拓展四圓錐曲線的向量問題解析幾何中，將代數(shù)和幾何聯(lián)系到一起，形成了圖形分析和坐標(biāo)等的計(jì)算，在一定程度上可以進(jìn)行向量的計(jì)算，達(dá)到解決解析幾何的目的。這類試題的常規(guī)形式是用向量形式給出某些條件或結(jié)論,其難點(diǎn)往往不在向量上,對(duì)向量部分只需運(yùn)用向量基礎(chǔ)知識(shí)即可實(shí)現(xiàn)相應(yīng)轉(zhuǎn)化.平移向量作為工具處理圓錐曲線中的長度、角度、共線、垂直、射影等許多問題,使得這類問題成為高考命題的一個(gè)熱點(diǎn),且時(shí)常出現(xiàn)在解答題中.向量的運(yùn)算向量的數(shù)量積若，則向量的數(shù)乘若，則時(shí)，向量的線性運(yùn)算若，則時(shí)，.向量的翻譯向量垂直當(dāng)直線時(shí)，利用向量進(jìn)行數(shù)量積的翻譯，即,（用斜率翻譯時(shí)，要注意斜率不存在的情況）向量模長當(dāng)時(shí)，通過平方推導(dǎo)，轉(zhuǎn)化為，即翻譯成垂直.定角求解角度的大小時(shí)，通過向量的夾角公式進(jìn)行翻譯，向量的數(shù)量積，即.直角當(dāng)為直角時(shí)，則銳角當(dāng)為銳角時(shí)，則；鈍角當(dāng)為鈍角時(shí)，則；點(diǎn)在圓上直徑所對(duì)圓周角為直角，向量的數(shù)量積等于零，即當(dāng)為直角時(shí)，則；點(diǎn)在圓內(nèi)直徑所對(duì)圓周角為鈍角，即向量的數(shù)量積小于零；當(dāng)為鈍角時(shí)，則；點(diǎn)在圓外直徑所對(duì)圓周角為銳角，即向量的數(shù)量積大于零；當(dāng)為銳角時(shí)，則；平行四邊形若點(diǎn)滿足,則四邊形ABCD是平行四邊形,涉及圓錐曲線中的平行四邊形要注意對(duì)邊長度相等、斜率相等,兩對(duì)角線中點(diǎn)為同一個(gè)點(diǎn)等條件的應(yīng)用.向量其他常見條件1.設(shè)為直線l的方向向量,若,則l斜率為k；若（m≠0）,則l斜率為；2.A、B、C是平面內(nèi)不重合的三點(diǎn),若有下列條件之一,則A、B、C共線:=1\*GB3①=;=2\*GB3②=+且+=1;=3\*GB3③=(+)/(1+)；=4\*GB3④∥.3.A、B、C是平面內(nèi)不重合的三點(diǎn),若有下列條件之一,則C為線段AB的中點(diǎn):=1\*GB3①=;=2\*GB3②=(+).4.在四邊形ABCD中,若?=0,則ABAC;若∣+∣=∣-∣,則ABAD;若?=?,則ACBD.5.圓錐曲線中涉及向量相等,通常利用橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)相等進(jìn)行轉(zhuǎn)化,涉及向量共線問題,通項(xiàng)利用非零向量共線轉(zhuǎn)化,涉及向量的數(shù)量積,通常利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行轉(zhuǎn)化.類型一向量數(shù)量積1．設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，短軸長為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)斜率為的直線經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)，且與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，已知點(diǎn)，求的值.【解析】（1）由題意可知，，又，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（2）因?yàn)橹本€的斜率為，且過右焦點(diǎn)，所以直線的方程為.聯(lián)立直線的方程與橢圓方程，消去，得，其中.設(shè)，，則，.因?yàn)椋?．已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，離心率為．(1)求橢圓的方程；(2)過點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，為橢圓的左焦點(diǎn)，若，求直線的方程．【解析】（1）設(shè)橢圓C的焦距，則又經(jīng)過點(diǎn)(，)，，因此，橢圓C的方程為（2）①當(dāng)直線斜率為0時(shí)，與橢圓交于，而，此時(shí)，故不符合題意．②當(dāng)直線斜率不為0時(shí)，的方程為，設(shè)點(diǎn)，將直線l的方程代入橢圓方程，并化簡得．解得或由韋達(dá)定理得，同理可得．所以即．解得：符合題意因此，直線l的方程為或3．已知橢圓：，，過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓交于、兩點(diǎn).(1)求線段的中點(diǎn)的軌跡方程；(2)是否存在常數(shù)，使得為定值？