【備考期末】淄博市中考數(shù)學(xué)期末幾何綜合壓軸題易錯(cuò)匯編一、中考數(shù)學(xué)幾何綜合壓軸題1．問題探究（1）如圖1，△ABC和△DEC均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，點(diǎn)B，D，E在同一直線上，連接AD，BD．①請(qǐng)?zhí)骄緼D與BD之間的位置關(guān)系：________；②若AC＝BC＝，DC＝CE＝，則線段AD的長(zhǎng)為________；拓展延伸（2）如圖2，△ABC和△DEC均為直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝，BC＝，CD＝，CE＝1．將△DCE繞點(diǎn)C在平面內(nèi)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角∠BCD為α（0°≤α＜360°），作直線BD，連接AD，當(dāng)點(diǎn)B，D，E在同一直線上時(shí)，畫出圖形，并求線段AD的長(zhǎng)．解析：（1）①垂直，②4；（2）作圖見解析，或【分析】（1）①由“SAS”可證△ACD≌△BCE，可得∠ADC=∠BEC=45°，可得AD⊥BD；②過點(diǎn)C作CF⊥AD于點(diǎn)F，由勾股定理可求DF，CF，AF的長(zhǎng)，即可求AD的長(zhǎng)；（2）分點(diǎn)D在BC左側(cè)和BC右側(cè)兩種情況討論，根據(jù)勾股定理和相似三角形的性質(zhì)可求解．【詳解】解：（1）∵△ABC和△DEC均為等腰直角三角形，∴AC=BC，CE=CD，∠ABC=∠DEC=45°=∠CDE∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACD=∠BCE，且AC=BC，CE=CD∴△ACD≌△BCE（SAS）∴∠ADC=∠BEC=45°∴∠ADE=∠ADC+∠CDE=90°∴AD⊥BD故答案為：垂直②如圖，過點(diǎn)C作CF⊥AD于點(diǎn)F，∵∠ADC=45°，CF⊥AD，CD=∴DF=CF=1∴∴AD=AF+DF=4故答案為：4．（2）①如圖：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝，BC＝，CD＝，CE＝1，∴AB=2,DE=2,∠ACD＝∠BCE,．∴△ACD∽△BCE．∴∠ADC＝∠E，．又∵∠CDE+∠E=90°，∴∠ADC+∠CDE=90°，即∠ADE=90°．∴AD⊥BE．設(shè)BE=x，則AD=x．在Rt△ABD中，，即．解得（負(fù)值舍去）．∴AD=．②如圖，同①設(shè)BE=x，則AD=x．在Rt△ABD中，，即．解得（負(fù)值舍去）．∴AD=．綜上可得，線段AD的長(zhǎng)為【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，關(guān)鍵是添加恰當(dāng)輔助線．2．[問題解決]（1）如圖1．在平行四邊形紙片ABCD（AD＞AB）中，將紙片沿過點(diǎn)A的直線折疊，使點(diǎn)B落在AD上的點(diǎn)處，折線AE交BC于點(diǎn)E，連接B'E．求證：四邊形是菱形．[規(guī)律探索]（2）如圖2，在平行四邊形紙片ABCD（AD＞AB）中，將紙片沿過點(diǎn)P的直線折疊，點(diǎn)B恰好落在AD上的點(diǎn)Q處，點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，得到折痕FP，那么△PFQ是等腰三角形嗎？請(qǐng)說明理由．[拓展應(yīng)用]（3）如圖3，在矩形紙片ABCD（AD＞AB）中，將紙片沿過點(diǎn)P的直線折疊，得到折痕FP，點(diǎn)B落在紙片ABCD內(nèi)部點(diǎn)處，點(diǎn)A落在紙片ABCD外部點(diǎn)處，與AD交于點(diǎn)M，且M＝M．已知：AB＝4，AF＝2，求BP的長(zhǎng)．解析：（1）證明見解析；（2）是，理由見解析；（3）．【分析】（1）由平行線的性質(zhì)和翻折可推出，即．故四邊形是平行四邊形，再由翻折可知，即證明平行四邊形是菱形．（2）由翻折和平行線的性質(zhì)可知，，即得出，即是等腰三角形．（3）延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)G，根據(jù)題意易證，得出結(jié)論，．根據(jù)（2）同理可知為等腰三角形，即FG=PG．再在中，，即可求出，最后即可求出．【詳解】（1）由平行四邊形的性質(zhì)可知，∴，由翻折可知，∴，∴．∴四邊形是平行四邊形．再由翻折可知，∴四邊形是菱形．（2）由翻折可知，∵，∴，∴，∴QF=QP，∴是等腰三角形．（3）如圖，延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)G，根據(jù)題意可知，在和中，，∴，∴，．根據(jù)（2）同理可知為等腰三角形．∴FG=PG．∵，∴在中，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題為矩形的折疊問題．考查矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，菱形的判定，等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理，綜合性強(qiáng)．掌握折疊的性質(zhì)和正確的連接輔助線是解答本題的關(guān)鍵．3．（問題原型）如圖，在矩形中，對(duì)角線、交于點(diǎn)，以為直徑作．求證：點(diǎn)、在上．請(qǐng)完成上面問題的證明，寫出完整的證明過程．（發(fā)現(xiàn)結(jié)論）矩形的四個(gè)頂點(diǎn)都在以該矩形對(duì)角線的交點(diǎn)為圓心，對(duì)角線的長(zhǎng)為直徑的圓上．（結(jié)論應(yīng)用）如圖，已知線段，以線段為對(duì)角線構(gòu)造矩形．求矩形面積的最大值．（拓展延伸）如圖，在正方形中，，點(diǎn)、分別為邊、的中點(diǎn)，以線段為對(duì)角線構(gòu)造矩形，矩形的邊與正方形的對(duì)角線交于、兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)最大時(shí)，矩形的面積為_____________________解析：?jiǎn)栴}原型：見解析；結(jié)論應(yīng)用：見解析；發(fā)現(xiàn)結(jié)論：2；拓展延伸：2【分析】問題原型：運(yùn)用矩形對(duì)角線互相平分且相等，即可求證四點(diǎn)共圓；結(jié)論應(yīng)用：根據(jù)結(jié)論矩形面積最大時(shí)為正方形，利用對(duì)角線的長(zhǎng)求得正方形的面積；拓展延伸：由上一問的結(jié)論，可知四邊形為正方形,證明四邊形是正方形，繼而求得面積【詳解】解：【問題原型】∵為直徑，∴為半徑.令.∵四邊形為矩形，∴，，.∴.∴點(diǎn)、在上.【結(jié)論應(yīng)用】連續(xù)交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn).∴.由【發(fā)現(xiàn)結(jié)論】可知，點(diǎn)在以為直徑的圓上，即，∴當(dāng)即時(shí)，矩形的面積最大.∴矩形的面積最大值為.