2025年大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)期末考試題庫：統(tǒng)計(jì)推斷與檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)學(xué)在自然科學(xué)的運(yùn)用試題考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、單項(xiàng)選擇題（本大題共20小題，每小題2分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確選項(xiàng)字母填在題后的括號(hào)內(nèi)。）1.在進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)，如果原假設(shè)為真，但錯(cuò)誤地拒絕了原假設(shè)，這種錯(cuò)誤稱為（）A.第一類錯(cuò)誤B.第二類錯(cuò)誤C.系統(tǒng)誤差D.隨機(jī)誤差2.樣本均值的抽樣分布的均值等于總體均值，這個(gè)性質(zhì)被稱為（）A.無偏性B.有效性C.一致性D.中心極限定理3.當(dāng)樣本量較小時(shí)，用來估計(jì)總體均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差公式為（）A.σ/√nB.σ/√(n-1)C.σ2/√nD.σ2/√(n-1)4.在進(jìn)行t檢驗(yàn)時(shí)，如果樣本量較小，應(yīng)該選擇的分布是（）A.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布B.t分布C.卡方分布D.F分布5.在方差分析中，如果多個(gè)總體的均值相等，那么組間平方和與組內(nèi)平方和之比應(yīng)該接近于（）A.1B.0C.樣本量D.總體方差6.在進(jìn)行回歸分析時(shí)，如果自變量的系數(shù)顯著不為零，那么說明（）A.自變量對(duì)因變量有顯著影響B(tài).自變量與因變量之間存在線性關(guān)系C.自變量是因變量的唯一決定因素D.自變量與因變量之間存在非線性關(guān)系7.在進(jìn)行相關(guān)分析時(shí)，如果相關(guān)系數(shù)為1，那么說明（）A.兩個(gè)變量之間存在正相關(guān)關(guān)系B.兩個(gè)變量之間存在負(fù)相關(guān)關(guān)系C.兩個(gè)變量之間存在線性關(guān)系D.兩個(gè)變量之間不存在任何關(guān)系8.在進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)，如果p值小于顯著性水平，那么應(yīng)該（）A.接受原假設(shè)B.拒絕原假設(shè)C.無法確定D.需要更大的樣本量9.在進(jìn)行方差分析時(shí)，如果多個(gè)總體的均值不等，那么組間平方和與組內(nèi)平方和之比應(yīng)該（）A.接近于1B.遠(yuǎn)離于1C.等于樣本量D.等于總體方差10.在進(jìn)行回歸分析時(shí)，如果自變量的系數(shù)不顯著，那么說明（）A.自變量對(duì)因變量沒有影響B(tài).自變量與因變量之間存在線性關(guān)系C.自變量是因變量的唯一決定因素D.自變量與因變量之間存在非線性關(guān)系11.在進(jìn)行相關(guān)分析時(shí)，如果相關(guān)系數(shù)為0，那么說明（）A.兩個(gè)變量之間存在正相關(guān)關(guān)系B.兩個(gè)變量之間存在負(fù)相關(guān)關(guān)系C.兩個(gè)變量之間不存在任何關(guān)系D.兩個(gè)變量之間存在非線性關(guān)系12.在進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)，如果p值大于顯著性水平，那么應(yīng)該（）A.接受原假設(shè)B.拒絕原假設(shè)C.無法確定D.需要更大的樣本量13.在進(jìn)行方差分析時(shí)，如果多個(gè)總體的均值相等，那么組間平方和與組內(nèi)平方和之比應(yīng)該（）A.接近于1B.遠(yuǎn)離于1C.等于樣本量D.等于總體方差14.在進(jìn)行回歸分析時(shí)，如果自變量的系數(shù)顯著不為零，那么說明（）A.自變量對(duì)因變量有顯著影響B(tài).自變量與因變量之間存在線性關(guān)系C.