§3.3導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值分值：100分一、單項(xiàng)選擇題(每小題5分，共30分)1.函數(shù)f(x)=13x3+x23x1的極小值點(diǎn)是(A.1 B.1C.3 D.(3，8)2.(2024·楚雄模擬)已知定義域?yàn)閇3，5]的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x)，且f'(x)的圖象如圖所示，則()A.f(x)在(2，2)上先增后減B.f(x)有極小值f(2)C.f(x)有2個(gè)極值點(diǎn)D.f(x)在x=3處取得最大值3.(2025·蘇州模擬)設(shè)0<x<π，則函數(shù)f(x)=sinx2+2sinxA.1 B.32 C.2 D.4.(2024·赤峰模擬)已知函數(shù)f(x)=xlnxax有極值e，則a等于()A.1 B.2C.eC.e D.35.若函數(shù)f(x)=exln(x+m)的最小值為2+ln2，則m等于()A.2 B.12C.12 D.16.已知函數(shù)f(x)=xlnxax有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)x1，x2(x1<x2)，則下列說法不正確的是()A.a的取值范圍是(∞，1)B.x1是極小值點(diǎn)C.當(dāng)x∈(x2，+∞)時(shí)，f'(x)<0D.lnx1二、多項(xiàng)選擇題(每小題6分，共12分)7.已知函數(shù)f(x)=x33x2，則()A.f(x)在(0，1)上單調(diào)遞減B.f(x)的極大值點(diǎn)為2C.f(x)的極大值為2D.f(x)有2個(gè)零點(diǎn)8.(2023·新高考全國(guó)Ⅱ)若函數(shù)f(x)=alnx+bx+cx2(a≠0)既有極大值也有極小值，則A.bc>0 B.ab>0C.b2+8ac>0 D.ac<0三、填空題(每小題5分，共10分)9.若函數(shù)f(x)=13x34x+m在[0，3]上的最小值為4，則m=10.若函數(shù)f(x)=12x2ax+lnx在(0，2)上有極值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是四、解答題(共28分)11.(13分)已知函數(shù)f(x)=aex+x(a∈R(1)若f'(0)=0，求實(shí)數(shù)a的值；(5分)(2)討論函數(shù)f(x)的極值.(8分)12.(15分)(2024·新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ)已知函數(shù)f(x)=exaxa3.(1)當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程；(5分)(2)若f(x)有極小值，且極小值小于0，求a的取值范圍.(10分)每小題5分，共20分13.設(shè)ab≠0，若a為函數(shù)f(x)=a(xa)2(xb)的極大值點(diǎn)，則()A.a<b B.a>b C.ab<b2 D.ab>b214.若不等式a+2x+|lnx|1≥0恒成立，則a的取值范圍是.

15.(2024·曲靖模擬)已知函數(shù)f(x)=2axex2+18，其中a>0且a≠1.若f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

16.(2025·湘潭模擬)已知函數(shù)f(x)=xalnx(a>0)，記函數(shù)y=f(x)，y=f(f(x))的值域分別為M，N，若NM，則a的取值范圍是.

答案精析1.A2.B3.D[因?yàn)?<x<π，令t=sinx，則t∈(0，1]，由g(t)=t2+2t(0<t≤1)可得g'(t)=122t2，當(dāng)t∈(0，1]時(shí)，g'(t)<0，則g(t)單調(diào)遞減，所以當(dāng)t=1時(shí)，g(t)有最小值g(1)=12+2=52，4.B[由題目條件可得，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，+∞)，f'(x)=lnx+1a.令f'(x)>0，得x>ea1；令f'(x)<0，得0<x<ea1.所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，ea1)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(ea1，+∞)上單調(diào)遞增.