（新高考）2022屆高三第三次模擬考試卷數(shù)學(xué)（四）注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交。第Ⅰ卷（選擇題）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知復(fù)數(shù)，則（）A． B． C． D．2．設(shè)集合，，則等于（）A． B．C． D．3．2021年2月20日，在黨史學(xué)習(xí)教育動(dòng)員大會(huì)上，習(xí)近平總書記強(qiáng)調(diào)這次學(xué)習(xí)教育“總的來(lái)說(shuō)就是要做到學(xué)史明理?學(xué)史增信?學(xué)史崇德?學(xué)史力行，教育引導(dǎo)全黨同志學(xué)黨史?悟思想?辦實(shí)事?開(kāi)新局”．某單位為了了解該單位黨員開(kāi)展學(xué)習(xí)黨史知識(shí)活動(dòng)情況，隨機(jī)抽取了部分黨員，對(duì)他們一周的黨史學(xué)習(xí)時(shí)間進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示：黨史學(xué)習(xí)時(shí)間（小時(shí)）7891011黨員人數(shù)610987則該單位黨員一周學(xué)習(xí)黨史時(shí)間的眾數(shù)及第40百分位數(shù)分別是（）A．8， B．8，8 C．9，8 D．8，94．已知銳角△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若△ABC的面積，且，則S的最大值為（）A．6 B．4 C．2 D．15．已知函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)為1，若，則的最小值為（）A．10 B．9 C．8 D．6．現(xiàn)有甲?乙?丙?丁?戊五位同學(xué)，分別帶著A?B?C?D?E五個(gè)不同的禮物參加“抽盲盒”的游戲，先將五個(gè)禮物分別放入五個(gè)相同的盒子里，每位同學(xué)再分別隨機(jī)抽取一個(gè)盒子，恰有一位同學(xué)拿到自己禮物的概率為（）A． B． C． D．7．已知拋物線以坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)，以為焦點(diǎn)，過(guò)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，，直線上的點(diǎn)滿足，則（）A． B． C．40 D．808．十八世紀(jì)，數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)簡(jiǎn)單凸多面體的頂點(diǎn)數(shù)V、棱數(shù)E及面數(shù)F之間有固定的關(guān)系，即著名的歐拉公式：．如圖所示為上世紀(jì)八十年代科學(xué)家首次發(fā)現(xiàn)的碳60的電子顯微鏡圖，它是由五邊形和六邊形面構(gòu)成的多面體，共有60個(gè)頂點(diǎn)，每個(gè)頂點(diǎn)均為碳原子，且每個(gè)頂點(diǎn)引出三條棱，形似足球．根據(jù)以上信息知，碳60的所有面中五邊形的個(gè)數(shù)是（）A．12 B．20 C．32 D．40二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．如圖所示，四棱錐的底面為正方形，底面ABCD，，則下列選項(xiàng)中兩異面直線所成夾角大于的是（）A．BC與SD B．AB與SC C．SB與AD D．AC與SB10．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則下列說(shuō)法正確的是（）A．是遞增數(shù)列 B．C．當(dāng)或17時(shí)，取得最大值 D．11．已知函數(shù)，下面結(jié)論正確的是（）A．若，是函數(shù)的兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，且的最小值為，則B．存在，使得往右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱C．若在上恰有6個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是D．若，則在上單調(diào)遞增12．已知圓，點(diǎn)P為x軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓M的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，直線AB與MP交于點(diǎn)C，則下列結(jié)論正確的是（）A．四邊形PAMB周長(zhǎng)的最小值為B．的最大值為2C．若，則的面積為D．若，則的最大值為第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則_______．14．近五年來(lái)某草場(chǎng)羊只數(shù)量與草地植被指數(shù)兩變量間的關(guān)系如表所示，繪制相應(yīng)的散點(diǎn)圖，如圖所示：年份12345羊只數(shù)量/萬(wàn)只草地植被指數(shù)根據(jù)表及圖得到以下判斷：①羊只數(shù)量與草地植被指數(shù)成減函數(shù)關(guān)系；②若利用這五組數(shù)據(jù)得到的兩變量間的相關(guān)系數(shù)為，去掉第一年數(shù)據(jù)后得到的相關(guān)系數(shù)為，則；③可以利用回歸直線方程，準(zhǔn)確地得到當(dāng)羊只數(shù)量為萬(wàn)只時(shí)的草地植被指數(shù)．以上判斷中正確的個(gè)數(shù)是________．15．已知向量、、，且，，，，則的最小值為_(kāi)________．16．若函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)任意的，當(dāng)時(shí)，都有，則稱函數(shù)是關(guān)于D關(guān)聯(lián)的．已知函數(shù)是關(guān)于關(guān)聯(lián)的，且當(dāng)時(shí)，．