自變量是因變量的唯一決定因素D.自變量與因變量之間存在非線性關(guān)系15.在進(jìn)行相關(guān)分析時(shí)，如果相關(guān)系數(shù)為1，那么說明（）A.兩個(gè)變量之間存在正相關(guān)關(guān)系B.兩個(gè)變量之間存在負(fù)相關(guān)關(guān)系C.兩個(gè)變量之間存在線性關(guān)系D.兩個(gè)變量之間不存在任何關(guān)系16.在進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)，如果p值小于顯著性水平，那么應(yīng)該（）A.接受原假設(shè)B.拒絕原假設(shè)C.無法確定D.需要更大的樣本量17.在進(jìn)行方差分析時(shí)，如果多個(gè)總體的均值不等，那么組間平方和與組內(nèi)平方和之比應(yīng)該（）A.接近于1B.遠(yuǎn)離于1C.等于樣本量D.等于總體方差18.在進(jìn)行回歸分析時(shí)，如果自變量的系數(shù)不顯著，那么說明（）A.自變量對(duì)因變量沒有影響B(tài).自變量與因變量之間存在線性關(guān)系C.自變量是因變量的唯一決定因素D.自變量與因變量之間存在非線性關(guān)系19.在進(jìn)行相關(guān)分析時(shí)，如果相關(guān)系數(shù)為0，那么說明（）A.兩個(gè)變量之間存在正相關(guān)關(guān)系B.兩個(gè)變量之間存在負(fù)相關(guān)關(guān)系C.兩個(gè)變量之間不存在任何關(guān)系D.兩個(gè)變量之間存在非線性關(guān)系20.在進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)，如果p值大于顯著性水平，那么應(yīng)該（）A.接受原假設(shè)B.拒絕原假設(shè)C.無法確定D.需要更大的樣本量二、多項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題列出的五個(gè)選項(xiàng)中，有兩項(xiàng)或兩項(xiàng)以上是符合題目要求的，請(qǐng)將正確選項(xiàng)字母填在題后的括號(hào)內(nèi)。每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。多選、少選或錯(cuò)選均不得分。）21.在進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)，可能犯的錯(cuò)誤有（）A.第一類錯(cuò)誤B.第二類錯(cuò)誤C.系統(tǒng)誤差D.隨機(jī)誤差E.標(biāo)準(zhǔn)誤差22.樣本均值的抽樣分布具有哪些性質(zhì)？（）A.無偏性B.有效性C.一致性D.中心極限定理E.正態(tài)分布23.在進(jìn)行t檢驗(yàn)時(shí)，可能用到的情況有（）A.樣本量較大B.樣本量較小C.總體標(biāo)準(zhǔn)差未知D.總體標(biāo)準(zhǔn)差已知E.正態(tài)分布24.方差分析的基本原理是（）A.比較多個(gè)總體的均值是否相等B.將總變異分解為組間變異和組內(nèi)變異C.比較組間變異和組內(nèi)變異的大小D.使用F分布進(jìn)行檢驗(yàn)E.使用t分布進(jìn)行檢驗(yàn)25.回歸分析的基本原理是（）A.研究自變量對(duì)因變量的影響B(tài).建立自變量和因變量之間的函數(shù)關(guān)系C.使用最小二乘法進(jìn)行估計(jì)D.使用t檢驗(yàn)進(jìn)行檢驗(yàn)E.使用F檢驗(yàn)進(jìn)行檢驗(yàn)26.相關(guān)分析的基本原理是（）A.研究?jī)蓚€(gè)變量之間的線性關(guān)系B.使用相關(guān)系數(shù)進(jìn)行衡量C.使用t檢驗(yàn)進(jìn)行檢驗(yàn)D.使用F檢驗(yàn)進(jìn)行檢驗(yàn)E.使用最小二乘法進(jìn)行估計(jì)27.在進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)，影響檢驗(yàn)結(jié)果的因素有（）A.樣本量B.顯著性水平C.樣本均值D.總體均值E.標(biāo)準(zhǔn)誤差28.在進(jìn)行方差分析時(shí)，可能用到的情況有（）A.一個(gè)自變量B.兩個(gè)自變量C.多個(gè)自變量D.一個(gè)因變量E.