第1章

有限元法與ANSYS入門(mén)第一章有限元法及ANSYS概述

工程技術(shù)領(lǐng)域內(nèi)常用的數(shù)值模擬方法有：有限單元法（FiniteElementMethod，F(xiàn)EM）、邊界元法（BoundaryElementMethod，BEM）和有限差分法（FiniteDifferenceMethod，F(xiàn)DM）。基本思想就是離散化。

CAE即計(jì)算機(jī)輔助工程，指工程設(shè)計(jì)中的分析計(jì)算與仿真。通用軟件可對(duì)多種類(lèi)型的工程和產(chǎn)品的物理力學(xué)性能進(jìn)行分析、模擬、預(yù)測(cè)、評(píng)價(jià)和優(yōu)化，以實(shí)現(xiàn)產(chǎn)品技術(shù)創(chuàng)新。它以覆蓋的應(yīng)用范圍廣而著稱(chēng)，如ANSYS、PATRAN、NASTRAN和MARC等。1.1發(fā)展與現(xiàn)狀1941年A.Hrennikoff首次提出用離散元素法求解彈性力學(xué)問(wèn)題，當(dāng)時(shí)僅限于用桿系結(jié)構(gòu)來(lái)構(gòu)造離散模型，但能很好地說(shuō)明有限元的思想。如果原結(jié)構(gòu)是桿系，這種方法的解是精確的，就是矩陣分析法。究其實(shí)質(zhì)這還不能說(shuō)就是有限單元法的思想，但結(jié)合以后的有限元理論，統(tǒng)稱(chēng)為廣義有限單元法。1943年R．Courant在求解扭轉(zhuǎn)問(wèn)題時(shí)為了表征翹曲函數(shù)而將截面分成若干三角形區(qū)域，在各三角形區(qū)域設(shè)定一個(gè)線性的翹曲函數(shù)。

1960年美國(guó)的R.W.Clough教授在一篇題為“平面應(yīng)力分析的有限單元法”的論文中首先使用“有限單元法（theFiniteElementMethod）”一詞，此后這一名稱(chēng)得到廣泛承認(rèn)

。

1.1發(fā)展與現(xiàn)狀20世紀(jì)70年代以來(lái)，有限單元法應(yīng)用范圍擴(kuò)展到所有工程領(lǐng)域，成為連續(xù)介質(zhì)問(wèn)題數(shù)值解法中最活躍的分支。有限單元法的基本思想是將物體（即連續(xù)的求解域）離散成有限個(gè)且按一定方式相互聯(lián)結(jié)在一起的單元的組合，來(lái)模擬或逼近原來(lái)的物體，從而將一個(gè)連續(xù)的無(wú)限自由度問(wèn)題簡(jiǎn)化為離散的有限自由度問(wèn)題求解的一種數(shù)值分析法。將有限元分析、計(jì)算機(jī)圖形學(xué)和優(yōu)化技術(shù)相結(jié)合，已成為解決現(xiàn)代工程學(xué)問(wèn)題必不可少的有力工具：ANSYS軟件是融結(jié)構(gòu)、流體、電磁場(chǎng)、聲場(chǎng)和耦合場(chǎng)分析于一體的大型通用有限元分析軟件。由世界上最大的有限元分析軟件公司之一的美國(guó)ANSYS開(kāi)發(fā)，它能與多數(shù)CAD軟件接口，實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)的共享和交換，如Pro/E、UG、I－DEAS、CADDS及AutoCAD等。1.2矩陣分析法矩陣分析法適用于由連桿或梁等單元組成的桿件結(jié)構(gòu)，是一種具有樸素的有限元思想的非連續(xù)介質(zhì)的力學(xué)分析方法。

圖1-1桁架圖1-2水平桿單元桿單元兩端各有一個(gè)水平節(jié)點(diǎn)位移ui和uj，即具有兩個(gè)自由度。兩端結(jié)節(jié)點(diǎn)力分別為Ui和Uj。桿的受力情況可分解為兩種狀態(tài)：狀態(tài)一：ui=ui

，uj=0。這時(shí)，節(jié)點(diǎn)j被固定。狀態(tài)二：ui=0，uj=uj。與狀態(tài)一正好相反。1．水平桿單元?jiǎng)偠染仃?.2矩陣分析法狀態(tài)一：ui=ui

，uj=0狀態(tài)二：ui=0，uj=uj單元應(yīng)變

單元應(yīng)力

單元左端節(jié)點(diǎn)力

單元右端節(jié)點(diǎn)力

材料力學(xué)中以拉應(yīng)力為正，而有限單元法中，以向右的節(jié)點(diǎn)力為正，所以下式中加一負(fù)號(hào)

1.2矩陣分析法狀態(tài)一：ui=ui

，uj=0狀態(tài)二：ui=0，uj=uj單元左端節(jié)點(diǎn)力

單元右端節(jié)點(diǎn)力

單元?jiǎng)偠染仃?能體現(xiàn)出任何一個(gè)自由度方向的節(jié)點(diǎn)力與所有節(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系.左、右兩端都可變位情況下單元節(jié)點(diǎn)力

