初中數(shù)學(xué)函數(shù)專題講義及典型例題解析同學(xué)們，在初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)旅程中，我們已經(jīng)接觸了各種代數(shù)運算和幾何圖形。今天，我們要邁入一個新的領(lǐng)域——函數(shù)。函數(shù)不僅是初中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，更是連接代數(shù)與幾何、架起數(shù)學(xué)與現(xiàn)實世界橋梁的重要工具。掌握好函數(shù)，能讓我們從變化的角度更深刻地理解數(shù)學(xué)的魅力。一、函數(shù)的基本概念1.1變量與常量在一個變化過程中，我們常常會遇到各種量。有些量的數(shù)值是固定不變的，我們稱之為常量；而有些量的數(shù)值是可以變化的，我們稱之為變量。例如：汽車在勻速行駛過程中，行駛的速度是常量，行駛的時間和路程都是變量。1.2函數(shù)的定義在一個變化過程中，如果有兩個變量x與y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應(yīng)，那么我們就說x是自變量，y是x的函數(shù)。這個定義的核心在于“每一個確定的x值，y有唯一確定的值對應(yīng)”。這意味著，給定一個x，不能有兩個或更多的y與之對應(yīng)。我們可以把函數(shù)想象成一個“機器”，輸入一個x（自變量的值），經(jīng)過這個“機器”的處理，就會輸出一個唯一的y（函數(shù)值）。1.3函數(shù)的三要素一個完整的函數(shù)描述，通常包含三個要素：*自變量（x）：在變化過程中主動變化的量。*函數(shù)（y）：隨著自變量的變化而變化的量，它的值由自變量的值唯一確定。*對應(yīng)關(guān)系：描述自變量x如何通過運算或規(guī)則得到函數(shù)y的過程，通常用數(shù)學(xué)式子（解析式）、表格或圖象來表示。此外，自變量的取值范圍（即定義域）和函數(shù)值的取值范圍（即值域）也是函數(shù)研究中非常重要的方面。在初中階段，我們主要關(guān)注定義域的合理性，例如，分母不能為零，開平方時被開方數(shù)為非負數(shù)等。1.4函數(shù)值對于一個函數(shù)y=f(x)，當(dāng)自變量x取某一個具體的值a時，相應(yīng)的y的值稱為當(dāng)x=a時的函數(shù)值，記作f(a)或y|???。例如，對于函數(shù)y=2x+1，當(dāng)x=3時，函數(shù)值y=2×3+1=7，可記作f(3)=7。二、函數(shù)的表示方法函數(shù)的表示方法主要有三種：解析法、列表法和圖象法。它們各有特點，在不同的問題情境下各有優(yōu)勢。2.1解析法用數(shù)學(xué)式子（等式）來表示兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系，這種表示方法叫做解析法，這個數(shù)學(xué)式子叫做函數(shù)的解析式。優(yōu)點：簡潔明了，便于進行理論分析和精確計算。缺點：不夠直觀，有時不易看出函數(shù)的整體變化趨勢。例如：y=3x-2，C=2πr，y=x2等。2.2列表法通過列出表格來表示兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系，這種表示方法叫做列表法。表格中通常第一行（或列）是自變量的值，第二行（或列）是對應(yīng)的函數(shù)值。優(yōu)點：能直接看出自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，使用方便。缺點：只能列出部分自變量的值，難以反映函數(shù)的全貌和變化規(guī)律。例如：某商店售賣鉛筆，單價1元，購買數(shù)量x與總價y的關(guān)系如下表：購買數(shù)量x（支）1234...:--------------:---::---::---::---::---:總價y（元）1234...2.3圖象法用圖象（通常是平面直角坐標(biāo)系中的曲線或直線）來表示兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系，這種表示方法叫做圖象法。優(yōu)點：直觀形象，能清晰地展示函數(shù)的變化趨勢、增減性、最值等性質(zhì)。缺點：從圖象上讀取的函數(shù)值通常是近似值，不夠精確。例如，我們熟悉的一次函數(shù)的圖象是一條直線，反比例函數(shù)的圖象是雙曲線。三、幾種常見的函數(shù)3.1一次函數(shù)3.1.1一次函數(shù)的定義一般地，形如y=kx+b（k，b是常數(shù)，且k≠0）的函數(shù)，叫做一次函數(shù)。其中，x是自變量，y是因變量。