幻燈片1：標題頁標題：24.1.4圓周角——探索圓中特殊角的性質副標題：理解圓周角概念，掌握圓周角定理配套元素：背景圖：展示圓中不同位置的圓周角及其所對的弧，直觀呈現(xiàn)圓周角與圓心角的關聯(lián)。署名：學科、年級、教師姓名幻燈片2：學習目標知識與技能目標：理解圓周角的概念，能準確識別圓中的圓周角。掌握圓周角定理及其推論，明確圓周角與圓心角之間的數量關系。能運用圓周角定理及其推論解決圓中的計算和證明問題。過程與方法目標：通過畫圖、測量、猜想、證明等活動，經歷探究圓周角與圓心角關系的過程，培養(yǎng)觀察能力、推理證明能力和動手操作能力。在運用定理解決問題的過程中，體會轉化思想和分類討論思想的應用，提升分析問題和解決問題的能力。情感態(tài)度與價值觀目標：在探究圓周角性質的過程中，感受數學的嚴謹性和邏輯性，激發(fā)對幾何知識的探究興趣。通過運用定理解決問題，體驗成功的喜悅，增強學好數學的信心。幻燈片3：復習回顧——銜接舊知圓心角概念回顧：頂點在圓心的角叫做圓心角，在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等?；?、弦、圓心角關系回顧：在同圓或等圓中，圓心角、弧、弦三者之間存在一一對應的等量關系。提問引入：在圓中，除了頂點在圓心的圓心角外，還有頂點在圓上的角，這樣的角有什么特殊性質呢？它與圓心角之間又存在什么關系呢？本節(jié)課我們就來探究這個問題?；脽羝?：探究一——圓周角的概念概念講解：頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角。如圖，在\(\odotO\)中，\(\angleACB\)的頂點\(C\)在圓上，兩邊\(CA\)、\(CB\)都與圓相交，所以\(\angleACB\)是圓周角。概念辨析：判斷下列圖形中的角是否為圓周角，并說明理由。頂點在圓外的角（不是，頂點不在圓上）。頂點在圓上，但一邊與圓不相交的角（不是，兩邊未都與圓相交）。頂點在圓上，兩邊都與圓相交的角（是，符合圓周角定義）。圖形標注：在圓形圖中標注出圓周角，明確圓周角的頂點在圓上且兩邊與圓相交的特征?；脽羝?：探究二——圓周角與圓心角的關系實驗動手操作：在圓中任意畫一條弧\(\overset{\frown}{AB}\)，畫出該弧所對的圓心角\(\angleAOB\)和一個圓周角\(\angleACB\)。用量角器分別測量\(\angleAOB\)和\(\angleACB\)的度數，記錄測量結果。改變圓周角頂點\(C\)的位置，再次測量對應的圓周角和圓心角的度數，觀察兩者之間的數量關系。實驗現(xiàn)象：通過多次測量發(fā)現(xiàn)，圓周角的度數總是等于它所對弧上的圓心角度數的一半。得出猜想：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。幻燈片6：探究三——圓周角定理的證明定理表述：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。分類討論：圓心與圓周角的位置關系有三種情況，需分別證明：圓心在圓周角的一邊上：已知：在\(\odotO\)中，圓心\(O\)在圓周角\(\angleACB\)的一邊\(CB\)上。求證：\(\angleACB=\frac{1}{2}\angleAOB\)。證明：因為\(OA=OC\)（同圓半徑相等），所以\(\angleA=\angleC\)。又因為\(\angleAOB=\angleA+\angleC=2\angleC\)，所以\(\angleACB=\frac{1}{2}\angleAOB\)。圓心在圓周角的內部：輔助線：過點\(C\)作直徑\(CD\)。證明：由第一種情況可知，\(\angleACD=\frac{1}{2}\angleAOD\)，\(\angleBCD=\frac{1}{2}\angleBOD\)，所以\(\angleACB=\angleACD+\angleBCD=\frac{1}{2}(\angleAOD+\angleBOD)=\frac{1}{2}\angleAOB\)。圓心在圓周角的外部：輔助線：過點\(C\)作直徑\(CD\)。證明：由第一種情況可知，\(\angleACD=\frac{1}{2}\angleAOD\)，\(\angleBCD=\frac{1}{2}\angleBOD\)，所以\(\angleACB=\angleACD-\angleBCD=\frac{1}{2}(\angleAOD-\angleBOD)=\frac{1}{2}\angleAOB\)。圖形演示：分別展示三種位置關系的圖形，動態(tài)演示證明過程，明確輔助線的作法和證明思路。幻燈片7：圓周角定理的推論推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等。如圖，\(\overset{\frown}{AB}\)所對的圓周角\(\angleACB\)和\(\angleADB\)相等，即\(\angleACB=\angleADB\)。推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90°

