2.5.1直線與圓的位置關(guān)系課程標(biāo)準(zhǔn)核心素養(yǎng)1.能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓的位置關(guān)系．2.能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題．體會用代數(shù)方法處理幾何問題的思想.直觀想象數(shù)學(xué)運(yùn)算知識點(diǎn)1直線與圓的三種位置關(guān)系位置關(guān)系交點(diǎn)個數(shù)圖示相交有兩個公共點(diǎn)相切只有一個公共點(diǎn)相離沒有公共點(diǎn)注：直線與圓的位置關(guān)系及判斷位置關(guān)系相交相切相離判定方法幾何法：設(shè)圓心到直線的距離d＝eq\f(|Aa＋Bb＋C|,\r(A2＋B2))d＜rd＝rd＞r代數(shù)法：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0，,x－a2＋y－b2＝r2))消元得到一元二次方程的判別式ΔΔ＞0Δ＝0Δ＜0【即學(xué)即練1】直線y＝x＋1與圓x2＋y2＝1的位置關(guān)系為()A．相切 B．相交但直線不過圓心C．直線過圓心 D．相離【解析】圓心(0,0)到直線y＝x＋1的距離d＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2).因?yàn)?＜eq\f(\r(2),2)＜1，故直線與圓相交但直線不過圓心，選B.【即學(xué)即練2】直線與圓的位置關(guān)系是（

）A．相切 B．相交 C．相離 D．不確定【解析】直線恒過定點(diǎn)，而，故點(diǎn)在圓的內(nèi)部，故直線與圓的位置關(guān)系為相交，故選：B.【即學(xué)即練3】直線x＋y＋m＝0與圓x2＋y2＝m相切，則m的值為()A．0或2 B．2C.eq\r(2) D．無解【解析】由于直線與圓相切，故eq\r(m)＝eq\f(|m|,\r(12＋12))，解得m＝0(舍去)或m＝2.【即學(xué)即練4】已知圓經(jīng)過，，且圓心在直線上.(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線：與圓無公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】(1)∵圓心C在直線，∴可設(shè)圓心坐標(biāo)為，∵圓C經(jīng)過，，∴即，解得∴圓心坐標(biāo)為，半徑故圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；(2)∵圓心C到直線l的距離且直線l圓C無公共點(diǎn)，∴即，解得，故實(shí)數(shù)k的取值范圍為；綜上，圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，.知識點(diǎn)2直線與圓相交1．解決圓的弦長問題的方法幾何法（常用）如圖所示，設(shè)直線l被圓C截得的弦為AB，圓的半徑為r，圓心到直線的距離為d，則有關(guān)系式：|AB|＝2eq\r(r2－d2)代數(shù)法若斜率為k的直線與圓相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)兩點(diǎn)，則|AB|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(xA＋xB2－4xAxB)＝eq\r(1＋\f(1,k2))·|yA－yB|(其中k≠0)．特別地，當(dāng)k＝0時，|AB|＝|xA－xB|；當(dāng)斜率不存在時，|AB|＝|yA－yB|注：直線：；圓聯(lián)立消去“”得到關(guān)于“”的一元二次函數(shù)，結(jié)合韋達(dá)定理可得到2．當(dāng)直線與圓相交時，半徑、半弦、弦心距所構(gòu)成的直角三角形(如圖中的Rt△ADC)，在解題時要注意把它和點(diǎn)到直線的距離公式結(jié)合起來使用．【即學(xué)即練5】直線y＝2x＋3被圓x2＋y2－6x－8y＝0所截得的弦長等于________．【解析】圓的方程可化為(x－3)2＋(y－4)2＝25.故圓心為(3,4)，半徑r＝5.又直線方程為2x－y＋3＝0，所以圓心到直線的距離為d＝eq\f(|2×3－4＋3|,\r(4＋1))＝eq\r(5)，所以弦長為2eq\r(r2－d2)＝2×eq\r(25－5)＝2eq\r(20)＝4eq\r(5).知識點(diǎn)3直線與圓相切1．求過某點(diǎn)的圓的切線問題時，應(yīng)首先確定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，再求切線方程．若點(diǎn)在圓上(即為切點(diǎn))，則過該點(diǎn)的切線只有一條；若點(diǎn)在圓外，則過該點(diǎn)的切線有兩條，此時應(yīng)注意切線斜率不存在的情況．（注：過圓內(nèi)一點(diǎn)，不能作圓的切線）2．求過圓上的一點(diǎn)(x0，y0)的切線方程的方法先求切點(diǎn)與圓心連線的斜率k，若k不存在，則結(jié)合圖形可直接寫出切線方程為y＝y(tǒng)0；若k＝0，則結(jié)合圖形可直接寫出切線方程為x＝x0；若k存在且k≠0，則由垂直關(guān)系知切線的斜率為－eq\f(1,k)，由點(diǎn)斜式可寫出切線方程．3．求過圓外一點(diǎn)(x0，y0)的圓的切線方程的方法幾何法當(dāng)斜率存在時，設(shè)為k，則切線方程為y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圓心到直線的距離等于半徑，即可求出k的值，進(jìn)而寫出切線方程代數(shù)法當(dāng)斜率存在時，設(shè)為k，則切線方程為y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圓的方程，得到一個關(guān)于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切線方程即可求出4.圓的切線方程常用結(jié)論(1)過圓x2＋y2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2.(2)過圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(3)過圓x2＋y2＝r2外一點(diǎn)M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點(diǎn)所在直線方程為x0x＋y0y＝r2.5.切線長公式記圓:；過圓外一點(diǎn)做圓的切線，切點(diǎn)為,利用勾股定理求；【即學(xué)即練6】過點(diǎn)作圓的切線，則切線的方程為（

