大專數(shù)學真題原題及答案

一、單項選擇題1.函數(shù)\(y=\frac{1}{\sqrt{x-1}}\)的定義域是（）A.\(x\geq1\)B.\(x>1\)C.\(x\neq1\)D.\(x<1\)答案：B2.當\(x\to0\)時，與\(x\)等價的無窮小是（）A.\(x^2\)B.\(\sinx\)C.\(2x\)D.\(\cosx\)答案：B3.設函數(shù)\(f(x)\)在點\(x_0\)處可導，則\(\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{f(x_0+\Deltax)-f(x_0)}{\Deltax}\)等于（）A.\(f'(x_0)\)B.\(f(x_0)\)C.\(0\)D.不存在答案：A4.函數(shù)\(y=x^3\)的導數(shù)是（）A.\(y'=3x^2\)B.\(y'=x^2\)C.\(y'=3x\)D.\(y'=3\)答案：A5.若\(\intf(x)dx=F(x)+C\)，則\(\intf(ax+b)dx\)（\(a\neq0\)）等于（）A.\(F(ax+b)+C\)B.\(\frac{1}{a}F(ax+b)+C\)C.\(aF(ax+b)+C\)D.\(F(x)+C\)答案：B6.設\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，且\(AB=O\)，則（）A.\(A=O\)或\(B=O\)B.\(|A|=0\)或\(|B|=0\)C.\(A+B=O\)D.\(|A|+|B|=0\)答案：B7.向量\(\vec{a}=(1,-2,3)\)，\(\vec=(-1,1,0)\)，則\(\vec{a}\cdot\vec\)等于（）A.\(-3\)B.\(-1\)C.\(1\)D.\(3\)答案：A8.已知方程組\(\begin{cases}x_1+x_2+x_3=0\\x_1+2x_2+ax_3=0\\x_1+4x_2+a^2x_3=0\end{cases}\)有非零解，則\(a\)的值為（）A.\(1\)或\(2\)B.\(1\)或\(3\)C.\(2\)或\(3\)D.\(1\)或\(4\)答案：C9.設隨機變量\(X\)服從正態(tài)分布\(N(1,4)\)，則\(P(X\leq1)\)等于（）A.\(0.5\)B.\(0.25\)C.\(0.75\)D.\(0.1\)答案：A10.從\(10\)個產品中（其中\(zhòng)(3\)個次品）任取\(2\)個，恰有\(zhòng)(1\)個次品的概率是（）A.\(\frac{7}{15}\)B.\(\frac{8}{15}\)C.\(\frac{1}{15}\)D.\(\frac{2}{15}\)答案：A二、多項選擇題1.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的有（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=e^x\)D.\(y=|x|\)答案：ABD2.函數(shù)\(y=f(x)\)在點\(x_0\)處連續(xù)的充分必要條件是（）A.\(\lim\limits_{x\tox_0^-}f(x)=\lim\limits_{x\tox_0^+}f(x)\)B.\(\lim\limits_{x\tox_0}f(x)=f(x_0)\)C.\(f(x)\)在點\(x_0\)處有定義D.\(\lim\limits_{x\tox_0}f(x)\)存在答案：BCD3.下列求導公式正確的有（）A.\((\sinx)'=\cosx\)B.\((\lnx)'=\frac{1}{x}\)C.\((e^x)'=e^x\)D.\((x^n)'=nx^{n-1}\)答案：ABCD4.下列積分計算正確的有（）A.\(\intx^2dx=\frac{1}{3}x^3+C\)B.\(\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C\)C.\(\int\cosxdx=\sinx+C\)D.\(\inte^xdx=e^x+C\)答案：ABCD5.設\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，下列結論正確的有（）A.\((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)（當\(AB=BA\)時）B.\((AB)^T=B^TA^T\)C.\(|AB|=|A||B|\)D.\((A^{-1})^{-1}=A\)（當\(A\)可逆時）答案：BCD6.向量\(\vec{a}=(1,2,3)\)，\(\vec=(-1,0,1)\)，則（）A.\(\vec{a}+\vec=(0,2,4)\)B.\(\vec{a}-\vec=(2,2,2)\)C.\(\vec{a}\cdot\vec=2\)D.\(|\vec{a}|=\sqrt{14}\)答案：ABCD7.對于線性方程組\(Ax=b\)（\(A\)為系數(shù)矩陣，\(x\)為未知向量，\(b\)為常數(shù)向量），下列說法正確的有（）A.若\(r(A)=r(A|b)\)，則方程組有解B.若\(r(A)=r(A|b)=n\)（\(n\)為未知量個數(shù)），則方程組有唯一解C.若\(r(A)<r(A|b)\)，則方程組無解D.若\(r(A)=r(A|b)<n\)，則方程組有無窮多解答案：ABCD8.設隨機變量\(X\)的分布列為\(P(X=k)=\frac{C}{2^k}\)，\(k=1,2,3,\cdots\)，則（）A.\(C=1\)B.\(P(X\geq2)=\frac{1}{2}\)C.\(E(X)=2\)D.\(D(X)=2\)答案：ABC9.下列事件中，是互斥事件的有（）A.擲一枚骰子，“出現(xiàn)奇數(shù)點”與“出現(xiàn)偶數(shù)點”B.從裝有\(zhòng)(3\)個紅球和\(2\)個白球的袋子中取球，“取到紅球”與“取到白球”C.射擊一次，“命中\(zhòng)(9\)環(huán)”與“命中\(zhòng)(8\)環(huán)”D.拋一枚硬幣，“正面向上”與“反面向上”答案：ABCD10.設總體\(X\simN(\mu,\sigma^2)\)，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\)的樣本，則（）A.