第2課時12.3角的平分線的性質(zhì)八年級上冊初中數(shù)學(xué)角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.幾何表示：如圖，∵OC是∠AOB的平分線，點P是OC上一點，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E.∴PD=PE.OABCPDE┐┐知識回顧1.探究并證明角的平分線的判定.2.會用角的平分線的判定解決實際問題.3.熟練掌握角的平分線的性質(zhì)和角的平分線的判定的綜合運用.學(xué)習(xí)目標(biāo)思考：如圖，要在S區(qū)建一個集貿(mào)市場，使它到公路、鐵路的距離相等，并且離公路與鐵路的交叉處500m.這個集貿(mào)市場應(yīng)建于何處？課堂導(dǎo)入作出公路和鐵路相交的角的平分線，按照比例尺的比例在該平分線上選取離交叉口處500m的位置即可建集貿(mào)市場.

到角的兩邊的距離相等的點是否在角的平分線上？

課堂導(dǎo)入┐角的平分線的判定定理：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上.

注意:使用該判定定理的前提是這個點必須在角的內(nèi)部.OABCPDE┐知識點1角的平分線的判定新知探究幾何表示：如圖，∵點P是∠AOB內(nèi)的一點，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E，且PD=PE，∴點P在∠AOB的平分線OC上.OABCPDE┐┐證明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PEO=∠PDO=90°.∵在Rt△PEO和Rt△PDO中，

PE=PD，PO=PO，∴Rt△PEO≌Rt△PDO（HL）.

∴∠AOC=∠BOC.∴點P在∠AOB的平分線OC上.例如圖，點P是∠AOB內(nèi)的一點，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E，且PD=PE.求證：點P在∠AOB的平分線OC上.OABCPDE┐角的平分線的性質(zhì)定理與判定定理的關(guān)系.點在角的平分線上(角的內(nèi)部)點到角的兩邊的距離相等性質(zhì)定理判定定理性質(zhì)定理是證明兩條線段相等的依據(jù)，判定定理是證明兩個角相等的依據(jù).知識點2角的平分線的性質(zhì)定理與判定定理的關(guān)系新知探究分別畫出以下三角形的三個內(nèi)角的角平分線，從位置的角度看你能得出什么結(jié)論？三角形三個內(nèi)角的角平分線的交點位于三角形的內(nèi)部.ABC┐ABCABC知識點3三角形三個內(nèi)角平分線的性質(zhì)

新知探究過交點分別作三角形三邊的垂線，測量一下每一組垂線段，從大小上你能觀察出什么結(jié)論？

過交點作三角形三邊的垂線段相等.┐┐┐┐┐┐┐┐┐ABCABBCAC例如圖，△ABC的角平分線AD，BE，CF相交于點P.求證：點P到△ABC三邊AB，BC，CA的距離相等.BCPDEFMNO證明：過點P作PM⊥BC，PN⊥AC，PO⊥AB，垂足分別為點M，N，O.┐┐┐A可多次利用角平分線的性質(zhì)證得∵AD為△ABC的角平分線，∴PN=PO.∵BE為△ABC的角平分線，∴PM=PO.∵CF為△ABC的角平分線，∴PM=PN.∴PM=PN=PO，即點P到△ABC三邊AB，BC，CA的距離相等.BCPDEFMNO┐┐┐A三角形三個內(nèi)角的平分線的性質(zhì)三角形的三條角平分線相交于三角形內(nèi)一點，且該點到三角形三邊的距離相等.反之，三角形內(nèi)部到三邊距離相等的點是該三角形三條角平分線的交點.ABCP判斷題:(1)如圖1，若QM=QN，則OQ平分∠AOB.()

(2)如圖2，若QM⊥OA于點M，QN⊥OB于點N，則OQ平分∠AOB.()┐┐QOBAM圖2NOBAQM圖1N跟蹤訓(xùn)練新知探究角的平分線的判定定理：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上.1.如圖，P是△ABC外部一點，PD⊥AB，交AB的延長線于點D，PE⊥AC，交AC的延長線于點E，PF⊥BC于點F，且PD=PE=PF.關(guān)于點P有下列三種說法：①點P在∠DBC的平分線上；②點P在∠BCE的平分線上；③點P在∠BAC的平分線上.其中說法正確的個數(shù)為（）A.0B.1C.2D.3DCAEBDFP┐┐隨堂練習(xí)2.如圖，BE=CF，DE⊥AB的延長線于點E，DF⊥AC于點F且DB=DC.求證：AD是∠BAC的平分線.┐CEAFDB┐

BE=CF，DB=DC.

Rt△BDE≌Rt△CDF.

DE⊥AB，DF⊥AC

，DE=DF.AD是∠BAC的平分線.

