第1頁（共1頁）2025年山東省菏澤市高考數(shù)學(xué)一模試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在復(fù)平面內(nèi)，向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，則向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為A． B． C． D．2．已知集合，0，，，則A． B． C．， D．，0，3．已知△的三個(gè)角，，的對(duì)邊分別為，，，且，則A． B．3 C． D．4．已知是無窮數(shù)列，，則“對(duì)任意的，，都有”是“是等差數(shù)列”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．若，，則A． B． C． D．6．曲線在，，，兩點(diǎn)處的切線互相垂直，則的值為A． B．0 C．1 D．7．已知△的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線上，三邊、、所在直線的斜率分別為，，，若，則點(diǎn)的坐標(biāo)為A． B． C． D．8．已知函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意的實(shí)數(shù)恒成立，則稱滿足性質(zhì)，下列說法正確的為A．若的周期為1，則滿足性質(zhì)（1） B．若，則不滿足性質(zhì) C．若且滿足性質(zhì)，則 D．若偶函數(shù)滿足性質(zhì)，則圖象關(guān)于直線對(duì)稱二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9．（6分）已知平面向量，，則下列說法正確的有A．向量，不可能垂直 B．向量，不可能共線 C．不可能為3 D．若，則在上的投影向量為10．（6分）若從正方體的八個(gè)頂點(diǎn)中任取四個(gè)頂點(diǎn)，則下列說法正確的有A．若這四點(diǎn)不共面，則這四點(diǎn)構(gòu)成的幾何體的體積都相等 B．這四點(diǎn)能構(gòu)成三棱錐的個(gè)數(shù)為58 C．若正方體棱長(zhǎng)為，則這四點(diǎn)能構(gòu)成的所有三棱錐中表面積的最大值為 D．若這四點(diǎn)分別記為，，，，則直線與所成的角不可以為11．（6分）已知曲線的方程為，下列說法正確的有A．曲線關(guān)于直線對(duì)稱 B．， C．曲線被直線截得的弦長(zhǎng)為 D．曲線上任意兩點(diǎn)距離的最大值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．若是數(shù)據(jù)1，3，2，2，9，3，3，10的第75百分位數(shù)，則展開式中的系數(shù)為．13．已知函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值記為，若實(shí)數(shù)滿足，則．14．如圖，在△中，，，是的中點(diǎn)，是邊上靠近的四等分點(diǎn)，將△沿翻折，使到點(diǎn)處點(diǎn)在平面上方），得到四棱錐．則①的中點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)度為；②四棱錐外接球表面積的最小值為．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）在春節(jié)聯(lián)歡晚會(huì)上進(jìn)行了機(jī)器人團(tuán)體舞蹈表演，某機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取了100名觀眾進(jìn)行問卷調(diào)查，得到了如下數(shù)據(jù)：喜歡不喜歡男性4010女性2030（1）依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，試分析對(duì)機(jī)器人表演節(jié)目的喜歡是否與性別有關(guān)聯(lián)？（2）從這100名樣本觀眾中任選1名，設(shè)事件“選到的觀眾是男性”，事件“選到的觀眾喜歡機(jī)器人團(tuán)體舞蹈表演節(jié)目”，比較和的大小，并解釋其意義．附：，．0.0500.0100.0013.8416.63510.82816．（15分）如圖，在四棱錐中，，，，，，，為的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）若平面平面，求與平面所成角的正弦值．17．（15分）已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，存在，，使得，求的取值范圍．18．（17分）定義正方形數(shù)陣滿足，其中，．（1）若，求數(shù)陣所有項(xiàng)的和；（2）若，，，，求證：也是數(shù)陣中的項(xiàng)；（3）若，，2，3，，，且，求的值為奇數(shù)的概率．19．（17分）已知雙曲線的漸近線方程為，點(diǎn)在雙曲線上．（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）如圖，過雙曲線右支上一點(diǎn)作圓的切線交雙曲線左支于，右支于，直線與圓切于點(diǎn)．①求證：、兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；②判斷是否為定值，如果是，求出該定值；如果不是，求的取值范圍．

2025年山東省菏澤市高考數(shù)學(xué)一模試卷參考答案與試題解析題號(hào)12345678答案DCDACABD一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在復(fù)平面內(nèi)，向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，則向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為A． B． C． D．解：由已知可得，，，則，可得向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為．故選：．2．已知集合，0，，，則A． B． C．， D．，0，解：集合，0，，，故，．故選：．3．已知△的三個(gè)角，，的對(duì)邊分別為，，，且，則A． B．3 C． D．解：因?yàn)椋杂烧叶ɡ砜傻茫?，所以，所以，又，且，所以，又，所以，．故選：．4．