）A． B．C． D．【解析】因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓，又，所以切線的斜率為，所以切線方程為，整理得；故選：C【即學(xué)即練7】過點(diǎn)作圓的切線，則切線的方程為（

）A． B．C．或 D．或【解析】圓的圓心為原點(diǎn)，半徑為1，當(dāng)切線的斜率不存在時，即直線的方程為，不與圓相切，當(dāng)切線的斜率存在時，設(shè)切線的方程為，即所以，解得或所以切線的方程為或故選：C【即學(xué)即練8】一條光線從點(diǎn)射出，經(jīng)軸反射后與圓相切，則反射光線所在直線的斜率為（）A．或 B．或 C．或 D．或【解析】由光的反射原理知，反射光線的反向延長線必過點(diǎn)，設(shè)反射光線所在直線的斜率為，則反射光線所在直線方程為：，即：.又因?yàn)楣饩€與圓相切，所以，,整理：，解得：，或,故選D．知識點(diǎn)4圓上點(diǎn)到直線的最大（?。┚嚯x設(shè)圓心到直線的距離為，圓的半徑為①當(dāng)直線與圓相離時，圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為，最小距離為；②當(dāng)直線與圓相切時，圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為，最小距離為；③當(dāng)直線與圓相交時，圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為，最小距離為；【即學(xué)即練9】圓上的點(diǎn)到直線的最大距離與最小距離的差是（

）A．36 B．18 C． D．【解析】因?yàn)閳A，即，所以圓心坐標(biāo)為，半徑，因?yàn)閳A心到直線的距離，所以直線與圓相離，所以圓上的點(diǎn)到直線的最大距離與最小距離的差為，故選：D.考點(diǎn)一直線與圓位置關(guān)系的判斷解題方略：判斷直線與圓位置關(guān)系的方法(1)幾何法：由圓心到直線的距離d與圓的半徑r的大小關(guān)系判斷．(2)代數(shù)法：根據(jù)直線與圓的方程組成的方程組解的個數(shù)來判斷．（一）判斷直線與圓的位置關(guān)系【例1-1】直線3x＋4y＋12＝0與圓C：(x－1)2＋(y－1)2＝9的位置關(guān)系是()A．相交并且直線過圓心 B．相交但直線不過圓心C．相切 D．相離【解析】圓心C(1,1)到直線的距離d＝eq\f(|3×1＋4×1＋12|,\r(32＋42))＝eq\f(19,5)，圓C的半徑r＝3，則d＞r，所以直線與圓相離．故選D變式1：圓與直線的位置關(guān)系為（

）A．相切 B．相離 C．相交 D．無法確定【解析】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程：，得圓心坐標(biāo)為，半徑則圓心到直線的距離因?yàn)椋詧A與直線相離.故選：B變式2：直線與圓的位置關(guān)系為（

）A．相切 B．相交C．相離 D．由的取值確定【解析】因?yàn)閳A心到直線的距離，即為圓的半徑，所以可知直線與圓相切.故選：A．變式3：直線x－ky＋1＝0與圓x2＋y2＝1的位置關(guān)系是()A．相交 B．相離C．相交或相切 D．相切【解析】直線x－ky＋1＝0恒過定點(diǎn)(－1,0)，而(－1,0)在圓上，故直線與圓相切或相交．故選C變式4：已知直線，圓，則直線l與圓C的位置關(guān)系是（

）A．相離 B．相切 C．相交 D．不確定【解析】直線，即，由解得，因此，直線恒過定點(diǎn)，又圓，即，顯然點(diǎn)A在圓C外，所以直線與圓C可能相離，可能相切，也可能相交，A，B，C都不正確，D正確.故選：D變式5：已知點(diǎn)(a，b)在圓C：x2＋y2＝r2(r≠0)的外部，則直線ax＋by＝r2與C的位置關(guān)系是()A．相切 B．相離C．相交 D．不確定【解析】由已知a2＋b2＞r2，且圓心到直線ax＋by＝r2的距離為d＝eq\f(r2,\r(a2＋b2))，則d＜r，故直線ax＋by＝r2與圓C的位置關(guān)系是相交.故選C.變式6：直線繞原點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)后所得的直線l與圓的位置關(guān)系是（

）A．直線l過圓心 B．直線l與圓相交，但不過圓心C．直線l與圓相切 D．直線l與圓無公共點(diǎn)【解析】直線過原點(diǎn)，斜率為，傾斜角為，依題意，直線l的傾斜角為，斜率為，而l過原點(diǎn)，因此，直線l的方程為：，又圓的圓心為，半徑為，于是得點(diǎn)到直線l的距離為，所以直線l與圓相切.故選：C（二）由直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)【例1-2】求實(shí)數(shù)m的取值范圍，使直線x－my＋3＝0與圓x2＋y2－6x＋5＝0分別滿足：(1)相交；(2)相切；(3)相離．【解析】圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式為(x－3)2＋y2＝4，故圓心(3,0)到直線x－my＋3＝0的距離d＝eq\f(6,\r(m2＋1))，圓的半徑r＝2.(1)若相交，則d<r，即eq\f(6,\r(m2＋1))<2，所以m∈(－∞，－2eq\r(2))∪(2eq\r(2)，＋∞)．(2)若相切，則d＝r，即eq\f(6,\r(m2＋1))＝2，所以m＝±2eq\r(2).(3)若相離，則d>r，即eq\f(6,\r(m2＋1))>2，所以m∈(－2eq\r(2)，2eq\r(2))．變式1：直線與圓相切，則（

）A．3 B． C．或1 D．3或【解析】圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為又直線與圓相切，則，解之得或，故選：D．變式2：“直線++=0與圓相切”是“=1”的（