當(dāng)b=0時，一次函數(shù)y=kx+b就變成了y=kx（k是常數(shù)，k≠0），這時我們把它叫做正比例函數(shù)。正比例函數(shù)是一種特殊的一次函數(shù)。3.1.2一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)圖象：一次函數(shù)y=kx+b的圖象是一條直線。因此，畫一次函數(shù)的圖象時，只需確定兩個點，再過這兩個點畫直線即可。通常我們選擇與坐標(biāo)軸的交點：與y軸的交點（0，b）和與x軸的交點（-b/k，0）（當(dāng)k≠0時）。性質(zhì)：*k的符號決定直線的傾斜方向和函數(shù)的增減性：*當(dāng)k>0時，直線從左到右上升，y隨x的增大而增大。*當(dāng)k<0時，直線從左到右下降，y隨x的增大而減小。*b的符號決定直線與y軸交點的位置：*當(dāng)b>0時，直線與y軸交于正半軸。*當(dāng)b=0時，直線經(jīng)過原點（此時為正比例函數(shù)）。*當(dāng)b<0時，直線與y軸交于負半軸。3.1.3確定一次函數(shù)的表達式要確定一個一次函數(shù)y=kx+b的表達式，關(guān)鍵在于求出k和b的值。由于有兩個未知數(shù)，因此需要知道函數(shù)圖象上兩個點的坐標(biāo)，然后列出關(guān)于k、b的二元一次方程組，解方程組即可求出k和b。這種方法叫做待定系數(shù)法。典型例題解析1：一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)例1：已知一次函數(shù)y=(m-1)x+2m+1。(1)若函數(shù)圖象經(jīng)過原點，求m的值。(2)若函數(shù)圖象與y軸交于正半軸，且y隨x的增大而減小，求m的取值范圍。分析與解答：(1)函數(shù)圖象經(jīng)過原點(0,0)，將x=0,y=0代入函數(shù)表達式得：0=(m-1)*0+2m+10=2m+1解得m=-1/2。同時，一次函數(shù)中k=m-1不能為0，即m-1≠0，m≠1。這里m=-1/2滿足條件。(2)函數(shù)圖象與y軸交于正半軸，即當(dāng)x=0時，y=2m+1>0，解得m>-1/2。y隨x的增大而減小，說明k=m-1<0，解得m<1。綜合以上兩個條件，m的取值范圍是-1/2<m<1。典型例題解析2：用待定系數(shù)法求一次函數(shù)表達式例2：已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A(2,3)和點B(-1,-3)，求這個一次函數(shù)的表達式。分析與解答：設(shè)這個一次函數(shù)的表達式為y=kx+b(k≠0)。因為函數(shù)圖象經(jīng)過點A(2,3)和點B(-1,-3)，所以將這兩個點的坐標(biāo)分別代入表達式得：3=2k+b...(1)-3=-k+b...(2)用(1)式減去(2)式消去b：3-(-3)=2k+b-(-k+b)6=3k解得k=2。將k=2代入(2)式：-3=-2+b，解得b=-1。所以，這個一次函數(shù)的表達式為y=2x-1。（檢驗：將A、B兩點代入表達式，均滿足，說明求解正確。）3.2反比例函數(shù)3.2.1反比例函數(shù)的定義一般地，形如y=k/x（k是常數(shù)，k≠0）的函數(shù)，叫做反比例函數(shù)。其中，x是自變量，y是因變量。反比例函數(shù)也可以表示為y=kx?1或xy=k（k是常數(shù)，k≠0）的形式。3.2.2反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)圖象：反比例函數(shù)y=k/x(k≠0)的圖象是由兩條曲線組成的，叫做雙曲線。性質(zhì)：*k的符號決定雙曲線的位置和函數(shù)的增減性：*當(dāng)k>0時，雙曲線的兩支分別位于第一、三象限。在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而減小。*當(dāng)k<0時，雙曲線的兩支分別位于第二、四象限。在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而增大。*雙曲線的對稱性：反比例函數(shù)的圖象既是中心對稱圖形（對稱中心是原點），也是軸對稱圖形（對稱軸是直線y=x和y=-x）。*雙曲線與坐標(biāo)軸的關(guān)系：由于x不能為0，y也不能為0，所以雙曲線的兩支都無限接近坐標(biāo)軸，但永遠不會與坐標(biāo)軸相交。3.2.3確定反比例函數(shù)的表達式反比例函數(shù)y=k/x(k≠0)中，只有一個待定系數(shù)k。因此，只要知道函數(shù)圖象上一個點的坐標(biāo)，將其代入表達式即可求出k的值，從而確定反比例函數(shù)的表達式。