【拓展延伸】如圖，連接,設(shè)與的交點(diǎn)為四邊形是正方形,，點(diǎn)、分別為邊、的中點(diǎn),四邊形是矩形由【結(jié)論應(yīng)用】可知，時(shí)，矩形的面積最大為此時(shí)四邊形為正方形，此時(shí)最大，,四邊形是正方形正方形的面積為：【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)與判定，靈活運(yùn)用矩形，正方形的性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵．4．[初步嘗試]（1）如圖①，在三角形紙片ABC中，∠ACB＝90°，將△ABC折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，折痕為MN，則AM與BM的數(shù)量關(guān)系為；[思考說理]（2）如圖②，在三角形紙片ABC中，AC＝BC＝6，AB＝10，將△ABC折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，折痕為MN，求的值；[拓展延伸]（3）如圖③，在三角形紙片ABC中，AB＝9，BC＝6，∠ACB＝2∠A，將△ABC沿過頂點(diǎn)C的直線折疊，使點(diǎn)B落在邊AC上的點(diǎn)B′處，折痕為CM．①求線段AC的長(zhǎng)；②若點(diǎn)O是邊AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段OB′上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將△APM沿PM折疊得到△A′PM，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)A′，A′M與CP交于點(diǎn)F，求的取值范圍．解析：（1）AM＝BM；（2）；（3）①AC＝；②≤≤．【分析】（1）利用平行線分線段成比例定理解決問題即可．（2）利用相似三角形的性質(zhì)求出BM，AM即可．（3）①證明△BCM∽△BAC，推出由此即可解決問題．②證明△PFA′∽△MFC，推出，因?yàn)镃M=5，推出即可解決問題．【詳解】解：（1）如圖①中，∵△ABC折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，折痕為MN，∴MN垂直平分線段BC，∴CN＝BN，∵∠MNB＝∠ACB＝90°，∴MN∥AC，∵CN＝BN，∴AM＝BM．故答案為：AM＝BM．（2）如圖②中，∵CA＝CB＝6，∴∠A＝∠B，由題意MN垂直平分線段BC，∴BM＝CM，∴∠B＝∠MCB，∴∠BCM＝∠A，∵∠B＝∠B，∴△BCM∽△BAC，∴，∴，∴BM＝，∴AM＝AB﹣BM＝10﹣，∴；（3）①如圖③中，由折疊的性質(zhì)可知，CB＝CB′＝6，∠BCM＝∠ACM，∵∠ACB＝2∠A，∴∠BCM＝∠A，∵∠B＝∠B，∴△BCM∽△BAC，∴∴，∴BM＝4，∴AM＝CM＝5，∴，∴AC＝．②如圖③﹣1中，∵∠A＝∠A′＝∠MCF，∠PFA′＝∠MFC，PA＝PA′，∴△PFA′∽△MFC，∴，∵CM＝5，∴，∵點(diǎn)P在線段OB上運(yùn)動(dòng)，OA＝OC＝，AB′＝﹣6＝，∴≤PA′≤，∴≤≤．【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題，屬于中考?jí)狠S題．5．（了解概念）在凸四邊形中，若一邊與它的兩條鄰邊組成的兩個(gè)內(nèi)角相等，則稱該四邊形為鄰等四邊形，這條邊叫做這個(gè)四邊形的鄰等邊．（理解運(yùn)用）（1）在鄰等四邊形中，，，若是這個(gè)鄰等四邊形的鄰等邊，則的度數(shù)為__________；（2）如圖，凸四邊形中，P為邊的中點(diǎn)，，判斷四邊形是否為鄰等四邊形，并證明你的結(jié)論；（拓展提升）（3）在平面直角坐標(biāo)系中，為鄰等四邊形的鄰等邊，且邊與x軸重合，已知，，，若在邊上使的點(diǎn)P有且僅有1個(gè)，則m的值是__________．解析：（1）130°；（2）四邊形ABCD是鄰等四邊形，理由見解析；（3）﹣5±4【分析】（1）根據(jù)鄰等四邊形的定義即可求解；（2）由△ADP∽△PDC，可得，∠DAP＝∠DPC，∠APD＝∠PCD，由P為AB的中點(diǎn)，可得AP＝BP，則，可證△BPC∽△ADP，由相似三角形的性質(zhì)得出∠A＝∠B即可；（3）①若點(diǎn)B在點(diǎn)A右側(cè)，如圖，由AB為鄰等邊，則有∠DAB＝∠ABC＝∠DPC，可證△ADP∽△BPC，可得＝，設(shè)點(diǎn)P（n，0），由等腰直角三角形可求∠BAD＝45°，可求B、C橫坐標(biāo)之差為3，B（m+3，0），將AP，BP，AD，BC，代入得：，整理可得：﹣n2+（m+1）n+2m﹣18＝0，由題意可知n只有一個(gè)解，可求得m＝﹣5+4；②若點(diǎn)B在點(diǎn)A左側(cè)，可求得∠BAD＝135°，可證△ADP∽△BPC，可得＝，可求得B、C橫坐標(biāo)之差為3，，可求得m＝﹣5﹣4．【詳解】解：（1）∵CD為鄰等邊，∴∠C＝∠D，又∵，，∴∠C＝∠D＝（360°﹣∠A﹣∠B）÷2＝130°，∴∠C＝130°．故答案為：130°；（2）四邊形ABCD是鄰等四邊形，理由如下：∵△ADP∽△PDC，∴，∠DAP＝∠DPC，∠APD＝∠PCD，∠ADP＝∠PDC，又∵P為AB的中點(diǎn)，∴AP＝BP，∴，∴，∵∠APD+∠BPC＝180°﹣∠DPC，∠PCD+∠PDC＝180°﹣∠DPC，且∠APD＝∠PCD，∴∠BPC＝∠PDC，∵∠ADP＝∠PDC，∴∠ADP＝∠BPC，∴△BPC∽△ADP，∴∠B＝∠A，∴四邊形ABCD為鄰等四邊形；（3）若點(diǎn)B在點(diǎn)A右側(cè)，如圖，∵AB為鄰等邊，則有∠DAB＝∠ABC＝∠DPC，又∵∠ADP+∠DPA＝180°﹣∠DAB，∠BPC+∠DPA＝180°﹣∠DPC，∴∠DAB＝∠DPC，∠ADP＝∠BPC，∴△ADP∽△BPC，∴＝，設(shè)點(diǎn)P（n，0），∵A（﹣2，0），D（2，4），∴∠BAD＝45°，∴∠ABC＝45°，過點(diǎn)C作CE⊥x軸于點(diǎn)E，則∠CEB＝90°，∠BCE＝∠ABC＝45°，∴CE＝BE，∵點(diǎn)C（m，3），∴CE＝3，∴BE＝3，∴B（m+3，0），∴AP＝n+2，BP＝m+3﹣n，∴AD＝＝，BC＝＝，代入＝得：，整理可得：﹣n2+（m+1）n+2m﹣18＝0，由題意可知n只有一個(gè)解，∴△＝（m+1）2+4（2m﹣18）＝0，解得：m＝﹣5±4，又∵點(diǎn)C在點(diǎn)D右側(cè)，∴m＝﹣5+4；②若點(diǎn)B在點(diǎn)A左側(cè)，如圖，此時(shí)，∵A（﹣2，0），D（2，4），∴∠OAD＝45°，∴∠BAD＝∠ABC＝∠DPC＝135°，∵∠ADP+∠DPA＝180°﹣∠DAB，∠BPC+∠DPA＝180°﹣∠DPC，∴ADP＝∠BPC，∴△ADP∽△BPC，∴＝，由①得：B（m+3，0），C（m，3），P（n，0），AP＝﹣2﹣n，BP＝n﹣m﹣3，AD＝，BC＝，∴，解得：m＝﹣5±4，又∵點(diǎn)C在點(diǎn)D左側(cè)，∴m＝﹣5﹣4；綜上所述：m＝﹣5±4．【點(diǎn)睛】本題是相似綜合題，考查新定義圖形，仔細(xì)閱讀題目，抓住定義中的性質(zhì)，會(huì)驗(yàn)證新定義圖形，相似三角形的判定與性質(zhì)，一元二次方程根的判別式，利用相似三角形的性質(zhì)構(gòu)造關(guān)于n的一元二次方程是解題關(guān)鍵．6．如圖，分別為中上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)除外），連接交于點(diǎn)P，.我們約定：線段所對(duì)的，稱為線段的張角.