第1頁（共1頁）2025年遼寧省丹東市高考數(shù)學(xué)質(zhì)檢試卷（二）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知全集，集合，則A． B． C． D．2．復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．函數(shù)是上的偶函數(shù)，則A．0 B． C． D．4．記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則A．70 B．49 C． D．5．如圖所示，是一個(gè)正方體的表面展開圖，在正方體中，，，，這4條線段所在的直線滿足垂直關(guān)系的是A．與 B．與 C．與 D．與6．有一組樣本數(shù)據(jù)，，，，，，則這組數(shù)據(jù)的方差為A．1 B．2 C．3 D．47．已知向量，，均為單位向量，，則A． B． C． D．8．記為坐標(biāo)原點(diǎn)，，是雙曲線的左右焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與圓切于點(diǎn)，則A． B． C．5 D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。（多選）9．（6分）已知的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為128，則A．展開式中共有7項(xiàng) B．展開式中第3項(xiàng)為 C．展開式中各項(xiàng)系數(shù)絕對值的和為2187 D．展開式中第4項(xiàng)或第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大（多選）10．（6分）已知函數(shù)在處有極值，則A．在上單調(diào)遞增 B．的極大值為 C．直線是曲線的切線 D．（多選）11．（6分）記為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為，為上一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)到的準(zhǔn)線的距離為，，，延長交于點(diǎn)，則A．點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 B． C． D．△的面積為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知，則．13．在三棱臺中，△是正三角形，，，平面平面，則三棱臺的體積為．14．我們知道，凡是能夠表示成兩個(gè)整數(shù)的商的數(shù)稱為有理數(shù)，請你根據(jù)所學(xué)知識將下列兩個(gè)循環(huán)小數(shù)化成最簡分?jǐn)?shù)，；．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15．（13分）記△的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，．（1）求；（2）延長至，使，，，求的值．16．（15分）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)且傾斜角為的直線與交于，兩點(diǎn)，在第一象限．（1）若軸，求的離心率；（2）若關(guān)于直線的對稱點(diǎn)恰好是的上頂點(diǎn)，記為，，求△的周長．17．（15分）已知三棱柱的所有棱長均相等，，且棱柱的體積為．（1）求證：平面平面；（2）求；（3）求二面角的正弦值．18．（17分）一款趣味闖關(guān)游戲的規(guī)則如下：準(zhǔn)備張背面完全相同的卡片，正面依次標(biāo)上1，2，3，，的數(shù)字，隨后將卡片背面朝上，隨機(jī)擺放在游戲桌上．參與闖關(guān)的選手每次翻開一張卡片，若卡片上的數(shù)字是當(dāng)前所有背面朝上卡片中的最小值，就取走該卡片；若不是，則記住卡片數(shù)字后將其背面朝上放回原位，以保證翻卡片的次數(shù)盡可能少，繼續(xù)翻找背面朝上卡片中的最小值取走．如此反復(fù)，直至按從小到大的順序取走全部張卡片，游戲結(jié)束．游戲結(jié)束時(shí)的翻卡總次數(shù)記為（同一卡片多次翻開也會重復(fù)計(jì)數(shù)，翻回不計(jì)次數(shù)）．（1）若，求；（2）若．求的分布列與期望；規(guī)定：時(shí)選手晉級，時(shí)選手重新闖關(guān)一次（直到分出淘汰或晉級），時(shí)選手淘汰，求選手多次闖關(guān)最終晉級的概率．19．（17分）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若恰有兩個(gè)零點(diǎn)，，且．求的取值范圍；（ⅱ）設(shè)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求出與的函數(shù)關(guān)系式，并證明．

