交動點(diǎn)P的軌跡于不同的兩點(diǎn)M，N，點(diǎn)M關(guān)于y軸對稱點(diǎn)為，求證直線過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)．6．已知動直線l垂直于x軸，與橢圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在直線l上，且滿足.(1)求動點(diǎn)的軌跡的方程；(2)過點(diǎn)作直線交曲線于兩點(diǎn)，若點(diǎn)，求證：直線的斜率之和為定值.7．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，直線：，動點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離是到直線的距離的，點(diǎn)P的軌跡記為曲線C.(1)求曲線C的方程(2)已知，，點(diǎn)M是曲線C上異于A、B的任意一點(diǎn)，①求證：直線AM，BM的斜率之積為定值：②設(shè)直線AM與直線交于點(diǎn)N，求證：.類型二定義法求曲線軌跡方程8．若動點(diǎn)滿足方程，則動點(diǎn)P的軌跡方程為（

）A． B． C． D．9．已知圓，圓，動圓與圓內(nèi)切，與圓外切.為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)若求圓心的軌跡的方程.(2)若直線與曲線交于、兩點(diǎn)，求面積的最大值，以及取得最大值時直線的方程.10．動圓M與圓：，圓：，都外切，則動圓圓心M的軌跡方程為（

）A．B．C．D．11．已知圓：，圓：，動圓C與圓和圓均內(nèi)切.(1)求動圓圓心C的軌跡E的方程(2)點(diǎn)（）為軌跡E上的點(diǎn)，過點(diǎn)P作兩條直線與軌跡E交于AB兩點(diǎn)，直線PA，PB的斜率互為相反數(shù)，則直線AB的斜率是否為定值？若是，求出定值：若不是，請說明理由.12．已知為圓上一動點(diǎn)，點(diǎn)，線段的垂直平分線交線段于點(diǎn).(1)求點(diǎn)的軌跡方程；(2)設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，過點(diǎn)作曲線的兩條互相垂直的弦，兩條弦的中點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為點(diǎn)，是否存在定點(diǎn)，使得為定值？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.13．在平面直角坐標(biāo)系中，已知的頂點(diǎn)，，其內(nèi)切圓圓心在直線上，則頂點(diǎn)C的軌跡方程為（

）A． B．C． D．14．設(shè)圓的圓心為，直線過點(diǎn)且與軸不重合，交圓于、兩點(diǎn)，過作的平行線交于點(diǎn)，記點(diǎn)的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程；(2)過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交曲線于、兩點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限，軸，垂足為，連接并延長交曲線于點(diǎn).證明：是直角三角形.類型三相關(guān)點(diǎn)法求曲線軌跡方程15．已知線段AB的長度為3，其兩個端點(diǎn)A，B分別在x軸、y軸上滑動，點(diǎn)M滿足．則點(diǎn)M的軌跡方程為______．16．已知為圓上的一個動點(diǎn)，過作軸的垂線，垂足為Q，M為線段PQ的中點(diǎn)，M的軌跡為E.(1)求E的方程；(2)若不過原點(diǎn)的直線：與E交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)A，OB為鄰邊作平行四邊形，求這個平行四邊形面積的最大值.17．設(shè)動點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，過作軸的垂線，垂足為，若點(diǎn)在線段上，且滿足.(1)求點(diǎn)的軌跡的方程；(2)過點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，求面積的最大值，并求出此時直線的方程.18．已知圓，點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，在軸上的射影為，點(diǎn)滿足，記點(diǎn)的軌跡為．(1)求曲線的方程；(2)已知，過的直線與曲線交于兩點(diǎn)，過且與垂直的直線與圓交于兩點(diǎn)，求的取值范圍．19．設(shè)點(diǎn)為圓上的動點(diǎn)，過點(diǎn)作軸垂線，垂足為點(diǎn)，動點(diǎn)滿足（點(diǎn)、不重合）(1)求動點(diǎn)的軌跡方程；(2)若過點(diǎn)的動直線與軌跡交于、兩點(diǎn)，定點(diǎn)為，直線的斜率為，直線的斜率為，試判斷是否為定值．若是，求出該定值；若不是，請說明理由．類型四參數(shù)法求曲線軌跡方程20．已知拋物線，定點(diǎn)為拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且有，當(dāng)點(diǎn)在拋物線上變動時，求點(diǎn)的軌跡方程．21．如圖，設(shè)點(diǎn)A和B為拋物線上原點(diǎn)以外的兩個動點(diǎn)，已知，．求點(diǎn)M的軌跡方程，并說明它表示什么曲線．22．過拋物線（）的頂點(diǎn)作兩條互相垂直的弦、，求弦的中點(diǎn)的軌跡方程．類型五交軌法求曲線軌跡方程23．如圖，橢圓（，為常數(shù)），動