1.2空間向量基本定理課程標(biāo)準(zhǔn)課標(biāo)解讀理解并記住共線向量基本定理、平面向量基本定理、共面向量定理及空間向量基本定理的內(nèi)容及含義..理解基底與基向量的含義，會(huì)用恰當(dāng)?shù)幕蛄勘硎究臻g任意向量.會(huì)用相關(guān)的定理解決簡(jiǎn)單的空間幾何問題.1.通過對(duì)空間向量基本定理的意義的掌握與了解，會(huì)用空間向量的基底表示空間任一向量，能用正交分解及坐標(biāo)形式表示空間向量.2.結(jié)合平面向量與空間向量的基本定理，解決平面與立體幾何的相關(guān)問題.知識(shí)點(diǎn)1空間向量基本定理1．定理如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)任意一個(gè)空間向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得p=xa+yb+zc.其中{a，b，c}叫做空間的一個(gè)基底，a，b，c都叫做基向量．如果p=xa+yb+zc，則稱xa+yb+zc為p在基底{a，b，c}下的分解式.注：（1）對(duì)于基底{a，b，c}應(yīng)明確以下三點(diǎn)：①空間中任意三個(gè)不共面的向量都可以作為空間的一個(gè)基底．基底選定后，空間的所有向量均可由基底唯一表示；不同基底下，同一向量的表達(dá)式也有可能不同．②基底中的三個(gè)向量a，b，c都不是0.這是因?yàn)?與任意向量共線，與任意兩個(gè)向量共面．由于零向量與任意一個(gè)非零向量共線，與任意兩個(gè)不共線的非零向量共面，所以若三個(gè)向量不共面，就說明它們都不是零向量．③空間中的一個(gè)基底是由不共面的三個(gè)向量構(gòu)成的，是一個(gè)向量組，基向量是指基底中的某一個(gè)向量，二者是相關(guān)聯(lián)的不同概念．（2）空間向量基本定理的推論設(shè)O，A，B，C是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間內(nèi)任意一點(diǎn)P都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得eq\o(OP,\s\up7(―→))＝xeq\o(OA,\s\up7(―→))＋yeq\o(OB,\s\up7(―→))＋zeq\o(OC,\s\up7(―→)).推論表明：可以根據(jù)空間向量基本定理確定空間任一點(diǎn)的位置．2．空間向量的正交分解(1)單位正交基底：空間的一個(gè)基底中的三個(gè)基向量?jī)蓛纱怪?，且長(zhǎng)度都為1，常用{i，j，k}表示．(2)正交分解：由空間向量基本定理可知，對(duì)空間中的任意向量a，均可以分解為三個(gè)向量xi，yj，zk，使a＝xi＋yj＋zk.像這樣，把一個(gè)空間向量分解為三個(gè)兩兩垂直的向量，叫做把空間向量正交分解．易錯(cuò)辨析：（1）構(gòu)成基底的三個(gè)向量中，可以有零向量嗎？不可以．（2）在四棱錐O-ABCD中，eq\o(OA,\s\up7(―→))可表示為eq\o(OA,\s\up7(―→))＝xeq\o(OB,\s\up7(―→))＋yeq\o(OC,\s\up7(―→))＋zeq\o(OD,\s\up7(―→))且唯一，這種說法對(duì)嗎？對(duì)．【即學(xué)即練1】下列說法正確的是（

）A．任何三個(gè)不共線的向量可構(gòu)成空間向量的一個(gè)基底B．空間的基底有且僅有一個(gè)C．兩兩垂直的三個(gè)非零向量可構(gòu)成空間的一個(gè)基底D．直線的方向向量有且僅有一個(gè)【即學(xué)即練2】設(shè)p：a，b，c是三個(gè)非零向量；q：{a，b，c}為空間的一個(gè)基底，則p是q的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【即學(xué)即練3】已知a，b，c是不共面的三個(gè)向量，則能構(gòu)成空間的一個(gè)基底的一組向量是()A．3a，a－b，a＋2b B．2b，b－2a，b＋2aC．a(chǎn),2b，b－c D．c，a＋c，a－c【即學(xué)即練4】【多選】設(shè)x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空間的一個(gè)基底，則下列向量組中，可以作為空間一個(gè)基底的向量組有()A．{a，b，x} B．{x，y，z}C．{b，c，z} D．{x，y，a＋b＋c}【即學(xué)即練5】在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，E，F(xiàn)分別是AD1，BD的中點(diǎn)．用向量a，b，c表示eq\o(D1B,\s\up6(—→))，eq\o(EF,\s\up6(→))；知識(shí)點(diǎn)2證明平行、共面問題1.對(duì)于空間任意兩個(gè)向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λb.2.