1、等價(jià)向量組2、向量組的極大無(wú)關(guān)組3、向量組的秩4、矩陣的行秩與列秩5、極大無(wú)關(guān)組的求法教學(xué)要求：了解向量組的極大線性無(wú)關(guān)組和秩的概念,會(huì)求向量組的極大線性無(wú)關(guān)組和秩.定義3.10

設(shè)兩個(gè)n

維向量組A:

1,

2,…,

s;B:

1,

2,…,

t,如果向量組

A

中每一個(gè)向量都可由B

組中的向量線性表示，則稱向量組A

可由向量組

B

線性表示；如果向量組

A

與

B

能相互線性表示，則稱向量組

A

與B

等價(jià)，記作{

1,

2,…,

s}≌{(diào)

1,

2,…,

t}

或簡(jiǎn)記作A≌B。1、等價(jià)向量組可以證明,等價(jià)向量組有如下基本性質(zhì)：(1)反身性:{

1,

2,…,

s}≌{(diào)

1,

2,…,

s}.(2)對(duì)稱性:

若{

1,

2,…,

s}≌{(diào)

1,

2,…,

t},則{

1,

2,…,

t}≌{(diào)

1,

2,…,

s}.(3)傳遞性:

若{

1,

2,…,

s}≌{(diào)

1,

2,…,

t},且{

1,

2,…,

t}≌{(diào)

1,

2,…,

k},則{

1,

2,…,

s}≌{(diào)

1,

2,…,

k}.以下我們證明，兩等價(jià)的線性無(wú)關(guān)的向量組所含的向量個(gè)數(shù)必然相等。為此先介紹一個(gè)引理。引理3.1

設(shè)向量組α1,α2,…,αs可由向量組

1,

2,…,

t

線性表示，且α1,α2,…,αs

線性無(wú)關(guān)，則

s<t.【證】(反證法)設(shè)s>t,且向量組α1,α2,…,αs可由向量組

1,

2,…,

t線性表示，則可設(shè)其中為組合系數(shù).(3.12)又設(shè)存在一組數(shù),使得(3.13)將(3.12)代入,有整理得則(3.13)式恒成立,此時(shí)方程組(3.14)是一含t個(gè)方程s個(gè)未知量的齊次線性方程組,且s>t,由定理3.5的推論1可知該方程組有非零解,即存在不全為零的數(shù)如果令

(3.14),使得成立,故向量組線性相關(guān),線性無(wú)關(guān)相矛盾.因此,

s

t成立.這與條件證畢.推論1（引理的逆否命題）設(shè)向量組α1,α2,…,αs

可由向量組β1

,β2,…,βt

線性表示，且s>t,則α1,α2,…,αs線性相關(guān)。例如：向量組α1=(3,4,8)T,α2=(2,2,5)T,α3=(0,2,1)T

與向量組β1=(1,2,3)T,β2=(1,0,2)T,滿足由推論α1

,α2

,α3

線性相關(guān)。事實(shí)上：α3=

2α1-3α2（觀察的?。┩普?

任意n+1個(gè)n維向量線性相關(guān).是任意一組n維向量,則可以由n維基本向量組當(dāng)向量組中向量個(gè)數(shù)大于其維數(shù)時(shí),該向量組必線性相關(guān).【證】設(shè)線性表示,而n+1>n,由推論1知,向量組線性相關(guān).可進(jìn)一步推得：定理3.9

等價(jià)的線性無(wú)關(guān)的向量組所含的向量個(gè)數(shù)相等?！咀C】設(shè)兩線性無(wú)關(guān)的向量組

1,

2,…,

s與

1,

2,…,

t等價(jià)，則兩向量組可相互線性表示，即

1,

2,…,

s可由

1,

2,…,

t線性表示，由引理3.1

s≤t；另一方面：

1,

2,…,

t可由

1,

2,…,

s線性表示，由引理：t≤s,所以s=t。證畢說(shuō)明：“等價(jià)的線性無(wú)關(guān)的向量組所含的向量個(gè)數(shù)相等”這一結(jié)論是我們下一節(jié)建立“向量組的秩”概念的理論依據(jù)！！2、向量組的極大無(wú)關(guān)組定義3.7

