1.4

課時2充要條件

學習目標1.通過對典型數學命題的梳理，理解充要條件的意義2.理解數學定義與充要條件的關系3.能通過充分性、必要性解決簡單的問題，能對充要條件進行證明.復習回顧條件p與結論q的關系結論p?q，但q?pq?p,但p?qp?q，且q?pp是q的充分不必要條件p是q的必要不充分條件p是q的既不充分也不必要條件

？

命題(1)(4)和它們的逆命題是真命題；命題(2)是真命題，但它的逆命題是假命題；命題(3)是假命題，但它的逆命題是真命題.新課學習

如果“若p，則q”和它的逆命題“若q，則p”均是真命題，即既有

p?q，又有q?p,就記作p?q，此時，p既是q的充分條件，也是q的必要條件，我們說p是q的充分必要條件，簡稱充要條件（necessaryandsufficientcondition）.

上述命題(1)(4)中的p與q互為充要條件.

充分必要條件例題剖析例1下列各題中，哪些p是q的充要條件？（1）p：四邊形是正方形，q：四邊形的對角線互相垂直且平分；（2）p：兩個三角形相似，q：兩個三角形三邊成比例；因為對角線互相垂直且平分的四邊形不一定是正方形(為什么),所以q?p，所以p不是q的充要條件.因為“若p,則q”是相似三角形的性質定理,“若q,則p”是相似三角形的判定定理,所以它們均為真命題,即p?q，所以p是q的充要條件.例題剖析

因為xy＞0時,x＞0,y＞0不一定成立（為什么）,所以p?q,所以p不是q的充要條件.因為“若p，則q”與“若q，則p”均為真命題，即p?q,所以p是q的充要條件.方法提煉判斷充分、必要條件的步驟(1)認清p、q:分清條件與結論(2)找推式：判斷“若p則q”及“若q則p”的真假.(3)下結論：根據推論或定義下結論.

探究：

通過上面的學習，你能給出四邊形是平行四邊形的充要條件嗎？

可以發(fā)現“四邊形的兩組對角分別相等”，“四邊形的兩組對邊分別相等”，“四邊形的一組對邊平行且相等”和“四邊形的對角線互相平分”，既是“四邊形是平行四邊形”的充分條件，又是必要條件，所以它們都是“四邊形是平行四邊形”的充要條件.例題剖析例2已知：⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，求證：d=r是直線l與⊙O相切的充要條件.分析：設p：d=r，q：直線l與⊙O相切.要證p是q的充要條件，只需分別證明充分性（p?q）和必要性（q?p）即可.證明：設p：d=r，q：直線l與⊙O相切.(1)充分性（p?q）：如圖1.4-2，作OP⊥l于點P，則OP=d.若d=r，則點p在⊙O上.在直線l上任取一點Q（異于點P），連接OQ.在RtΔOPQ中，OQ＞OP=r.所以，除點P外直線

l上的點都在⊙O的外部，即直線

l與⊙O僅有一個公共點P.所以直線l與⊙O相切.例題剖析（2）必要性（q?p）：若直線

l與⊙O相切，不妨設切點為P，則OP⊥

l.因此d=OP=r.由（1)(2)可得d=r是直線

l與⊙O相切的充要條件.例2已知：⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，求證：d=r是直線l與⊙O相切的充要條件.方法提煉充要條件的證明思路

一般地，證明“p成立的充要條件為q時”，應證明兩個方面：(1)充分性：把q當作已知條件，結合命題的前提條件，推出p(2)必要性：把p當作已知條件，結合命題的前提條件，推出q例題剖析例3已知p:1≤x≤a(a≥1),q:1≤x≤2.(1)當a為何值時，p是q的充分不必要條件？(2)當a為何值時，p是q的必要不充分條件？(3)當a為何值時，p是q的充要條件？解：（1）因為p是q的充分不必要條件，所以{x|1≤x≤a}?{x|1≤x≤2}.所以當1≤a＜2時，p是q的充分不必要條件例題剖析例3已知p:1≤x≤a(a≥1),q:1≤x≤2.(1)當a為何值時，p是q的充分不必要條件？(2)當a為何值時，p是q的必要不充分條件？(3)當a為何值時，p是q的充要條件？（2）因為p是q的必要不充分條件，所以{x|1≤x≤2}?{x|1≤x≤a}.所以當a＞2時，p是q的必要不充分條件.例題剖析例3已知p:1≤x≤a(a≥1),q:1≤x≤2.(1)當a為何值時，p是q的充分不必要條件？(2)當a為何值時，p是q的必要不充分條件？(3)當a為何值時，p是q的充要條件？（3）因為p是q的充要條件，所以{x|1≤x≤2}={x|1≤x≤a}.所以當a=2時，p是q的充要條件.方法提煉從集合的角度看充分、必要條件

如果把p研究的范圍看成集合A，把q研究的范圍看成集合B，即A={x|p(x)},B={x|q(x)}.關系A?BB?AA=BA?B且B?A圖示結論BAABB(A)ABABp是q的充分不必要條件p是q的必要不充分條件p是q的充要條件p是q的既不充分也不必要條件隨堂小測1、判斷正誤：（1）當p是q的充要條件時，也可以說成q成立當且僅當p成立.()（2）若p?q和q?p有一個成立，則p有可能是q的充要條件.（

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c隨堂小測

隨堂小測課堂總結條件p與結論q的關系與充分必要條件條件p與結論