如果兩個(gè)向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使p＝xa＋yb.3．直線平行和點(diǎn)共線都可以轉(zhuǎn)化為向量共線問題；點(diǎn)線共面可以轉(zhuǎn)化為向量共面問題．【即學(xué)即練6】如圖所示，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別在B1B和D1D上，且BE＝eq\f(1,3)BB1，DF＝eq\f(2,3)DD1.求證：A，E，C1，F(xiàn)四點(diǎn)共面．知識(shí)點(diǎn)3夾角、垂直問題(1)θ為a，b的夾角，則cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|).(2)若a，b是非零向量，則a⊥b?a·b＝0.注：區(qū)分向量的夾角與異面直線所成的角的范圍．【即學(xué)即練7】在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是DD1，BD的中點(diǎn)，點(diǎn)G在棱CD上，且CG＝eq\f(1,3)CD.(1)證明：EF⊥B1C；(2)求EF與C1G所成角的余弦值．知識(shí)點(diǎn)4距離(長(zhǎng)度)問題eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝eq\r(a·a)(eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\r(\o(AB,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→))))．【即學(xué)即練8】已知平行六面體中，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，，．(1)求；(2)求．考點(diǎn)一空間向量基本定理的理解解題方略：判斷基底的方法(1)判斷一組向量能否作為空間的一個(gè)基底，實(shí)質(zhì)是判斷這三個(gè)向量是否共面，若不共面，就可以作為一個(gè)基底．如果從正面難以入手，可用反證法或利用一些常見的幾何圖形進(jìn)行判斷．(2)判斷基底時(shí)，常常依托正方體、長(zhǎng)方體、平行六面體、四面體等幾何體，用它們從同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱對(duì)應(yīng)的向量為基底，并在此基礎(chǔ)上構(gòu)造其他向量進(jìn)行相關(guān)的判斷．【例1-1】已知能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下面的各組向量中，不能構(gòu)成空間基底的是（

）A． B． C． D．變式1：已知{e1，e2，e3}是空間的一個(gè)基底，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝e1＋2e2－e3，eq\o(OB,\s\up6(→))＝－3e1＋e2＋2e3，eq\o(OC,\s\up6(→))＝e1＋e2－e3，試判斷{eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))}能否作為空間的一個(gè)基底．變式2：設(shè)x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空間的一個(gè)基底．給出下列向量組：①{a，b，x}；②{x，y，z}；③{b，c，z}；④{x，y，a＋b＋c}．其中可以作為空間的基底的向量組有________個(gè)．變式3：已知O，A，B，C為空間不共面的四點(diǎn)，且向量a＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))，向量b＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))，則與a，b不能構(gòu)成空間基底的是()A.eq\o(OA,\s\up6(→))B.eq\o(OB,\s\up6(→))C.eq\o(OC,\s\up6(→)) D.eq\o(OA,\s\up6(→))或eq\o(OB,\s\up6(→))變式4：已知是空間的一個(gè)基底，向量，，，若能作為基底，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．變式5：若向量eq\o(MA,\s\up7(―→))，eq\o(MB,\s\up7(―→))，eq\o(MC,\s\up7(―→))的起點(diǎn)M與終點(diǎn)A，B，C互不重合且無三點(diǎn)共線，且滿足下列關(guān)系(O是空間任一點(diǎn))，則能使向量eq\o(MA,\s\up7(―→))，eq\o(MB,\s\up7(―→))，eq\o(MC,\s\up7(―→))成為空間一組基底的關(guān)系的是()A．