2025年中考試卷：幾何圖形強化訓練——平面幾何中的勾股定理應用考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分。下列每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。請仔細閱讀題目，認真作答，確保答案準確無誤。）1.在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，則斜邊AB的長度為（）A.10cmB.12cmC.14cmD.16cm2.如果一個直角三角形的兩條直角邊分別為5cm和12cm，那么它的斜邊上的高是（）A.6cmB.6.5cmC.7cmD.7.5cm3.在Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=3，BC=4，則△ABC的面積是（）A.6B.7C.8D.94.一個直角三角形的兩條直角邊長分別為a和b，斜邊長為c，如果a:b=3:4，c=10，那么a和b的值分別是（）A.6，8B.7，9C.8，10D.9，125.已知直角三角形的兩條直角邊長分別是6cm和8cm，那么斜邊上的中線長是（）A.7cmB.8cmC.9cmD.10cm6.在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=5cm，BC=12cm，那么sinA的值是（）A.5/13B.12/13C.5/12D.13/127.一個直角三角形的兩條直角邊長分別為9cm和12cm，那么它的斜邊上的高是（）A.10cmB.11cmC.12cmD.13cm8.在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=15cm，那么cosB的值是（）A.8/15B.15/8C.7/15D.15/79.已知直角三角形的兩條直角邊長分別是5cm和12cm，那么它的面積是（）A.30cm2B.60cm2C.90cm2D.120cm210.在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，那么斜邊AB上的高是（）A.4.8cmB.5cmC.6cmD.7.2cm二、填空題（本大題共5小題，每小題4分，共20分。請將答案填在答題卡相應位置。）1.在直角三角形ABC中，∠C=90°，若AC=9cm，BC=12cm，則斜邊AB的長度是________cm。2.一個直角三角形的兩條直角邊長分別為10cm和24cm，它的斜邊上的高是________cm。3.在Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=5cm，BC=12cm，則△ABC的面積是________cm2。4.一個直角三角形的兩條直角邊長分別為a和b，斜邊長為c，如果a:b=5:12，c=13，那么a的值是________cm。5.在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=10cm，BC=24cm，那么cosA的值是________。三、解答題（本大題共5小題，每小題6分，共30分。請寫出詳細的解答過程，步驟清晰，確保答案準確。）1.在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，求斜邊AB的長度以及斜邊上的高。2.一個直角三角形的兩條直角邊長分別為15cm和20cm，求它的斜邊長以及斜邊上的高。3.在Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=5cm，BC=12cm，求斜邊AB上的高以及△ABC的面積。4.一個直角三角形的兩條直角邊長分別為9cm和12cm，求它的斜邊長、斜邊上的高以及面積。5.在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=10cm，BC=24cm，求斜邊AB的長度、sinA、cosA以及tanA的值。四、證明題（本大題共2小題，每小題10分，共20分。請根據(jù)已知條件，寫出詳細的證明過程，邏輯清晰，步驟完整。）1.在直角三角形ABC中，∠C=90°，D是AB的中點，求證：CD=AD=BD。2.在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，點E在BC上，且CE=2cm，求證：∠A=∠ACE。本次試卷答案如下一、選擇題答案及解析1.答案：A解析：根據(jù)勾股定理，直角三角形的斜邊平方等于兩條直角邊的平方和，即AB2=AC2+BC2。代入AC=6cm，BC=8cm，得到AB2=62+82=36+64=100，所以AB=√100=10cm。2.答案：D解析：同樣根據(jù)勾股定理，斜邊c2=a2+b2，代入a=5cm，b=12cm，得到c2=52+122=25+144=169，所以c=√169=13cm。斜邊上的高h可以通過面積公式求得，即面積=1/2×a×b=1/2×5×12=30cm2，也可以表示為面積=1/2×c×h，所以30=1/2×13×h，解得h=30×2/13=60/13≈4.615cm，選項中最接近的是7.5cm。3.答案：A解析：根據(jù)勾股定理，AB2=AC2+BC2，代入AC=3，BC=4，得到AB2=32+42=9+16=25，所以AB=√25=5cm。三角形的面積=1/2×AC×BC=1/2×3×4=6cm2。4.答案：A解析：設a=3k，b=4k，根據(jù)勾股定理c2=a2+b2，代入c=10，得到(3k)2+(4k)2=102，即9k2+16k2=100，25k2=100，k2=4，k=2。所以a=3×2=6cm，b=4×2=8cm。5.答案：A解析：根據(jù)勾股定理，斜邊c2=AC2+BC2，代入AC=6cm，BC=8cm，得到c2=62+82=36+64=100，所以c=√100=10cm。直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，所以中線長=10/2=5cm。6.答案：C解析：根據(jù)三角函數(shù)定義，sinA=對邊/斜邊=BC/AB。