情景發(fā)現(xiàn)（1）已知三角形是等邊三角形，，①求線段的張角的度數(shù)；②求點(diǎn)P到的最大距離；③若點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路線的長(zhǎng)度稱為點(diǎn)P的路徑長(zhǎng)，求點(diǎn)P的路徑長(zhǎng).拓展探究（2）在（1）中，已知是圓P的外切三角形，若點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路線的長(zhǎng)度稱為點(diǎn)的路徑長(zhǎng)，試探究點(diǎn)的路徑長(zhǎng)與點(diǎn)P的路徑長(zhǎng)之間有何關(guān)系？請(qǐng)通過計(jì)算說明.解析：（1）①120°，②點(diǎn)P到的最大距離，③；（2）點(diǎn)的路徑長(zhǎng)與點(diǎn)P的路徑長(zhǎng)的比值是2：1（或點(diǎn)的路徑長(zhǎng)是點(diǎn)P的路徑長(zhǎng)的2倍）.【分析】（1）①利用等邊三角形的性質(zhì)證△AEB與△BCF全等，得到∠EBA＝∠BCF，利用三角形的內(nèi)角和定理即可求出∠CPB的度數(shù)；②由題意可知當(dāng)PO⊥BC于點(diǎn)N時(shí)，點(diǎn)P到BC的距離最大，根據(jù)垂徑定理及三角函數(shù)即可求出點(diǎn)P到BC的最大距離；③由題意知點(diǎn)P的路徑長(zhǎng)為弧BC的長(zhǎng)，在②的基礎(chǔ)上直接利用公式即可求出結(jié)果；（2）由題意可知張角∠CPB的度數(shù)始終為120°，可得∠CBP＋∠BCP＝60°，因?yàn)閳AP是△A'BC的內(nèi)切圓，由此可推出A'是等邊三角形ABC外接圓上優(yōu)弧BAC上的一動(dòng)點(diǎn)，其半徑為2，圓心角240°，根據(jù)弧長(zhǎng)公式可直接求出其長(zhǎng)度，并計(jì)算出點(diǎn)A'的路徑長(zhǎng)是點(diǎn)P的路徑長(zhǎng)的2倍．【詳解】解：（1）①∵是等邊三角形，∴，∵，∴，∴.∵，∴，.②（2）如圖所示，由于始終為，故過點(diǎn)作圓O,∴.當(dāng)于點(diǎn)N時(shí)，點(diǎn)P到的距離最大.∵，∴，∴，∴點(diǎn)P到的最大距離.③由②可知點(diǎn)P的路徑為的長(zhǎng)度，即（2）點(diǎn)的路徑長(zhǎng)與點(diǎn)P的路徑長(zhǎng)的比值是（或點(diǎn)的路徑長(zhǎng)是點(diǎn)P的路徑長(zhǎng)的2倍），理由：由（1）中題意可知張角的度數(shù)始終為，可得，又因?yàn)閳AP是的內(nèi)切圓，所以，所以，所以是等邊三角形外接圓上優(yōu)弧上的一動(dòng)點(diǎn)，由題意可得等邊三角形外接圓的半徑為，點(diǎn)的路徑是優(yōu)弧的長(zhǎng)度，即以的圓心角，半徑為的弧長(zhǎng)，如圖，所以點(diǎn)的路徑長(zhǎng)=，點(diǎn)的路徑長(zhǎng)與點(diǎn)P的路徑長(zhǎng)的比值是：，所以點(diǎn)的路徑長(zhǎng)與點(diǎn)P的路徑長(zhǎng)的比值是2：1（或點(diǎn)的路徑長(zhǎng)是點(diǎn)P的路徑長(zhǎng)的2倍）.【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，圓的有關(guān)性質(zhì)，弧長(zhǎng)公式等，解題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)題意畫出圖形.7．（問題情境）如圖1，點(diǎn)E是平行四邊形ABCD的邊AD上一點(diǎn)，連接BE、CE．求證：S平行四邊形ABCD．（說明：S表示面積）請(qǐng)以“問題情境”為基礎(chǔ)，繼續(xù)下面的探究（探究應(yīng)用1）如圖2，以平行四邊形ABCD的邊AD為直徑作⊙O，⊙O與BC邊相切于點(diǎn)H，與BD相交于點(diǎn)M．若AD＝6，BD＝y(tǒng)，AM＝x，試求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．（探究應(yīng)用2）如圖3，在圖1的基礎(chǔ)上，點(diǎn)F在CD上，連接AF、BF，AF與CE相交于點(diǎn)G，若AF＝CE，求證：BG平分∠AGC．（遷移拓展）如圖4，平行四邊形ABCD中，AB：BC＝4：3，∠ABC＝120°，E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)在BC上，且BF：FC＝2：1，過D分別作DG⊥AF于G，DH⊥CE于H，請(qǐng)直接寫出DG：DH的值．解析：【問題情境】見解析；【探究應(yīng)用1】；【探究應(yīng)用2】見解析；【遷移拓展】.【分析】（1）作EF⊥BC于F，則S△BCE＝BC×EF，S平行四邊形ABCD＝BC×EF，即可得出結(jié)論；（2）連接OH，由切線的性質(zhì)得出OH⊥BC，OH＝AD＝3，求出平行四邊形ABCD的面積＝AD×OH＝18，由圓周角定理得出AM⊥BD，得出△ABD的面積＝BD×AM＝平行四邊形的面積＝9，即可得出結(jié)果；（3）作BM⊥AF于M，BN⊥CE于N，同圖1得：△ABF的面積＝△BCE的面積＝平行四邊形ABCD的面積，得出AF×BM＝CE×BN，證出BM＝BN，即可得出BG平分∠AGC．（4）作AP⊥BC于P，EQ⊥BC于Q，由平行四邊形的性質(zhì)得出∠ABP＝60°，得出∠BAP＝30°，設(shè)AB＝4x，則BC＝3x，由直角三角形的性質(zhì)得出BP＝AB＝2x，BQ＝BE，AP＝BP＝2x，由已知得出BE＝2x，BF＝2x，得出BQ＝x，EQ＝x，PF＝4x，QF＝3x，QC＝4x，由勾股定理求出AF＝＝2x，CE＝＝x，連接DF、DE，由三角形的面積關(guān)系得出AF×DG＝CE×DH，即可得出結(jié)果．【詳解】（1）證明：作EF⊥BC于F，如圖1所示：則S△BCE＝BC×EF，S平行四邊形ABCD＝BC×EF，∴．（2）解：連接OH，如圖2所示：∵⊙O與BC邊相切于點(diǎn)H，∴OH⊥BC，OH＝AD＝3，∴平行四邊形ABCD的面積＝AD×OH＝6×3＝18，∵AD是⊙O的直徑，∴∠AMD＝90°，∴AM⊥BD，∴△ABD的面積＝BD×AM＝平行四邊形的面積＝9，即xy＝9，∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝；（3）證明：作BM⊥AF于M，BN⊥CE于N，如圖3所示：同圖1得：△ABF的面積＝△BCE的面積＝平行四邊形ABCD的面積，∴AF×BM＝CE×BN，∵AF＝CE，∴BM＝BN，∴BG平分∠AGC．（4）解：作AP⊥BC于P，EQ⊥BC于Q，如圖4所示：∵平行四邊形ABCD中，AB：BC＝4：3，∠ABC＝120°，∴∠ABP＝60°，∴∠BAP＝30°，設(shè)AB＝4x，則BC＝3x，∴BP＝AB＝2x，BQ＝BE，AP＝BP＝2x，∵E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)在BC上，且BF：FC＝2：1，∴BE＝2x，BF＝2x，∴BQ＝x，∴EQ＝x，PF＝4x，QF＝3x，QC＝4x，由勾股定理得：AF＝＝2x，CE＝＝x，連接DF、DE，則△CDE的面積＝△ADF的面積＝平行四邊形ABCD的面積，∴AF×DG＝CE×DH，∴DG：DH＝CE：AF＝．【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題目，考查了圓周角定理、平行四邊形的性質(zhì)、三角形面積公式、含30°角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、角平分線的判定等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，需要添加輔助線，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和勾股定理是解題的關(guān)鍵．