）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解析】依題意，，即圓心是（1,0），半徑為，如果直線x+y+m=0是此圓的切線，則圓心到直線的距離為，即或-3，所以“直線x+y+m=0與圓相切”不是m=1的充分條件；如果m=1，則直線為x+y+1=0，圓心（1,0）到直線的距離為，即相切，是必要條件；故選：A.變式3：已知直線與圓相交，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（

）A． B．C． D．【解析】由題意，圓心到直線的距離，即，解得故選：D變式4：已知對任意的實(shí)數(shù)k，直線l：與圓C：有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為（

）A． B．C． D．【解析】由直線可化為，則直線l過定點(diǎn)，因?yàn)橹本€l：與圓C：有公共點(diǎn)，所以定點(diǎn)在圓C上或圓C內(nèi)，可得，解得，故選：B【例1-3】已知圓上僅存在一個點(diǎn)到直線的距離為1，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A．-2 B． C．-1 D．0【解析】由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則圓心為，半徑為且，又到的距離，所以要使圓上僅有一點(diǎn)到直線距離為1，只需且，則.故選：D變式1：若圓上到直線的距離等于的點(diǎn)恰有3個，則實(shí)數(shù)a的值為___________.【解析】圓，即，所以圓C的圓心坐標(biāo)為，半徑，因?yàn)閳A上到直線距離等于的點(diǎn)恰有3個，設(shè)圓心到直線的距離為，則，即，解得或，故答案為：或.【例1-4】若直線始終平分圓的周長，則的最小值為（

）A． B． C． D．【解析】圓的圓心為，由題意可知，直線過圓心，則，因?yàn)椋瑒t且，因此，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故的最小值為.故選：A.（三）由直線與圓的位置關(guān)系求距離最值【例1-5】圓上的點(diǎn)到直線的最大距離與最小距離的差是（

）A．36 B．18 C． D．【解析】因?yàn)閳A，即，所以圓心坐標(biāo)為，半徑，因?yàn)閳A心到直線的距離，所以直線與圓相離，所以圓上的點(diǎn)到直線的最大距離與最小距離的差為，故選：D.變式1：已知點(diǎn)是直線上的點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的點(diǎn)，則的最小值是___________.【解析】圓的圓心為，半徑為1，則圓心到直線的距離為，所以的最小值為，故答案為：變式2：已知，是圓上的兩個動點(diǎn)，且，則，兩點(diǎn)到直線的距離之和的取值范圍是（

）A． B． C． D．【解析】因?yàn)椋詾橹苯侨切?，為斜邊，設(shè)線段的中點(diǎn)為，則，從而在圓上，設(shè)，兩點(diǎn)到直線的距離之和為，到直線的距離為，由題意得，圓的圓心到直線的距離為，所以，即，所以．故選：D．考點(diǎn)二切線問題解題方略：1．過圓上一點(diǎn)(x0，y0)的圓的切線方程的求法先求切點(diǎn)與圓心連線的斜率k，再由垂直關(guān)系得切線的斜率為－eq\f(1,k)，由點(diǎn)斜式可得切線方程．如果斜率為零或不存在，則由圖形可直接得切線方程y＝y(tǒng)0或x＝x0.2．過圓外一點(diǎn)(x0，y0)的切線方程的求法設(shè)切線方程為y－y0＝k(x－x0)，由圓心到直線的距離等于半徑建立方程，可求得k，也就得切線方程．當(dāng)用此法只求出一個方程時，另一個方程應(yīng)為x＝x0，因?yàn)樵谏厦娼夥ㄖ胁话ㄐ甭什淮嬖诘那闆r，而過圓外一點(diǎn)的切線有兩條．一般不用聯(lián)立方程組的方法求解．3．求切線長(最值)的兩種方法(1)(代數(shù)法)直接利用勾股定理求出切線長，把切線長中的變量統(tǒng)一成一個，轉(zhuǎn)化成函數(shù)求最值；(2)(幾何法)把切線長最值問題轉(zhuǎn)化成圓心到直線的距離問題．（一）求圓的切線方程【例2-1】若點(diǎn)P(1,2)在以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的圓上，則該圓在點(diǎn)P處的切線方程為________．【解析】設(shè)切線斜率為k，則由已知得：k·kOP＝－1.∴k＝－eq\f(1,2).∴切線方程為x＋2y－5＝0.變式1：過點(diǎn)作圓的切線，則切線方程為（

