第04講直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系目錄考點要求考題統(tǒng)計考情分析（1）能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系．（2）能用直線和圓的方程解決一些簡單的數(shù)學問題與實際問題．2023年乙卷（理）第12題，5分2023年I卷第6題，5分2023年II卷第15題，5分2022年I卷第14題，5分高考對直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系的考查比較穩(wěn)定，考查內(nèi)容、頻率、題型難度均變化不大，但命題形式上比較靈活，備考時應熟練掌握相關(guān)題型與方法，除了直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系的判斷外，還特別要重視直線與圓相交所得弦長及相切所得切線的問題．一．直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系有3種，相離，相切和相交二．直線與圓的位置關(guān)系判斷（1）幾何法（圓心到直線的距離和半徑關(guān)系）圓心到直線的距離，則：直線與圓相交，交于兩點，；直線與圓相切；直線與圓相離（2）代數(shù)方法（幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題即交點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程根個數(shù)）由，消元得到一元二次方程，判別式為，則：直線與圓相交；直線與圓相切；直線與圓相離．三．兩圓位置關(guān)系的判斷用兩圓的圓心距與兩圓半徑的和差大小關(guān)系確定，具體是：設兩圓的半徑分別是，（不妨設），且兩圓的圓心距為，則：兩圓相交；兩圓外切；兩圓相離兩圓內(nèi)切；兩圓內(nèi)含（時兩圓為同心圓）設兩個圓的半徑分別為，，圓心距為，則兩圓的位置關(guān)系可用下表來表示：位置關(guān)系相離外切相交內(nèi)切內(nèi)含幾何特征代數(shù)特征無實數(shù)解一組實數(shù)解兩組實數(shù)解一組實數(shù)解無實數(shù)解公切線條數(shù)43210【解題方法總結(jié)】關(guān)于圓的切線的幾個重要結(jié)論（1）過圓上一點的圓的切線方程為．（2）過圓上一點的圓的切線方程為（3）過圓上一點的圓的切線方程為（4）求過圓外一點的圓的切線方程時，應注意理解：①所求切線一定有兩條；②設直線方程之前，應對所求直線的斜率是否存在加以討論．設切線方程為，利用圓心到切線的距離等于半徑，列出關(guān)于的方程，求出值．若求出的值有兩個，則說明斜率不存在的情形不符合題意；若求出的值只有一個，則說明斜率不存在的情形符合題意．題型一：直線與圓的位置關(guān)系的判斷例1．（2023·四川成都·成都七中?？家荒＃﹫A：與直線：的位置關(guān)系為（）A．相切 B．相交 C．相離 D．無法確定例2．（2023·全國·高三對口高考）若直線與圓相交，則點（

）A．在圓上 B．在圓外 C．在圓內(nèi) D．以上都有可能例3．（2023·全國·高三專題練習）已知點為圓上的動點，則直線與圓的位置關(guān)系為（

）A．相交 B．相離 C．相切 D．相切或相交變式1．（2023·全國·高三專題練習）直線與圓的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．無法確定變式2．（2023·陜西寶雞·統(tǒng)考二模）直線l：與曲線C：的交點個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．無法確定變式3．（2023·寧夏銀川·銀川一中?？级＃┲本€與圓的位置關(guān)系為（