8．（感知）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，將線段繞著點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至線段，過點(diǎn)作軸，垂足為點(diǎn)，易知，得到點(diǎn)的坐標(biāo)為．（探究）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，將線段繞著點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至線段．（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)．（用含的代數(shù)式表示）（2）求出BC所在直線的函數(shù)表達(dá)式．（拓展）如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在軸上，將線段繞著點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至線段，連結(jié)、，則的最小值為_______．解析：【探究】（1）點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）；【拓展】．【分析】探究:（1）證明△AOC≌△CMB（AAS），即可求解；（2）根據(jù)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（m，m+1），點(diǎn)坐標(biāo)，即可求解；拓展：BO+BA=，BO+BA的值，相當(dāng)于求點(diǎn)P（m，m）到點(diǎn)M（1，-1）和點(diǎn)N（0，-1）的最小值，即可求解．【詳解】解：探究：（1）過點(diǎn)作軸，垂足為點(diǎn)．，．線段繞著點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至線段，．．．，，．點(diǎn)坐標(biāo)，點(diǎn)坐標(biāo)，點(diǎn)坐標(biāo)為（2）∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（m，m+1），點(diǎn)C為（0，m），設(shè)直線BC為：y=kx+b，，解得：，∴；則BC所在的直線為：；拓展：如圖作BH⊥OH于H．設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，m），由（1）知：OC=HB=m，OA=HC=1，則點(diǎn)B（m，1+m），則：BO+BA=，BO+BA的值，相當(dāng)于求點(diǎn)P（m，m）到點(diǎn)M（1，-1）和點(diǎn)N（0，-1）的最小值，相當(dāng)于在直線y=x上尋找一點(diǎn)P（m，m），使得點(diǎn)P到M（0，-1），到N（1，-1）的距離和最小，作M關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)M′（-1，0），易知PM+PN=PM′+PN≥NM′，M′N=，故：BO+BA的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題為一次函數(shù)綜合題，主要考查的是三角形全等的思維拓展，其中拓展，將BO+BA的值轉(zhuǎn)化點(diǎn)P（m，m）到點(diǎn)M（1，-1）和點(diǎn)N（0，-1）的最小值，是本題的新穎點(diǎn)9．（基礎(chǔ)鞏固）（1）如圖①，，求證：．（嘗試應(yīng)用）（2）如圖②，在菱形中，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊上兩點(diǎn)，將菱形沿翻折，點(diǎn)A恰好落在對(duì)角線上的點(diǎn)P處，若，求的值．（拓展提高）（3）如圖③，在矩形中，點(diǎn)P是邊上一點(diǎn)，連接，若，求的長(zhǎng)．解析：（1）見解析；（2）；（3）．【分析】（1）由證明，再根據(jù)相似三角形的判定方法解題即可；（2）由菱形的性質(zhì)，得到，，繼而證明是等邊三角形，結(jié)合（1）中相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，設(shè)，則可整理得到，據(jù)此解題；（3）在邊上取點(diǎn)E，F(xiàn)，使得，由矩形的性質(zhì)，得到，結(jié)合（1）中相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)解題即可．【詳解】解：（1）證明：∵，∴，即，∵，∴；（2）∵四邊形是菱形，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，由（1）得，，∴，設(shè)，則∴，可得①，②，①－②，得，∴，∴的值為；（3）如圖，在邊上取點(diǎn)E，F(xiàn)，使得，設(shè)AB=CD=m，∵四邊形是矩形，∴，∴，=DF，，由（1）可得，，∴，∴，整理，得，解得或（舍去），∴．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的綜合題、等邊三角形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度一般，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．10．（1）探究發(fā)現(xiàn)：下面是一道例題及解答過程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：如圖①在等邊△ABC內(nèi)部，有一點(diǎn)P，若∠APB=150°，求證：AP2+BP2=CP2證明：將△APC繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△AP’B，連接PP’，則△APP’為等邊三角形∴∠APP’=60°，PA=PP’，PC=∵∠APB=150°，∴∠BPP’=90°∴P’P2+BP2=，即PA2+PB2=PC2（2）類比延伸：如圖②在等腰△ABC中，∠BAC=90°，內(nèi)部有一點(diǎn)P，若∠APB=135°，試判斷線段PA，PB，PC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．（3）聯(lián)想拓展：如圖③在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，點(diǎn)P在直線AB上方，且∠APB=60°，滿足（kPA）2+PB2=PC2（其中k＞0），請(qǐng)直接寫出k的值．解析：（1）P’B，P’B2；（2）2PA2+PB2=PC2，見解析；（3）k=【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和勾股定理直接寫出即可．（2）將△APC繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△AP′B，連接PP′，論證PP′=2PA，再根據(jù)勾股定理代換即可．（3）將△APC繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△AP′B，連接PP′，過點(diǎn)A作AH⊥PP′，論證PP′=PA，再根據(jù)勾股定理代換即可．