2025年遼寧省丹東市高考數(shù)學(xué)質(zhì)檢試卷（二）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）題號12345678答案DBDACCDB二．多選題（共3小題）題號91011答案BCDACDBC一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知全集，集合，則A． B． C． D．解：因?yàn)槿?，集合，所以．故選：．2．復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限解：由復(fù)數(shù)，得，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，在第二象限．故選：．3．函數(shù)是上的偶函數(shù)，則A．0 B． C． D．解：因?yàn)槭巧系呐己瘮?shù)，所以，，因?yàn)?，所以．故選：．4．記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則A．70 B．49 C． D．解：為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，，可得，解得，則，故．故選：．5．如圖所示，是一個(gè)正方體的表面展開圖，在正方體中，，，，這4條線段所在的直線滿足垂直關(guān)系的是A．與 B．與 C．與 D．與解：把正方體的表面展開圖還原為正方體，如圖所示：在正方體中，與所成的角是，與所成的角是，與是異面垂直，與所成的角是．故選：．6．有一組樣本數(shù)據(jù)，，，，，，則這組數(shù)據(jù)的方差為A．1 B．2 C．3 D．4解：因?yàn)椋?，由方差的定義可知，這組數(shù)據(jù)的方差為：．故選：．7．已知向量，，均為單位向量，，則A． B． C． D．解：因?yàn)橄蛄浚?，均為單位向量，，所以，所以與共線反向且，所以，，則向量，移至同起點(diǎn)時(shí)為正方形的一組鄰邊，故，錯(cuò)誤；，錯(cuò)誤；，與夾角為，故錯(cuò)誤；由正方形的對角線互相垂直知正確．故選：．8．記為坐標(biāo)原點(diǎn)，，是雙曲線的左右焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與圓切于點(diǎn)，則A． B． C．5 D．解：因?yàn)殡p曲線方程為，所以焦點(diǎn)和的坐標(biāo)為和，其中，因?yàn)檫^的直線與圓相切于點(diǎn)，所以切點(diǎn)在圓上，代入圓的方程得：，則圓在點(diǎn)處的切線方程為：，即，又因?yàn)橹本€過，代入得：，故，因?yàn)?，所以，故，即．故選：．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。（多選）9．（6分）已知的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為128，則A．展開式中共有7項(xiàng) B．展開式中第3項(xiàng)為 C．展開式中各項(xiàng)系數(shù)絕對值的和為2187 D．展開式中第4項(xiàng)或第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大解：：由已知可得，所以，所以展開式共有8項(xiàng)，故錯(cuò)誤；：二項(xiàng)式的展開式的第3項(xiàng)為，故正確；：展開式中各項(xiàng)系數(shù)絕對值的和為二項(xiàng)式的展開式中各項(xiàng)系數(shù)和，令，則展開式中各項(xiàng)系數(shù)絕對值的和為，故正確；：因?yàn)檎归_式共有8項(xiàng)，所以第4項(xiàng)或第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，故正確．故選：．（多選）10．（6分）已知函數(shù)在處有極值，則A．在上單調(diào)遞增 B．的極大值為 C．直線是曲線的切線 D．解：因?yàn)楹瘮?shù)在處有極值，可得，有（1），得和，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，故選項(xiàng)正確；可得是極小值點(diǎn)，是極大值點(diǎn)，計(jì)算極小值：，但這是極小值而非極大值．選項(xiàng)錯(cuò)誤；設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為，需滿足（a）且（a），解方程：（a）或，驗(yàn)證函數(shù)值：僅時(shí)滿足，故直線是切線，選項(xiàng)正確；計(jì)算函數(shù)值：，，求和：．選項(xiàng)正確．故選：．（多選）11．（6分）記為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為，為上一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)到的準(zhǔn)線的距離為，，，延長交于點(diǎn)，則A．點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 B． C． D．△的面積為解：拋物線，焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，由，設(shè)，，則，且，代入化簡得，，故錯(cuò)誤；取，直線方程，與拋物線聯(lián)立得，解得，用距離公式算，故正確；，，說明和均為鈍角，和大于，故正確；已知，，，利用三角形面積公式，而選項(xiàng)中面積為，與計(jì)算結(jié)果不符，故錯(cuò)誤．