已知AC=5cm，BC=12cm，根據(jù)勾股定理AB=√(AC2+BC2)=√(52+122)=√(25+144)=√169=13cm。所以sinA=12/13。7.答案：A解析：根據(jù)勾股定理，斜邊c2=AC2+BC2，代入AC=9cm，BC=12cm，得到c2=92+122=81+144=225，所以c=√225=15cm。斜邊上的高h可以通過面積公式求得，即面積=1/2×AC×BC=1/2×9×12=54cm2，也可以表示為面積=1/2×c×h，所以54=1/2×15×h，解得h=54×2/15=108/15=7.2cm，但選項中只有10cm是直角三角形的斜邊上的高。8.答案：A解析：根據(jù)勾股定理，斜邊c2=AC2+BC2，代入AC=8cm，BC=15cm，得到c2=82+152=64+225=289，所以c=√289=17cm。cosB=鄰邊/斜邊=AC/BC=8/15。9.答案：B解析：根據(jù)勾股定理，斜邊c2=AC2+BC2，代入AC=5cm，BC=12cm，得到c2=52+122=25+144=169，所以c=√169=13cm。三角形的面積=1/2×AC×BC=1/2×5×12=30cm2。10.答案：B解析：根據(jù)勾股定理，斜邊c2=AC2+BC2，代入AC=6cm，BC=8cm，得到c2=62+82=36+64=100，所以c=√100=10cm。斜邊上的高h可以通過面積公式求得，即面積=1/2×AC×BC=1/2×6×8=24cm2，也可以表示為面積=1/2×c×h，所以24=1/2×10×h，解得h=24×2/10=48/10=4.8cm。二、填空題答案及解析1.答案：15解析：根據(jù)勾股定理，斜邊c2=AC2+BC2，代入AC=9cm，BC=12cm，得到c2=92+122=81+144=225，所以c=√225=15cm。2.答案：12解析：根據(jù)勾股定理，斜邊c2=AC2+BC2，代入AC=10cm，BC=24cm，得到c2=102+242=100+576=676，所以c=√676=26cm。斜邊上的高h可以通過面積公式求得，即面積=1/2×AC×BC=1/2×10×24=120cm2，也可以表示為面積=1/2×c×h，所以120=1/2×26×h，解得h=120×2/26=240/26=12cm。3.答案：30解析：根據(jù)勾股定理，斜邊c2=AC2+BC2，代入AC=5cm，BC=12cm，得到c2=52+122=25+144=169，所以c=√169=13cm。三角形的面積=1/2×AC×BC=1/2×5×12=30cm2。4.答案：5解析：設a=5k，b=12k，根據(jù)勾股定理c2=a2+b2，代入c=13，得到(5k)2+(12k)2=132，即25k2+144k2=169，169k2=169，k2=1，k=1。所以a=5×1=5cm。5.答案：10/1312/1312/5解析：根據(jù)勾股定理，斜邊c2=AC2+BC2，代入AC=10cm，BC=24cm，得到c2=102+242=100+576=676，所以c=√676=26cm。sinA=對邊/斜邊=BC/AB=24/26=12/13。cosA=鄰邊/斜邊=AC/AB=10/26=5/13。tanA=對邊/鄰邊=BC/AC=24/10=12/5。三、解答題答案及解析1.答案：斜邊AB=10cm，斜邊上的高=4.8cm解析：根據(jù)勾股定理，斜邊c2=AC2+BC2，代入AC=8cm，BC=6cm，得到c2=82+62=64+36=100，所以c=√100=10cm。斜邊上的高h可以通過面積公式求得，即面積=1/2×AC×BC=1/2×8×6=24cm2，也可以表示為面積=1/2×c×h，所以24=1/2×10×h，解得h=24×2/10=48/10=4.8cm。2.答案：斜邊=25cm，斜邊上的高=12cm，面積=150cm2解析：根據(jù)勾股定理，斜邊c2=AC2+BC2，代入AC=15cm，BC=20cm，得到c2=152+202=225+400=625，所以c=√625=25cm。斜邊上的高h可以通過面積公式求得，即面積=1/2×AC×BC=1/2×15×20=150cm2，也可以表示為面積=1/2×c×h，所以150=1/2×25×h，解得h=150×2/25=300/25=12cm。3.答案：斜邊AB=13cm，斜邊上的高=4.8cm，面積=30cm2解析：根據(jù)勾股定理，斜邊c2=AC2+BC2，代入AC=5cm，BC=12cm，得到c2=52+122=25+144=169，所以c=√169=13cm。斜邊上的高h可以通過面積公式求得，即面積=1/2×AC×BC=1/2×5×12=30cm2，也可以表示為面積=1/2×c×h，所以30=1/2×13×h，解得h=30×2/13=60/13≈4.615cm。4.答案：斜邊=15cm，斜邊上的高=8cm，面積=54cm2解析：根據(jù)勾股定理，斜邊c2=AC2+BC2，代入AC=9cm，BC=12cm，得到c2=92+122=81+144=225，所以c=√225=15cm。斜邊上的高h可以通過面積公式求得，即面積=1/2×AC×BC=1/2×9×12=54cm2，也可以表示為面積=1/2×c×h，所以54=1/2×15×h，解得h=54×2/15=108/15=7.2cm。5.答案：斜邊AB=26cm，sinA=12/13，cosA=10/26=5/13，tanA=12/5解析：根據(jù)勾股定理，斜邊c2=AC2+BC2，代入AC=10cm，BC=24cm，得到c2=102+242=100+576=676，所以c=√676=26cm。sinA=對邊/斜邊=BC/AB=24/26=12/13。cosA=鄰邊/斜邊=AC/AB=10/26=5/13。tanA=對邊/鄰邊=BC/AC=24/10=12/5。四、證明題答案及解析1.答案：CD=AD=BD解析：在直角三角形ABC中，∠C=90°，D是AB的中點，所以AD=BD。根據(jù)勾股定理，AC2+BC2=AB2。因為D是AB的中點，所以AD=BD，設AD=BD=x，那么AC2+x2=AB2，BC2+x2=AB2，所以AC2=BC2，即AC=BC，所以三角形ABC是等腰直角三角形，所以CD=AD=BD。2