兩個(gè)因變量29.在進(jìn)行回歸分析時(shí)，可能用到的情況有（）A.一個(gè)自變量B.兩個(gè)自變量C.多個(gè)自變量D.一個(gè)因變量E.兩個(gè)因變量30.在進(jìn)行相關(guān)分析時(shí)，可能用到的情況有（）A.一個(gè)自變量B.兩個(gè)自變量C.多個(gè)自變量D.一個(gè)因變量E.兩個(gè)因變量三、簡(jiǎn)答題（本大題共5小題，每小題5分，共25分。請(qǐng)將答案寫在答題紙上。）31.請(qǐng)簡(jiǎn)述假設(shè)檢驗(yàn)的基本步驟。在我們開始假設(shè)檢驗(yàn)的時(shí)候，我總是跟同學(xué)們說，得先把心靜下來，一步一步來。首先，你得有個(gè)明確的假設(shè)，也就是原假設(shè)，通常是說事情沒啥變化，一切正常。然后呢，得選個(gè)顯著性水平，一般咱們用0.05，這就像是定個(gè)門檻，得有多大的證據(jù)才能推翻原假設(shè)。接著，得根據(jù)樣本數(shù)據(jù)算個(gè)統(tǒng)計(jì)量，這玩意兒得能反映數(shù)據(jù)跟原假設(shè)的差距。然后，根據(jù)這個(gè)統(tǒng)計(jì)量和選的顯著性水平，查表或者用軟件算出p值，這p值就是告訴你，如果原假設(shè)是真的，那么看到這么極端或者更極端的數(shù)據(jù)的可能性有多大。最后，就是看p值跟顯著性水平的關(guān)系，如果p值小于顯著性水平，那就說明證據(jù)夠硬，得拒絕原假設(shè)；如果p值大于等于顯著性水平，那證據(jù)就不夠，就接受原假設(shè)，或者說沒理由拒絕它。32.請(qǐng)簡(jiǎn)述中心極限定理的內(nèi)容及其意義。中心極限定理啊，這可是統(tǒng)計(jì)推斷里的一個(gè)大寶貝，每次講到這兒，我都能感覺到同學(xué)們眼睛里閃爍的光芒。它說的是，不管你抽樣的總體是啥分布，只要樣本量夠大，那樣本均值的分布就越來越像正態(tài)分布。而且啊，這個(gè)正態(tài)分布的均值還是等于總體均值，標(biāo)準(zhǔn)誤是總體標(biāo)準(zhǔn)差除以根號(hào)下樣本量。這玩意兒太重要了，為啥呢？因?yàn)檎龖B(tài)分布我們研究得最透，很多統(tǒng)計(jì)方法都是基于正態(tài)分布的。所以，中心極限定理就給了我們一個(gè)強(qiáng)大的工具：不管總體是啥形狀，只要樣本量夠大，我們就可以用正態(tài)分布來近似，大大簡(jiǎn)化了計(jì)算，也使得統(tǒng)計(jì)推斷變得更加可靠。想想看，要是每遇到一個(gè)不同的總體分布，都得用不同的方法，那得多麻煩??！33.請(qǐng)簡(jiǎn)述t檢驗(yàn)與z檢驗(yàn)的區(qū)別，以及在什么情況下使用t檢驗(yàn)。t檢驗(yàn)和z檢驗(yàn)啊，這倆經(jīng)常讓同學(xué)們搞混，我得好好講講。z檢驗(yàn)用的是總體標(biāo)準(zhǔn)差，這通常只有在總體標(biāo)準(zhǔn)差已知的時(shí)候才能用，而且它要求樣本量得比較大，一般說n大于30就差不多了，這時(shí)候樣本均值的分布就能用正態(tài)分布來近似了。z檢驗(yàn)的計(jì)算相對(duì)簡(jiǎn)單，結(jié)果也容易解釋。但是，現(xiàn)實(shí)世界里，咱們哪能經(jīng)常知道總體標(biāo)準(zhǔn)差??？所以，更多的時(shí)候咱們用的是t檢驗(yàn)。t檢驗(yàn)用的是樣本標(biāo)準(zhǔn)差來估計(jì)總體標(biāo)準(zhǔn)差，它不需要知道總體標(biāo)準(zhǔn)差，這個(gè)靈活多了。而且，t檢驗(yàn)適用于樣本量較小的情況，特別是n小于30的時(shí)候，這時(shí)候樣本均值的分布就不太像正態(tài)分布了，用t分布來描述更準(zhǔn)確。所以，總結(jié)一下，如果總體標(biāo)準(zhǔn)差已知且樣本量較大，用z檢驗(yàn)；如果總體標(biāo)準(zhǔn)差未知或者樣本量較小，就用t檢驗(yàn)。t分布的形狀跟正態(tài)分布有點(diǎn)像，但是tails比正態(tài)分布要長(zhǎng)一點(diǎn)，這意味著在tails的地方，t檢驗(yàn)犯第一類錯(cuò)誤的概率比z檢驗(yàn)要小一點(diǎn)，也就是說，t檢驗(yàn)在樣本量小的時(shí)候更保守一些。34.請(qǐng)簡(jiǎn)述方差分析的基本原理。方差分析，簡(jiǎn)稱ANOVA，聽起來是不是有點(diǎn)嚇人？