）A．相離 B．相切 C．相交 D．不能確定【解題方法總結(jié)】判斷直線與圓的位置關(guān)系的常見方法（1）幾何法：利用d與r的關(guān)系．（2）代數(shù)法：聯(lián)立方程之后利用Δ判斷．（3）點與圓的位置關(guān)系法：若直線恒過定點且定點在圓內(nèi)，可判斷直線與圓相交．題型二：弦長與面積問題例4．（2023·重慶沙坪壩·高三重慶一中?？茧A段練習）已知直線：與圓：交于，兩點，則．例5．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預測）已知圓，直線與圓C相交于M，N兩點，則．例6．（2023·全國·高三專題練習）已知直線與交于A，B兩點，寫出滿足“面積為”的m的一個值．變式4．（2023·江西南昌·高三南昌市八一中學?？茧A段練習）圓心在直線上，與軸相切，且被直線截得的弦長為的圓的方程為.變式5．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考三模）寫出經(jīng)過點且被圓截得的弦長為的一條直線的方程．變式6．（2023·廣東深圳·?？级＃┻^點且被圓所截得的弦長為的直線的方程為.變式7．（2023·湖北黃岡·浠水縣第一中學校考三模）已知直線l：被圓C：所截得的弦長為整數(shù)，則滿足條件的直線l有條.變式8．（2023·全國·高三專題練習）已知A，B分別為圓與圓上的點，O為坐標原點，則面積的最大值為.變式9．（2023·廣東廣州·廣州市從化區(qū)從化中學?？寄M預測）已知直線與圓交于A，兩點，若是圓上的一動點，則面積的最大值是.變式10．（2023·全國·高三專題練習）已知圓的方程為，若直線與圓相交于兩點，則的面積為.變式11．（2023·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系xOy中，過點的直線l與圓相交于M，N兩點，若，則直線l的斜率為.變式12．（2023·廣東惠州·統(tǒng)考模擬預測）在圓內(nèi)，過點的最長弦和最短弦分別為和，則四邊形的面積為．【解題方法總結(jié)】弦長問題=1\*GB3①利用垂徑定理：半徑，圓心到直線的距離，弦長具有的關(guān)系，這也是求弦長最常用的方法．=2\*GB3②利用交點坐標：若直線與圓的交點坐標易求出，求出交點坐標后，直接用兩點間的距離公式計算弦長．=3\*GB3③利用弦長公式：設直線，與圓的兩交點，將直線方程代入圓的方程，消元后利用根與系數(shù)關(guān)系得弦長：．題型三：切線問題、切線長問題例7．（2023·遼寧錦州·校考一模）寫出一條與圓和曲線都相切的直線的方程：.例8．（2023·河南開封·統(tǒng)考三模）已知點，，經(jīng)過B作圓的切線與y軸交于點P，則．例9．（2023·全國·高三專題練習）經(jīng)過點且與圓相切的直線方程為．變式13．（2023·福建寧德·校考模擬預測）已知圓C：，直線l的橫縱截距相等且與圓C相切﹐則直線l的方程為．變式14．（2023·福建福州·統(tǒng)考模擬預測）寫出經(jīng)過拋物線的焦點且和圓相切的一條直線的方程.變式15．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預測）過點且與圓：相切的直線方程為變式16．（2023·湖北·高三校聯(lián)考開學考試）已知過點作圓的切線，則切線長為.變式17．（2023·江蘇無錫·校聯(lián)考三模）已如，是拋物線上的動點（異于頂點），過作圓的切線，切點為，則的最小值為.變式18．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學?？寄M預測）由直線上一點向圓引切線，則切線長的最小值為．變式19．（2023·山西朔州·高三懷仁市第一中學校?？茧A段練習）若在圓C：上存在一點P，使得過點P作圓M：的切線長為，則r的取值范圍為．變式20．（2023·天津濱海新·天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學?？寄M預測）已知圓與直線相交所得圓的弦長是，若過點作圓的切線，則切線長為.變式21．（2023·天津南開·統(tǒng)考二模）若直線與圓相切，則.變式22．（2023·湖北·高三校聯(lián)考階段練習）已知，，過x軸上一點P分別作兩圓的切線，切點分別是M，N，當取到最小值時，點P坐標為.【解題方法總結(jié)】（1）圓的切線方程的求法=1\*GB3①點在圓上，法一：利用切線的斜率與圓心和該點連線的斜率的乘積等于，即．法二：圓心到直線的距離等于半徑．=2\*GB3②點在圓外，則設切線方程：，變成一般式：，因為與圓相切，利用圓心到直線的距離等于半徑，解出．注意：因為此時點在圓外，所以切線一定有兩條，即方程一般是兩個根，若方程只有一個根，則還有一條切線的斜率不存在，務必要把這條切線補上．（2）常見圓的切線方程過圓上一點的切線方程是；過圓上一點的切線方程是．題型四：切點弦問題例10．（2023·浙江·高三浙江省富陽中學校聯(lián)考階段練習）從拋物線上一點作圓：得兩條切線，切點為，則當四邊形面積最小時直線方程為.例11．（2023·貴州·高三凱里一中校聯(lián)考開學考試）已知圓，過直線上任意一點，作圓的兩條切線，切點分別為兩點，則的最小值為.例12．（2023·北京·高三強基計劃）如圖，過橢圓上一點M作圓的兩條切線，過切點的直線與坐標軸于P，Q兩點，O為坐標原點，則面積的最小值為（

）A． B． C． D．前三個答案都不對變式23．（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預測）已知直線與圓，過直線上的任意一點向圓引切線，設切點為，若線段長度的最小值為，則實數(shù)的值是（