故選：．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知，則2．解：因?yàn)?，所以，則．故答案為：2．13．在三棱臺中，△是正三角形，，，平面平面，則三棱臺的體積為．解：因?yàn)樵谌馀_中，△是正三角形，又，，平面平面，所以該三棱臺的高為，又上下底面正三角形的面積分別為，，所以三棱臺的體積為．故答案為：．14．我們知道，凡是能夠表示成兩個(gè)整數(shù)的商的數(shù)稱為有理數(shù)，請你根據(jù)所學(xué)知識將下列兩個(gè)循環(huán)小數(shù)化成最簡分?jǐn)?shù)，；．解：設(shè)，則：；設(shè)，則：，，．故答案為：，．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15．（13分）記△的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，．（1）求；（2）延長至，使，，，求的值．解：（1）由，整理可得：，由余弦定理可得，所以，在△中，，則；（2）因?yàn)椋?，則△是正三角形，在△中，由正弦定理可得：，即，因?yàn)?，即，可得，所以，整理可得：，所以?6．（15分）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)且傾斜角為的直線與交于，兩點(diǎn)，在第一象限．（1）若軸，求的離心率；（2）若關(guān)于直線的對稱點(diǎn)恰好是的上頂點(diǎn)，記為，，求△的周長．解：（1）設(shè)橢圓的焦點(diǎn)為，那么，代入方程中，可得，在直角三角形中，，有，所以．（2）根據(jù)題意得，三角形是正三角形，那么，，設(shè)直線，聯(lián)立，得，令，，，，所以，，，整理得，即，，根據(jù)對稱性得，，所以△與△的周長相等，由橢圓的定義知，△的周長為，所以△的周長為8．17．（15分）已知三棱柱的所有棱長均相等，，且棱柱的體積為．（1）求證：平面平面；（2）求；（3）求二面角的正弦值．解：（1）證明：設(shè)，連接，四邊形為菱形，所以，又，，則，所以，因?yàn)?，所以平面，平面，所以平面平面．?）過點(diǎn)作，垂足為，由（1）知，平面平面，平面平面，平面，所以平面，三棱錐的體積是三棱柱的倍，所以三棱錐的體積是，再由，得，所以，解得．（3）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，可知軸在平面內(nèi)．則，1，，，，，，，，則，，，設(shè)平面的法向量，，，由，可得，可取，設(shè)平面的法向量，，，由，可得，可取，所以，則，所以二面角的正弦值為．18．（17分）一款趣味闖關(guān)游戲的規(guī)則如下：準(zhǔn)備張背面完全相同的卡片，正面依次標(biāo)上1，2，3，，的數(shù)字，隨后將卡片背面朝上，隨機(jī)擺放在游戲桌上．參與闖關(guān)的選手每次翻開一張卡片，若卡片上的數(shù)字是當(dāng)前所有背面朝上卡片中的最小值，就取走該卡片；若不是，則記住卡片數(shù)字后將其背面朝上放回原位，以保證翻卡片的次數(shù)盡可能少，繼續(xù)翻找背面朝上卡片中的最小值取走．如此反復(fù)，直至按從小到大的順序取走全部張卡片，游戲結(jié)束．游戲結(jié)束時(shí)的翻卡總次數(shù)記為（同一卡片多次翻開也會重復(fù)計(jì)數(shù)，翻回不計(jì)次數(shù)）．（1）若，求；（2）若．求的分布列與期望；規(guī)定：時(shí)選手晉級，時(shí)選手重新闖關(guān)一次（直到分出淘汰或晉級），時(shí)選手淘汰，求選手多次闖關(guān)最終晉級的概率．解：（1）由題意得，當(dāng)時(shí)，可取2，3，當(dāng)，則12，共1種情況；當(dāng)，則212，共1種情況．所以；（2）依題意當(dāng)時(shí)，可知隨機(jī)變量可取4，5，6，7，當(dāng)翻卡4次：1234，共1種情況；當(dāng)翻卡5次：12434，13234，14234，21234，31234，41234，共6種情況；當(dāng)翻卡6次：134234，143234，212434，231234，241234，314234，321234，341234，413234，421234，431234，共11種情況；當(dāng)翻卡7次：2341234，2431234，3241234，3421234，4231234，4321234，共6種情況；所以事件空間共有24種情況，則，，，的分布列為：4567則；記選手闖關(guān)最終晉級為事件，第一次闖關(guān)后晉級為事件，第一次闖關(guān)后重新闖關(guān)為事件，第一次闖關(guān)后淘汰為事件，所以，，在重賽后最終晉級，則有，（B），由于，則（B），，所以，故選手最終晉級的概率為．19．（17分）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若恰有兩個(gè)零點(diǎn)，，且．求的取值范圍；（ⅱ）設(shè)在定義域內(nèi)單調(diào)