數(shù)學(xué)妙題考研真題及答案

一、單項(xiàng)選擇題1.設(shè)函數(shù)$f(x)$在$x=0$處可導(dǎo)，且$f(0)=0$，則$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{x}$等于（）A.$f^\prime(0)$B.$0$C.$f(0)$D.不存在答案：A2.已知函數(shù)$y=f(x)$的導(dǎo)函數(shù)為$f^\prime(x)$，且$f^\prime(x)\gt0$，則函數(shù)$y=f(x)$在其定義域內(nèi)是（）A.單調(diào)遞增函數(shù)B.單調(diào)遞減函數(shù)C.常值函數(shù)D.無(wú)法確定單調(diào)性答案：A3.設(shè)$A$，$B$為$n$階方陣，且$AB=O$，則必有（）A.$A=O$或$B=O$B.$\vertA\vert=0$或$\vertB\vert=0$C.$A+B=O$D.$\vertA\vert+\vertB\vert=0$答案：B4.若級(jí)數(shù)$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$收斂，$\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n$發(fā)散，則級(jí)數(shù)$\sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_n+b_n)$（）A.一定收斂B.一定發(fā)散C.可能收斂也可能發(fā)散D.無(wú)法判斷答案：B5.設(shè)函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上連續(xù)，且$f(a)f(b)\lt0$，則在區(qū)間$(a,b)$內(nèi)（）A.至少存在一點(diǎn)$\xi$，使得$f(\xi)=0$B.至多存在一點(diǎn)$\xi$，使得$f(\xi)=0$C.一定不存在點(diǎn)$\xi$，使得$f(\xi)=0$D.有且僅有一點(diǎn)$\xi$，使得$f(\xi)=0$答案：A6.已知向量組$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$線性無(wú)關(guān)，向量組$\beta_1=\alpha_1+\alpha_2$，$\beta_2=\alpha_2+\alpha_3$，$\beta_3=\alpha_3+\alpha_1$，則向量組$\beta_1,\beta_2,\beta_3$（）A.線性相關(guān)B.線性無(wú)關(guān)C.可能線性相關(guān)也可能線性無(wú)關(guān)D.無(wú)法判斷答案：B7.設(shè)隨機(jī)變量$X$服從正態(tài)分布$N(\mu,\sigma^2)$，則$P(\vertX-\mu\vert\lt\sigma)$的值（）A.與$\mu$和$\sigma$都有關(guān)B.與$\mu$有關(guān)，與$\sigma$無(wú)關(guān)C.與$\mu$無(wú)關(guān)，與$\sigma$有關(guān)D.與$\mu$和$\sigma$都無(wú)關(guān)答案：D8.若函數(shù)$f(x)$在點(diǎn)$x_0$處可微，則$f(x)$在點(diǎn)$x_0$處（）A.一定連續(xù)B.不一定連續(xù)C.一定有極限D(zhuǎn).不一定有極限答案：A9.設(shè)$A$為$n$階可逆矩陣，$\lambda$是$A$的一個(gè)特征值，則$A^{-1}$的一個(gè)特征值為（）A.$\lambda$B.$\frac{1}{\lambda}$C.$\lambda^2$D.$\vert\lambda\vert$答案：B10.已知函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[0,1]$上的定積分$\int_{0}^{1}f(x)dx=2$，則$\int_{0}^{1}2f(x)dx$等于（）A.2B.4C.1D.0答案：B二、多項(xiàng)選擇題1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)是奇函數(shù)的有（）A.$y=x^3$B.$y=\sinx$C.$y=e^x$D.$y=\ln(1+x^2)$答案：AB2.以下關(guān)于函數(shù)極限的說(shuō)法正確的是（）A.若$\lim\limits_{x\tox_0}f(x)$存在，$\lim\limits_{x\tox_0}g(x)$存在，則$\lim\limits_{x\tox_0}(f(x)+g(x))$存在B.若$\lim\limits_{x\tox_0}f(x)$存在，$\lim\limits_{x\tox_0}g(x)$不存在，則$\lim\limits_{x\tox_0}(f(x)g(x))$不存在C.若$\lim\limits_{x\tox_0}f(x)=A$，則對(duì)于任意給定的$\varepsilon\gt0$，存在$\delta\gt0$，當(dāng)$0\lt\vertx-x_0\vert\lt\delta$時(shí)，有$\vertf(x)-A\vert\lt\varepsilon$D.若函數(shù)$f(x)$在$x_0$處極限存在，則$f(x)$在$x_0$處一定連續(xù)答案：AC3.設(shè)$A$，$B$為$n$階方陣，下列等式成立的有（）A.$(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$B.