已知是無窮數(shù)列，，則“對(duì)任意的，，都有”是“是等差數(shù)列”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解：對(duì)任意的，，都有，令，可以得到，因此是公差為的等差數(shù)列；若，則，，，可得，故“對(duì)任意的，，都有”是“是等差數(shù)列”的充分不必要條件．故選：．5．若，，則A． B． C． D．解：因?yàn)椋?，又因?yàn)?，所以，所以，即，解得，所以，所以．故選：．6．曲線在，，，兩點(diǎn)處的切線互相垂直，則的值為A． B．0 C．1 D．解：因?yàn)?，又的?dǎo)數(shù)為；的導(dǎo)數(shù)為，所以由對(duì)稱性不妨設(shè)，則根據(jù)題意可得，因?yàn)榍€在，，，兩點(diǎn)處的切線互相垂直，所以，所以，所以，所以．故選：．7．已知△的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線上，三邊、、所在直線的斜率分別為，，，若，則點(diǎn)的坐標(biāo)為A． B． C． D．解：設(shè)，，，則，同理，，由，可得，即，又，可得，故選：．8．已知函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意的實(shí)數(shù)恒成立，則稱滿足性質(zhì)，下列說法正確的為A．若的周期為1，則滿足性質(zhì)（1） B．若，則不滿足性質(zhì) C．若且滿足性質(zhì)，則 D．若偶函數(shù)滿足性質(zhì)，則圖象關(guān)于直線對(duì)稱解：對(duì)于，已知的周期為1，則，則，不一定恒等于0，例如表示不超過的最大整數(shù)），它是周期為1的函數(shù)，但恒成立，所以不一定滿足性質(zhì)（1），選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于，取，則恒成立，所以滿足性質(zhì)（1），故錯(cuò)誤；對(duì)于，若且滿足性質(zhì)，則對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，即對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，因?yàn)閷?duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，所以，即，因?yàn)?，所以，則，選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于，因?yàn)闈M足性質(zhì)，所以，即，又因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，即，所以圖象關(guān)于直線對(duì)稱，選項(xiàng)正確．故選：．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9．（6分）已知平面向量，，則下列說法正確的有A．向量，不可能垂直 B．向量，不可能共線 C．不可能為3 D．若，則在上的投影向量為解：由題意，，，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，向量，垂直，故錯(cuò)誤；若，則有，即，顯然不成立，故，不可能共線，故正確；，當(dāng)時(shí)，，故正確；若，則，，則在上的投影向量為，故正確．故選：．10．（6分）若從正方體的八個(gè)頂點(diǎn)中任取四個(gè)頂點(diǎn)，則下列說法正確的有A．若這四點(diǎn)不共面，則這四點(diǎn)構(gòu)成的幾何體的體積都相等 B．這四點(diǎn)能構(gòu)成三棱錐的個(gè)數(shù)為58 C．若正方體棱長(zhǎng)為，則這四點(diǎn)能構(gòu)成的所有三棱錐中表面積的最大值為 D．若這四點(diǎn)分別記為，，，，則直線與所成的角不可以為解：對(duì)選項(xiàng)，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為，則當(dāng)四點(diǎn)是一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱上的點(diǎn)時(shí)，該幾何體的體積為，而當(dāng)4個(gè)點(diǎn)形成的幾何體為正四面體時(shí)，該幾何體的體積為，所以選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)，8個(gè)點(diǎn)選4個(gè)，再減去共面的情況，即這四點(diǎn)能構(gòu)成三棱錐的個(gè)數(shù)為，所以選項(xiàng)正確；對(duì)選項(xiàng)，根據(jù)對(duì)稱性可知當(dāng)這四點(diǎn)能構(gòu)成的三棱錐的各個(gè)面均為正方體的正三角形截面時(shí)，其表面積達(dá)到最大，所以這四點(diǎn)能構(gòu)成的所有三棱錐中表面積的最大值為，所以選項(xiàng)正確；對(duì)選項(xiàng)，因?yàn)檎襟w的中任意兩條棱都不可能成角，所以若這四點(diǎn)分別記為，，，，則直線與所成的角不可以為，所以選項(xiàng)正確．故選：．11．（6分）已知曲線的方程為，下列說法正確的有A．曲線關(guān)于直線對(duì)稱 B．， C．曲線被直線截得的弦長(zhǎng)為 D．曲線上任意兩點(diǎn)距離的最大值為解：曲線的方程為，將其中的換為，換為，可得方程不變，則曲線關(guān)于直線對(duì)稱，故正確；由，可得，可設(shè)，，，，則，，即有，，故錯(cuò)誤；由，代入方程，可得，由韋達(dá)定理可得，，則弦長(zhǎng)為，故正確；由，，可得，當(dāng)時(shí)，取得最大值2，即曲線上任一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最大值為，由曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可得曲線上任意兩點(diǎn)距離的最大值為，故正確．故選：．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．若是數(shù)據(jù)1，3，2，2，9，3，3，10的第75百分位數(shù)，則展開式中的系數(shù)為80．解：將1，3，2，2，9，3，3，10按從小到大順序排列得1，2，2，3，3，3，9，10，由題設(shè)，則該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為．所以，故展開式中的系數(shù)為：．故答案為：80．13．