\(\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\)是\(\mu\)的無偏估計量B.\(S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2\)是\(\sigma^2\)的無偏估計量C.\(\overline{X}\simN(\mu,\frac{\sigma^2}{n})\)D.\(\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n-1)\)答案：ABCD三、判斷題1.函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)在其定義域內是單調遞減函數(shù)。（×）2.若\(\lim\limits_{x\tox_0}f(x)\)存在，則\(f(x)\)在點\(x_0\)處一定連續(xù)。（×）3.函數(shù)\(y=x^2\)在\(x=0\)處的切線方程是\(y=0\)。（√）4.\(\int_{-a}^{a}f(x)dx=0\)（\(f(x)\)為奇函數(shù)）。（√）5.若\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，且\(AB=BA\)，則\((AB)^k=A^kB^k\)（\(k\)為正整數(shù)）。（√）6.向量\(\vec{a}=(1,0,0)\)與向量\(\vec=(0,1,0)\)垂直。（√）7.齊次線性方程組\(Ax=0\)一定有解。（√）8.若隨機變量\(X\)與\(Y\)相互獨立，則\(E(XY)=E(X)E(Y)\)。（√）9.概率為\(0\)的事件是不可能事件。（×）10.樣本均值\(\overline{X}\)是總體均值\(\mu\)的矩估計量。（√）四、簡答題1.求函數(shù)\(y=x^3-3x^2+5\)的單調區(qū)間和極值。先求導數(shù)\(y'=3x^2-6x=3x(x-2)\)。令\(y'=0\)，得\(x=0\)或\(x=2\)。當\(x<0\)時，\(y'>0\)，函數(shù)單調遞增；當\(0<x<2\)時，\(y'<0\)，函數(shù)單調遞減；當\(x>2\)時，\(y'>0\)，函數(shù)單調遞增。所以極大值為\(y(0)=5\)，極小值為\(y(2)=1\)。單調遞增區(qū)間是\((-\infty,0)\)和\((2,+\infty)\)，單調遞減區(qū)間是\((0,2)\)。2.計算定積分\(\int_{0}^{1}(x^2+e^x)dx\)。根據(jù)定積分的運算法則，\(\int_{0}^{1}(x^2+e^x)dx=\int_{0}^{1}x^2dx+\int_{0}^{1}e^xdx\)。由積分公式\(\intx^2dx=\frac{1}{3}x^3+C\)，\(\inte^xdx=e^x+C\)，可得\([\frac{1}{3}x^3]_{0}^{1}+[e^x]_{0}^{1}=(\frac{1}{3}\times1^3-\frac{1}{3}\times0^3)+(e^1-e^0)=\frac{1}{3}+e-1=e-\frac{2}{3}\)。3.已知矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，求\(A\)的逆矩陣\(A^{-1}\)。先求行列式\(|A|=1\times4-2\times3=-2\)。伴隨矩陣\(A^=\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}\)。則\(A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^=\frac{1}{-2}\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&1\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}\)。4.設隨機變量\(X\)的概率密度函數(shù)為\(f(x)=\begin{cases}kx,&0\leqx\leq1\\0,&其他\end{cases}\)，求常數(shù)\(k\)及\(E(X)\)。由\(\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1\)，即\(\int_{0}^{1}kxdx=1\)，\([\frac{1}{2}kx^2]_{0}^{1}=1\)，\(\frac{1}{2}k=1\)，得\(k=2\)。\(E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx=\int_{0}^{1}x\cdot2xdx=[\frac{2}{3}x^3]_{0}^{1}=\frac{2}{3}\)。五、討論題1.討論函數(shù)\(y=\frac{x^2-1}{x-1}\)在\(x=1\)處的連續(xù)性與可導性。首先，\(y=\frac{x^2-1}{x-1}=x+1(x\neq1)\)。當\(x\to1\)時，\(\lim\limits_{x\to1}y=\lim\limits_{x\to1}(x+1)=2\)，但函數(shù)在\(x=1\)處無定義，所以函數(shù)在\(x=1\)處不連續(xù)。由于函數(shù)在該點不連續(xù)，根據(jù)可導與連續(xù)的關系，不連續(xù)則不可導，所以函數(shù)在\(x=1\)處不可導。2.討論線性方程組\(\begin{cases}x_1+x_2+x_3=1\\x_1+2x_2+ax_3=2\\x_1+4x_2+a^2x_3=4\end{cases}\)解的情況。其增廣矩陣\((A|b)=\begin{pmatrix}1&1&1&1\\1&2&a&2\\1&4&a^2&4\end{pmatrix}\)，經過初等行變換為\(\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&1&a-1&1\\0&0&(a-1)(a-2)&0\end{pmatrix}\)。當\(a\neq1\)且\(a\neq2\)時，\(r(A)=r(A|b)=3\)，方程組有唯一解；當\(a=1\)時，\(r(A)=r(A|b)=2\)，方程組有無窮多解；當\(a=2\)時