）A． B． C． D．或【解析】由圓心為，半徑為，斜率存在時，設(shè)切線為，則，可得，所以，即，斜率不存在時，顯然不與圓相切；綜上，切線方程為.故選：C【例2-2】過點(diǎn)A(－1,4)作圓(x－2)2＋(y－3)2＝1的切線l，求切線l的方程為________．【解析】∵(－1－2)2＋(4－3)2＝10＞1，∴點(diǎn)A在圓外．當(dāng)直線l的斜率不存在時，l的方程是x＝－1，不滿足題意．設(shè)直線l的斜率為k，則切線l的方程為y－4＝k(x＋1)，即kx－y＋4＋k＝0.圓心(2,3)到切線l的距離為eq\f(|2k－3＋4＋k|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝0或k＝－eq\f(3,4)，因此，所求直線l的方程y＝4或3x＋4y－13＝0.【例2-3】以點(diǎn)(2，－1)為圓心，且與直線3x－4y＋5＝0相切的圓的方程為()A．(x－2)2＋(y＋1)2＝3 B．(x＋2)2＋(y－1)2＝3C．(x＋2)2＋(y－1)2＝9 D．(x－2)2＋(y＋1)2＝9【解析】圓心到直線3x－4y＋5＝0的距離d＝eq\f(|6＋4＋5|,\r(32＋－42))＝3，即圓的半徑為3，所以所求圓的方程為(x－2)2＋(y＋1)2＝9.故選D變式1：已知圓C的圓心是直線x－y＋1＝0與x軸的交點(diǎn)，且圓C與直線x＋y＋3＝0相切，則圓C的方程為____________________．【解析】令y＝0得x＝－1，所以直線x－y＋1＝0與x軸的交點(diǎn)為(－1,0)．因?yàn)橹本€x＋y＋3＝0與圓相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，即r＝eq\f(|－1＋0＋3|,\r(2))＝eq\r(2)，所以圓C的方程為(x＋1)2＋y2＝2.變式2：【多選】與圓C：x2＋y2－4x＋2＝0相切，且在x，y軸上的截距相等的直線方程為()A．x＋y＝0 B．x－y＝0C．x＝0 D．x＋y＝4【解析】圓C的方程可化為(x－2)2＋y2＝2.可分為兩種情況討論：(1)直線在x，y軸上的截距均為0，易知直線斜率必存在，設(shè)直線方程為y＝kx，則eq\f(|2k|,\r(1＋k2))＝eq\r(2)，解得k＝±1；(2)直線在x，y軸上的截距均不為0，則可設(shè)直線方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,a)＝1(a≠0)，即x＋y－a＝0(a≠0)，則eq\f(|2－a|,\r(2))＝eq\r(2)，解得a＝4(a＝0舍去)．故選A、B、D（二）與切線長有關(guān)的問題【例2-4】從圓外一點(diǎn)向圓引切線，則此切線的長為______．【解析】將圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程：，則圓心，半徑1，如圖，設(shè)，，切線長．故答案為：2變式1：過原點(diǎn)O作圓x2＋y2－6x－8y＋20＝0的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)分別為P，Q，則線段PQ的長為________．【解析】圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－3)2＋(y－4)2＝5，示意圖如圖所示．則圓心為O′(3,4)，r＝eq\r(5).切線長|OP|＝eq\r(|OO′|2－|O′P|2)＝2eq\r(5).∴|PQ|＝2·eq\f(|OP|·|O′P|,|OO′|)＝2×eq\f(2\r(5)×\r(5),5)＝4.變式2：由直線y＝x＋1上的一點(diǎn)向圓(x－3)2＋y2＝1引切線，則切線長的最小值為()A．1 B．2eq\r(2)C.eq\r(7) D．3【解析】因?yàn)榍芯€長的最小值是當(dāng)直線y＝x＋1上的點(diǎn)與圓心距離最小時取得，圓心(3,0)到直線y＝x＋1的距離為d＝eq\f(|3－0＋1|,\r(2))＝2eq\r(2)，圓的半徑為1，所以切線長的最小值為eq\r(d2－r2)＝eq\r(8－1)＝eq\r(7)，故選C.變式3：已知圓：，為直線：上任一點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線為切點(diǎn))，則最小值是____．【解析】圓：，圓心，半徑，設(shè)圓心到直線：的距離為，故當(dāng)圓心到直線上點(diǎn)的距離最小時，即圓心到直線的距離，此時最小，因?yàn)?，所以，故最小值是．故答案為?變式4：點(diǎn)P是直線2x＋y＋10＝0上的動點(diǎn)，PA，PB與圓x2＋y2＝4分別相切于A，B兩點(diǎn)，則四邊形PAOB面積的最小值為________．【解析】如圖所示，因?yàn)镾四邊形PAOB＝2S△POA.又OA⊥AP，所以S四邊形PAOB＝2×eq\f(1,2)|OA|·|PA|＝2eq\r(|OP|2－|OA|2)＝2eq\r(|OP|2－4).為使四邊形PAOB面積最小，當(dāng)且僅當(dāng)|OP|達(dá)到最小，即為點(diǎn)O到直線2x＋y＋10＝0的距離：|OP|min＝eq\f(10,\r(22＋12))＝2eq\r(5).故所求最小值為2eq\r(2\r(5)2－4)＝8.答案：8變式5：已知圓，點(diǎn)M為直線上一個動點(diǎn)，過點(diǎn)M作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則四邊形周長的最小值為（