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.【解析】（1）解：①當(dāng)直線存在斜率時(shí)，設(shè)、、，，則應(yīng)用點(diǎn)差法：，兩式聯(lián)立作差得：，∴，又∵，∴，化簡得（），②當(dāng)直線不存在斜率時(shí)，，綜上，無論直線是否有斜率，的軌跡方程為；（2）①當(dāng)直線存在斜率時(shí)，設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立并化簡得：，∴恒成立，∴，，又，，，，∴，，若使為定值，只需，即，其定值為，②當(dāng)直線不存在斜率時(shí)，直線的方程為：，則有、，又，，，，∴，當(dāng)時(shí)，也為定值，綜上，無論直線是否有斜率，一定存在一個(gè)常數(shù)，使為定值.類型二向量數(shù)乘（一）向量共線4．設(shè)A，B是橢圓C：的左右頂點(diǎn)，P為橢圓上異于A，B的一點(diǎn).(1)D是橢圓C的上頂點(diǎn)，且直線PA與直線BD垂直，求點(diǎn)P到x軸的距離；(2)過點(diǎn)的直線（不過坐標(biāo)原點(diǎn)）與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，且點(diǎn)M在x軸上方，點(diǎn)N在x軸下方，若，求直線的斜率.【解析】(1)解：由題意知：，設(shè)，則，因?yàn)橹本€PA與直線BD垂直，則，即，所以，因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上，所以，即，解得或，當(dāng)時(shí)，，在x軸上，不符合題意，當(dāng)時(shí)，，則點(diǎn)P到x軸的距離為；(2)由題意設(shè)直線方程為，聯(lián)立，消去x得，設(shè)，恒成立，則，所以，因?yàn)?，所以，即，則，解得，因?yàn)?，則，所以直線l的斜率為.5．已知橢圓：（）的離心率，點(diǎn)、之間的距離為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若經(jīng)過點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)和，則是否存在常數(shù)，使得與共線？如果存在，求的值；如果不存在，請(qǐng)說明理由.【解析】（1）因?yàn)辄c(diǎn)、之間的距離為，所以，因?yàn)闄E圓的離心率，所以有，而，因此組成方程組為：；（2）設(shè)的方程為，與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)聯(lián)立為：，于是有，此時(shí)設(shè)，于是有，假設(shè)存在常數(shù)，使得與共線，因?yàn)?，，所以有，，因?yàn)?，所以，不滿足，因此不存在常數(shù)，使得與共線.6．已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，離心率為2，一個(gè)焦點(diǎn)(1)求雙曲線方程；(2)設(shè)Q是雙曲線上一點(diǎn)，且過點(diǎn)F、Q的直線l與y軸交于點(diǎn)M，若，求直線l的方程．【解析】（1）解：設(shè)所求的雙曲線方程為（，），則，，∴，又則，∴所求的雙曲線方程為．（2）解：∵直線l與y軸相交于M且過焦點(diǎn)，∴l(xiāng)的斜率一定存在，則設(shè)．令得，∵且M、Q、F共線于l，∴或當(dāng)時(shí)，，，∴，∵Q在雙曲線上，∴，∴，當(dāng)時(shí)，，代入雙曲線可得：，∴．綜上所求直線l的方程為：或．7．已知P為曲線C上一點(diǎn)，M，N為圓與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，直線，的斜率之積為．(1)求C的軌跡方程；(2)過點(diǎn)的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，若，求λ的取值范圍.【解析】(1)由題意，不妨令，，設(shè)，則，斜率之積為．化簡得，∴曲線C的軌跡方程為．(2)顯然點(diǎn)在曲線的內(nèi)部，若直線與軸重合，則直線與曲線沒有公共點(diǎn)，當(dāng)直線不與軸重合時(shí)，令直線的方程為，聯(lián)立直線方程與曲線的方程，消去并整理得，令，，則，，，，∴，∵與方向相同，∴，不妨令，，則，①，∴，②由①②得，∴，即，∴，∴，∴的取值范圍是．8．已知橢圓的長軸長為，右焦點(diǎn)到直線的距離為.(1)求橢圓的方程；(2)若直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，橢圓上存在點(diǎn)，使得，求實(shí)數(shù)的值.【解析】（1）由已知得，解得，所以橢圓方程為；（2）設(shè)點(diǎn)，，由，得，解得，，則，，所以，，又，即，又點(diǎn)在橢圓上，所以，解得.9．