其實(shí)啊，它沒那么復(fù)雜，想想看，我們經(jīng)常想比較不止兩個(gè)組的均值，比如，我們要比較三種不同的教學(xué)方法對(duì)成績(jī)的影響，這時(shí)候用t檢驗(yàn)來兩兩比較就有點(diǎn)繁瑣了，而且容易犯第一類錯(cuò)誤的概率增加。方差分析就是來解決這個(gè)問題的。它的基本原理是什么呢？就是把總體的變異，也就是總平方和，分解成兩部分：一部分是組間變異，它反映了不同組之間均值差異帶來的變異；另一部分是組內(nèi)變異，它反映了同一個(gè)組內(nèi)個(gè)體之間的差異。然后，我們計(jì)算這兩個(gè)變異的比值，也就是F統(tǒng)計(jì)量。如果組間變異相對(duì)于組內(nèi)變異來說比較大，說明不同組的均值差異比較顯著，這時(shí)候F統(tǒng)計(jì)量就會(huì)比較大，我們就拒絕原假設(shè)，認(rèn)為不同組的均值不全相等。反之，如果F統(tǒng)計(jì)量不大，說明組間差異并不顯著，我們就接受原假設(shè)。這個(gè)F統(tǒng)計(jì)量，它其實(shí)就是組間均方與組內(nèi)均方的比值，組間均方是組間平方和除以組間自由度，組內(nèi)均方是組內(nèi)平方和除以組內(nèi)自由度。自由度嘛，就是樣本量減去1之類的，反映了我們用了多少信息來估計(jì)方差。方差分析的核心思想，就是通過比較不同來源的變異，來判斷這些來源的效應(yīng)是否顯著。35.請(qǐng)簡(jiǎn)述回歸分析中自變量系數(shù)顯著性的檢驗(yàn)方法。在回歸分析里，我們最關(guān)心的是自變量對(duì)因變量到底有沒有影響，有沒有影響，就看自變量的系數(shù)是不是顯著不為零。怎么檢驗(yàn)?zāi)?？我們有專門的檢驗(yàn)方法。這個(gè)檢驗(yàn)啊，通常叫做t檢驗(yàn)，檢驗(yàn)的是自變量系數(shù)的估計(jì)值減去零，除以這個(gè)估計(jì)值的標(biāo)準(zhǔn)誤。這個(gè)t統(tǒng)計(jì)量，它反映了自變量系數(shù)的估計(jì)值跟零的差距，相對(duì)于它的不確定性（也就是標(biāo)準(zhǔn)誤）來說有多大。如果這個(gè)t統(tǒng)計(jì)量的絕對(duì)值比較大，說明自變量系數(shù)的估計(jì)值離零比較遠(yuǎn)，而且這個(gè)估計(jì)值的標(biāo)準(zhǔn)誤又不大，那么我們就認(rèn)為這個(gè)系數(shù)比較顯著，也就是說，自變量對(duì)因變量有顯著影響。這個(gè)t統(tǒng)計(jì)量的絕對(duì)值大于某個(gè)臨界值（這個(gè)臨界值跟顯著性水平和自由度有關(guān)），或者equivalently，p值小于顯著性水平，我們就可以拒絕原假設(shè)，認(rèn)為自變量系數(shù)顯著不為零。這個(gè)檢驗(yàn)的結(jié)果，通常也會(huì)在回歸分析輸出里看到，告訴你系數(shù)的t值是多少，p值是多少。如果p值很小，比如小于0.05，那我們就可以說這個(gè)自變量在統(tǒng)計(jì)上顯著。這個(gè)檢驗(yàn)，其實(shí)就是在問：如果我們假設(shè)自變量對(duì)因變量沒有影響（也就是系數(shù)為零），那么我們觀察到這么大的系數(shù)估計(jì)值的可能性有多大。如果可能性很小，我們就傾向于認(rèn)為自變量是有影響的。四、計(jì)算題（本大題共4小題，每小題10分，共40分。請(qǐng)將答案寫在答題紙上。）36.某研究人員想了解一種新的教學(xué)方法是否比傳統(tǒng)教學(xué)方法更有效。他隨機(jī)選取了100名學(xué)生，將他們隨機(jī)分成兩組，每組50人。一組采用新的教學(xué)方法，另一組采用傳統(tǒng)教學(xué)方法。經(jīng)過一學(xué)期的學(xué)習(xí)，研究人員對(duì)兩組學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行了測(cè)試，得到如下數(shù)據(jù)：新教學(xué)方法組：樣本均值=85，樣本標(biāo)準(zhǔn)差=10傳統(tǒng)教學(xué)方法組：樣本均值=80，樣本標(biāo)準(zhǔn)差=8假設(shè)兩組學(xué)生的成績(jī)服從正態(tài)分布，且方差相等。請(qǐng)以顯著性水平α=0.05檢驗(yàn)新的教學(xué)方法是否比傳統(tǒng)教學(xué)方法更有效。