）A． B． C． D．變式24．（2023·全國·高三專題練習）已知點在直線上，過點作圓的兩條切線，切點分別為，則圓心到直線的距離的最大值為（

）A． B． C．1 D．變式25．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預測）若圓關(guān)于直線對稱，動點在直線上，過點引圓的兩條切線、，切點分別為、，則直線恒過定點，點的坐標為（

）A． B． C． D．變式26．（多選題）（2023·全國·高三專題練習）已知圓：，點M在拋物線：上運動，過點引直線與圓相切，切點分別為，則下列選項中能取到的值有（

）A．2 B． C． D．變式27．（2023·江蘇南京·高三統(tǒng)考開學考試）過拋物線上一點作圓的切線，切點為、，則當四邊形的面積最小時，直線的方程為（

）A． B． C． D．【解題方法總結(jié)】過圓外一點作圓的兩條切線，則兩切點所在直線方程為過曲線上，做曲線的切線，只需把替換為，替換為，替換為，替換為即可，因此可得到上面的結(jié)論．題型五：圓上的點到直線距離個數(shù)問題例13．（2023·貴州貴陽·高三貴陽一中校考期末）若圓上有四個不同的點到直線的距離為，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．例14．（2023·陜西咸陽·高三武功縣普集高級中學校考階段練習）圓C：上恰好存在2個點，它到直線的距離為1，則R的一個取值可能為（

）A．1 B．2 C．3 D．4例15．（2023·全國·高三專題練習）已知圓O：x2＋y2＝4上到直線l：x＋y＝a的距離等于1的點至少有2個，則a的取值范圍為()A． B．C． D．變式28．（2023·全國·高三專題練習）若圓上恰有2個點到直線的距離為1，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．變式29．（1991·全國·高考真題）圓上到直線的距離為的點共有A．個 B．個 C．個 D．個變式30．（2023·全國·高三專題練習）若圓上僅有4個點到直線的距離為1，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【解題方法總結(jié)】臨界法題型六：直線與圓位置關(guān)系中的最值（范圍）問題例16．（2023·湖北·統(tǒng)考模擬預測）已知點在圓運動，若對任意點，在直線上均存在兩點，使得恒成立，則線段長度的最小值是（

）A． B． C． D．例17．（2023·河南洛陽·高三伊川縣第一高中校聯(lián)考開學考試）已知圓，點在直線上，過點作直線與圓相切于點，則的周長的最小值為.例18．（2023·河北石家莊·高三校聯(lián)考階段練習）如圖，正方形的邊長為4，是邊上的一動點，交于點，且直線平分正方形的周長，當線段的長度最小時，點到直線的距離為.

變式31．（2023·廣東梅州·高三大埔縣虎山中學校考階段練習）直線分別與軸，軸交于A，B兩點，點P在圓上，則面積的取值范圍是.變式32．（2023·上海徐匯·高三上海民辦南模中學?？茧A段練習）若，則的最小值為.變式33．（2023·湖北武漢·武漢二中校聯(lián)考模擬預測）已知圓與直線相切，函數(shù)過定點，過點作圓的兩條互相垂直的弦，則四邊形面積的最大值為.變式34．（2023·遼寧大連·大連二十四中?？寄M預測）已知是平面內(nèi)的三個單位向量，若，則的最小值是．變式35．（2023·安徽池州·高三池州市第一中學校考階段練習）已知，直線為上的動點，過點作的切線，切點為，當最小時，直線的方程為.變式36．（2023·全國·高三專題練習）已知，點A為直線上的動點，過點A作直線與相切于點P，若，則的最小值為.變式37．（2023·廣東佛山·華南師大附中南海實驗高中?？寄M預測）若直線與相交于點，過點作圓的切線，切點為，則|PM|的最大值為．變式38．（2023·河南·高三信陽高中校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)的圖象恒過定點A，圓上兩點，滿足，則的最小值為．變式39．（2023·四川成都·統(tǒng)考模擬預測）已知圓C：與直線l：交與A，B兩點，當|AB|最小值時，直線l的一般式方程是.變式40．（2023·北京西城·高三北京市回民學校?？茧A段練習）已知圓與直線相交于兩點，則的最小值是.變式41．（2023·寧夏石嘴山·石嘴山市第三中學?？寄M預測）已知分別是圓，圓上動點，是直線上的動點，則的最小值為．變式42．（2023·全國·高三專題練習）已知實數(shù)x，y滿足：，則的取值范圍是．變式43．（2023·福建福州·高三福建省福州格致中學?？计谥校┮阎菆A上兩點，若，則的最大值為.變式44．（2023·廣東廣州·高三廣州市白云中學?？计谥校┮阎狿是直線上的動點，是圓的兩條切線，A，B是切點，C是圓心，那么四邊形面積的最小值為．變式45．（2023·全國·高三專題練習）設，，O為坐標原點，點P滿足，若直線上存在點Q使得，則實數(shù)k的取值范圍為（