則函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)是ea1，無極大值點(diǎn)，故f(ea1)=ea1lnea1aea1=e，解得a=2.]5.B[易知f(x)的定義域?yàn)?m，+∞)，f'(x)=ex1易知f'(x)在區(qū)間(m，+∞)上單調(diào)遞增，又當(dāng)x→m時(shí)，f'(x)→∞；當(dāng)x→+∞時(shí)，f'(x)→+∞，所以存在唯一x0∈(m，+∞)，使得f'(x0)=0，即x0=ln(x0+m)，所以當(dāng)x∈(m，x0)時(shí)，f'(x)<0；當(dāng)x∈(x0，+∞)時(shí)，f'(x)>0，所以f(x)在區(qū)間(m，x0)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(x0，+∞)上單調(diào)遞增，所以f(x)的最小值為f(x0)=ex0ln(x0+m)=ex0+x0=2+ln2=eln2所以x0=ln2，所以eln2=1ln2+m，解得m=12ln6.A[令f'(x)=lnx2x+xxa=由題意，方程lnx+22x=a在(0，+∞)上有兩根x1，x2(x1<設(shè)g(x)=lng'(x)=xx-當(dāng)0<x<1時(shí)，g'(x)>0，g(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x>1時(shí)，g'(x)<0，g(x)單調(diào)遞減，所以g(x)max=g(1)=1>0，當(dāng)x→0時(shí)，g(x)=lnx+22x→∞，當(dāng)x→+∞時(shí)，g(x)=所以a的取值范圍是(0，1)，故A不正確；由A選項(xiàng)分析可知0<x1<1<x2，當(dāng)0<x<x1時(shí)，f'(x)<f'(x1)=0，f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x1<x<x2時(shí)，f'(x)>f'(x1)=0=f'(x2)，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x>x2時(shí)，f'(x)<f'(x2)=0，f(x)單調(diào)遞減，所以x1是極小值點(diǎn)，故B，C正確；對(duì)于D，因?yàn)閘nx1+22x1=lnx2+22x7.AD[由函數(shù)f(x)=x33x2，可得f'(x)=3x26x=3x(x2)，令f'(x)>0，解得x<0或x>2；令f'(x)<0，解得0<x<2，所以函數(shù)f(x)在(0，2)上單調(diào)遞減，在(∞，0)，(2，+∞)上單調(diào)遞增，當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)f(x)取得極大值，極大值為f(0)=0；當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)f(x)取得極小值，極小值為f(2)=4，又由x→+∞時(shí)，f(x)→+∞且f(2)=4<0，f(0)=0，所以函數(shù)f(x)只有兩個(gè)零點(diǎn)，所以A，D正確，B，C不正確.]8.BCD[函數(shù)f(x)=alnx+bx+cx2的定義域?yàn)?0，+∞)，則f'(x)=ax因?yàn)楹瘮?shù)f(x)既有極大值也有極小值，則函數(shù)f'(x)在(0，+∞)上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，而a≠0，因此方程ax2bx2c=0有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根x1，x2，于是Δ即有b2+8ac>0，ab>0，ac<0，顯然a2bc<0，即bc<0，故A錯(cuò)誤，B，C，D正確.]9.28解析f'(x)=x24，當(dāng)x∈[0，2)時(shí)，f'(x)<0，當(dāng)x∈(2，3]時(shí)，f'(x)>0，所以f(x)在[0，2)上單調(diào)遞減，在(2，3]上單調(diào)遞增，所以f(2)為f(x)在[0，3]上的極小值，也是最小值，故13×84×2+m=4解得m=28310.(2，+∞)解析f(x)=12x2ax+lnx的定義域?yàn)?0，+∞)，f'(x)=xa+要使函數(shù)f(x)=12x2ax+lnx在(0，2)上有極值，則f'(x)=xa+1x在(0，2令g(x)=x+1x，x∈(0，2則g(x)=x+1x≥2x·1當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號(hào)成立，所以a≥2.當(dāng)a=2時(shí)，f'(x)=xa+1x=x+1x2≥0，函數(shù)f(x則函數(shù)f(x)=12x2ax+lnx在(0，2)上沒有極值，故a>2即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(2，+∞).11.解(1)由函數(shù)f(x)=aex+可得f'(x)=1aex所以f'(0)=1-a1=1a解得a=1.(2)函數(shù)f(x)=aex+x的定義域?yàn)榍襢'(x)=1aex當(dāng)a≤0時(shí)，f'(x)>0恒成立，所以f(x)在R上單調(diào)遞增，f(x)無極值；當(dāng)a>0時(shí)，令f'(x)>0，解得x>lna；令f'(x)<0，解得x<lna，所以f(x)在(∞，lna)上單調(diào)遞減，在(lna，+∞)上單調(diào)遞增，所以f(x)的極小值為1+lna，無極大值.綜上所述，當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)無極值；當(dāng)a>0時(shí)，f(x)的極小值為1+lna，無極大值.12.