典型例題解析3：反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)例3：已知反比例函數(shù)y=k/x(k為常數(shù)，k≠0)的圖象經(jīng)過點P(2,-4)。(1)求這個反比例函數(shù)的表達式。(2)判斷點Q(-1,8)是否在這個函數(shù)的圖象上。(3)若點A(x?,y?)和點B(x?,y?)都在這個函數(shù)的圖象上，且x?<x?<0，比較y?和y?的大小。分析與解答：(1)因為反比例函數(shù)y=k/x的圖象經(jīng)過點P(2,-4)，所以將x=2,y=-4代入得：-4=k/2解得k=-8。所以，這個反比例函數(shù)的表達式為y=-8/x。(2)要判斷點Q(-1,8)是否在圖象上，只需將x=-1代入表達式，看得到的y值是否為8。當(dāng)x=-1時，y=-8/(-1)=8。與點Q的縱坐標(biāo)相等，所以點Q在這個函數(shù)的圖象上。(3)由(1)知k=-8<0，所以此反比例函數(shù)的圖象在第二、四象限，且在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而增大。因為點A(x?,y?)和點B(x?,y?)都滿足x?<x?<0，即它們都位于第二象限。在第二象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，且x?<x?，所以y?<y?。四、函數(shù)的應(yīng)用函數(shù)來源于生活，也應(yīng)用于生活。許多實際問題中的數(shù)量關(guān)系都可以用函數(shù)來描述和解決。4.1利用函數(shù)解決實際問題的一般步驟1.審題：理解題意，明確問題中的已知量、未知量以及它們之間的關(guān)系。2.設(shè)元：選擇一個適當(dāng)?shù)淖兞孔鳛樽宰兞縳，并用x表示出另一個相關(guān)的變量y（即函數(shù)）。3.列函數(shù)關(guān)系式：根據(jù)題目中的等量關(guān)系，列出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并注明自變量x的取值范圍（要符合實際意義）。4.求解：根據(jù)函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合題目要求進行計算或分析，求出所需結(jié)果。5.檢驗與作答：檢驗結(jié)果是否符合題意，然后寫出答案。典型例題解析4：函數(shù)的實際應(yīng)用例4：某商店準(zhǔn)備購進A、B兩種商品。已知購進A商品3件和B商品2件，共需120元；購進A商品5件和B商品4件，共需220元。(1)求A、B兩種商品每件的進價分別是多少元？(2)若該商店準(zhǔn)備用不超過1000元購進這兩種商品，且A商品數(shù)量不少于B商品數(shù)量的2倍，問最多能購進多少件A商品？分析與解答：(1)設(shè)A商品每件的進價為x元，B商品每件的進價為y元。根據(jù)題意，可列出方程組：3x+2y=120...(1)5x+4y=220...(2)(1)式×2得：6x+4y=240...(3)(3)式-(2)式得：x=20。將x=20代入(1)式：3*20+2y=120，解得2y=60，y=30。所以，A商品每件進價20元，B商品每件進價30元。(2)設(shè)購進A商品m件，因為A商品數(shù)量不少于B商品數(shù)量的2倍，設(shè)購進B商品n件，則m≥2n，即n≤m/2。購買A、B兩種商品的總費用不超過1000元，可得：20m+30n≤1000。將n≤m/2代入上式：20m+30*(m/2)≤100020m+15m≤100035m≤1000m≤1000/35≈28.57。因為m為商品數(shù)量，應(yīng)為正整數(shù)，所以m的最大值為28。此時，n≤28/2=14。檢驗總費用：20*28+30*14=560+420=980元≤1000元，符合題意。答：最多能購進28件A商品。（注：本題第二問也可直接設(shè)購進A商品m件，用m表示出B商品的最大可能數(shù)量，再列不等式。核心是建立費用與數(shù)量的函數(shù)關(guān)系或不等關(guān)系。）五、總結(jié)與反思函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，它將變化的思想引入數(shù)學(xué)。我們學(xué)習(xí)了函數(shù)的基本概念、表示方法，重點研究了一次函數(shù)（包括正比例函數(shù)）和反比例函數(shù)的定義、圖象、性質(zhì)及應(yīng)用。*理解是關(guān)鍵：要真正理解“兩個變量”、“唯一確定”這些函數(shù)定義中的核心詞匯。*數(shù)形結(jié)合是法寶：函數(shù)的圖象是直觀理解函數(shù)性質(zhì)的重要工具，要養(yǎng)成畫圖、看圖、用圖的習(xí)慣，體會“數(shù)”與“形