（提示：需要先檢驗(yàn)方差是否相等，然后再進(jìn)行兩組均值差的t檢驗(yàn)）在我們開始做題之前，得先明確一下題目要啥。題目說比較兩種教學(xué)方法，這很明顯是兩個(gè)獨(dú)立樣本的均值比較問題。但是，題目還說了方差可能相等，這可不能忽視啊，方差相等不平等，檢驗(yàn)的方法可不一樣。所以，咱得先來個(gè)F檢驗(yàn)，看看方差是不是真的相等。F檢驗(yàn)的計(jì)算公式是S?2/S?2，其中S?2和S?2分別是兩個(gè)樣本的方差。這里，新教學(xué)組的方差是102=100，傳統(tǒng)教學(xué)組的方差是82=64，所以F=100/64=1.5625。然后，得查F分布表，找到分子自由度df?=49，分母自由度df?=49，顯著性水平α=0.05時(shí)的臨界值。查表得到F?.05(49,49)≈1.75。因?yàn)橛?jì)算得到的F值1.5625小于臨界值1.75，所以我們不能拒絕原假設(shè)，也就是說，沒有足夠的證據(jù)表明兩個(gè)總體的方差不相等。既然方差相等，那我們就可以用pooling的方法來計(jì)算共同方差的無偏估計(jì)。共同方差的估計(jì)值s_p2=(49*100+49*64)/(49+49)=82。然后，計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)誤，標(biāo)準(zhǔn)誤=s_p√(1/50+1/50)=√82*√(2/50)=1.82。接下來，進(jìn)行t檢驗(yàn)，t=(85-80)/1.82=2.20。查t分布表，找到自由度df=98，顯著性水平α=0.05時(shí)的臨界值。雙側(cè)檢驗(yàn)的臨界值是t?.025(98)≈2.00。因?yàn)橛?jì)算得到的t值2.20大于臨界值2.00，所以我們需要拒絕原假設(shè)，認(rèn)為兩種教學(xué)方法的教學(xué)效果有顯著差異。由于新教學(xué)組的均值更高，我們可以得出結(jié)論，新的教學(xué)方法比傳統(tǒng)教學(xué)方法更有效。但是，這里需要注意的是，我們是在α=0.05的顯著性水平下得出這個(gè)結(jié)論的，也就是說，有5%的可能性我們犯的是第一類錯(cuò)誤，即實(shí)際上兩種教學(xué)方法的效果沒有差異，但我們卻錯(cuò)誤地認(rèn)為它們有差異。37.某醫(yī)生想了解一種新的藥物是否能夠降低患者的血壓。他隨機(jī)選取了50名高血壓患者，對(duì)他們進(jìn)行了為期一個(gè)月的治療，記錄了他們治療前后的血壓數(shù)據(jù)。請(qǐng)以顯著性水平α=0.05檢驗(yàn)這種新的藥物是否能夠降低患者的血壓。（提示：可以使用配對(duì)樣本t檢驗(yàn)）在開始做題之前，得先看看題目給的信息。題目說醫(yī)生想了解新藥能不能降低血壓，這明顯是配對(duì)樣本的問題，就是每個(gè)患者治療前后的血壓都在記錄，這屬于同一組對(duì)象的兩次測(cè)量，所以得用配對(duì)樣本t檢驗(yàn)。配對(duì)樣本t檢驗(yàn)，其實(shí)就是在看治療前后的血壓差值的均值是否顯著不為零。如果差值的均值顯著大于零，說明血壓降低了；如果差值的均值顯著小于零，說明血壓升高了；如果差值的均值顯著不為零，說明血壓有顯著變化。那么，我們得先計(jì)算每個(gè)患者治療前后的血壓差值，然后計(jì)算差值的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。假設(shè)差值的均值為d?，標(biāo)準(zhǔn)差為s_d，樣本量為n=50。然后，計(jì)算t統(tǒng)計(jì)量，t=d?/(s_d/√n)。接下來，查t分布表，找到自由度df=n-1=49，顯著性水平α=0.05時(shí)的臨界值。如果是雙側(cè)檢驗(yàn)，臨界值是t?.025(49)≈2.0086；如果是單側(cè)檢驗(yàn)，臨界值是t?.05(49)≈1.6764。根據(jù)計(jì)算得到的t值和臨界值的關(guān)系，判斷是否拒絕原假設(shè)。如果拒絕原假設(shè)，說明新藥能夠降低患者的血壓；如果不拒絕原假設(shè)，說明沒有足夠的證據(jù)表明新藥能夠降低患者的血壓。但是，這里需要注意的是，我們是在α=0.05的顯著性水平下得出這個(gè)結(jié)論的，也就是說，有5%的可能性我們犯的是第一類錯(cuò)誤，即實(shí)際上新藥并不能降低患者的血壓，但我們卻錯(cuò)誤地認(rèn)為它能夠降低。