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，一條漸近線方程為．（1）求雙曲線的方程；（2）記的左、右頂點(diǎn)分別為，過的直線交的右支于兩點(diǎn)，連結(jié)交直線于點(diǎn)，求證：三點(diǎn)共線．【解析】（1）依題意可得，，解得，故的方程為.（2）易得，顯然，直線的斜率不為0，設(shè)其方程為，，聯(lián)立方程，消去整理得，所以，．直線，令得，故，，，（*）又，即的值為0．所以故A、Q、N三點(diǎn)共線．利用向量共線求雙變量的關(guān)系式10．已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，左焦點(diǎn)為F，．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)作直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，過點(diǎn)F且垂直于x軸的直線交直線l于點(diǎn)E，記，求證：．【解析】(1)設(shè)點(diǎn)，由題意得解之得．所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；(2)設(shè)直線l的方程為）（斜率k顯然存在），代入，整理得．由，得則，，因?yàn)椋裕O(shè)，則，由，可得，由，得，所以11．已知橢圓：（）的短軸長為，是橢圓上一點(diǎn)．(1)求橢圓的方程；(2)過點(diǎn)（為常數(shù)，且）的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，與軸相交于點(diǎn)，已知，，證明：．【解析】(1)因?yàn)闄E圓C的短軸長為2，所以，又是橢圓C上一點(diǎn)，所以，解得，所以橢圓C的方程為.(2)由題可知，直線l的斜率一定存在，可設(shè)l的方程為，，則，聯(lián)立方程組，整理得，則，，.因?yàn)?，所以，則，12．已知橢圓的離心率為，短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為2.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，設(shè)，試判斷是否為定值？請(qǐng)說明理由.【解析】（1）由題可得,，又，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由題可得直線斜率存在，由（1）知設(shè)直線的方程為，則,消去，整理得：，設(shè)，則，，又，則，由可得，所以.同理可得，.所以所以，為定值.13．已知、分別是橢圓的左右頂點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，點(diǎn)在橢圓上．過點(diǎn)，且與坐標(biāo)軸不垂直的直線交橢圓于、兩個(gè)不同的點(diǎn)．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若點(diǎn)落在以線段為直徑的圓的外部，求直線的斜率的取值范圍；(3)當(dāng)直線的傾斜角為銳角時(shí)，設(shè)直線、分別交軸于點(diǎn)、，記，，求的取值范圍．【解析】（1）因?yàn)?，所以；又點(diǎn)在圖像上即，所以，所以橢圓的方程為；（2）由（1）可得設(shè)直線，設(shè)、，由得，解得或①∵點(diǎn)在以線段為直徑的圓的外部，則，又②解得或

由①②得（3）設(shè)直線，又直線的傾斜角為銳角，由（2）可知，記、，所以直線的方程是：，直線的方程是：.令，解得，所以點(diǎn)S坐標(biāo)為；同理點(diǎn)T為.所以，，.由，，可得：，，所以，由（2）得，，所以

，因?yàn)椋?，，故的范圍?類型三利用向量加法的幾何意義構(gòu)造平行四邊形14．已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，且，若M為橢圓C上一點(diǎn)，線段與圓C：相切于該線段的中點(diǎn)N．(1)求橢圓C的方程；(2)過點(diǎn)做直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且橢圓C上存在點(diǎn)P，使得四邊形若OAPB為平行四邊形，求直線l的方程．【解析】（1）∵，，且ON是的中位線，∴，，，而，，，∴，∴橢圓C的方程為：．（2）存在，理由如下：①當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，直線AB的方程為，此時(shí)橢圓上不存在符合題意的點(diǎn)P，②當(dāng)直線AB的斜率存在且k＝0時(shí)，此時(shí)O，A，B三點(diǎn)共線，所以橢圓上不存在符合題意的點(diǎn)P，③當(dāng)直線AB的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)斜率為k，，，，設(shè)直線AB的方程為，聯(lián)立方程，消去y得：，∴，∴，，∴，∵四邊形OAPB是平行四邊形，∴，∴，代入橢圓方程得：，化簡整理得：，∴，∴橢圓C上存在三個(gè)點(diǎn)A，B，P，滿足題意，此時(shí)直線AB的方程為15．已知橢圓：的離心率是，以的長軸和短軸為對(duì)角線的四邊形的面積是.(1)求的方程；(2)直線與交于，兩點(diǎn)，是上一點(diǎn)，，若四邊形是平行四邊形，求的坐標(biāo).【解析】（1）令橢圓長軸長，短軸長，由已知，得