的圓周角所對的弦是直徑。如圖，\(AB\)是\(\odotO\)的直徑，則\(\angleACB=90^{\circ}\)；若\(\angleACB=90^{\circ}\)，則弦\(AB\)是\(\odotO\)的直徑。推論3：在同圓或等圓中，如果兩個圓周角相等，那么它們所對的弧一定相等。圖形說明：結合圖形對每個推論進行直觀展示，幫助學生理解推論的條件和結論?；脽羝?：例題解析——運用圓周角定理求角度例題1：如圖，在\(\odotO\)中，\(\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}\)，\(\angleBAC=50^{\circ}\)，求\(\angleABC\)和\(\angleBOC\)的度數。解題步驟：因為\(\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}\)，所以\(AB=AC\)，\(\triangleABC\)是等腰三角形，\(\angleABC=\angleACB\)。已知\(\angleBAC=50^{\circ}\)，根據三角形內角和定理，\(\angleABC+\angleACB+\angleBAC=180^{\circ}\)，即\(2\angleABC+50^{\circ}=180^{\circ}\)，解得\(\angleABC=65^{\circ}\)。\(\angleABC\)是\(\overset{\frown}{AC}\)所對的圓周角，\(\angleBOC\)是\(\overset{\frown}{AC}\)所對的圓心角，根據圓周角定理，\(\angleBOC=2\angleABC=2??65^{\circ}=130^{\circ}\)。關鍵思路：先利用等弧對等弦得出三角形是等腰三角形，再結合三角形內角和定理求出圓周角的度數，最后根據圓周角定理求出圓心角的度數?；脽羝?：例題解析——運用圓周角推論解決問題例題2：如圖，\(AB\)是\(\odotO\)的直徑，\(C\)、\(D\)是圓上的兩點，且\(C\)、\(D\)在\(AB\)的兩側，\(\angleBAC=30^{\circ}\)，求\(\angleADC\)的度數。解題步驟：因為\(AB\)是\(\odotO\)的直徑，根據推論2，\(\angleACB=90^{\circ}\)。在\(Rt\triangleABC\)中，\(\angleBAC=30^{\circ}\)，所以\(\angleABC=90^{\circ}-\angleBAC=90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}\)。\(\angleABC\)和\(\angleADC\)都是\(\overset{\frown}{AC}\)所對的圓周角，根據推論1，同弧所對的圓周角相等，所以\(\angleADC=\angleABC=60^{\circ}\)。方法提煉：涉及直徑的問題，常利用“直徑所對的圓周角是直角”這一推論構造直角三角形，再結合其他條件求解?；脽羝?0：課堂練習（分層完成）基礎題：頂點在______，并且兩邊都與圓______的角叫做圓周角。一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的______。同弧或等弧所對的圓周角______；半圓所對的圓周角是______，90°