38.某公司想了解三個(gè)不同廣告方案對(duì)產(chǎn)品銷售量的影響。他們隨機(jī)選取了30天，將每天隨機(jī)分成三組，分別采用三種不同的廣告方案。請(qǐng)以顯著性水平α=0.05檢驗(yàn)三個(gè)廣告方案對(duì)產(chǎn)品銷售量的影響是否有顯著差異。（提示：可以使用單因素方差分析）在開始做題之前，得先看看題目給的信息。題目說公司想了解三個(gè)廣告方案對(duì)銷售量的影響，這明顯是一個(gè)單因素方差分析的問題。因?yàn)橹挥幸粋€(gè)因素（廣告方案）在變化，有三個(gè)水平（三種方案），我們要檢驗(yàn)的是這三個(gè)水平的均值是否相等。如果均值相等，說明廣告方案對(duì)銷售量沒有影響；如果均值不等，說明廣告方案對(duì)銷售量有影響。那么，我們得先收集每個(gè)廣告方案下銷售量的數(shù)據(jù)，然后計(jì)算總平方和、組間平方和和組內(nèi)平方和?？偲椒胶头从沉怂袛?shù)據(jù)的變異，組間平方和反映了不同廣告方案之間均值差異帶來的變異，組內(nèi)平方和反映了同一個(gè)廣告方案內(nèi)銷售量的變異。然后，計(jì)算組間均方和組內(nèi)均方，組間均方是組間平方和除以組間自由度，組內(nèi)均方是組內(nèi)平方和除以組內(nèi)自由度。接下來，計(jì)算F統(tǒng)計(jì)量，F(xiàn)=組間均方/組內(nèi)均方。最后，查F分布表，找到分子自由度df?=2，分母自由度df?=27，顯著性水平α=0.05時(shí)的臨界值。查表得到F?.05(2,27)≈3.35。因?yàn)橛?jì)算得到的F值大于臨界值3.35，所以我們需要拒絕原假設(shè)，認(rèn)為三個(gè)廣告方案的均值不全相等。也就是說，三個(gè)廣告方案對(duì)產(chǎn)品銷售量的影響有顯著差異。但是，這里需要注意的是，我們是在α=0.05的顯著性水平下得出這個(gè)結(jié)論的，也就是說，有5%的可能性我們犯的是第一類錯(cuò)誤，即實(shí)際上三個(gè)廣告方案的均值相等，但我們卻錯(cuò)誤地認(rèn)為它們不相等。拒絕原假設(shè)之后，我們還可以進(jìn)行多重比較，比如TukeyHSD檢驗(yàn)，來具體看看哪些廣告方案之間的均值差異顯著。39.某研究人員想了解家庭收入（自變量）對(duì)兒童身高（因變量）的影響。他隨機(jī)選取了100個(gè)家庭，記錄了每個(gè)家庭的收入和孩子的身高。請(qǐng)建立身高關(guān)于收入的回歸方程，并檢驗(yàn)收入對(duì)身高是否有顯著影響。（提示：可以使用簡(jiǎn)單線性回歸）在開始做題之前，得先看看題目給的信息。題目說研究人員想了解家庭收入對(duì)兒童身高的影響，這明顯是一個(gè)簡(jiǎn)單線性回歸的問題。因?yàn)橹挥幸粋€(gè)自變量（家庭收入），一個(gè)因變量（兒童身高），我們要建立的是身高關(guān)于收入的回歸方程，并檢驗(yàn)收入對(duì)身高是否有顯著影響。簡(jiǎn)單線性回歸的方程是y=β?+β?x+ε，其中y是因變量，x是自變量，β?和β?是回歸系數(shù)，ε是誤差項(xiàng)。我們的目標(biāo)是估計(jì)β?和β?，并建立回歸方程y?=b?+b?x。然后，我們需要檢驗(yàn)收入對(duì)身高是否有顯著影響，也就是檢驗(yàn)β?是否顯著不為零。這個(gè)檢驗(yàn)可以使用t檢驗(yàn)，t=b?/s?，其中b?是β?的估計(jì)值，s?是標(biāo)準(zhǔn)誤差。接下來，查t分布表，找到自由度df=n-2=98，顯著性水平α=0.05時(shí)的臨界值。如果是雙側(cè)檢驗(yàn)，臨界值是t?.025(98)≈2.00。根據(jù)計(jì)算得到的t值和臨界值的關(guān)系，判斷是否拒絕原假設(shè)。如果拒絕原假設(shè)，說明收入對(duì)身高有顯著影響；如果不拒絕原假設(shè)，說明沒有足夠的證據(jù)表明收入對(duì)身高有影響。但是，這里需要注意的是，我們是在α=0.05的顯著性水平下得出這個(gè)結(jié)論的，也就是說，有5%的可能性我們犯的是第一類錯(cuò)誤，即實(shí)際上收入對(duì)身高沒有影響，但我們卻錯(cuò)誤地認(rèn)為它有影響。如果收入對(duì)身高有顯著影響，我們還可以計(jì)算回歸方程的判定系數(shù)R2，它反映了收入對(duì)身高的解釋程度。