eq\o(OM,\s\up7(―→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up7(―→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up7(―→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up7(―→))B．eq\o(MA,\s\up7(―→))≠eq\o(MB,\s\up7(―→))＋eq\o(MC,\s\up7(―→))C．eq\o(OM,\s\up7(―→))＝eq\o(OA,\s\up7(―→))＋eq\o(OB,\s\up7(―→))＋eq\o(OC,\s\up7(―→))D．eq\o(MA,\s\up7(―→))＝2eq\o(MB,\s\up7(―→))－eq\o(MC,\s\up7(―→))考點(diǎn)二空間向量基本定理的應(yīng)用解題方略：用基底表示向量的策略(1)若基底確定，要充分利用向量加法、減法的三角形法則和平行四邊形法則，以及向量數(shù)乘的運(yùn)算律進(jìn)行．(2)若沒給定基底時(shí)，首先選擇基底，選擇時(shí)，要盡量使所選的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夾角已知或易求．（一）用基底表示空間向量【例2-1】如圖，M，N分別是四面體OABC的邊OA，BC的中點(diǎn)，P，Q是MN的三等分點(diǎn)．用向量eq\o(OA,\s\up7(―→))，eq\o(OB,\s\up7(―→))，eq\o(OC,\s\up7(―→))表示eq\o(OP,\s\up7(―→))和eq\o(OQ,\s\up7(―→)).變式1：四面體OABC中，eq\o(OA,\s\up7(―→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(―→))＝b，eq\o(OC,\s\up7(―→))＝c，點(diǎn)M在OA上，且eq\o(OM,\s\up7(―→))＝2eq\o(MA,\s\up7(―→))，N為BC中點(diǎn)，則eq\o(MN,\s\up7(―→))為()A.eq\f(1,2)a－eq\f(2,3)b＋eq\f(1,2)c B.－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)cC.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b－eq\f(2,3)c D.eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b－eq\f(1,2)c變式2：如圖所示，正方體OABC-O′A′B′C′，且eq\o(OA,\s\up7(―→))＝a，eq\o(OC,\s\up7(―→))＝b，eq\o(OO′,\s\up7(―→))＝c.(1)用a，b，c表示向量eq\o(OB′,\s\up7(―→))，eq\o(AC′,\s\up7(―→))；(2)設(shè)G，H分別是側(cè)面BB′C′C和O′A′B′C′的中心，用a，b，c表示eq\o(GH,\s\up7(―→)).變式3：如圖，在四面體ABCD中，G為△ABC的重心，E是BD上一點(diǎn)，BE＝3ED，以{eq\o(AB,\s\up7(―→))，eq\o(AC,\s\up7(―→))，eq\o(AD,\s\up7(―→))}為基底，則eq\o(GE,\s\up7(―→))＝________.（二）用基底法求空間向量的數(shù)量積【例2-2】如圖，已知四面體ABCD的每條棱長(zhǎng)都等于1，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，設(shè)eq\o(AB,\s\up7(―→))＝a，eq\o(AC,\s\up7(―→))＝b，eq\o(AD,\s\up7(―→))＝c，a，b，c為空間向量的一組基底．計(jì)算eq\o(EF,\s\up7(―→))·eq\o(BA,\s\up7(―→)).變式1：在棱長(zhǎng)為2的正四面體ABCD中，點(diǎn)M滿足eq\o(AM,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))－(x＋y－1)eq\o(AD,\s\up6(→))，點(diǎn)N滿足eq\o(BN,\s\up6(→))＝λeq\o(BA,\s\up6(→))＋(1－λ)eq\o(BC,\s\up6(→))，當(dāng)AM，BN最短時(shí)，eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(MN,\s\up6(→))等于()A．－eq\f(4,3)B.eq\f(4,3)C．－eq\f(1,3)D.eq\f(1,3)（三）利用空間向量基本定理求參數(shù)【例2-3】已知空間的一個(gè)基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋2c，若m與n共線，則x＝________；y＝________.