教學(xué)內(nèi)容1、逆矩陣的概念2、矩陣可逆的條件3、逆矩陣的性質(zhì)啊教學(xué)要求：理解逆矩陣的概念；掌握逆矩陣的性質(zhì)；掌握用伴隨矩陣求逆矩陣方法.在上一節(jié)中，我們定義了可交換矩陣的概念，即若AB=BA，稱A與B是可交換的。本節(jié)我們探討A與B不僅可交換，而且滿足AB=BA=E的情形，從而建立逆矩陣的概念。則稱方陣

A

是可逆的，并把方陣

B

稱為

A

的逆矩陣。說明：（1）只有方陣才有逆矩陣的概念。（2）當(dāng)B

為A

的逆矩陣時，A也是B

的逆矩陣。因此也稱A與B是互逆矩陣。定義2.13

對于n階方陣A，如果有一個n階方陣B，使AB=BA=E，1、逆陣的定義例如因為AB=BA=E,所以B是A的逆矩陣，同樣A

也是B

的逆矩陣。

滿足AA

1

=A

1A

=E。（3）如果方陣A是可逆的，則

A

的逆陣一定是唯一的。這是因為：設(shè)B、C

都是

A的逆矩陣，則有B=BE=B（AC）=（BA）C=EC=C，即A

的逆陣唯一。A的逆陣記作A

1,這樣BA=AB=

E,AC=CA=E,所以例如所以B

是A的逆陣，即A

1=B?；?/p>

因為AB=BA=E

，（4）有了逆矩陣概念，一些矩陣方程的解就可以用逆矩陣來表示.比如，在用矩陣表示的線性方程組Ax=b中，如果A可逆，則在方程的兩邊同時左乘A

1，得A

1Ax=A

1b，又因為A

1A=E，Ex=x，所以方程的解可表示為x=A

1b.這一方程解的形式比較簡潔，也很“美”!(5)有不可逆的矩陣存在，如是不可逆的矩陣，因為不存在這樣的矩陣B，使AB=BA=E2成立。那么，什么樣的矩陣一定是可逆的矩陣呢？在可逆的情況下，又如何求出逆矩陣呢？這兩個問題在下面將給出答案。定理2.2

若方陣

A可逆，則

A

的行列式不等于0。

定理表明：可逆矩陣的行列式一定不等于零。2、矩陣可逆的條件證明：

A

可逆，即存在

A

1，使

AA

1=

E

，故|A||A

1|=|E

|=1≠0，所以|A|≠0。定理2.2的逆命題也成立。定理2.2’

若矩陣A

的行列式不等于0，則A

可逆，且證明：由伴隨矩陣性質(zhì)知

AA*=A*A=|A|E，因為|A|≠0,兩邊同除以|A|,故有其中A*是

A的伴隨矩陣。所以，由定理2.2和2.2’可得矩陣可逆的充分必要條件：說明：(1)行列式不等于零的方陣又叫做非奇異矩陣.因此,非奇異矩陣和可逆矩陣是等價概念.行列式等于零的矩陣自然叫做奇異矩陣。

方陣A

可逆的充分必要條件是|A|≠0,且A

1

=|A|

1

A*

.的行列式|A|=0，所以A是奇異矩陣。例如：矩陣(2)從可逆的充要條件可以體會,前面為什么我們對行列式的值是否為“0”感興趣！(3)公式

A

1

=|A|

1

A*

給出了求逆矩陣的方法,即先計算A的行列式,當(dāng)行列式不為零時,再計算A的伴隨矩陣A*,最后寫出A的逆矩陣,這一方法也稱為伴隨矩陣法.

【例2.15】設(shè)求A

1.說明：通常利用伴隨陣A*來計算A的逆矩陣的方法只限于階數(shù)不超過3的矩陣，否則計算量可能很大。對于階數(shù)高于3的矩陣，以后將介紹用初等變換的方法來求逆矩陣。所以解：