本次試卷答案如下一、單項(xiàng)選擇題答案及解析1.A解析：在假設(shè)檢驗(yàn)中，如果原假設(shè)為真，但錯(cuò)誤地拒絕了原假設(shè)，這種錯(cuò)誤稱為第一類錯(cuò)誤，也稱為棄真錯(cuò)誤。這是我們?cè)谶M(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)最常犯的錯(cuò)誤類型，因?yàn)樗馕吨覀兓阱e(cuò)誤的原假設(shè)得出了錯(cuò)誤的結(jié)論。2.A解析：樣本均值的抽樣分布的均值等于總體均值，這個(gè)性質(zhì)被稱為無偏性。這意味著，如果我們反復(fù)抽取樣本并計(jì)算樣本均值，這些樣本均值的平均值將趨近于總體均值。這是樣本均值作為總體均值估計(jì)量的一個(gè)重要優(yōu)點(diǎn)。3.B解析：當(dāng)樣本量較小時(shí)，用來估計(jì)總體均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差公式為σ/√(n-1)。這里的σ是總體標(biāo)準(zhǔn)差，n是樣本量。這個(gè)公式考慮了樣本量的影響，并且當(dāng)樣本量較小時(shí)，使用樣本標(biāo)準(zhǔn)差來估計(jì)總體標(biāo)準(zhǔn)差更為準(zhǔn)確。4.B解析：在進(jìn)行t檢驗(yàn)時(shí)，如果樣本量較小，應(yīng)該選擇的分布是t分布。t分布與正態(tài)分布相似，但它的tails更寬，這意味著在tails的地方，t分布的值更小。這是因?yàn)楫?dāng)樣本量較小時(shí)，我們估計(jì)總體標(biāo)準(zhǔn)差的不確定性更大，所以需要使用t分布來補(bǔ)償這種不確定性。5.A解析：在方差分析中，如果多個(gè)總體的均值相等，那么組間平方和與組內(nèi)平方和之比應(yīng)該接近于1。這是因?yàn)榻M間平方和反映了不同組之間均值差異帶來的變異，如果所有組的均值都相等，那么組間平方和應(yīng)該很小，接近于零。而組內(nèi)平方和反映了同一個(gè)組內(nèi)個(gè)體之間的變異，它的大小不受組間均值差異的影響。因此，當(dāng)所有組的均值都相等時(shí)，組間平方和與組內(nèi)平方和之比應(yīng)該接近于1。6.A解析：在進(jìn)行回歸分析時(shí)，如果自變量的系數(shù)顯著不為零，那么說明自變量對(duì)因變量有顯著影響。這是回歸分析的核心思想之一，即通過檢驗(yàn)自變量的系數(shù)是否顯著不為零，來判斷自變量對(duì)因變量是否有顯著影響。7.C解析：在進(jìn)行相關(guān)分析時(shí)，如果相關(guān)系數(shù)為1，那么說明兩個(gè)變量之間存在線性關(guān)系。相關(guān)系數(shù)是用來衡量?jī)蓚€(gè)變量之間線性關(guān)系強(qiáng)度的指標(biāo)，其取值范圍在-1到1之間。如果相關(guān)系數(shù)為1，說明兩個(gè)變量之間存在完美的正線性關(guān)系；如果相關(guān)系數(shù)為-1，說明兩個(gè)變量之間存在完美的負(fù)線性關(guān)系；如果相關(guān)系數(shù)為0，說明兩個(gè)變量之間不存在線性關(guān)系。8.B解析：在進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)，如果p值小于顯著性水平，那么應(yīng)該拒絕原假設(shè)。這是假設(shè)檢驗(yàn)的基本決策規(guī)則，即如果p值小于顯著性水平，說明觀察到的數(shù)據(jù)與原假設(shè)存在顯著差異，因此我們有足夠的證據(jù)拒絕原假設(shè)。9.B解析：在方差分析中，如果多個(gè)總體的均值不等，那么組間平方和與組內(nèi)平方和之比應(yīng)該遠(yuǎn)離于1。這是因?yàn)榻M間平方和反映了不同組之間均值差異帶來的變異，如果多個(gè)組的均值不等，那么組間平方和應(yīng)該較大。而組內(nèi)平方和反映了同一個(gè)組內(nèi)個(gè)體之間的變異，它的大小不受組間均值差異的影響。因此，當(dāng)多個(gè)組的均值不等時(shí)，組間平方和與組內(nèi)平方和之比應(yīng)該遠(yuǎn)離于1。10.A解析：在進(jìn)行回歸分析時(shí)，如果自變量的系數(shù)不顯著，那么說明自變量對(duì)因變量沒有影響。這是回歸分析的另一個(gè)核心思想，即如果自變量的系數(shù)不顯著，說明自變量對(duì)因變量的影響并不顯著，換句話說，自變量并不能有效預(yù)測(cè)因變量。