）A．8 B． C． D．【解析】圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，因?yàn)檫^點(diǎn)M作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，所以有，，因此有，要想四邊形周長最小，只需最小，即當(dāng)時，此時，此時，即最小值為，故選：A變式6：已知圓：，點(diǎn)是直線上的動點(diǎn)，過作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【解析】圓：化為標(biāo)準(zhǔn)方程：，其圓心,半徑.過點(diǎn)P引圓C的兩條切線,切點(diǎn)分別為點(diǎn)A、B,如圖：在△PAC中,有，即，變形可得：.設(shè)，則.所以當(dāng)?shù)闹导磝最小時，的值最大，此時最小.而的最小值為點(diǎn)C到直線的距離，即，所以.故選：B考點(diǎn)三弦長問題解題方略：求弦長的兩種方法(1)由半徑長r、弦心距d、弦長l的一半構(gòu)成直角三角形，所以利用勾股定理d2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,2)))2＝r2求解，這是常用解法．(2)聯(lián)立直線與圓的方程，消元得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到兩交點(diǎn)橫坐標(biāo)(或縱坐標(biāo))之間的關(guān)系，代入兩點(diǎn)間距離公式求解．此解法很煩瑣，一般不用．【例3-1】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線x＋2y－3＝0被圓(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦長為________．【解析】因?yàn)閳A心(2，－1)到直線x＋2y－3＝0的距離d＝eq\f(|2－2－3|,\r(5))＝eq\f(3,\r(5))，所以直線x＋2y－3＝0被圓截得的弦長為2eq\r(4－\f(9,5))＝eq\f(2\r(55),5).變式1：圓x2＋y2－4x＋4y＋6＝0截直線x－y－5＝0所得的弦長等于()A.eq\r(6) B.eq\f(\r(6),2)C．1 D．5【解析】圓的方程可化為(x－2)2＋(y＋2)2＝2，則圓的半徑r＝eq\r(2)，圓心到直線的距離d＝eq\f(|2＋2－5|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，所以直線被圓截得的弦長為2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(2－\f(1,2))＝eq\r(6).故選A變式2：若直線與圓的一個交點(diǎn)在x軸上，則l被C截得的弦長為______．【解析】由題意得，直線與軸的交點(diǎn)為，則點(diǎn)在圓上，即，解得，則，圓心到的距離為，則l被C截得的弦長為.變式3：若直線x－y＝2被圓(x－a)2＋y2＝4所截得的弦長為2eq\r(2)，則實(shí)數(shù)a的值為()A．0或4 B．0或3C．－2或6 D．－1或eq\r(3)【解析】由圓的方程，可知圓心坐標(biāo)為(a,0)，半徑r＝2.又直線被圓截得的弦長為2eq\r(2)，所以圓心到直線的距離d＝eq\r(22－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(2),2)))2)＝eq\r(2).又d＝eq\f(|a－2|,\r(2))，所以|a－2|＝2，解得a＝4或a＝0.故選A.變式4：一圓與y軸相切，圓心在直線x－3y＝0上，且直線y＝x截圓所得弦長為2eq\r(7)，求此圓的方程．【解析】因?yàn)閳A與y軸相切，且圓心在直線x－3y＝0上，故設(shè)圓的方程為(x－3b)2＋(y－b)2＝9b2.又因?yàn)橹本€y＝x截圓得弦長為2eq\r(7)，則有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|3b－b|,\r(2))))2＋(eq\r(7))2＝9b2，解得b＝±1，故所求圓的方程為(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.變式5：如果一條直線經(jīng)過點(diǎn)Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，－\f(3,2)))且被圓x2＋y2＝25所截得的弦長為8，求這條直線的方程．【解析】圓x2＋y2＝25的半徑長r為5，直線被圓所截得的弦長l＝8，于是弦心距d＝eq\r(r2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,2)))2)＝eq\r(52－42)＝3.因?yàn)閳A心O(0,0)到直線x＝－3的距離恰為3，所以直線x＝－3是符合題意的一條直線．設(shè)直線y＋eq\f(3,2)＝k(x＋3)也符合題意，即圓心到直線kx－y＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3k－\f(3,2)))＝0的距離等于3，于是eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(3k－\f(3,2))),\r(k2＋1))＝3，解得k＝－eq\f(3,4).故直線的方程為3x＋4y＋15＝0.綜上可知，滿足題意的直線有兩條，對應(yīng)的方程分別為x＝－3或3x＋4y＋15＝0.變式6：已知直線與圓相交于，兩點(diǎn)，試求弦的長及弦的垂直平分線方程．【解析】圓的方程化為：，其圓心為，半徑為．因圓心到直線的距離，故由勾股定理及垂徑定理，得．由于弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，其法向量為，故其方程為，即弦的垂直平分線的方程為：．變式7：直線l與圓x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a＜3)相交于A，B兩點(diǎn)，若弦AB的中點(diǎn)為C(－2,3)，則直線l的方程為()A．x－y＋5＝0 B．x＋y－1＝0C．x－y－5＝0 D．x＋y－3＝0【解析】由圓的一般方程可得圓心為M(－1,2)．由圓的性質(zhì)易知M(－1,2)與C(－2,3)的連線與弦AB垂直，故有kAB×kMC＝－1?kAB＝1，故直線AB的方程為y－3＝x＋2，整理得x－y＋5＝0.【例3-2】過點(diǎn)（-2，1）的直線中，被圓x2+y2-2x+4y=0截得的弦最長的直線的方程是（

）A．x+y+1=0 B．x+y-1=0 C．x-y+1=0 D．x-y-1=0【解析】由題意得，圓的方程為，∴圓心坐標(biāo)為．∵直線被圓截得的弦長最大，∴直線過圓心，又直線過點(diǎn)（-2，1），所以所求直線的方程為，即．故選：A．變式1：過點(diǎn)(3,1)作圓(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的長為________．【解析】設(shè)點(diǎn)A(3,1)，易知圓心C(2,2)，半徑r＝2.當(dāng)弦過點(diǎn)A(3,1)且與CA垂直時為最短弦，|CA|＝eq\r(2－32＋2－12)＝eq\r(2).∴半弦長＝eq\r(r2－|CA|2)＝eq\r(4－2)＝eq\r(2).∴最短弦的長為2eq\r(2).答案：2eq\r(2)變式2：直線x＋7y－5＝0截圓x2＋y2＝1所得的兩段弧長之差的絕對值是()A.eq\f(π,4) B.eq\f(π,2)C．π D.eq\f(3π,2)【解析】圓心到直線的距離d＝eq\f(|0＋0－5|,\r(1＋49))＝eq\f(\r(2),2).又圓的半徑r＝1，∴直線x＋7y－5＝0被圓x2＋y2＝1截得的弦長為eq\r(2)，∴直線截圓所得的劣弧所對的圓心角為90°，∴劣弧是整個圓周的eq\f(1,4)，∴直線截圓所得的兩段弧長之差的絕對值為整個圓周長的一半，即eq\f(1,2)×2πr＝π.故選C考點(diǎn)四直線與圓方程的應(yīng)用解題方略：坐標(biāo)方法解決平面幾何問題的“三步曲”【例4-1】某圓拱橋的水面跨度20m，拱高4m．現(xiàn)有一船，寬10m，水面以上高3m，這條船能否從橋下通過？【解析】建立如圖所示的坐標(biāo)系，使圓心C在y軸上.依題意，有A(－10，0)，B(10,0)，P(0,4)，D(－5，0)，E(5,0)．設(shè)這座圓拱橋的拱圓的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，于是有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋102＋b2＝r2，,a－102＋b2＝r2，,a2＋b－42＝r2.))解此方程組，得a＝0，b＝－10.5，r＝14.5.所以這座圓拱橋的拱圓的方程是x2＋(y＋10.5)2＝14.52(0≤y≤4)．把點(diǎn)D的橫坐標(biāo)x＝－5代入上式，得y≈3.1.由于船在水面以上高3m,3<3.1，所以該船可以從橋下通過．變式1：蘇州有很多圓拱的懸索拱橋（如寒山橋），經(jīng)測得某圓拱索橋（如圖）的跨度米，拱高米，在建造圓拱橋時每隔米需用一根支柱支撐，則與相距米的支柱的高度是（