因為|A|=

1≠0

，故A可逆。又A的伴隨矩陣為【例2.16】

設(shè)解：因為|A|=

求A的逆矩陣A

1.所以A-1存在。再求A的伴隨矩陣，因為同理故所以A的伴隨矩陣為B=EB=(A

1A)B=A

1(AB)=A

1E=A

1。定理2.3

設(shè)A,B均為n階方陣，若

AB=E(或

BA=E)，則B=

A

1。證明：因為|A||B

|=|E

|＝1，故|A|≠0，因而A

1存在，于是說明:(1)定理也可表述為：若AB=E，則BA=E。(2)定理表明，證明B是否為A的逆矩陣，只要驗證等式AB=E或BA=E中的一個成立即行了,與定義2.13相比較，減少了計算量。3、逆矩陣運算性質(zhì)（3）由定理，可得對角矩陣的逆矩陣。設(shè)對角矩陣則A的逆矩陣對角矩陣的逆矩陣是對角線上元素取倒數(shù)！可見，對角矩陣的逆矩陣是對角線上元素取倒數(shù)。思考：單位矩陣E的逆矩陣是多少？（答案：E-1=E）【例2.17】設(shè)矩陣A滿足A2-A-2E=O，證明A,A+2E都可逆，并求它們的逆矩陣。證明：由A2-A-2E=O,移項得A2-A=2E，所以A(A-E)=2E,又由A2-A-2E=O,變形可得A2+2A-3(A+2E)+4E=O，由乘法分配律得,(A+2E)(A-3E)+4E=O,故(A+2E)可逆，且說明：從例題看出，求A-1

及(A+2E)-1

就是將其表示成A與E的表達式。性質(zhì)1(自反性)若A可逆,則A

1也可逆,且(A

1)

1=A.證明根據(jù)定理2.3,只需做一個乘積,因為AA

1=E,故得證.性質(zhì)2(數(shù)乘矩陣的逆矩陣)若A可逆,且常數(shù)k≠0,則kA也可逆,且(kA)

1=k

1A

1.證明因為(kA)(k

1A

1)=(kk

1)(AA

1)=1E=E,故由定理2.3,得(kA)

1=k

1A

1,證畢性質(zhì)3(乘積矩陣的逆矩陣)若A,B是同階矩陣且都可逆,則(AB)

1=B

1A

1.證明因為

(AB)(B

1A

1)=A(BB

1)A

1=AEA

1=AA

1=E,故由逆矩陣定義,得(AB)

1=B

1A

1,證畢.性質(zhì)4(轉(zhuǎn)置矩陣的逆矩陣)若A可逆,則AT也可逆,且(AT)

1=(A

1)T.證明因為AT(A

1)T=(A1A)T=ET=E,故由逆矩陣定義（或定理2.3）,得(AT)

1=(A

1)T.證畢.性質(zhì)5(逆矩陣的行列式)若A可逆,則|A

1|=|A|

1.證明因為AA

1=E,所以由矩陣乘積的行列式性質(zhì),得|AA

1|=|E|=|A||A

1|=1,故|A

1|=|A|

1.證畢.不難證明,逆矩陣還有如下兩個常用的結(jié)論：(1)若A可逆,k為正整數(shù),則(Ak)

1

=(A

1)k;(2)若A可逆,則A的伴隨矩陣A*也可逆，且(A*)

1=(A

1)*=|A|

1A.方陣冪運算的推廣：當(dāng)|A|≠0，k,s

為整數(shù)時，有當(dāng)|A|≠0時，定義A0=E,A

k

=(A

1)k,其中k為正整數(shù)。負指數(shù)冪：因為|A|=記【例2.18】解線性方程組【解】方程組的矩陣式為即方程組的解為所以A可逆，且故【例2.19】設(shè)解：因為

求矩陣X使?jié)M足AXB=C。所以A

1

,B

1存在.

于是，又由AXB=C【補例4】設(shè)四階矩陣A的行列式|A|=2,求|3A

1

A*|.解因為|A|=2,所以A可逆.又因為AA*=A*A=|A|E,所以A*=|A|A

1=2A

1

,這樣,|4A

1

A*|=|4A

1

2A

1|=|2A

1|=(2)4|A

1|=16|A|

1=8.注：這種含有A

1,A*的計算問題，通常把A*轉(zhuǎn)化成A

1的表達式。解：由XA+2E=A2+X可得2E

A2=X

XA，即2E

A2=X(E

A)，所以X=(2E

A2)

(E

A)

1

，【補例5】設(shè)3階方陣X滿足XA+2E=A2+X(E為單位矩陣),求X,其中2.若A2=A,求證A+E可逆,并求(A+E)

1.1.用伴隨矩陣法求的逆矩陣

.練習(xí)3.已知4.設(shè)A,B為3階矩陣，且|A|=3,|B|=2,|A-1+B|=2，求|B-1+A|。

求矩陣X使AX=B?？佳姓骖}(2)設(shè)3階方陣X滿足X-XA2-AX+AXA2=E(E為單位矩陣),求矩陣X。1.（2015數(shù)學(xué)3）設(shè)3階方陣且A3=O,(1)求常數(shù)a;2.（2013數(shù)學(xué)3）設(shè)A=(aij)為三階非零矩陣,Aij

是aij的代數(shù)余子式，滿足aij+Aij=0(i,j=1,2,3),試證A可逆，