變式1：若{a，b，c}是空間的一個(gè)基底，且存在實(shí)數(shù)x，y，z，使得xa＋yb＋zc＝0，則x，y，z滿足的條件是________．變式2：正方體ABCD-A′B′C′D′中，O1，O2，O3分別是AC，AB′，AD′的中點(diǎn)，以{eq\o(AO1,\s\up7(―→))，eq\o(AO2,\s\up7(―→))，eq\o(AO3,\s\up7(―→))}為基底，eq\o(AC,\s\up7(―→))′＝xeq\o(AO1,\s\up7(―→))＋yeq\o(AO2,\s\up7(―→))＋zeq\o(AO3,\s\up7(―→))，則x，y，z的值是()A．x＝y(tǒng)＝z＝1 B．x＝y(tǒng)＝z＝eq\f(1,2)C．x＝y(tǒng)＝z＝eq\f(\r(2),2) D．x＝y(tǒng)＝z＝2變式3：點(diǎn)P是矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)，且PA⊥平面ABCD，M，N分別是PC，PD上的點(diǎn)，且eq\o(PM,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(PC,\s\up6(→))，eq\o(PN,\s\up6(→))＝eq\o(ND,\s\up6(→))，則滿足eq\o(MN,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))＋zeq\o(AP,\s\up6(→))的實(shí)數(shù)x，y，z的值分別為________．變式4：已知四面體O－ABC，G1是△ABC的重心，G是OG1上一點(diǎn)，且OG＝3GG1，若eq\o(OG,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))，則(x，y，z)為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,4)，\f(1,4))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，\f(3,4)，\f(3,4)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,3)，\f(1,3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(2,3)，\f(2,3)))考點(diǎn)三用向量法證明平行、共面問題解題方略：證明平行、共面問題的思路(1)利用向量共線的充要條件來證明點(diǎn)共線或直線平行．要證兩直線平行，可構(gòu)造與兩直線分別平行的向量，只要證明這兩個(gè)向量滿足a＝λb即可．(2)利用空間向量基本定理證明點(diǎn)線共面或線面平行．【例3-1】在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是底面A1C1和側(cè)面CD1的中心，若eq\o(EF,\s\up7(―→))＋λeq\o(A1D,\s\up7(―→))＝0(λ∈R)，則λ＝________.【例3-2】如圖，在平行六面體ABCD－A′B′C′D′中，E，F(xiàn)，G分別是A′D′，DD′，D′C′的中點(diǎn)，請(qǐng)選擇恰當(dāng)?shù)幕紫蛄孔C明：(1)EG∥AC；(2)平面EFG∥平面AB′C.考點(diǎn)四用向量法解決立體幾何的垂直、夾角問題解題方略：求夾角、證明線線垂直的方法1、要證兩直線垂直，由數(shù)量積的性質(zhì)a⊥b?a·b＝0可知，可構(gòu)造與兩直線分別平行的向量，只要證明這兩個(gè)向量的數(shù)量積為0即可．2、利用數(shù)量積定義可得cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)，求〈a，b〉的大小，進(jìn)而求得線線角，兩直線垂直可作為求夾角的特殊情況．【例4-1】如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，E，F(xiàn)，G，G1分別是棱CC1，BC，CD，A1B1的中點(diǎn)．求證：(1)AD1⊥G1G；(2)AD1∥EF;(3)A1G⊥DF;(4)求DE與AD1所成角的余弦值.【例4-2】在正方體ABCD－A1B1C1D1中，已知E，F(xiàn)，G，H分別是CC1，BC，CD和A1C1的中點(diǎn)．證明：①AB1∥GE，AB1⊥EH；②A1G⊥平面EFD.【例4-3】已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為__________.