解(1)當(dāng)a=1時(shí)，則f(x)=exx1，f'(x)=ex1，可得f(1)=e2，f'(1)=e1，即切點(diǎn)坐標(biāo)為(1，e2)，切線斜率k=e1，所以切線方程為y(e2)=(e1)(x1)，即(e1)xy1=0.(2)方法一因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)镽，且f'(x)=exa，若a≤0，則f'(x)>0對(duì)任意x∈R恒成立，可知f(x)在R上單調(diào)遞增，無極值，不符合題意；若a>0，令f'(x)>0，解得x>lna，令f'(x)<0，解得x<lna，可知f(x)在(∞，lna)上單調(diào)遞減，在(lna，+∞)上單調(diào)遞增，則f(x)有極小值f(lna)=aalnaa3，無極大值，由題意可得，f(lna)=aalnaa3<0，即a2+lna1>0，令g(a)=a2+lna1，a>0，則g'(a)=2a+1a>0可知g(a)在(0，+∞)上單調(diào)遞增，且g(1)=0，不等式a2+lna1>0等價(jià)于g(a)>g(1)，解得a>1，所以a的取值范圍為(1，+∞).方法二因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)镽，且f'(x)=exa，若f(x)有極小值，則f'(x)=exa有零點(diǎn)，令f'(x)=exa=0，可得ex=a，可知y=ex與y=a有交點(diǎn)，則a>0，令f'(x)>0，解得x>lna；令f'(x)<0，解得x<lna，可知f(x)在(∞，lna)上單調(diào)遞減，在(lna，+∞)上單調(diào)遞增，則f(x)有極小值f(lna)=aalnaa3，無極大值，符合題意，由題意可得，f(lna)=aalnaa3<0，即a2+lna1>0，令g(a)=a2+lna1，a>0，因?yàn)閥=a2，y=lna1在(0，+∞)上均單調(diào)遞增，所以g(a)在(0，+∞)上單調(diào)遞增，且g(1)=0，不等式a2+lna1>0等價(jià)于g(a)>g(1)，解得a>1，所以a的取值范圍為(1，+∞).13.C[由三次函數(shù)的性質(zhì)可知，要使a為函數(shù)f(x)=a(xa)2(xb)的極大值點(diǎn)，則當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)f(x)的大致圖象如圖(1)所示，則0<a<b，此時(shí)ab<b2；當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)f(x)的大致圖象如圖(2)所示，則b<a<0，此時(shí)ab<b2.綜上，ab<b2.]14.[ln2，+∞)解析不等式a+2x+|lnx|1≥0恒成立，即a≥12x|lnx|恒成立，設(shè)f(x)=12x|lnx|，x∈(0，+∞)，當(dāng)x≥1時(shí)，f(x)=12xlnx，f'(x)=21x<0∴f(x)在[1，+∞)上單調(diào)遞減，此時(shí)f(x)max=f(1)=1；當(dāng)0<x<1時(shí)，f(x)=12x+lnx，∴f'(x)=2+1x=∴當(dāng)x∈0，12時(shí)，f'(x當(dāng)x∈12，1時(shí)，f'(x∴f(x)在0，12上單調(diào)遞增，在12，1上單調(diào)遞減，此時(shí)f(x)max=f12=ln綜上可知，a的取值范圍是[ln2，+∞).15.1e，1∪(解析對(duì)函數(shù)f(x)=2axex2+18求導(dǎo)得f'(x)=2axlna2ex=2(axlnaex)，因?yàn)閒(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，所以f'(x)有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn).令f'(x)=0，有axlna=ex，令h(x)=axlna，g(x)=ex，所以h(x)與g(x)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).當(dāng)a>1時(shí)，h(x)=axlna，h'(x)=ax(lna)2，設(shè)過原點(diǎn)的直線與h(x)=axlna的切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，ax0lna切線斜率為k=ax0(lna)所以切線方程為yax0lna=ax0(lna)2(x將原點(diǎn)坐標(biāo)帶入切線方程得x0=1ln此時(shí)切線的斜率為k=a1lna(lna)2=e(lnah(x)=axlna的函數(shù)圖象與g(x)=ex的函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即k=e(lna)2<e，因?yàn)閍>1，有l(wèi)na>0，所以0<lna<1，所以1<a<e；同理知當(dāng)0<a<1時(shí)，lna<0，k=e(lna)2<e，即1<lna<0，所以1e<a綜上，a的取值范圍為1e，1∪(1，16.(0，1)解析因?yàn)閒(x)=xalnx(a>0)，x>0，則f'(x)=1ax=x當(dāng)x∈(