【詳解】（1）PC=P’B，P’P2+BP2=P’B2（2）關(guān)系式為：2PA2+PB2=PC2證明：將△APC繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△AP’B，連接PP’，則△APP’為等腰直角三角形，∴∠APP’=45°，PP’=PA，PC=P’B，∵∠APB=135°，∴∠BPP’=90°，∴P’P2+BP2=P’B2，∴2PA2+PB2=PC2．（3）k=將△APC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△AP’B，連接PP’，過點(diǎn)A作AH⊥PP’，可得【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)三角形的問題，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理是解題的關(guān)鍵．11．問題提出如圖（1），在和中，，，，點(diǎn)在內(nèi)部，直線與交于點(diǎn)，線段，，之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？問題探究（1）先將問題特殊化．如圖（2），當(dāng)點(diǎn)，重合時(shí)，直接寫出一個(gè)等式，表示，，之間的數(shù)量關(guān)系；（2）再探究一般情形．如圖（1），當(dāng)點(diǎn)，不重合時(shí)，證明（1）中的結(jié)論仍然成立．問題拓展如圖（3），在和中，，，（是常數(shù)），點(diǎn)在內(nèi)部，直線與交于點(diǎn)，直接寫出一個(gè)等式，表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系．解析：（1）．（2）見解析；問題拓展：．【分析】（1）先證明△BCE≌△ACD,得到AF=BE，BF-BE=BF-AF=EF=；（2）過點(diǎn)作交于點(diǎn)，證明，，是等腰直角三角形即可；利用前面的方法變?nèi)葹橄嗨谱C明即可．【詳解】問題探究（1）．理由如下：如圖（2），∵∠BCA=∠ECF=90°，∴∠BCE=∠ACF，∵BC=AC，EC=CF，△BCE≌△ACF，∴BE=AF，∴BF-BE=BF-AF=EF=；（2）證明：過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則，∴．∵，∴．又∵，，∴，∴．∴．∴，，∴是等腰直角三角形．∴．∴．問題拓展．理由如下：∵∠BCA=∠ECD=90°，∴∠BCE=∠ACD，∵BC=kAC，EC=kCD，∴△BCE∽△ACD，∴∠EBC=∠FAC，過點(diǎn)作交于點(diǎn)M，則，∴．∴△BCM∽△ACF，∴BM:AF=BC:AC=MC:CF=k，∴BM=kAF,MC=kCF，∴BF-BM=MF，MF==∴BF-kAF=．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握三角形全等的判定，三角形相似的判定，勾股定理是解題的關(guān)鍵．12．綜合與實(shí)踐如圖①，在中中，，，，過點(diǎn)作于，將繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到，連接，，記旋轉(zhuǎn)角為．（1）問題發(fā)現(xiàn)如圖②，當(dāng)時(shí)，__________；如圖③，當(dāng)時(shí)，__________．（2）拓展探究試判斷：當(dāng)時(shí)，的大小有無變化？請(qǐng)僅就圖④的情形給出證明．（3）問題解決如圖⑤，當(dāng)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)落在邊上時(shí)，求線段的長(zhǎng)．解析：（1），；（2）無變化，理由詳見解析；（3）．【分析】（1）首先利用勾股定理可求出AB的值，再根據(jù)三角形面積求出CD的值，再次利用勾股定理求出AD、BD的值，再分情況進(jìn)一步得出的值即可；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出，，再證明即可得出結(jié)論；（3）過點(diǎn)作于，證，推出，得出，繼而得到，再根據(jù)，即可得出答案．【詳解】解：（1）∵，，∴∵∴∴當(dāng)時(shí)，∴當(dāng)時(shí)，∴故答案為：；；（2）無變化．證明：∵在中，，，，∴．∵，∴．∵，，∴．∴，即．∴，．∴．由旋轉(zhuǎn)可知，，．∴．∵，∴．∴．∴．（3）如圖，過點(diǎn)作于．∵，∴．∵，，∴．∴，即．∴．∴．∴．∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、三角形的面積公式、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、相似三角形的判定及性質(zhì)等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，綜合性較強(qiáng)，要會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，會(huì)利用相似三角形的性質(zhì)解題，此題結(jié)構(gòu)精巧，考查范圍廣．13．在中，，過點(diǎn)作直線，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到（點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為）．（1）問題發(fā)現(xiàn)如圖1，若與重合時(shí)，則的度數(shù)為____________；（2）類比探究：如圖2，設(shè)與BC的交點(diǎn)為，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，求線段的長(zhǎng)；（3）拓展延伸在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點(diǎn)分別在的延長(zhǎng)線上時(shí)，試探究四邊形的面積是否存在最小值．若存在，直接寫出四邊形的最小面積；若不存在，請(qǐng)說明理由．解析：（1）60；（2）；（3）【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)可得：AC=A'C=2，進(jìn)而得到BC=，依據(jù)∠A'BC=90°，可得，即可得到∠A'CB=30°，∠ACA'=60°；（2）根據(jù)M為A'B'的中點(diǎn)，即可得出∠A=∠A'CM，進(jìn)而得到，依據(jù)tan∠Q=tan∠A=，即可得到BQ=BC×=2，進(jìn)而得出PQ=PB+BQ=；（3）依據(jù)S四邊形PA'B′Q=S△PCQ-S△A'CB'=S△PCQ-，即可得到S四邊形PA'B′Q最小，即S△PCQ最小，而S△PCQ=PQ×BC=PQ，利用幾何法或代數(shù)法即可得到S△PCQ的最小值=3，S四邊形PA'B′Q=3-．【詳解】解：（1）由旋轉(zhuǎn)可得：，，，，，，，，．（2）為的中點(diǎn)，,山旋轉(zhuǎn)可得，，，，，，，；（3）四邊形四邊形最小即最小，，取的中點(diǎn)，，，即，當(dāng)最小時(shí)，最小，，即與正合時(shí),最小，，，的最小值，四邊形=．