）米.（注意：≈）A．6.48 B．5.48 C．4.48 D．3.48【解析】以O(shè)為原點(diǎn),以AB所在直線為x軸,以O(shè)P所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)圓心坐標(biāo)為（0，a），則P(0,10),A(-50,0).可設(shè)圓拱所在圓的方程為,由題意可得：解得：.所以所求圓的方程為.將x=-30代入圓方程,得:,因?yàn)閥>0,所以.故選：A.【例4-2】為了適應(yīng)市場需要，某地準(zhǔn)備建一個圓形生豬儲備基地(如圖)，它的附近有一條公路，從基地中心O處向東走1km是儲備基地的邊界上的點(diǎn)A，接著向東再走7km到達(dá)公路上的點(diǎn)B；從基地中心O向正北走8km到達(dá)公路的另一點(diǎn)C.現(xiàn)準(zhǔn)備在儲備基地的邊界上選一點(diǎn)D，修建一條由D通往公路BC的專用線DE，求DE的最短距離．【解析】以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB，OC的直線分別為x軸和y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則圓O的方程為x2＋y2＝1，因?yàn)辄c(diǎn)B(8,0)，C(0,8)，所以直線BC的方程為eq\f(x,8)＋eq\f(y,8)＝1，即x＋y＝8.當(dāng)點(diǎn)D選在與直線BC平行的直線(距BC較近的一條)與圓相切所成切點(diǎn)處時，DE為最短距離．此時DE的最小值為eq\f(|0＋0－8|,\r(2))－1＝(4eq\r(2)－1)km.變式1：某考點(diǎn)配備的信號檢測設(shè)備的監(jiān)測范圍是半徑為100米的圓形區(qū)域，一名工作人員持手機(jī)以每分鐘50米的速度從設(shè)備正東方向米的處出發(fā)，沿處西北方向走向位于設(shè)備正北方向的處，則這名工作人員被持續(xù)監(jiān)測的時長為（

）A．1分鐘 B．分鐘C．2分鐘 D．分鐘【解析】以設(shè)備的位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，其正東方向?yàn)檩S正方向，正北方向?yàn)檩S正方向建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，可得，圓．記從處開始被監(jiān)測，到處監(jiān)測結(jié)束，因?yàn)榈降木嚯x為米，所以米，故監(jiān)測時長為分鐘．故選：C.變式2：如圖，已知一艘海監(jiān)船O上配有雷達(dá)，其監(jiān)測范圍是半徑為的圓形區(qū)域，一艘外籍輪船從位于海監(jiān)船正東的A處出發(fā)，徑直駛向位于海監(jiān)船正北的B處島嶼，速度是，問：這艘外籍輪船能否被海監(jiān)船監(jiān)測到？若能，持續(xù)時間為多長？【解析】如圖，以為原點(diǎn)，東西方向?yàn)檩S建立直角坐標(biāo)系,則，，圓方程，直線方程：，即，設(shè)到距離為，則，所以外籍輪船能被海監(jiān)船檢測到，設(shè)監(jiān)測時間為，則（小時），答：外籍輪船能被海監(jiān)船檢測到，時間是0.5小時題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．當(dāng)圓截直線所得的弦最長時，則m的值為（

）A． B．-1 C．1 D．【解析】要使直線與圓所得弦最長，則直線必過圓心，所以，可得.故選：C2．圓x2＋y2－2x＋4y＝0與直線2x+y+1＝0的位置關(guān)系為（）A．相離 B．相切 C．相交 D．以上都有可能【解析】圓x2＋y2－2x＋4y＝0的圓心坐標(biāo)為，半徑圓心到直線2x+y+1＝0的距離由，可得圓與直線的位置關(guān)系為相交.故選：C3．直線與圓相切，則實(shí)數(shù)m等于（

）A．2 B． C．或 D．【解析】因?yàn)橹本€與圓相切，故，即，故故選：D4．已知點(diǎn)是圓內(nèi)一點(diǎn)，直線l是以M為中點(diǎn)的弦所在的直線，直線m的方程為，那么（

）A．且m與圓C相切 B．且m與圓C相切C．且m與圓C相離 D．且m與圓C相離【解析】由點(diǎn)是圓內(nèi)一點(diǎn)得．所以圓心到直線的距離為．故直線m與圓C相離．另一方面，直線的斜率為，而直線l以M為中點(diǎn)，故直線．又直線m的斜率也是2，所以，所以.故選：C．5．不論k為何值，直線都與圓相交，則該圓的方程可以是（）A． B．C． D．【解析】，

，∴直線恒過點(diǎn)P（—4，1），對于A，圓心為（2，-1），半徑為5，P到圓心的距離為：

，即P點(diǎn)不在該圓內(nèi)；對于B，圓心為（-1，-2），半徑為5，P到圓心的距離為，故點(diǎn)P在該圓內(nèi)；對于C，圓心為（3，-4），半徑為5，P點(diǎn)到圓心的距離為，故點(diǎn)P不在該圓內(nèi)；對于D，圓心為（-1，-3），半徑為5，點(diǎn)P到圓心的距離為，點(diǎn)P該在圓上，可能相切也可能相交；故選：B.6．如圖，斜率為的直線與x軸交于點(diǎn)D，與y軸交于點(diǎn)A，與圓相切于點(diǎn)B，則_______.【解析】由題意知，，，則，則，，則，，則.故答案為：.7．過點(diǎn)（7，-2）且與直線相切的半徑最小的圓方程是（

