1§第三節(jié)

微積分基本公式

積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)Newton—Leibniz公式★☆☆fundamentalformulaofcalculus

第六章定積分2一、積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)

注一定要分清函數(shù)的與自變量x積分變量t.設(shè)f(x)在[a,b]中可積,則對任一點(diǎn)積分上限函數(shù)下面討論這個函數(shù)的可導(dǎo)性.3證定理1(原函數(shù)存在定理)因?yàn)閺亩O(shè)連續(xù)，4

積分中值定理定積分性質(zhì)3故5

定理1指出:積分聯(lián)結(jié)為一個有機(jī)的整體(2)連續(xù)函數(shù)f(x)一定有原函數(shù),就是f(x)的一個原函數(shù).(1)積分運(yùn)算和微分運(yùn)算的關(guān)系,它把微分和所以它是微積分學(xué)基本定理.函數(shù)—微積分,6推論證:設(shè)，則變限積分求導(dǎo)設(shè)連續(xù)，?7推論8例2.

解:例3.

解:例1.設(shè)

解：9例4.設(shè)

求解：因?yàn)樗?0例5

已知解：因?yàn)榉e分變量是

t，被積函數(shù)中的

x相當(dāng)于

t而言是常數(shù)，根據(jù)定積分的性質(zhì)，x可以提到積分號外。11例6解這是型未定式,分析應(yīng)用L’Hospital法則12練習(xí)：

求極限解：13例7.

確定常數(shù)a,b,c

的值,使解:原式=

c

≠0,

故又由～得洛14定理2（Newton-Leibniz公式）證牛頓(英)1642―1727

萊布尼茨(德)1646―1716如果是連續(xù)函數(shù)的一個原函數(shù),則都是f(x)在[a,b]因?yàn)樯系脑瘮?shù),故有C是待定常數(shù),即有二、Newton—Leibniz公式)(aFC-=15牛頓(Newton)—萊布尼茨(Leibniz)公式微積分基本公式特別,16微積分基本公式表明注求定積分問題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問題.一個連續(xù)函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的定積分等于它的任意一個原函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的增量.仍成立.17解例1.

解:例2.計(jì)算

18例3

原式解

面積例4

解平面圖形的面積.所圍成的19例5解由圖形可知注如被積函數(shù)是分段函數(shù),應(yīng)分段分成幾個再用?！R公式.積分,20解練習(xí)21解如被積函數(shù)有絕對值,注再用去掉后,N--L公式.應(yīng)分區(qū)間將絕對值例6

22

微積分基本公式積分上限函數(shù)(變上限積分)

積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

牛頓－萊布尼茨公式溝通了微分學(xué)與積分學(xué)之間的關(guān)系．三、小結(jié)注意其推論.23

分析求必須先化掉積分號,只要對所給積分方程兩邊求導(dǎo)即可.解對所給積分方程兩邊關(guān)于x求導(dǎo),得練習(xí)需先求出即)1(2xx+][f24思考題已知兩曲線在點(diǎn)處的切線相同,寫出此切線方程,并求極限解故所求切線方程為25解：)練習(xí)26解求極限

練習(xí)27證例證明函數(shù)為單調(diào)增加函數(shù).28為單調(diào)增加函數(shù).故29證令為單調(diào)增加函數(shù).證明:只有一個解.例.所以原方程只有一個解.30例試證明:積分中值定理