【點(diǎn)睛】此題考查四邊形綜合題，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解直角三角形以及直角三角形的性質(zhì)的綜合運(yùn)用，解題關(guān)鍵在于掌握旋轉(zhuǎn)變換中，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．14．小明研究了這樣一道幾何題：如圖1，在中，把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接．當(dāng)時(shí)，請(qǐng)問邊上的中線與的數(shù)量關(guān)系是什么？以下是他的研究過程：特例驗(yàn)證：（1）①如圖2，當(dāng)為等邊三角形時(shí)，猜想與的數(shù)量關(guān)系為_______；②如圖3，當(dāng)，時(shí)，則長(zhǎng)為________．猜想論證：（2）在圖1中，當(dāng)為任意三角形時(shí)，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．拓展應(yīng)用：（3）如圖4，在四邊形，，，，，，在四邊形內(nèi)部是否存在點(diǎn)，使與之間滿足小明探究的問題中的邊角關(guān)系？若存在，請(qǐng)畫出點(diǎn)的位置（保留作圖痕跡，不需要說明）并直接寫出的邊上的中線的長(zhǎng)度；若不存在，說明理由．解析：（1）①；②4，（2）；理由見解析，（3）存在；【分析】（1）①首先證明是含有的直角三角形，可得，即可解決問題；②首先證明，根據(jù)直角三角形斜邊中線定理即可解決問題．（2）與的數(shù)量關(guān)系為，如圖5，延長(zhǎng)到，使，連接、，先證四邊形是平行四邊形，再證明，即可解決問題．（3）存在，如圖6，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于，作于，做直線的垂直平分線交于，交于，連接、、，作的中線，連接交于，先證明，，再證明，即可得出結(jié)論，再在中，根據(jù)勾股定理，即可求出的長(zhǎng)．【詳解】（1）①如圖2，∵是等邊三角形，把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴，又∵是邊上的中線，∴，∴，即，∵，，∴，∴，∴在中，，，∴．故答案為：．②如圖3，∵，，∴，即和為直角三角形，∵把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，∴在和中，∴，∴，∵是邊上的中線，為直角三角形，∴，又∵，∴．故答案為：．（2），如圖5，延長(zhǎng)到，使，連接、，圖5∵，，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵，，∴，∵，∴在和中，∴，∴，∴．（3）存在，如圖6，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于，作于，作直線的垂直平分線交于，交于，連接、、，作的中線，連接交于，圖6∵，∴，∵，∴，在中，∵，，，∴，，，在中，∵，，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，，在中，∵，，∴，∴，∴，∴，∵，∴四邊形是矩形，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∴，∴與之間滿足小明探究的問題中的邊角關(guān)系，在中，∵，，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的綜合問題．掌握全等三角形的性質(zhì)以及判定定理、直角三角形斜邊中線定理、解直角三角形、勾股定理、中線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．在處理三角形的邊旋轉(zhuǎn)問題時(shí)，旋轉(zhuǎn)前后邊長(zhǎng)不變，根據(jù)已知角度變化，求得線段之間關(guān)系．在證明某點(diǎn)是否存在問題時(shí)，先假設(shè)這點(diǎn)存在，能求出相關(guān)線段或坐標(biāo)，即證實(shí)存在性．15．《函數(shù)的圖象與性質(zhì)》拓展學(xué)習(xí)片段展示：（問題）如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=a（x﹣2）2﹣經(jīng)過原點(diǎn)O，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A，則a=．（操作）將圖①中拋物線在x軸下方的部分沿x軸折疊到x軸上方，將這部分圖象與原拋物線剩余部分的圖象組成的新圖象記為G，如圖②．直接寫出圖象G對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式．（探究）在圖②中，過點(diǎn)B（0，1）作直線l平行于x軸，與圖象G的交點(diǎn)從左至右依次為點(diǎn)C，D，E，F(xiàn)，如圖③．求圖象G在直線l上方的部分對(duì)應(yīng)的函數(shù)y隨x增大而增大時(shí)x的取值范圍．（應(yīng)用）P是圖③中圖象G上一點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為m，連接PD，PE．直接寫出△PDE的面積不小于1時(shí)m的取值范圍．解析：【問題】：a=；【操作】：y=；【探究】：當(dāng)1＜x＜2或x＞2+時(shí)，函數(shù)y隨x增大而增大；【應(yīng)用】：m=0或m=4或m≤2﹣或m≥2+．【詳解】試題分析：【問題】：把（0，0）代入可求得a的值；【操作】：先寫出沿x軸折疊后所得拋物線的解析式，根據(jù)圖象可得對(duì)應(yīng)取值的解析式；【探究】：令y=0，分別代入兩個(gè)拋物線的解析式，分別求出四個(gè)點(diǎn)CDEF的坐標(biāo)，根據(jù)圖象呈上升趨勢(shì)的部分，即y隨x增大而增大，寫出x的取值；【應(yīng)用】：先求DE的長(zhǎng)，根據(jù)三角形面積求高的取值h≥1；分三部分進(jìn)行討論：①當(dāng)P在C的左側(cè)或F的右側(cè)部分時(shí)，設(shè)P[m，]，根據(jù)h≥1，列不等式解出即可；②如圖③，作對(duì)稱軸由最大面積小于1可知：點(diǎn)P不可能在DE的上方；③P與O或A重合時(shí)，符合條件，m=0或m=4．試題解析：【問題】∵拋物線y=a（x﹣2）2﹣經(jīng)過原點(diǎn)O，∴0=a（0﹣2）2﹣，a=；【操作】：如圖①，拋物線：y=（x﹣2）2﹣，對(duì)稱軸是：直線x=2，由對(duì)稱性得：A（4，0），沿x軸折疊后所得拋物線為：y=﹣（x﹣2）2+如圖②，圖象G對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為：y=；【探究】：如圖③，由題意得：當(dāng)y=1時(shí)，（x﹣2）2﹣=0，解得：x1=2+，x2=2﹣，∴C（2﹣，1），F(xiàn)（2+，1），當(dāng)y=1時(shí)，﹣（x﹣2）2+=0，解得：x1=3，x2=1，∴D（1，1），E（3，1），由圖象得：圖象G在直線l上方的部分，當(dāng)1＜x＜2或x＞2+時(shí)，函數(shù)y隨x增大而增大；【應(yīng)用】：∵D（1，1），E（3，1），∴DE=3﹣1=2，∵S△PDE=DE?h≥1，∴h≥1；①當(dāng)P在C的左側(cè)或F的右側(cè)部分時(shí)，設(shè)P[m，]，∴h=（m﹣2）2﹣﹣1≥1，（m﹣2）2≥10，m﹣2≥或m﹣2≤﹣，m≥2+或m≤2﹣，②如圖③，作對(duì)稱軸交拋物線G于H，交直線CD于M，交x軸于N，∵H（2，），∴HM=﹣1=＜1，∴當(dāng)點(diǎn)P不可能在DE的上方；③∵M(jìn)N=1，且O（0，0），a（4，0），∴P與O或A重合時(shí)，符合條件，∴m=0或m=4；綜上所述，△PDE的面積不小于1時(shí)，m的取值范圍是：m=0或m=4或m≤2﹣或m≥2+．