）A． B．C． D．【解析】過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，則以為直徑的圓為直線相切的半徑最小的圓，其中，設(shè)，則，解得：，故的中點(diǎn)，即圓心為，即，故該圓為故選：B8．已知直線與x軸和y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，動點(diǎn)P在以點(diǎn)A為圓心，2為半徑的圓上，當(dāng)最大時，△APB的面積為（

）A． B．1 C．2 D．【解析】由已知，圓A的方程為，當(dāng)最大時，此時直線PB是圓的切線，即直線PB的方程為：或，當(dāng)直線PA的方程為時，△APB的面積為，當(dāng)直線PA的方程為時，△APB的面積為，故選：C．9．直線與圓的位置關(guān)系是（

）A．相切 B．相離 C．相交 D．不確定【解析】因?yàn)?，所以圓心到直線的距離，所以直線與圓相離.故選：B.10．已知直線與圓有兩個不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【解析】因?yàn)橹本€與圓有兩個不同的交點(diǎn)，所以圓心到直線的距離，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選：B.11．設(shè)點(diǎn)，若直線關(guān)于對稱的直線與圓有公共點(diǎn)，則a的取值范圍是________．【解析】關(guān)于對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，在直線上，所以所在直線即為直線，所以直線為，即；圓，圓心，半徑，依題意圓心到直線的距離，即，解得，即；故答案為：12．若圓上至少有三個不同點(diǎn)到直線的距離為，則的取值范圍__．【解析】由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，可得圓心坐標(biāo)為，半徑為，圓上至少有三個不同的點(diǎn)到直線的距離為，則圓心到直線的距離應(yīng)不大于等于，即，整理得，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.13．直線分別與x軸，y軸交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在圓，則面積的取值范圍是（

）A． B．C． D．【解析】因?yàn)?，所?圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，圓心，圓心到直線的距離為，所以，點(diǎn)到直線的距離的取值范圍為：，所以.故選:C.14．如圖，P為圓O：x2+y2＝4外一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓O的切線PA，PB，切點(diǎn)分別為A，B，∠APB＝120°，直線OP與AB相交于點(diǎn)Q，點(diǎn)M（3，），則|MQ|的最小值為（

）A． B．2 C． D．【解析】過點(diǎn)P作圓O的切線PA，PB，切點(diǎn)分別為A，B，∠APB＝120°，由圓與切線的平面幾何性質(zhì)知，∠APO＝60°，又|OA|＝2，則可得|OP|＝在直角中，，由得，∴Q點(diǎn)的軌跡是以O(shè)為圓心，為半徑的圓，方程為x2+y2＝3；|MQ|的最小值即為|OM|﹣r＝﹣＝．故選：A．15．已知圓圓心為原點(diǎn)，且與直線相切，直線l過點(diǎn)．(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線l被圓所截得的弦長為，求直線l的方程．【解析】(1)設(shè)圓的半徑為，則，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；(2)設(shè)圓心到直線到的距離為，則，解得；當(dāng)直線l斜率不存在時，易得，此時圓心到的距離，符合題意；當(dāng)直線l斜率存在時，設(shè)，即，則，解得，即，故直線l的方程為或.16．已知圓.(1)過點(diǎn)作圓C的切線l，求切線l的方程；(2)設(shè)過點(diǎn)的直線m與圓C交于AB兩點(diǎn)，若點(diǎn)A、B分圓周得兩段弧長之比為1：2，求直線m得方程.【解析】(1)由可得，即圓心為，半徑，顯然當(dāng)直線斜率不存在時，是圓的切線，當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線為，即，由圓心到直線的距離，解得，故切線為或.(2)因?yàn)辄c(diǎn)A、B分圓周得兩段弧長之比為1：2，故,所以，故圓心到直線的距離，直線斜率不存在時，由知，不符合題意，當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線方程為，則圓心到直線的距離，解得，故直線方程為或.17．已知直線方程mx－y－m－1＝0，圓的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.當(dāng)m為何值時，圓與直線：(1)有兩個公共點(diǎn)；(2)只有一個公共點(diǎn)；(3)沒有公共點(diǎn)．【解析】法一：將直線mx－y－m－1＝0代入圓的方程化簡整理得，(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0.則Δ＝4m(3m＋4)．(1)當(dāng)Δ>0，即m>0或m<－eq\f(4,3)時，直線與圓相交，即直線與圓有兩個公共點(diǎn)；(2)當(dāng)Δ＝0，即m＝0或m＝－eq\f(4,3)時，直線與圓相切，即直線與圓只有一個公共點(diǎn)；(3)當(dāng)Δ<0，即－eq\f(4,3)<m<0時，直線與圓相離，即直線與圓沒有公共點(diǎn)．法二：已知圓的方程可化為(x－2)2＋(y－1)2＝4，即圓心為C(2,1)，半徑r＝2.圓心C(2,1)到直線mx－y－m－1＝0的距離d＝eq\f(|2m－1－m－1|,\r(1＋m2))＝eq\f(|m－2|,\r(1＋m2)).(1)當(dāng)d<2，即m>0或m<－eq\f(4,3)時，直線與圓相交，即直線與圓有兩個公共點(diǎn)；(2)當(dāng)d＝2，即m＝0或m＝－eq\f(4,3)時，直線與圓相切，即直線與圓只有一個公共點(diǎn)；(3)當(dāng)d>2，即－eq\f(4,3)<m<0時，直線與圓相離，即直線與圓沒有公共點(diǎn)．18．求過直線和圓的交點(diǎn)，并且面積最小的圓的方程．【解析】由已知條件，所求圓一定是以直線被圓截得的弦為直徑的圓，由方程組，解得直徑的兩端點(diǎn)分別為，，線段的中點(diǎn)為即所求圓的圓心，，則，所求圓的方程為.題組B能力提升練19．一輛卡車寬1.6米，要經(jīng)過一個半徑為3.6米的半圓形隧道，則這輛卡車的平頂車蓬蓬頂距地面的高度不得超過()A．1.4米 B．3.5米C．3.6米 D．2米【解析】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．如圖設(shè)蓬頂距地面高度為h，則A(0.8，h－3.6)所在圓的方程為：x2＋(y＋3.6)2＝3.62，把A(0.8，h－3.6)代入得0.82＋h2＝3.62.∴h＝4eq\r(0.77)≈3.5(米)．故選B20．已知圓，圓，若圓M上存在點(diǎn)P，過點(diǎn)P作圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【解析】由題可知圓O的半徑為，圓M上存在點(diǎn)P，過點(diǎn)P作圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，使得，則，在中，，所以點(diǎn)在圓上，由于點(diǎn)P也在圓M上，故兩圓有公共點(diǎn).又圓M的半徑等于1，圓心坐標(biāo)，，∴，∴.故選：D.21．圓與直線的位置關(guān)系為（