已知函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值記為，若實(shí)數(shù)滿足，則或．解：當(dāng)時(shí)，，，，由，方程無解；當(dāng)，時(shí)，，，，，由，得，；當(dāng)，時(shí)，，，，，由，得，，；當(dāng)，時(shí)，，，，，由，得，方程無解；當(dāng)，時(shí)，，，不合題意．綜上可知，或．故答案為：或．14．如圖，在△中，，，是的中點(diǎn)，是邊上靠近的四等分點(diǎn)，將△沿翻折，使到點(diǎn)處點(diǎn)在平面上方），得到四棱錐．則①的中點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)度為；②四棱錐外接球表面積的最小值為．解：因?yàn)榈街悬c(diǎn)的距離等于，且點(diǎn)在平面上方，所以的軌跡是以中點(diǎn)為圓心，為半徑的半圓，所以的中點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)度為；因?yàn)樗倪呅蔚耐庑臑榈闹悬c(diǎn)，所以四邊形的外接球的半徑，所以四棱錐外接球的球心在過四邊形的外心且垂直平面的直線上，設(shè)四棱錐外接球的半徑為，設(shè)球心到四邊形的外心的距離為，則，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以四棱錐外接球表面積的最小值為．故答案為：；．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）在春節(jié)聯(lián)歡晚會(huì)上進(jìn)行了機(jī)器人團(tuán)體舞蹈表演，某機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取了100名觀眾進(jìn)行問卷調(diào)查，得到了如下數(shù)據(jù)：喜歡不喜歡男性4010女性2030（1）依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，試分析對(duì)機(jī)器人表演節(jié)目的喜歡是否與性別有關(guān)聯(lián)？（2）從這100名樣本觀眾中任選1名，設(shè)事件“選到的觀眾是男性”，事件“選到的觀眾喜歡機(jī)器人團(tuán)體舞蹈表演節(jié)目”，比較和的大小，并解釋其意義．附：，．0.0500.0100.0013.8416.63510.828解：（1）補(bǔ)全列聯(lián)表如下：喜歡不喜歡合計(jì)男性401050女性203050合計(jì)6040100零假設(shè)：對(duì)機(jī)器人表演節(jié)目的喜歡與性別無關(guān)聯(lián)，則，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為對(duì)機(jī)器人表演節(jié)目的喜歡是否與性別有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過0.001；（2）由題意可知，，，所以，其意義為已知觀眾為男性的條件下，其喜歡機(jī)器人團(tuán)體舞蹈表演節(jié)目的概率高于已知觀眾為女性的條件下，其喜歡機(jī)器人團(tuán)體舞蹈表演節(jié)目的概率，這意味著男性更傾向于喜歡機(jī)器人團(tuán)體舞蹈表演節(jié)目．16．（15分）如圖，在四棱錐中，，，，，，，為的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）若平面平面，求與平面所成角的正弦值．【解答】（1）證明：由，，，易求，取的中點(diǎn)，連結(jié)，為的中點(diǎn)，所以，，所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面．（2）解：由，，所以，所以，又平面平面，所以平面，以為原點(diǎn)，過與垂直的直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，0，，，2，，，1，，，，，，設(shè)平面的法向量為，，，則，，則，所以，取，則，，所以平面的一個(gè)法向量為，設(shè)與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為．17．（15分）已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，存在，，使得，求的取值范圍．【解答】（1）解：，當(dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，令，則，，單調(diào)遞減，，，單調(diào)遞增，綜上所述，當(dāng)時(shí)，的減區(qū)間為，無增區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的減區(qū)間為，增區(qū)間為．（2）因?yàn)榇嬖?，，使得．只需或，因?yàn)?，所以，所以只需，由?）知為與（1）中的較大者，所以（1）或，解得或，所以，綜上所述，的取值范圍為．18．（17分）定義正方形數(shù)陣滿足，其中，．（1）若，求數(shù)陣所有項(xiàng)的和；（2）若，，，，求證：也是數(shù)陣中的項(xiàng)；（3）若，，2，3，，，且，求的值為奇數(shù)的概率．解：（1）若，則的所有取值情況為：，，，，，，，，，，故數(shù)陣共99項(xiàng)，由知：，，所以．（2）證明：，由，，，知，、，故，所以也是數(shù)陣中的項(xiàng)．（3），，2，3，，，若，那么，由與具有相同的奇偶性知要使的值為奇數(shù)，需使與都是奇數(shù)，即與必定一奇一偶，當(dāng)時(shí)，的取值情況有4種，故；當(dāng)時(shí)，的取值情況有8種，故；當(dāng)時(shí)，的取值情況有12種，故；當(dāng)且為奇數(shù)時(shí)，，2，3．，中有個(gè)奇數(shù)，個(gè)偶數(shù)，故的取值情況有種，故；當(dāng)且為偶數(shù)時(shí)，，2，3，，中有個(gè)奇數(shù)，個(gè)偶數(shù)，故的取值情況有種，故．綜上所述，當(dāng)且為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)且為偶數(shù)時(shí)，．19．（17分）已知雙曲線的漸近線方程為，點(diǎn)在雙曲線上．（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）如圖，過雙曲線右支上一點(diǎn)作圓的