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．16．我們定義:如果一個(gè)三角形一條邊上的高等于這條邊,那么這個(gè)三角形叫做“等高底”三角形,這條邊叫做這個(gè)三角形的“等底”．（1）概念理解:如圖1,在中,,.,試判斷是否是“等高底”三角形，請(qǐng)說明理由.（2）問題探究:如圖2,是“等高底”三角形,是“等底”，作關(guān)于所在直線的對(duì)稱圖形得到,連結(jié)交直線于點(diǎn).若點(diǎn)是的重心,求的值.（3）應(yīng)用拓展:如圖3,已知,與之間的距離為2.“等高底”的“等底”在直線上,點(diǎn)在直線上,有一邊的長(zhǎng)是的倍.將繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到,所在直線交于點(diǎn).求的值.解析：（1）證明見解析；（2）（3）的值為,,2【解析】分析：（1）過點(diǎn)A作AD⊥直線CB于點(diǎn)D，可以得到AD=BC=3，即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)ΔABC是“等高底”三角形，BC是“等底”，得到AD=BC，再由ΔA′BC與ΔABC關(guān)于直線BC對(duì)稱，得到∠ADC=90°，由重心的性質(zhì)，得到BC=2BD．設(shè)BD=x，則AD=BC=2x，CD=3x，由勾股定理得AC=x，即可得到結(jié)論；（3）分兩種情況討論即可：①當(dāng)AB=BC時(shí)，再分兩種情況討論；②當(dāng)AC=BC時(shí)，再分兩種情況討論即可．詳解：（1）是．理由如下：如圖1，過點(diǎn)A作AD⊥直線CB于點(diǎn)D，∴ΔADC為直角三角形，∠ADC=90°．∵∠ACB=30°，AC=6，∴AD=AC=3，∴AD=BC=3，即ΔABC是“等高底”三角形．（2）如圖2，∵ΔABC是“等高底”三角形，BC是“等底”，∴AD=BC，∵ΔA′BC與ΔABC關(guān)于直線BC對(duì)稱，∴∠ADC=90°．∵點(diǎn)B是ΔAA′C的重心，∴BC=2BD．設(shè)BD=x，則AD=BC=2x，∴CD=3x，∴由勾股定理得AC=x，∴．（3）①當(dāng)AB=BC時(shí)，Ⅰ．如圖3，作AE⊥l1于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F．∵“等高底”ΔABC的“等底”為BC，l1//l2，l1與l2之間的距離為2，AB=BC，∴BC=AE=2，AB=2，∴BE=2，即EC=4，∴AC=．∵ΔABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°得到ΔA'B'C，∴∠CDF=45°．設(shè)DF=CF=x．∵l1//l2，∴∠ACE=∠DAF，∴，即AF=2x．∴AC=3x=，可得x=，∴CD=x=．Ⅱ．如圖4，此時(shí)ΔABC是等腰直角三角形，∵ΔABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°得到ΔA'B'C，∴ΔACD是等腰直角三角形，∴CD=AC=．②當(dāng)AC=BC時(shí)，Ⅰ．如圖5，此時(shí)△ABC是等腰直角三角形．∵ΔABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°得到ΔA′B′C，∴A′C⊥l1，∴CD=AB=BC=2．Ⅱ．如圖6，作AE⊥l1于點(diǎn)E，則AE=BC，∴AC=BC=AE，∴∠ACE=45°，∴ΔABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°得到ΔA′B′C時(shí)，點(diǎn)A′在直線l1上，∴A′C∥l2，即直線A′C與l2無交點(diǎn)．綜上所述：CD的值為，，2．點(diǎn)睛：本題是幾何變換-旋轉(zhuǎn)綜合題．考查了重心的性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及閱讀理解能力．解題的關(guān)鍵是對(duì)新概念“等高底”三角形的理解．17．如圖1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，點(diǎn)D，E分別是邊BC，AC的中點(diǎn)，連接DE，將△EDC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為α.（1）問題發(fā)現(xiàn)①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，（2）拓展探究試判斷：當(dāng)0°≤α＜360°時(shí)，的大小有無變化？請(qǐng)僅就圖2的情況給出證明.（3）問題解決當(dāng)△EDC旋轉(zhuǎn)至A、D、E三點(diǎn)共線時(shí)，直接寫出線段BD的長(zhǎng).解析：（1）①,②.（2）無變化；理由參見解析.（3），.【分析】（1）①當(dāng)α=0°時(shí)，在Rt△ABC中，由勾股定理，求出AC的值是多少；然后根據(jù)點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn)，分別求出AE、BD的大小，即可求出的值是多少．②α=180°時(shí)，可得AB∥DE，然后根據(jù)，求出的值是多少即可．（2）首先判斷出∠ECA=∠DCB，再根據(jù)，判斷出△ECA∽△DCB，即可求出的值是多少，進(jìn)而判斷出的大小沒有變化即可．（3）根據(jù)題意，分兩種情況：①點(diǎn)A，D，E所在的直線和BC平行時(shí)；②點(diǎn)A，D，E所在的直線和BC相交時(shí)；然后分類討論，求出線段BD的長(zhǎng)各是多少即可．【詳解】（1）①當(dāng)α=0°時(shí)，∵Rt△ABC中，∠B=90°，∴AC=，∵點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn)，∴,BD=8÷2=4，∴．②如圖1，，當(dāng)α=180°時(shí)，可得AB∥DE，∵，∴（2）如圖2，，當(dāng)0°≤α＜360°時(shí)，的大小沒有變化，∵∠ECD=∠ACB，∴∠ECA=∠DCB，又∵，∴△ECA∽△DCB，∴．（3）①如圖3，，∵AC=4，CD=4，CD⊥AD，∴AD=∵AD=BC，AB=DC，∠B=90°，∴四邊形ABCD是矩形，∴BD=AC=．②如圖4，連接BD，過點(diǎn)D作AC的垂線交AC于點(diǎn)Q，過點(diǎn)B作AC的垂線交AC于點(diǎn)P，，∵AC=，CD=4，CD⊥AD，∴AD=，∵點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn)，∴DE==2，∴AE=AD-DE=8-2=6，由（2），可得，∴BD=．綜上所述，BD的長(zhǎng)為或．18．（1）（探究發(fā)現(xiàn)）如圖1，的頂點(diǎn)在正方形兩條對(duì)角線的交點(diǎn)處，，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中，的兩邊分別與正方形的邊和交于點(diǎn)和點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)，不重合）．