分析：

（直角三角形全等（HL））（三角形全等的性質(zhì)）（角的平分線的判定）證明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴∠BED=∠CFD=90°.

∵在Rt△BDE和Rt△CDF中，BE=CF，

DB=DC，

∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）.

∴DE=DF.∴點D在∠BAC的平分線上，即AD是∠BAC的平分線.┐CEAFDB┐3.如圖，O是△ABC內(nèi)一點，O到三邊AB，BC，CA的距離分別為OF，OD，OE，且OF=OD=OE，若∠BAC=70°，則∠BOC=（）.證明：由題意，得OD⊥BC，OE⊥AC,OF

⊥AB,且OF=OD=OE，∴OB，OC分別平分∠ABC和∠ACB.∵∠BAC=70°，

∴∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=110°.

∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=125°.

∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=55°.

4.如圖，在四邊形ABCD中，∠ADC+∠ABC=180°，BC=DC，CE⊥AD交AD的延長線于點E，CF⊥AB于點F.求證：AC平分∠BAD.EABCDF┌┐熟練掌握角的平分線的判定定理是解題的關(guān)鍵證明：∵∠ADC+∠ABC=180°，∠ADC+∠EDC=180°，∴∠ABC=∠EDC.∵CE⊥AD，CF⊥AB，

∴∠CED=∠CFB=90°.∵在△BCF和△DCE中，∠CFB=∠CED，

∠FBC=∠EDC，

BC=DC，∴△BCF≌△DCE（AAS）.

∴CF=CE，即AC平分∠BAD.EABCDF┌┐角平分線的判定學(xué)會用添加輔助線的方法解題判定定理應(yīng)用角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上綜合利用角的平分線的性質(zhì)和判定來解決實際問題課堂小結(jié)1.如圖，∠B=∠C=90°，E是BC的中點，DE平分∠ADC.求證：AE平分∠DAB.ABCED┌┌拓展提升證明：過點E作EF⊥AD于點F，∵∠B=∠C=90°，

∴DC⊥EC，EB⊥AB.

∵DE平分∠ADC，

∴EC=EF.

證明角平分線的方法只需從要證的線上的某一點向角的兩邊作（找）垂線段，再證明垂線段相等即可.∵E是BC的中點，

∴EC=EB=EF.又∵EF⊥AD，EB⊥AB，

∴點E在∠DAB的平分線上，即AE平分∠DAB.F┌ABCED┌┌2.如圖，∠MON=60°，點A，B為射線OM，ON上的動點（點A，B不與點O重合），在∠MON的內(nèi)部，△AOB的外部有一點P，且AP=BP，∠APB=120°，求證：點P在∠MON的平分線上.CDABPOMN┌┌證明：①若∠PAO≠90°，如圖，過點P分別作PC⊥OM，PD⊥ON，垂足分別為C，D，則∠ACP=∠BDP=90°.在四邊形OCPD中，

∠CPD=360°-∠OCP-∠COD-∠ODP=120°，∴∠APB=∠CPD.∴∠APB-∠APD=∠CPD-∠APD，即∠APC=∠BPD.在△APC和△BPD中，∠APC=∠BPD，

∠ACP=∠BDP，

AP=BP，∴△APC≌△BPD（AAS）.∴PC=PD，∴點P在∠MON的平分線上.CDABPOMN┌┌ABPOMN②若∠PAO=90°，則∠PBO=360°-∠APB-∠PAO-∠AOB=90°,∴PA=PB,∴點P在∠MON的平分線上.綜上，點P在∠MON的平分線上.∠PAO的度數(shù)未知，因分情況討論，確保結(jié)果的完整性.學(xué)前溫故新課早知相等

角的平分線的性質(zhì):角平分線上的點到角的兩邊的距離

.學(xué)前溫故新課早知1.角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在

上.

2.三角形的三條角平分線

,這點到三角形三邊的距離

.

3.三角形中到三邊的距離相等的點是(

).A.三條邊上經(jīng)過對應(yīng)頂點的任意三條線段的交點B.三條高的交點C.三條中線的交點D.三條角平分線的交點角的平分線

相交于一點

相等

D點在角的平分線的判定方法【例題】

如圖,BD=CD,BF⊥AC于點F,CE⊥AB于點E.求證:點D在∠BAC的平分線上.分析:要證明點D在∠BAC的平分線上,因為DE⊥AB,DF⊥AC,所以只要證明點D到∠BAC的兩邊距離相等,即DE=DF,利用題目的已知條件證明△DBE和△DCF全等即可得到.證明在△DBE和△DCF中,所以△DBE≌△DCF(AAS).所以DE=DF.因為DE⊥AB,DF⊥AC,所以點D在∠BAC的平分線上.1