$(AB)^T=B^TA^T$C.$\vertAB\vert=\vertA\vert\vertB\vert$D.$(A^{-1})^T=(A^T)^{-1}$答案：BCD4.下列級(jí)數(shù)中，收斂的有（）A.$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$B.$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$C.$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}$D.$\sum\limits_{n=1}^{\infty}n$答案：AC5.對(duì)于二元函數(shù)$z=f(x,y)$，下列說(shuō)法正確的是（）A.若偏導(dǎo)數(shù)$\frac{\partialz}{\partialx}$，$\frac{\partialz}{\partialy}$在點(diǎn)$(x_0,y_0)$處連續(xù)，則函數(shù)$z=f(x,y)$在點(diǎn)$(x_0,y_0)$處可微B.若函數(shù)$z=f(x,y)$在點(diǎn)$(x_0,y_0)$處可微，則偏導(dǎo)數(shù)$\frac{\partialz}{\partialx}$，$\frac{\partialz}{\partialy}$在點(diǎn)$(x_0,y_0)$處一定連續(xù)C.函數(shù)$z=f(x,y)$在點(diǎn)$(x_0,y_0)$處的全微分$dz=\frac{\partialz}{\partialx}\vert_{(x_0,y_0)}dx+\frac{\partialz}{\partialy}\vert_{(x_0,y_0)}dy$D.若偏導(dǎo)數(shù)$\frac{\partialz}{\partialx}$，$\frac{\partialz}{\partialy}$在點(diǎn)$(x_0,y_0)$處存在，則函數(shù)$z=f(x,y)$在點(diǎn)$(x_0,y_0)$處一定連續(xù)答案：AC6.設(shè)向量組$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$線性相關(guān)，則（）A.該向量組中至少有一個(gè)向量可以由其余向量線性表示B.存在一組不全為零的數(shù)$k_1,k_2,\cdots,k_s$，使得$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0$C.該向量組的秩小于$s$D.若向量組$\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t$可以由$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$線性表示，則$t\lts$答案：ABC7.設(shè)隨機(jī)變量$X$的概率分布為$P(X=k)=\frac{C}{2^k}$，$k=1,2,\cdots$，則（）A.$C=1$B.$X$服從幾何分布C.$E(X)=2$D.$D(X)=2$答案：AC8.下列關(guān)于矩陣特征值與特征向量的說(shuō)法正確的是（）A.若$\lambda$是矩陣$A$的特征值，$\xi$是對(duì)應(yīng)的特征向量，則$A\xi=\lambda\xi$B.矩陣$A$的不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量一定線性無(wú)關(guān)C.若矩陣$A$可逆，則$A$的特征值都不為零D.矩陣$A$的特征值之和等于矩陣$A$的主對(duì)角線元素之和答案：ABCD9.設(shè)函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上可積，則（）A.函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上一定連續(xù)B.函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上一定有界C.$\int_{a}^f(x)dx=-\int_^{a}f(x)dx$D.若$m\leqf(x)\leqM$，$x\in[a,b]$，則$m(b-a)\leq\int_{a}^f(x)dx\leqM(b-a)$答案：BCD10.以下關(guān)于函數(shù)極值的說(shuō)法正確的是（）A.若函數(shù)$f(x)$在點(diǎn)$x_0$處可導(dǎo)，且$f^\prime(x_0)=0$，則$x_0$一定是函數(shù)$f(x)$的極值點(diǎn)B.若函數(shù)$f(x)$在點(diǎn)$x_0$處取得極值，且$f(x)$在點(diǎn)$x_0$處可導(dǎo)，則$f^\prime(x_0)=0$C.函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$(a,b)$內(nèi)的極大值一定大于極小值D.函數(shù)$f(x)$的極值點(diǎn)可能是駐點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)答案：BD三、判斷題1.若函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上連續(xù)，則$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上一定有最大值和最小值。（）答案：對(duì)2.