初中數(shù)學(xué)幾何知識(shí)點(diǎn)歸納與應(yīng)用練習(xí)幾何學(xué)是初中數(shù)學(xué)的重要組成部分，它不僅鍛煉我們的邏輯思維能力，也培養(yǎng)我們的空間想象能力。掌握好幾何知識(shí)，關(guān)鍵在于理解基本概念，熟悉圖形性質(zhì)，并能靈活運(yùn)用定理解決實(shí)際問(wèn)題。本文將對(duì)初中階段核心的幾何知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行梳理，并輔以典型例題解析，希望能為同學(xué)們的幾何學(xué)習(xí)提供有益的幫助。一、基本圖形與位置關(guān)系（一）點(diǎn)、線、角幾何圖形由點(diǎn)、線、面、體構(gòu)成，其中點(diǎn)是最基本的元素。*直線：沒(méi)有端點(diǎn)，可以向兩端無(wú)限延伸，經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線。*射線：有一個(gè)端點(diǎn)，可以向一端無(wú)限延伸。*線段：有兩個(gè)端點(diǎn)，有具體長(zhǎng)度。兩點(diǎn)之間，線段最短。*角：由公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形。角的大小與邊的長(zhǎng)短無(wú)關(guān)，只與兩邊張開(kāi)的程度有關(guān)。*角的度量單位是度。*角的分類：銳角（小于九十度）、直角（等于九十度）、鈍角（大于九十度小于一百八十度）、平角（等于一百八十度）、周角（等于三百六十度）。*余角與補(bǔ)角：如果兩個(gè)角的和是直角，則這兩個(gè)角互為余角；如果兩個(gè)角的和是平角，則這兩個(gè)角互為補(bǔ)角。同角或等角的余角相等，同角或等角的補(bǔ)角相等。（二）相交線與平行線*相交線：兩條直線相交，只有一個(gè)交點(diǎn)。相交線所成的角中，對(duì)頂角相等，鄰補(bǔ)角互補(bǔ)。*垂線：當(dāng)兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，就說(shuō)這兩條直線互相垂直。其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足。過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直。直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短。*平行線：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線。*平行公理：經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行。*平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。*平行線的判定：同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行。二、三角形（一）三角形的基本概念與性質(zhì)*三角形的定義：由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。*三角形的邊：三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊。*三角形的角：三角形的內(nèi)角和等于一百八十度。三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。三角形的一個(gè)外角大于與它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角。*三角形的中線、角平分線、高：*中線：連接三角形一個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊中點(diǎn)的線段，三角形的三條中線交于一點(diǎn)（重心）。*角平分線：三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與這個(gè)角的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間的線段，三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)（內(nèi)心）。*高：從三角形一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段，三角形的三條高所在直線交于一點(diǎn)（垂心）。（二）特殊三角形*等腰三角形：*定義：有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形。相等的兩邊叫做腰，另一邊叫做底邊。*性質(zhì)：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（等邊對(duì)等角）；等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合（三線合一）。*判定：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（等角對(duì)等邊）。*等邊三角形：*定義：三邊都相等的三角形叫做等邊三角形，也叫正三角形。*性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)內(nèi)角都等于六十度。等邊三角形具有等腰三角形的所有性質(zhì)，并且三條中線、三條角平分線、三條高都分別相等。*判定：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；有一個(gè)角是六十度的等腰三角形是等邊三角形。*直角三角形：*定義：有一個(gè)角是直角的三角形叫做直角三角形。*性質(zhì)：直角三角形的兩個(gè)銳角互余；在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于三十度，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半；直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。*勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。如果直角三角形的兩條直角邊分別為a、b，斜邊為c，那么a2+b2=c2。*勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c滿足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形。（三）三角形全等*全等三角形的定義：能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形。*全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等。*全等三角形的判定：*SSS（邊邊邊）：三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。*SAS（邊角邊）：兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。*ASA（角邊角）：兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。*AAS（角角邊）：兩角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。