）A．相切 B．相離 C．相交 D．無法確定【解析】直線可化為，所以恒過定點(diǎn).把代入，有：，所以在圓內(nèi)，所以圓與直線的位置關(guān)系為相交.故選：C22．若“直線與圓相交”，“”，則是的（

）A．必要而不充分條件 B．充分而不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解析】直線與圓相交，可得1，解得，且，∴“直線與圓相交”是“”的充分而不必要條件.故選：B.23．若方程有兩個不等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)b的取值范圍為（

）A． B． C． D．【解析】由得，所以直線與半圓有個公共點(diǎn)，作出直線與半圓的圖形，如圖：當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時，，當(dāng)直線與圓相切時，，解得或（舍），由圖可知，當(dāng)直線與曲線有個公共點(diǎn)時，，故選：B.24．已知直線與圓相交于兩點(diǎn)，當(dāng)變化時，△的面積的最大值為（

）A． B． C． D．【解析】因?yàn)橹本€直線恒過點(diǎn)在圓內(nèi)，所以直線與圓相交，圓的圓心，所以△的面積的最大值為：.故選：C.25．已知圓C:與直線l:，若直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，且∠AOB=90°（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則b=____，|AB|=____.【解析】，得，聯(lián)立得有∠AOB=90°，故代入解得圓心到直線的距離，故答案為：，426．在平面直角坐標(biāo)系中，光線過點(diǎn)，經(jīng)軸反射后與圓：有交點(diǎn)(1)當(dāng)反射后光線經(jīng)過圓心，求光線的方程；(2)當(dāng)反射后光線與圓相切，求光線的方程．【解析】(1)點(diǎn)關(guān)于軸對稱的點(diǎn)為，由光線的折射性質(zhì)，反射光線經(jīng)過圓心，所以，易知，所以，所以光線的方程為.(2)設(shè)經(jīng)過的直線方程為由于折射光線與圓相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，即,化簡得：,解得或,所光線的方程為或.27．已知是圓外一點(diǎn)．(1)過M作圓O的切線l，求切線l的方程；(2)過M任意作一條割線，交圓O于AB兩點(diǎn)，求弦AB的中點(diǎn)C的軌跡方程．【解析】(1)圓的圓心是原點(diǎn)，半徑是2，過且斜率不存在的直線是與圓相切，當(dāng)過的切線斜率存在時，設(shè)切線方程為，即，由，解得，所以切線方程為，即，所以切線方程為和；(2)是中點(diǎn)，則，即，所以點(diǎn)在以為直徑的圓上，中點(diǎn)坐標(biāo)為，，所以以為直徑的圓方程為，即，所以點(diǎn)軌跡方程為（在圓內(nèi)部）．題組C培優(yōu)拔尖練28．已知圓，點(diǎn)M為直線上一個動點(diǎn)，過點(diǎn)M作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則當(dāng)四邊形周長取最小值時，四邊形的外接圓方程為（

）A． B．C． D．【解析】圓的圓心，半徑，點(diǎn)C到直線l的距離，依題意，，四邊形周長，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，此時直線，由得點(diǎn)，四邊形的外接圓圓心為線段中點(diǎn)，半徑，方程為.故選：D29．已知，過點(diǎn)作圓（為參數(shù)，且）的兩條切線分別切圓于點(diǎn)、，則的最大值為（

）A． B． C． D．【解析】圓心，半徑為，圓心在直線上運(yùn)動，設(shè)，則，由圓的幾何性質(zhì)可知，所以，，當(dāng)直線與直線垂直時，取最小值，則取最小值，且，則，則，由雙勾函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在上為增函數(shù)，且，故函數(shù)在上為減函數(shù)，故當(dāng)時，取得最大值.故選：C.30．已知：，直線：，為直線上的動點(diǎn)，過點(diǎn)作的切線，，切點(diǎn)為，，當(dāng)四邊形的面積取最小值時，直線AB的方程為____．【解析】：的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則圓心，半徑．因?yàn)樗倪呅蔚拿娣e，要使四邊形面積最小，則需最小，此時與直線垂直，直線的方程為，即，聯(lián)立，解得．則,則以為直徑的圓的方程為，與的方程作差可得直線的方程為．故答案為：.31．已知圓，點(diǎn)P是直線