∴解得∴橢圓的方程是．（2）設(shè)，，由得，，解得，，，四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴，，代入橢圓方程，得，即，∴，解得，又，∴，∴，∴點(diǎn)的坐標(biāo)是．16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的短軸長為2，橢圓C上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)距離的最大值為．過點(diǎn)作斜率為k的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，其中，，D是線段AB的中點(diǎn)，直線OD交橢圓C于M，N兩點(diǎn)．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若，，求k的值；(3)若存在直線l，使得四邊形OANB為平行四邊形，求m的取值范圍．【解析】（1）由題意得，2b＝2，，，解得a＝2，b＝1，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）當(dāng)m＝1時(shí)，直線l的方程為，設(shè)，，由，消去y得．因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓C內(nèi)，所以．所以，所以．所以，直線MN的方程為．由，消去y得，則因?yàn)椋裕驗(yàn)?，所以，因?yàn)?，所以．?）直線l的方程為，由，消去y得．所以，即，（*）且，所以．因?yàn)镸，N關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以由（2）易知，．由四邊形OANB為平行四邊形，得，可得，解得．因?yàn)閷⒋耄?）式恒成立，所以存在直線l，使得四邊形OANB為平行四邊形，所以當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，所以m的取值范圍為．類型四向量垂直17．已知橢圓的離心率為，長軸右端點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離為．(1)求橢圓的方程；(2)點(diǎn)是圓上的一點(diǎn)，過作圓的切線，且切線與橢圓交于、兩點(diǎn)，證明：．【解析】(1)解：由題意知，，解得，，，所以，橢圓的方程為．(2)證明：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為．當(dāng)直線的方程為，聯(lián)立，解得或，此時(shí)，則；當(dāng)直線的方程為，同理可證；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、．因?yàn)橹本€與圓相切，所以，即．聯(lián)立，得，則，所以，，所以，，所以，.綜上所述，.18．已知橢圓的左焦點(diǎn)，右頂點(diǎn)．(1)求的方程(2)設(shè)為上一點(diǎn)（異于左、右頂點(diǎn)），為線段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，求證：．【解析】（1）設(shè)橢圓的半焦距為．因?yàn)闄E圓的左焦點(diǎn)，右頂點(diǎn)，所以，．所以，故C的方程為：；（2）設(shè)點(diǎn)，且，因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，所以，所以直線的方程為：，令，得，所以點(diǎn)，此時(shí)，，，所以，所以，所以．19．已知橢圓C：的上頂點(diǎn)與右焦點(diǎn)分別為M，F(xiàn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，是底邊長為2的等腰三角形.(1)求橢圓C的方程；(2)已知直線與橢圓C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B，，若，求k的值.【解析】(1)解：設(shè)橢圓C的半焦距為c.因?yàn)槭堑走呴L為2的等腰三角形，所以且，又，所以由勾股定理得，所以.所以，，所以橢圓C的方程為.(2)解：聯(lián)立，消去得，則，解得或.設(shè)，，則則，，由，得，即，得，得，整理得，代入得，化簡得，所以，解得，都滿足或.綜上，k的值為或.20．