則：①當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)開(kāi)__________；②不等式的解集為_(kāi)__________．四、解答題：本大題共6個(gè)大題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．（10分）在①；②；這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并進(jìn)行解答．問(wèn)題：在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且___________．（1）求角；（2）在中，，求周長(zhǎng)的最大值．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．18．（12分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．19．（12分）如圖，在三棱錐中，，，，點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段MC上．（1）證明：平面ABC；（2）若，直線AP與平面ABC所成的角為，求二面角的余弦值的大?。?0．（12分）已知雙曲線的左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)B在C上．當(dāng)時(shí)，．不垂直于x軸的直線與雙曲線同一支交于P，Q兩點(diǎn)．（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線PQ過(guò)點(diǎn)F，在x軸上是否存在點(diǎn)N，使得x軸平分？若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．21．（12分）某超市開(kāi)展購(gòu)物抽獎(jiǎng)送積分活動(dòng)，每位顧客可以參加（，且）次抽獎(jiǎng)，每次中獎(jiǎng)的概率為，不中獎(jiǎng)的概率為，且各次抽獎(jiǎng)相互獨(dú)立．規(guī)定第1次抽獎(jiǎng)時(shí)，若中獎(jiǎng)則得10分，否則得5分．第2次抽獎(jiǎng)，從以下兩個(gè)方案中任選一個(gè)；方案①：若中獎(jiǎng)則得30分，否則得0分；方案②：若中獎(jiǎng)則獲得上一次抽獎(jiǎng)得分的兩倍，否則得5分．第3次開(kāi)始執(zhí)行第2次抽獎(jiǎng)所選方案，直到抽獎(jiǎng)結(jié)束．（1）如果，以抽獎(jiǎng)的累計(jì)積分的期望值為決策依據(jù)，顧客甲應(yīng)該選擇哪一個(gè)方案？并說(shuō)明理由；（2）記顧客甲第i次獲得的分?jǐn)?shù)為，并且選擇方案②．請(qǐng)直接寫出與的遞推關(guān)系式，并求的值．（精確到，參考數(shù)據(jù)：．）22．（12分）已知．（1）討論的單調(diào)性；（2）若，且，證明：．（新高考）2022屆高三第三次模擬考試卷數(shù)學(xué)（四）答案第Ⅰ卷（選擇題）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．【答案】D【解析】由復(fù)數(shù)，可得，，所以，故選D．2．【答案】D【解析】，，所以，故選D．3．【答案】A【解析】由統(tǒng)計(jì)數(shù)表可知，學(xué)習(xí)7小時(shí)的有6人，學(xué)習(xí)8小時(shí)的有10人，學(xué)習(xí)9小時(shí)的有9人，學(xué)習(xí)10小時(shí)的有8人，學(xué)習(xí)11小時(shí)的有7人，共有40人．學(xué)習(xí)8小時(shí)的人數(shù)最多，故學(xué)習(xí)黨史時(shí)間的眾數(shù)是8；由，故第40百分位數(shù)為數(shù)據(jù)從小到大排序第16項(xiàng)與第17項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即，故學(xué)習(xí)黨史時(shí)間的第40百分位數(shù)是8．5，故選A．4．【答案】C【解析】由，得，又△ABC是銳角三角形，所以，由余弦定理及得，整理得，所以(負(fù)值舍去)，所以，所以，，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故選C．5．【答案】B【解析】對(duì)求導(dǎo)得，因?yàn)楹瘮?shù)的一個(gè)極值點(diǎn)為1，所以，所以，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為9，故選B．6．【答案】D【解析】先從五人中抽取一人，恰好拿到自己的禮物，有種情況，接下來(lái)的四人分為兩種情況，一種是兩兩一對(duì)，兩個(gè)人都拿到對(duì)方的禮物，有種情況，另一種是四個(gè)人都拿到另外一個(gè)人的禮物，不是兩兩一對(duì)，都拿到對(duì)方的情況，有種情況，綜上：共有種情況，而五人抽五個(gè)禮物總數(shù)為種情況，故恰有一位同學(xué)拿到自己禮物的概率為，故選D．7．【答案】B【解析】由直線上的點(diǎn)滿足可知：，故直線的方程為，即，將代入可得，則拋物線方程為，聯(lián)立，得，設(shè)，則，故，故，故選B．8．【答案】A【解析】設(shè)五邊形面有個(gè)，共條棱，六邊形面有個(gè)，共條棱，由于每條棱出現(xiàn)在兩個(gè)面中，故會(huì)被重復(fù)計(jì)算一次，因此總棱數(shù)，同理每個(gè)頂點(diǎn)出現(xiàn)在三個(gè)面中，總頂點(diǎn)數(shù)為，故，又，故，即，與聯(lián)立可解得，故選A．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．【答案】ACD【解析】對(duì)于A，因?yàn)榈酌鍭BCD，平面ABCD，所以，則BC與SD所成角的大小為，A項(xiàng)符合；對(duì)于B，因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形，所以，則AB與SC所成的角為，B項(xiàng)不符合；對(duì)于C，因?yàn)?，所以SB與AD所成的角為，由題知，所以，C項(xiàng)符合；對(duì)于D，因?yàn)榈酌鍭BCD，平面ABCD，所以．