的圓周角所對的弦是______。在\(\odotO\)中，若一條弧所對的圓心角是\(100^{\circ}\)，則這條弧所對的圓周角是______度。提升題：如圖，在\(\odotO\)中，\(AB\)是直徑，\(\angleAOC=120^{\circ}\)，求\(\angleD\)的度數。已知：如圖，在\(\odotO\)中，\(\angleA=\angleB\)，求證：\(\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}\)。要求：學生獨立完成后，小組內交流答案和解題思路，選取代表展示解題過程，教師進行點評和講解?；脽羝?1：易錯點提醒常見錯誤：對圓周角的概念理解不清，將頂點在圓上但一邊不與圓相交的角誤認為是圓周角。應用圓周角定理時，忽略“同弧或等弧”這一前提條件，錯誤地認為任意兩個圓周角都相等?；煜龍A周角與圓心角的關系，將“圓周角等于圓心角的一半”記反。在解決與直徑相關的問題時，忘記運用“直徑所對的圓周角是直角”這一重要推論。避坑技巧：嚴格按照圓周角的定義判斷角是否為圓周角，確保頂點在圓上且兩邊都與圓相交。應用圓周角定理及其推論時，明確“同弧或等弧”的條件，只有在同弧或等弧所對的情況下，圓周角才相等。牢記圓周角與圓心角的數量關系：圓周角=圓心角

×\(\frac{1}{2}\)，可通過畫圖舉例加深記憶?？吹街睆綍r，立即聯(lián)想到“直徑所對的圓周角是直角”，主動構造直角三角形輔助解題。幻燈片12：課堂小結核心收獲：圓周角的概念：頂點在圓上，兩邊都與圓相交的角。圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。推論：同弧或等弧所對的圓周角相等；半圓所對的圓周角是直角，90°

的圓周角所對的弦是直徑；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等?；痉椒ǎ哼\用圓周角定理進行角度轉化，結合推論解決與直徑、等弧相關的問題。方法提煉：解決圓周角相關問題時，要找準圓周角和圓心角所對的弧，利用“同弧或等弧”建立兩者之間的聯(lián)系，通過分類討論和輔助線構造（如作直徑）簡化問題?；脽羝?3：作業(yè)布置必做題：教材PXX頁習題24.1第10、11、12題，要求運用圓周角定理及其推論解決計算和證明問題。選做題：如圖，在\(\odotO\)中，\(AB\)是直徑，\(CD\)是弦，\(CE\perpCD\)交\(AB\)于點\(E\)，\(DF\perpCD\)交\(AB\)于點\(F\)，求證：\(AE=BF\)。實踐題：在圓形紙片上畫出不同的圓周角和對應的圓心角，測量它們的度數，驗證圓周角定理的正確性?；脽羝?4：結束頁寄語：圓周角定理揭示了圓中圓周角與圓心角的奇妙關系，它為我們解決圓的角度問題提供了有力工具。愿你能熟練掌握這一定理及其推論，在圓的世界中繼續(xù)探索前行！致謝：感謝聆聽，下次課再見！2025-2026學年人教版數學九年級上冊授課教師：

.班級：

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時間：

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24.1.4圓周角第24章

圓aiTujmiaNg1.理解圓周角的概念，會敘述并證明圓周角定理.2.理解圓周角與圓心角的關系并能運用圓周角定理

解決簡單的幾何問題.（重點、難點）3.理解掌握圓周角定理的推論及其證明過程和運用.

（難點）1.圓心角的定義？頂點在圓心的角叫圓心角.2.把圓心角∠AOB

的頂點O

拉到圓上，得到∠ACB.