若向量組$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$線性相關(guān)，則$\alpha_1$一定可以由$\alpha_2$和$\alpha_3$線性表示。（）答案：錯(cuò)3.級(jí)數(shù)$\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^n$是收斂的。（）答案：錯(cuò)4.若函數(shù)$f(x)$在點(diǎn)$x_0$處的導(dǎo)數(shù)$f^\prime(x_0)=0$，則$f(x)$在點(diǎn)$x_0$處取得極值。（）答案：錯(cuò)5.設(shè)$A$，$B$為$n$階方陣，若$AB=BA$，則$(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$。（）答案：對(duì)6.二元函數(shù)$z=f(x,y)$在點(diǎn)$(x_0,y_0)$處的偏導(dǎo)數(shù)$\frac{\partialz}{\partialx}$，$\frac{\partialz}{\partialy}$存在，則函數(shù)$z=f(x,y)$在點(diǎn)$(x_0,y_0)$處一定連續(xù)。（）答案：錯(cuò)7.若隨機(jī)變量$X$與$Y$相互獨(dú)立，則$E(XY)=E(X)E(Y)$。（）答案：對(duì)8.矩陣$A$的特征值一定是實(shí)數(shù)。（）答案：錯(cuò)9.定積分$\int_{a}^f(x)dx$的值與積分變量用什么字母表示無(wú)關(guān)。（）答案：對(duì)10.若函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$I$上的二階導(dǎo)數(shù)$f^{\prime\prime}(x)\gt0$，則函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$I$上是凹的。（）答案：對(duì)四、簡(jiǎn)答題1.簡(jiǎn)述函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系。函數(shù)極限與數(shù)列極限密切相關(guān)。海涅定理指出，函數(shù)$f(x)$當(dāng)$x\tox_0$時(shí)極限存在且等于$A$的充要條件是，對(duì)于任意以$x_0$為極限的數(shù)列$\{x_n\}$（$x_n\neqx_0$），數(shù)列$\{f(x_n)\}$的極限都存在且等于$A$。這說(shuō)明可以通過(guò)研究數(shù)列極限來(lái)判斷函數(shù)極限，同時(shí)函數(shù)極限的性質(zhì)也能為數(shù)列極限的研究提供思路。2.簡(jiǎn)述矩陣可逆的判定條件。矩陣$A$可逆的判定條件有多個(gè)。首先，$A$可逆的充要條件是$\vertA\vert\neq0$；其次，$A$可逆當(dāng)且僅當(dāng)存在矩陣$B$，使得$AB=BA=E$；從秩的角度，$A$可逆等價(jià)于$r(A)=n$（$n$為矩陣$A$的階數(shù)）；從線性方程組角度，$A$可逆意味著線性方程組$Ax=b$有唯一解；從特征值角度，$A$可逆當(dāng)且僅當(dāng)$A$的所有特征值都不為零。3.簡(jiǎn)述級(jí)數(shù)收斂的必要條件。若級(jí)數(shù)$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$收斂，則$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0$。這是級(jí)數(shù)收斂的必要條件，但不是充分條件。也就是說(shuō)，當(dāng)$\lim\limits_{n\to\infty}a_n\neq0$時(shí)，級(jí)數(shù)$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$一定發(fā)散；然而當(dāng)$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0$時(shí)，級(jí)數(shù)$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$不一定收斂，比如調(diào)和級(jí)數(shù)$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$，雖然$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0$，但該級(jí)數(shù)是發(fā)散的。4.簡(jiǎn)述二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì)。二維隨機(jī)變量$(X,Y)$的聯(lián)合分布函數(shù)$F(x,y)$具有以下性質(zhì)：一是有界性，$0\leqF(x,y)\leq1$，且$F(-\infty,y)=0$，$F(x,-\infty)=0$，$F(-\infty,-\infty)=0$，$F(+\infty,+\infty)=1$；二是單調(diào)性，關(guān)于$x$和$y$都是單調(diào)不減的；三是右連續(xù)性，即$F(x+0,y)=F(x,y)$，$F(x,y+0)=F(x,y)$；四是對(duì)于任意$x_1\ltx_2$，$y_1\lty_2$，有$P(x_1\ltX\leqx_2,y_1\ltY\leqy_2)=F(x_2,y_2)-F(x_2,y_1)-F(x_1,y