圖1-3局部坐標(biāo)與整體坐標(biāo)

2．傾斜桿單元?jiǎng)偠染仃?.2矩陣分析法節(jié)點(diǎn)力

上式反映了單元節(jié)點(diǎn)位移與單元節(jié)點(diǎn)力的關(guān)系，稱(chēng)為單元?jiǎng)偠确匠?/p>

α=cosθ，β=sinθ

剛度系數(shù)kij的意義是第j自由度對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)在第j自由度方向產(chǎn)生單位位移時(shí)，對(duì)第i自由度對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)在第i自由度方向產(chǎn)生的作用力。3．節(jié)點(diǎn)平衡方程與整體剛度矩陣1.2矩陣分析法圖1-4節(jié)點(diǎn)i的平衡節(jié)點(diǎn)i的荷載Pi=[Xi

Yi]T

水平和垂直方向的節(jié)點(diǎn)受力平衡方程為：桿單元ij在節(jié)點(diǎn)i的節(jié)點(diǎn)力為

考慮所有節(jié)點(diǎn)力對(duì)于全部節(jié)點(diǎn)i=1,2,…,N的結(jié)構(gòu)，得到2N階線性方程組，即結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)平衡方程組1.2矩陣分析法4．總體剛度矩陣的合成考Ge為單元大域變換矩陣，對(duì)平面桁架結(jié)構(gòu)，單元自由度m=4，節(jié)點(diǎn)自由度為h=2，整個(gè)結(jié)構(gòu)有n個(gè)節(jié)點(diǎn)，則該單元大域變換矩陣為m×（hn）維。ij單元假定為全局單元編號(hào)中第3個(gè)：一種為編碼法，一種為大域變換矩陣法

總體結(jié)構(gòu)的荷載向量、位移向量與單元荷載向量、位移向量之間的關(guān)系為1.2矩陣分析法5．邊界條件的處理邊界條件指結(jié)構(gòu)邊界上所受到的外加約束。通常情況下位移知道，則荷載不知道，反之亦然。圖1-5桁架

邊界上的節(jié)點(diǎn)一種可以自由變形，這時(shí)只要讓這些節(jié)點(diǎn)上的荷載等于零就可以了，如果節(jié)點(diǎn)3作用著外荷載，可令該點(diǎn)的荷載等于規(guī)定的荷載Q。另一種是邊界上的節(jié)點(diǎn)，規(guī)定了節(jié)點(diǎn)位移的數(shù)值：u1=v1=v4=0，v2=b1.3有限元法分析的一般步驟1、結(jié)構(gòu)離散化

1）單元類(lèi)型選擇。離散化首先要選定單元類(lèi)型，這包括單元形狀、單元節(jié)點(diǎn)數(shù)與節(jié)點(diǎn)自由度數(shù)等三個(gè)方面的內(nèi)容。2）單元?jiǎng)澐?。劃分單元時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：①網(wǎng)格劃分越細(xì)，節(jié)點(diǎn)越多，計(jì)算結(jié)果越精確。網(wǎng)格加密到一定程度后計(jì)算精度的提高就不明顯，對(duì)應(yīng)力應(yīng)變變化平緩的區(qū)域不必要細(xì)分網(wǎng)格。②單元形態(tài)應(yīng)盡可能接近相應(yīng)的正多邊形或正多面體，如三角形單元三邊應(yīng)盡量接近，且不出現(xiàn)鈍角；矩陣單元長(zhǎng)寬不宜相差過(guò)大等。③單元節(jié)點(diǎn)應(yīng)與相鄰單元節(jié)點(diǎn)相連接，不能置于相鄰單元邊界上。④同一單元由同一種材料構(gòu)成。⑤網(wǎng)格劃分應(yīng)盡可能有規(guī)律，以利于計(jì)算機(jī)自動(dòng)生成網(wǎng)格。3）節(jié)點(diǎn)編碼1.3有限元法分析的一般步驟2、單元分析1）集成整體節(jié)點(diǎn)載荷向量P。2）集成整體剛度矩陣K，得到總體平衡方程Kδ=P3）引進(jìn)邊界約束條件，解總體平衡方程求出節(jié)點(diǎn)位移。

3、整體分析

通過(guò)對(duì)單元的力學(xué)分析建立單元?jiǎng)偠染仃嘖e。1.3本章小結(jié)

本章簡(jiǎn)要地介紹了有限元方法與ANSYS軟件的發(fā)展現(xiàn)狀，給出有限元方法的基本思想：將物體（即連續(xù)的求解域）離散成有限個(gè)且按一定方式相互聯(lián)結(jié)在一起的單元的組合，來(lái)模擬或逼近原來(lái)的物體，從而將一個(gè)連續(xù)的無(wú)限自由度問(wèn)題簡(jiǎn)化為離散的有限自由度問(wèn)題求解的一種數(shù)值分析法。其理論基礎(chǔ)是加權(quán)余