∠ACB有什么特點？∠ACB的頂點在圓上邊AC，BC

都與圓相交

頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫圓周角．圓心角圓周角區(qū)別聯(lián)系頂點在圓心頂點在圓上在同圓中，一條弧所對的圓心角是唯一的在同圓中，一條弧所對的圓周角有無數個角的兩邊都與圓相交下列圖形中的角是圓周角的是（）做一做圓周角必須滿足兩個條件：（1）頂點在圓上；（2）兩邊都與圓相交.C探究分別測量圖中所對的圓周角∠ACB

和圓心角∠AOB的度數，它們之間有什么關系？∠AOB=120°AB∠ACB=60°∠ACB=∠AOB探究在⊙O

上任取一條弧，作出這條弧所對的圓周角和圓心角，測量它們的度數，你能得出同樣的結論嗎？由此你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？可以發(fā)現(xiàn)，同弧所對的圓周角的度數等于這條弧所對的圓心角的度數的一半.證明在圓上任取BC，畫出圓心角∠BOC和圓周角∠BAC，圓心角與圓周角有幾種位置關系？證明1∵

OA=OC，∴

∠A=∠C．又∵

∠BOC=∠A+∠C，∠BAC=∠BOC．如圖，連接AO并延長交⊙O于點D．∵OA=OB，∴∠BAD=∠B．又∵∠BOD=∠BAD+∠B，∠BAD=∠BOD.同理，∠CAD=∠COD.∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=∠BOC.證明2證明3你會證明嗎？定理情況圖示結論一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半圓心在圓周角的一條邊上圓心在圓周角的內部圓心在圓周角的外部∠BAC=∠BOC．思考AB

所對的兩個圓周角，∠ACB

與∠ADB

之間有什么關系？同弧所對的圓周角相等．思考AB=BC，∠ADB

與∠BEC

之間有什么關系？等弧所對的圓周角相等．推論1同弧或等弧所對的圓周角相等.符號語言：如圖，∠AC1B=∠AC2B=∠AC3B=∠AOB思考“同弧或等弧所對的圓周角相等”反過來成不成立？不成立.如圖，∠APB=∠CPD，但AB

≠CD

.O1O2半圓（或直徑）所對的圓周角有什么特殊性？等于90°推論2半圓(或直徑)所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑.符號語言：如圖，在⊙O

中，若AB

為⊙O

的直徑，則∠C1=∠C2=∠C3

=90°.若∠C1(或∠C2，∠C3)=90°，則AB

為⊙O

的直徑.思考若將“同弧或等弧所對的圓周角相等”中的“同弧或等弧”改為“同弦或等弦”，則結論成立嗎？不一定成立，因為一條弦所對的圓周角有兩種情況.如圖，⊙O

的直徑AB

為10cm，弦AC

為6cm，

ACB

的平分線交⊙O

于點

D，求BC，AD，BD

的長．例題4解：連接OD.

∵

AB是⊙O的直徑，∴

ACB=

ADB=90°．在Rt△ABC中，∵

CD

平分

ACB，∴

ACD=

BCD，∴

AOD=

BOD．∴

AD=BD．在Rt△ABD中，

AD2+BD2=AB2，∴

AD=BD=

=（cm）．如果一個多邊形的所有頂點都在同一個圓上，這個多邊形叫做圓內接多邊形，這個圓叫做這個多邊形的外接圓.如圖所示，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，⊙O是四邊形ABCD的外接圓.圓內接四邊形的四個角之間有什么關系？思考如圖，連接OB，OD.∵∠A所對的弧為，∠C所對的弧為，又和所對的圓心角的和是周角，BCDBAD∴

∠A+∠C==180°.同理∠B+∠D=180°.BCDBAD360°2圓內接四邊形的性質：1圓內接四邊形的對角互補.符號語言：如圖，∠A+∠C=180°，∠B+∠ADC=180°拓展：圓內接四邊形的一個外角等于它的內對角.如∠1=∠A.【教材P88練習第1題】1.判斷下列圖形中的角是不是圓周角，并說明理由：（1）（2）（3）（4）（5）√理由：(1)(2)中的角的頂點不在圓上，(4)(5)中的角的兩邊至少有一條不與圓相交，(3)中的角的頂點在圓上，兩邊都與圓相交.故(3)中的角是圓周角.2.如圖，圓內接四邊形ABCD的對角線AC，BD

把它的4個內角分成8個角，這些角中哪些相等？

為什么？【教材P88練習第2題】解：∠