已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，下頂點(diǎn)為，直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為，連接，若的周長為，且的面積為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線與橢圓交于兩點(diǎn)，當(dāng)為何值時(shí)，恒成立？【解析】(1)設(shè)，由橢圓定義可知，的周長為，故，直線的方程為與橢圓聯(lián)立可得，所以的面積為，即，解得或（舍去），則，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)聯(lián)立，得，，由（1）可知，，設(shè)，，則，，，，所以，解得或（舍去），所以當(dāng)時(shí)，恒成立.類型五向量模長21．已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為點(diǎn)，且為橢圓上一點(diǎn)，關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，．(1)求橢圓的離心率；(2)若橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，斜率為1的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，在軸上存在點(diǎn)，使得，，求直線的方程．【解析】(1)解：由橢圓知，設(shè)，則.點(diǎn)在橢圓上，有，所以，故橢圓的離心率(2)解：由題意知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，即，所以，又，即，所以橢圓的方程為，設(shè)直線方程為，，，，線段的中點(diǎn)為，聯(lián)立，則，，即，由，即，所以，所以，解得，由，即，所以，即，將代入可得，，解得滿足條件，所以，故直線的方程為.類型六定角22．已知橢圓上的點(diǎn)到它的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為4，以橢圓C的短軸為直徑的圓O經(jīng)過這兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B分別是橢圓C的左、右頂點(diǎn).(1)求圓O和橢圓C的方程；(2)已知P，Q分別是橢圓C和圓O上的動(dòng)點(diǎn)（P，Q位于y軸兩側(cè)），且直線PQ與x軸平行，直線AP，BP分別與y軸交于點(diǎn)M，N.求證：為定值.【解析】（1）由題意可得，解得，，所以圓的方程為，橢圓的方程為．（2）證明：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，則，即，又由，得點(diǎn)M的坐標(biāo)為，由，得點(diǎn)N的坐標(biāo)為，所以，，，所以，所以，即類型七直角、銳角、鈍角23．在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn).動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到定直線的距離的比為常數(shù)2，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程；(2)過點(diǎn)的直線交曲線于兩點(diǎn)，若，求直線的方程.【解析】(1)設(shè)點(diǎn)，由題意得，式子左右同時(shí)平方，并化簡得，.所以曲線的方程為.(2)當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，此時(shí)直線與曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)為.所以與不垂直，即，不符合題意.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得由和，得.，因?yàn)?，所?所以，解得所以直線的方程為，即或.24．設(shè)A，B為雙曲線C：的左、右頂點(diǎn)，直線l過右焦點(diǎn)F且與雙曲線C的右支交于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，為等腰直角三角形．(1)求雙曲線C的離心率；(2)已知，若直線AM，AN分別交直線于P，Q兩點(diǎn)，若為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線l的傾斜角變化時(shí)，若為銳角，求t的取值范圍．【解析】（1）由雙曲線C：可得：右焦點(diǎn)，將代入中，，當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，為等腰直角三角形，此時(shí)，即，整理得：，因?yàn)?，所以，方程兩邊同除以得：，解得：或（舍去），所以雙曲線的離心率為2；（2）因?yàn)?