變式1：已知斜三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC是等腰直角三角形，AB＝AC＝2，CC1＝2，AA1與AB，AC都成60°角，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為()A.eq\f(1,4)B.eq\f(\r(15),5)C.eq\f(\r(10),5)D.eq\f(1,6)題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1、①若{a，b，c}可以作為空間的一個(gè)基底，d與c共線，d≠0，則{a，b，d}也可以作為空間的一個(gè)基底；②已知向量a∥b，則a，b與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底；③A，B，M，N是空間四點(diǎn)，若eq\o(BA,\s\up7(―→))，eq\o(BM,\s\up7(―→))，eq\o(BN,\s\up7(―→))不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則A，B，M，N四點(diǎn)共面；④已知{a，b，c}是空間的一個(gè)基底，若m＝a＋c，則{a，b，m}也是空間的一個(gè)基底．其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．42、已知O，A，B，C為空間四點(diǎn)，且向量，，不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則一定有（

）A．，，共線 B．O，A，B，C中至少有三點(diǎn)共線C．與共線 D．O，A，B，C四點(diǎn)共面3、如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，點(diǎn)O為空間內(nèi)任意一點(diǎn)，設(shè)eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，則向量eq\o(OD,\s\up6(→))可用a，b，c表示為()A．a(chǎn)－b＋2cB．a(chǎn)－b－2cC．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋cD.eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c4、在空間四點(diǎn)O，A，B，C中，若{eq\o(OA,\s\up7(―→))，eq\o(OB,\s\up7(―→))，eq\o(OC,\s\up7(―→))}是空間的一個(gè)基底，則下列命題不正確的是()A．O，A，B，C四點(diǎn)不共線B．O，A，B，C四點(diǎn)共面，但不共線C．O，A，B，C四點(diǎn)不共面D．O，A，B，C四點(diǎn)中任意三點(diǎn)不共線5、正四面體棱長(zhǎng)為2，，，分別是，，的中點(diǎn)，則的值為（

）A． B．1 C．2 D．46、正方體的棱長(zhǎng)為a，，N為的中點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．7、已知空間向量，，不共面，且，則x，y，z的值分別是（

）A．2，1，2 B．2，1，C．1，，3 D．l，，38、在正方體ABCD-A1B1C1D1中，設(shè)eq\o(AB,\s\up7(―→))＝a，eq\o(AD,\s\up7(―→))＝b，eq\o(AA1,\s\up7(―→))＝c，A1C1與B1D1的交點(diǎn)為E，則eq\o(BE,\s\up7(―→))＝________.9、已知三棱柱，點(diǎn)在線段上，且，則（

）A． B．C． D．10、如圖，在三棱柱中，E，F(xiàn)分別是BC，的中點(diǎn)，，則（

）A．B．C．D．題組B能力提升練11、在棱長(zhǎng)為1的正四面體ABCD中，直線AB與CD()A．相交 B．平行C．垂直 D．無法判斷位置關(guān)系12、如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，E，F(xiàn)，G分別是DC，AB，CC1的中點(diǎn)，則異面直線A1E與GF所成角的余弦值是()A．0 B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(\r(5),5) D.eq\f(\r(15),5)13、在平行六面體中，若，則的值等于（

）A． B． C． D．14、已知A?B?C?D?E是空間中的五個(gè)點(diǎn)，其中點(diǎn)A?B?C不共線，則“平面ABC”是“存在實(shí)數(shù)x?y，使得的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件15、若a＝e1＋e2，b＝e2＋e3，c＝e1＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，若e1，e2，e3不共面，當(dāng)d＝αa＋βb＋γc時(shí)，α＋β＋γ＝________.16、如圖所示，在正方體OABC－O1A1B1C1中，點(diǎn)G為△ACO1的重心，若eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OC,\s\up6(→))＝b，eq\o(OO1,\s\up6(→))＝c，eq\o(OG,\s\up6(→))＝xa＋yb＋zc，則x＋y＋z＝____