11.C解析：在進(jìn)行相關(guān)分析時(shí)，如果相關(guān)系數(shù)為0，那么說明兩個(gè)變量之間不存在任何關(guān)系。相關(guān)系數(shù)是用來衡量?jī)蓚€(gè)變量之間線性關(guān)系強(qiáng)度的指標(biāo)，其取值范圍在-1到1之間。如果相關(guān)系數(shù)為0，說明兩個(gè)變量之間不存在線性關(guān)系，但這并不意味著兩個(gè)變量之間不存在任何關(guān)系，它們之間可能存在非線性關(guān)系。12.A解析：在進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)，如果p值大于顯著性水平，那么應(yīng)該接受原假設(shè)。這是假設(shè)檢驗(yàn)的基本決策規(guī)則，即如果p值大于顯著性水平，說明觀察到的數(shù)據(jù)與原假設(shè)不存在顯著差異，因此我們沒有足夠的證據(jù)拒絕原假設(shè)，可以接受原假設(shè)。13.A解析：在方差分析中，如果多個(gè)總體的均值相等，那么組間平方和與組內(nèi)平方和之比應(yīng)該接近于1。這與第5題的解析相同，因?yàn)楫?dāng)所有組的均值都相等時(shí)，組間平方和應(yīng)該很小，接近于零，而組內(nèi)平方和反映了同一個(gè)組內(nèi)個(gè)體之間的變異，它的大小不受組間均值差異的影響。14.A解析：在進(jìn)行回歸分析時(shí)，如果自變量的系數(shù)顯著不為零，那么說明自變量對(duì)因變量有顯著影響。這與第6題的解析相同，因?yàn)橥ㄟ^檢驗(yàn)自變量的系數(shù)是否顯著不為零，我們可以判斷自變量對(duì)因變量是否有顯著影響。15.C解析：在進(jìn)行相關(guān)分析時(shí)，如果相關(guān)系數(shù)為1，那么說明兩個(gè)變量之間存在線性關(guān)系。這與第7題的解析相同，因?yàn)橄嚓P(guān)系數(shù)為1意味著兩個(gè)變量之間存在完美的正線性關(guān)系。16.A解析：在進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)，如果p值小于顯著性水平，那么應(yīng)該接受原假設(shè)。這與第8題的解析相同，因?yàn)槿绻鹥值小于顯著性水平，說明觀察到的數(shù)據(jù)與原假設(shè)存在顯著差異，因此我們有足夠的證據(jù)拒絕原假設(shè)，可以接受原假設(shè)。17.B解析：在方差分析中，如果多個(gè)總體的均值不等，那么組間平方和與組內(nèi)平方和之比應(yīng)該遠(yuǎn)離于1。這與第9題的解析相同，因?yàn)楫?dāng)多個(gè)組的均值不等時(shí)，組間平方和應(yīng)該較大，而組內(nèi)平方和反映了同一個(gè)組內(nèi)個(gè)體之間的變異，它的大小不受組間均值差異的影響，因此組間平方和與組內(nèi)平方和之比應(yīng)該遠(yuǎn)離于1。18.A解析：在進(jìn)行回歸分析時(shí)，如果自變量的系數(shù)不顯著，那么說明自變量對(duì)因變量沒有影響。這與第10題的解析相同，因?yàn)槿绻宰兞康南禂?shù)不顯著，說明自變量對(duì)因變量的影響并不顯著，換句話說，自變量并不能有效預(yù)測(cè)因變量。19.C解析：在進(jìn)行相關(guān)分析時(shí)，如果相關(guān)系數(shù)為0，那么說明兩個(gè)變量之間不存在任何關(guān)系。這與第11題的解析相同，因?yàn)橄嚓P(guān)系數(shù)為0意味著兩個(gè)變量之間不存在線性關(guān)系，但這并不意味著兩個(gè)變量之間不存在任何關(guān)系，它們之間可能存在非線性關(guān)系。20.A解析：在進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)，如果p值大于顯著性水平，那么應(yīng)該接受原假設(shè)。這與第12題的解析相同，因?yàn)槿绻鹥值大于顯著性水平，說明觀察到的數(shù)據(jù)與原假設(shè)不存在顯著差異，因此我們沒有足夠的證據(jù)拒絕原假設(shè)，可以接受原假設(shè)。二、多項(xiàng)選擇題答案及解析21.A,B解析：在進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)，