，所以，因?yàn)?，解得，故，所以雙曲線的方程為，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為：，與雙曲線聯(lián)立得：，設(shè)，則，，則，因?yàn)橹本€過右焦點(diǎn)且與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，所以，解得：，直線，則，同理可求得：，所以，，因?yàn)闉殇J角，所以，即，所以所以即，解得或；當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，將代入雙曲線可得，此時(shí)不妨設(shè)，此時(shí)直線，點(diǎn)P坐標(biāo)為，同理可得：，所以，，因?yàn)闉殇J角，所以，解得或；綜上所述，t的取值范圍或25．已知橢圓C的離心率為，焦點(diǎn)、．(1)求橢圓C的方程；(2)已知、，是橢圓C在第一象限部分上的一動(dòng)點(diǎn)，且∠APB是鈍角，求的取值范圍．【解析】（1）依題意，，所以橢圓的方程為.（2）依題意，，由于∠APB是鈍角，所以①，由于是橢圓C在第一象限部分上的一動(dòng)點(diǎn)，所以，且②，將②代入①得，，則所以的取值范圍是.類型八點(diǎn)在圓上、點(diǎn)在圓外、點(diǎn)在圓內(nèi)26．已知橢圓：（）上一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為4，離心率為.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)橢圓的左右頂點(diǎn)分別為、，當(dāng)不與、重合時(shí)，直線，分別交直線于點(diǎn)、，證明：以為直徑的圓過右焦點(diǎn).【解析】(1)由題干可得，所以，即橢圓的方程；(2)解法一：設(shè)因?yàn)橹本€交直線于點(diǎn)，所以，則同理，則由于異于軸兩側(cè)，因此異號(hào).所以又因?yàn)?，所以即，以為直徑的圓過右焦點(diǎn).解法二：設(shè)直線方程，，得，即因?yàn)橹本€交直線于點(diǎn)，即.因?yàn)橹本€交直線于點(diǎn)，則由三點(diǎn)共線，得，即

所以即，以為直徑的圓過右焦點(diǎn).27．已知橢圓C：1（a＞b＞0）長軸長為4，且橢圓C的離心率．(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)斜率為1的直線l與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)軸原點(diǎn)，以PQ為直徑的圓過坐標(biāo)軸原點(diǎn)，求直線l的方程．【解析】（1）因?yàn)殚L軸長為4，所以a=2，又因?yàn)闄E圓C的離心率為，所以，∴b2=a2-c2，b2=2，所以橢圓C的方程為：．（2）設(shè)P（x1y1），Q（x2，y2），l的方程為y=x+m，由x2+2y2=4且y=x+m得3x2+4mx+2m2-4=0，令=（4m）2-4?3?（2m2-4）＞0，（1）∴，∴，由題意知OP⊥OQ，故x1x2+y1y2=0，，解得或，驗(yàn)證知滿足（1），所以直線的方程為：或．28．已知是圓上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)，線段的垂直平分線交于點(diǎn).(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；(2)折線與相交于，兩點(diǎn)，若以為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)，求的值.【解析】(1)因?yàn)?，所以，所以的軌跡是以，為焦點(diǎn)，4為長軸長的橢圓，因?yàn)椋?，，所以?dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為.(2)如下圖所示，設(shè)，，則得，則，.因?yàn)橐詾橹睆降膱A經(jīng)過原點(diǎn)，所以，所以，所以，即，則，所以.29．已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為、，上下頂點(diǎn)分別為M、N，點(diǎn)的坐標(biāo)為，在下列兩個(gè)條件中任選一個(gè)：①離心率；②四邊形的面積為4，解答下列各題.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，判斷點(diǎn)與以線段AB為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由.【解析】（1）選①：由上頂點(diǎn)，即，由，且，可得，所以橢圓的方程為.選②：由題設(shè)，，即，而，所以，故，所以橢圓的方程為.（2）聯(lián)立與，并整理可得：，則，，所以，，由，，所以，故，故且不共線，故為銳角，所以G在以AB為直徑的圓外.3