）A． B．C． D．變式46．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中學校考模擬預測）德國數(shù)學家米勒曾提出最大視角問題，這一問題一般的描述是：已知點，是的邊上的兩個定點，是邊上的一個動點，當在何處時，最大？問題的答案是：當且僅當?shù)耐饨訄A與邊相切于點時最大，人們稱這一命題為米勒定理.已知點，的坐標分別是，，是軸正半軸上的一動點.若的最大值為，則實數(shù)的值為（

）A．2 B．3 C．或 D．2或4變式47．（2023·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考三模）已知直線與軸和軸分別交于A，兩點，以點A為圓心，2為半徑的圓與軸的交點為（在點A右側(cè)），點在圓上，當最大時，的面積為（

）A． B．8 C． D．變式48．（2023·江西贛州·統(tǒng)考模擬預測）已知圓C：，圓是以圓上任意一點為圓心，半徑為1的圓．圓C與圓交于A，B兩點，則當最大時，（

）A．1 B． C． D．2變式49．（2023·上海黃浦·高三上海市敬業(yè)中學?？计谥校┮阎cP在圓上，點，，則錯誤的是（

）A．點P到直線AB的距離小于10 B．點P到直線AB的距離大于2C．當最小時， D．當最大時，變式50．（2023·廣東珠?！じ叨楹Ｊ械谝恢袑W?？计谀┑聡鴶?shù)學家米勒曾提出過如下的“最大視角原理”：對定點、和在直線上的動點，當與的外接圓相切時，最大．若，，是軸正半軸上一動點，當對線段的視角最大時，的外接圓的方程為（

）A． B．C． D．【解題方法總結(jié)】直線上的點與圓上的點的最近或最遠距離問題，這樣的題目往往要轉(zhuǎn)化為直線上的點與圓心距離的最近和最遠距離再加減半徑長的問題．題型七：圓與圓的位置關(guān)系例19．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預測）已知直線與圓相切，則滿足條件的直線l的條數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5例20．（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考三模）已知直線是圓的切線，并且點到直線的距離是2，這樣的直線有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條例21．（2023·全國·高三專題練習）已知圓：，圓：，則與的位置關(guān)系是（

）A．外切 B．內(nèi)切 C．相交 D．外離變式51．（2023·全國·高三專題練習）圓：與圓：公切線的條數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4變式52．（2023·山西·校聯(lián)考模擬預測）已知圓：的圓心到直線的距離為，則圓與圓：的公切線共有（

）A．0條 B．1條 C．2條 D．3條變式53．（2023·甘肅蘭州·蘭州五十九中校考模擬預測）在平面直角坐標系xOy中，已知圓C：x2＋y2－4x＝0及點A(－1,0)，B(1,2)，在圓C上存在點P，使得|PA|2＋|PB|2＝12，則點P的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4變式54．（2023·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系中，已知兩點，到直線的距離分別是1與4，則滿足條件的直線共有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條變式55．（2023·湖南常德·常德市一中?？级＃┮阎獔A和兩點，若圓C上存在點P，使得，則a的最小值為（

）A．6 B．5 C．4 D．3變式56．（2023·全國·高三專題練習）已知圓C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圓C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一條公切線，若a，b∈R且ab≠0，則＋的最小值為（

）A．3 B．8 C．4 D．9【解題方法總結(jié)】已知兩圓半徑分別為，兩圓的圓心距為，則：（1）兩圓外離；（2）兩圓外切；（3）兩圓相交；（4）兩圓內(nèi)切；（5）兩圓內(nèi)含；題型八：兩圓的公共弦問題例22．（2023·天津和平·耀華中學?？级＃﹫A與圓的公共弦所在的直線方程為．例23．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預測）若圓與圓交于P，Q兩點，則直線PQ的方程為.例24．（2023·天津濱海新·統(tǒng)考三模）已知