因?yàn)锳BCD是正方形，所以，又因?yàn)椋云矫鍿BD，因?yàn)槠矫鍿BD，所以，則AC與SB所成角的大小為，D項(xiàng)符合，故選ACD．10．【答案】BC【解析】因?yàn)?，所以，兩式相減得，當(dāng)時(shí)，適合上式，所以，因?yàn)?，所以?shù)列是遞減數(shù)列，由，解得，且，所以當(dāng)或17時(shí)，取得最大值，所以，故選BC．11．【答案】BCD【解析】，對(duì)于A，，∴，，錯(cuò)誤；對(duì)于B，平移后關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則，在時(shí)，，正確；對(duì)于C，，，，正確；對(duì)于D，，，，∵，∴，正確，故選BCD．12．【答案】ACD【解析】如圖所示，對(duì)于選項(xiàng)A，四邊形PAMB的周長(zhǎng)為，因?yàn)椋运倪呅蜳AMB的周長(zhǎng)為，設(shè)，當(dāng)與原點(diǎn)重合時(shí)最小，則，則四邊形PAMB的周長(zhǎng)為，則當(dāng)t取最小值2時(shí)，四邊形PAMB的周長(zhǎng)最小，為，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)閳A的直徑為2，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)?，所以，，由等面積法可得，求得，，，所以的面積為，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，當(dāng)點(diǎn)P與原點(diǎn)重合時(shí)，，則，則，則，則；當(dāng)點(diǎn)P不與原點(diǎn)重合時(shí)，設(shè)（），則切點(diǎn)弦AB的方程為（利用結(jié)論：過(guò)圓外一點(diǎn)的切線弦方程為求得），直線MP的方程為，聯(lián)立兩方程，可得，消去m，得動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程為．又因?yàn)椋?，故D正確，故選ACD．第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13．【答案】【解析】依題意函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，，，恒成立，所以，所以，故答案為．14．【答案】1【解析】對(duì)于①，羊只數(shù)量與草地植被指數(shù)成負(fù)相關(guān)關(guān)系，不是減函數(shù)關(guān)系，所以①錯(cuò)誤；對(duì)于②，用這五組數(shù)據(jù)得到的兩變量間的相關(guān)系數(shù)為，因?yàn)榈谝荒陻?shù)據(jù)是離群值，去掉后得到的相關(guān)系數(shù)為，其相關(guān)性更強(qiáng)，所以，故②正確；對(duì)于③，利用回歸直線方程，不能準(zhǔn)確得到當(dāng)羊只數(shù)量為萬(wàn)只時(shí)的草地植被指數(shù)，得到的只是預(yù)測(cè)值，故③錯(cuò)誤，綜上所述，正確的判斷序號(hào)是②，共1個(gè)，故答案為1．15．【答案】（或）【解析】不妨設(shè)，，，，則起點(diǎn)在原點(diǎn)，終點(diǎn)軌跡為單位圓，∴當(dāng)與同向時(shí)，最小，為，故答案為．16．【答案】，【解析】依題意已知函數(shù)是關(guān)于關(guān)聯(lián)，即對(duì)任意的，當(dāng)時(shí)，都有，即對(duì)任意的，當(dāng)時(shí)，都有，，即對(duì)任意，都有．當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，，，所以在區(qū)間上的值域?yàn)椋俚媒Y(jié)論．當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，由上述分析可知，滿足的的取值范圍需滿足或，當(dāng)時(shí)，，，，解得；當(dāng)時(shí)，，，解得，所以不等式的解集為．②得結(jié)論．故答案為；．四、解答題：本大題共6個(gè)大題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）選擇①：條件即，由正弦定理可知，在中，，所以，所以，且，即，所以．選擇②：條件即，即，在中，，所以，則，所以，所以．（2）由（1）知，，由余弦定理知，所以，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以求周長(zhǎng)的最大值為．18．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，上式也成立，所以．（2），設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則．19．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．【解析】（1）連接BO，如圖，由，，得，而，，在中，由余弦定理得，則有，有，即，因此，，又，于是得，，即，又有，平面ABC，所以平面ABC．（2）由（1）可得，平面平面ABC，AP在平面ABC內(nèi)射影在直線AC上，即為直線AP與平面ABC所成的角，，因，則點(diǎn)P為線段MC的中點(diǎn)，在中，過(guò)O作交BC于D，則OD，OC，OM兩兩垂直，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，射線OD，OC，OM分別為x，y，z軸非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，不妨令，則，，，，，，，設(shè)平面PAB的法向量，則，令，得，又平面ABC的法向量，則，而二面角的平面角為銳角，所以二面角的余弦值為．20．【答案】（1）；（2）存在，．【解析】（1）依題意，，，，解得，得，，∴．（2）假設(shè)存在，，設(shè)，，設(shè)直線，則，得，則，且，即，即，依題意，，即，，，，即，，，故存在．21．【答案】（1）應(yīng)選擇方案①，理由見(jiàn)解析；（2），．【解析】（1）若甲第2次抽獎(jiǎng)選方案①，兩次抽