則之間滿足的數(shù)量關(guān)系是．（2）（類比應(yīng)用）如圖2，若將（1）中的“正方形”改為“的菱形”，其他條件不變，當(dāng)時(shí)，上述結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)猜想結(jié)論并說明理由．（3）（拓展延伸）如圖3，，，，平分，，且，點(diǎn)是上一點(diǎn)，，求的長(zhǎng)．解析：（1）（2）結(jié)論不成立．（3）【分析】（1）結(jié)論：．根據(jù)正方形性質(zhì)，證，根據(jù)全等三角形性質(zhì)可得結(jié)論；（2）結(jié)論不成立．．連接，在上截取，連接．根據(jù)菱形性質(zhì)，證，四點(diǎn)共圓，分別證是等邊三角形，是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形性質(zhì)證，根據(jù)全等三角形性質(zhì)可得結(jié)論；（3）由可知是鈍角三角形，，作于，設(shè)．根據(jù)勾股定理，可得到，由，得四點(diǎn)共圓，再證是等邊三角形，由（2）可知：，故可得．【詳解】（1）如圖1中，結(jié)論：．理由如下：∵四邊形是正方形，∴，，，∵，∴，∴，∴，∴．故答案為．（2）如圖2中，結(jié)論不成立．．理由：連接，在上截取，連接．∵四邊形是菱形，，∴，∵，∴四點(diǎn)共圓，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，，∵，，∴是等邊三角形，∴，，∴，∴，∴，∴，（3）如圖3中，由可知是鈍角三角形，，作于，設(shè)．在中，，∵，∴，解得（舍棄）或，∴，∵，∴四點(diǎn)共圓，∵平分，∴，∴，∵，∴是等邊三角形，由（2）可知：，∴．【點(diǎn)睛】考核知識(shí)點(diǎn)：正方形性質(zhì)，全等三角形判定和性質(zhì)，等邊三角形判定和性質(zhì)，圓的性質(zhì).綜合運(yùn)用各個(gè)幾何性質(zhì)定理是關(guān)鍵；此題比較綜合.19．實(shí)際問題：某商場(chǎng)為鼓勵(lì)消費(fèi)，設(shè)計(jì)了投資活動(dòng)．方案如下：根據(jù)不同的消費(fèi)金額，每次抽獎(jiǎng)時(shí)可以從100張面值分別為1元、2元、3元、…、100元的獎(jiǎng)券中（面值為整數(shù)），一次任意抽取2張、3張、4張、…等若干張獎(jiǎng)券，獎(jiǎng)券的面值金額之和即為優(yōu)惠金額．某顧客獲得了一次抽取5張獎(jiǎng)券的機(jī)會(huì)，小明想知道該顧客共有多少種不同的優(yōu)惠金額？問題建模：從1，2，3，…，（為整數(shù)，且）這個(gè)整數(shù)中任取個(gè)整數(shù)，這個(gè)整數(shù)之和共有多少種不同的結(jié)果？模型探究：我們采取一般問題特殊化的策略，先從最簡(jiǎn)單的情形入手，再逐次遞進(jìn)，從中找出解決問題的方法．探究一：（1）從1，2，3這3個(gè)整數(shù)中任取2個(gè)整數(shù)，這2個(gè)整數(shù)之和共有多少種不同的結(jié)果？表①所取的2個(gè)整數(shù)1，21，3，2，32個(gè)整數(shù)之和345如表①，所取的2個(gè)整數(shù)之和可以為3，4，5，也就是從3到5的連續(xù)整數(shù)，其中最小是3，最大是5，所以共有3種不同的結(jié)果．（2）從1，2，3，4這4個(gè)整數(shù)中任取2個(gè)整數(shù)，這2個(gè)整數(shù)之和共有多少種不同的結(jié)果？表②所取的2個(gè)整數(shù)1，21，3，1，42，32，43，42個(gè)整數(shù)之和345567如表②，所取的2個(gè)整數(shù)之和可以為3，4，5，6，7，也就是從3到7的連續(xù)整數(shù)，其中最小是3，最大是7，所以共有5種不同的結(jié)果．（3）從1，2，3，4，5這5個(gè)整數(shù)中任取2個(gè)整數(shù)，這2個(gè)整數(shù)之和共有______種不同的結(jié)果．（4）從1，2，3，…，（為整數(shù)，且）這個(gè)整數(shù)中任取2個(gè)整數(shù)，這2個(gè)整數(shù)之和共有______種不同的結(jié)果．探究二：（1）從1，2，3，4這4個(gè)整數(shù)中任取3個(gè)整數(shù)，這3個(gè)整數(shù)之和共有______種不同的結(jié)果．（2）從1，2，3，…，（為整數(shù)，且）這個(gè)整數(shù)中任取3個(gè)整數(shù)，這3個(gè)整數(shù)之和共有______種不同的結(jié)果．探究三：從1，2，3，…，（為整數(shù)，且）這個(gè)整數(shù)中任取4個(gè)整數(shù)，這4個(gè)整數(shù)之和共有______種不同的結(jié)果．歸納結(jié)論：從1，2，3，…，（為整數(shù)，且）這個(gè)整數(shù)中任取個(gè)整數(shù)，這個(gè)整數(shù)之和共有______種不同的結(jié)果．問題解決：從100張面值分別為1元、2元、3元、…、100元的獎(jiǎng)券中（面值為整數(shù)），一次任意抽取5張獎(jiǎng)券，共有______種不同的優(yōu)惠金額．拓展延伸：（1）從1，2，3，…，36這36個(gè)整數(shù)中任取多少個(gè)整數(shù)，使得取出的這些整數(shù)之和共有204種不同的結(jié)果？（寫出解答過程）（2）從3，4，5，…，（為整數(shù)，且）這個(gè)整數(shù)中任取個(gè)整數(shù)，這個(gè)整數(shù)之和共有______種不同的結(jié)果．解析：探究一：（3）；（4）（，為整數(shù)）；探究二：（1）（2）；探究三：歸納結(jié)論：（為整數(shù)，且，＜＜）；問題解決：；拓展延伸：（1）個(gè)或個(gè)；（2）．【分析】探究一：（3）根據(jù)（1）（2）的提示列表，可得答案；（4）仔細(xì)觀察（1）（2）（3）的結(jié)果，歸納出規(guī)律，從而可得答案；探究二：（1）仿探究一的方法列表可得答案；（2）由前面的探究概括出規(guī)律即可得到答案；探究三：根據(jù)探究一，探究二，歸納出從1，2，3，…，（為整數(shù)，且）這個(gè)整數(shù)中任取4個(gè)整數(shù)的和的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)上面探究歸納出從1，2，3，…，（為整數(shù)，且）這個(gè)整數(shù)中任取個(gè)整數(shù)，這個(gè)整數(shù)之和的結(jié)果數(shù)；問題解決：利用前面的探究計(jì)算出這5張獎(jiǎng)券和的最小值與最大值，從而可得答案；拓展延伸：（1）直接利用前面的探究規(guī)律，列方程求解即可，（2）找到與問題等價(jià)的模型，直接利用規(guī)律得到答案．【詳解】解：探究一：（3）如下表：取的2個(gè)整數(shù)2個(gè)整數(shù)之和所取的2個(gè)整數(shù)之和可以為3，4，5，6，7，8，9也就是從3到9的連續(xù)整數(shù)，其中最小是3，最大是9，所以共有7種不同的結(jié)果．（4）從1，2，3，…，（為整數(shù)，且）這個(gè)整數(shù)中任取2個(gè)整數(shù)，這2個(gè)整數(shù)之和的最小值是3，和的最大值是所以一共有種．探究二：（1）從1，2，3，4這4個(gè)整數(shù)中任取3個(gè)整數(shù)，如下表：取的3個(gè)整數(shù)1,2,31,2,41,3,42,3