*HL（斜邊、直角邊）：斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等。三、四邊形（一）四邊形的基本概念與性質(zhì)*四邊形的定義：由不在同一直線上的四條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做四邊形。*四邊形的內(nèi)角和：四邊形的內(nèi)角和等于三百六十度。（二）平行四邊形*定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。*性質(zhì)：平行四邊形的對(duì)邊相等；平行四邊形的對(duì)角相等；平行四邊形的對(duì)角線互相平分。*判定：兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形；一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。（三）特殊的平行四邊形*矩形：*定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形。*性質(zhì)：矩形具有平行四邊形的所有性質(zhì)；矩形的四個(gè)角都是直角；矩形的對(duì)角線相等。*判定：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形；對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形。*菱形：*定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。*性質(zhì)：菱形具有平行四邊形的所有性質(zhì)；菱形的四條邊都相等；菱形的對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角。*判定：四邊都相等的四邊形是菱形；對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形。*正方形：*定義：有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形。*性質(zhì)：正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的所有性質(zhì)。*判定：既是矩形又是菱形的四邊形是正方形。（四）梯形*定義：一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊不平行的四邊形叫做梯形。兩腰相等的梯形叫做等腰梯形；有一個(gè)角是直角的梯形叫做直角梯形。*等腰梯形的性質(zhì)：等腰梯形同一底上的兩個(gè)角相等；等腰梯形的兩條對(duì)角線相等。*等腰梯形的判定：同一底上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形。四、圓的初步認(rèn)識(shí)*圓的定義：在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所經(jīng)過(guò)的封閉曲線叫做圓。這個(gè)固定的點(diǎn)O叫做圓心，線段OA叫做半徑。*圓的基本性質(zhì)：*圓上各點(diǎn)到圓心的距離都等于半徑。*同圓或等圓的半徑相等。*圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對(duì)稱軸。圓也是中心對(duì)稱圖形，圓心是它的對(duì)稱中心。*弦與直徑：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦。經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做直徑。直徑是圓中最長(zhǎng)的弦。*弧與半圓：圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱弧。圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣弧。*圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角。在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等。*圓周角：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角。在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半。半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角；九十度的圓周角所對(duì)的弦是直徑。五、應(yīng)用練習(xí)與解析（一）三角形相關(guān)例題1：已知在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是∠ABC的平分線，交AC于點(diǎn)D。求證：AD=BC。分析：由AB=AC，∠A=36°，可求得∠ABC=∠C=72°。BD平分∠ABC，則∠ABD=∠DBC=36°。在△ABD中，∠A=∠ABD=36°，故AD=BD。在△BDC中，∠BDC=180°-∠DBC-∠C=72°，所以∠BDC=∠C，故BD=BC。因此，AD=BC。證明：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠ACB=(180°-36°)/2=72°。∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=36°。在△ABD中，∠A=∠ABD=36°，∴AD=BD（等角對(duì)等邊）。在△BDC中，∠BDC=180°-∠DBC-∠ACB=180°-36°-72°=72°，∴∠BDC=∠ACB，∴BD=BC（等角對(duì)等邊）。∴AD=BC。（二）四邊形相關(guān)例題2：已知平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，E、F是AC上的兩點(diǎn)，并且AE=CF。求證：四邊形BFDE是平行四邊形。分析：要證四邊形BFDE是平行四邊形，已知平行四邊形ABCD的對(duì)角線互相平分，即OA=OC，OB=OD。又AE=CF，可得OE=OF。根據(jù)“對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形”即可得證。證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC，OB=OD（平行四邊形對(duì)角線互相平分）。∵AE=CF，∴OA-AE=OC-CF，即OE=OF?！逴B=OD，OE=OF，∴四邊形BFDE是平行四邊形（對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形）。（三）圓相關(guān)例題3：如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，∠CAB=30°，求∠ABC的度數(shù)。分析：因?yàn)锳B是直徑，根據(jù)“直徑所對(duì)的圓周角是直角”，可知∠ACB=90°。在Rt△ABC中，已知∠CAB=30°，則∠ABC=90°-30°=60°。解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°（直徑所對(duì)的圓周角是直角）。在Rt△ABC中，∠CAB=30°，∴∠ABC=90°-∠CAB=90°-30°=60°。六、總結(jié)與學(xué)習(xí)建議幾何學(xué)習(xí)的關(guān)鍵在于理解和運(yùn)用。首先要吃透基本概念和定理，這是解決一切幾何問(wèn)題的基礎(chǔ)。其次，要學(xué)會(huì)觀察圖形，從復(fù)雜圖形