設(shè)向量組αi1,αi2,…,αir是

1,

2,…,

s的一個(gè)部分組，滿足(1)αi1,αi2,…,αir

線性無(wú)關(guān)；(2)向量組

1,

2,…,

s的任意r+1個(gè)（如果存在的話）線性相關(guān)；則稱向量組αi1,αi2,…,αir

是向量組

1,

2,…,

s的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，簡(jiǎn)稱極大無(wú)關(guān)組.說(shuō)明：由定義，所謂向量組的極大無(wú)關(guān)組實(shí)際上就是線性無(wú)關(guān)的部分組所含的向量個(gè)數(shù)最多的那個(gè)部分組。實(shí)際上，定義3.7還可等價(jià)地?cái)⑹鰹椋憾x3.8

設(shè)向量組αi1,αi2,…,αir是

1,

2,…,

s的一個(gè)部分組，滿足（1）αi1,αi2,…,αir

線性無(wú)關(guān)；（2）向量組

1,

2,…,

s的中每一個(gè)向量可由αi1,αi2,…,αir線性表示；則稱向量組αi1,αi2,…,αir是向量組

1,

2,…,

s的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，簡(jiǎn)稱極大無(wú)關(guān)組.說(shuō)明：（1）向量組的極大無(wú)關(guān)組不惟一；（2）向量組

1,

2,…,

s線性無(wú)關(guān)等價(jià)于

1,

2,…,

s的極大無(wú)關(guān)組是其本身；（3）若向量組

1,

2,…,

s不全為零，則其極大無(wú)關(guān)組存在；全為零向量的向量組的極大無(wú)關(guān)組不存在。（4）由定義，向量組與它任意一個(gè)極大無(wú)關(guān)組等價(jià)。（5）由等價(jià)的傳遞性知：向量組的任意兩個(gè)極大無(wú)關(guān)組等價(jià)。定理3.10

向量組A與它的任意一個(gè)極大無(wú)關(guān)組A0是等價(jià)的.【證】一方面,因?yàn)锳0是向量組A的部分組,因而A0可由向量組A線性表示;另一方面,因?yàn)锳0是向量組A的極大無(wú)關(guān)組,因而A中的任意向量可由A0線性表示,這樣向量組A與A0等價(jià).證畢.推論1向量組的任意兩個(gè)極大無(wú)關(guān)組等價(jià).【證】設(shè)向量組A有兩個(gè)極大無(wú)關(guān)組A0與A1,則A分別與A0及A1等價(jià),再由等價(jià)的傳遞性即得A0與A1等價(jià).推論2向量組的任意兩個(gè)極大無(wú)關(guān)組中所含的向量個(gè)數(shù)相等.【證】由推論1與定理3.9，結(jié)論顯然成立.由此可見(jiàn)：一個(gè)向量組的極大無(wú)關(guān)組是不惟一的，但它們所含的向量個(gè)數(shù)相同.3、向量組的秩定義3.12

向量組

1,

2,…,

s的任意一個(gè)極大無(wú)關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)稱為向量組的秩，記作r(

1,

2,…,

s)說(shuō)明（1）規(guī)定全為零向量的向量組的秩為零；（2）0≤r(α1,α2,…,αs)≤s;（3）向量組

α1,α2,…,αs

線性無(wú)關(guān)等價(jià)于r(α1,α2,…,αs)=s；（4）向量組α1,α2,…,αs

線性相關(guān)等價(jià)于r(α1,α2,…,αs)<s；定理3.12(向量組秩的不等式)若

1,

2,…,

s可由

1,

2,…,

t線性表示,則則【證】設(shè)與分別是向量組A與B的極大無(wú)關(guān)組,又因?yàn)橄蛄拷MA可由向量組B線性表示,可由向量組B線性表示.故又B可由其極大無(wú)關(guān)組由引理3.2，有即證畢.所以可由線性表示.線性表示,定理3.13

等價(jià)的向量組的秩相等。證明：設(shè)

1,

2,…,

s與

1,

2,…,

t等價(jià)，則兩組向量相互線性表示.一方面,

1,

2,…,

s可由

1,

2,…,

t

線性表示，由命題知r(

1,

2,…,

s)

≤

1,

2,…,

t).綜上兩方面，所以r(

1,

2,…,

t)

=r(

1,

2,…,

s).另一方面，

1,

2,…,

t可由

1,

2,…,

s線性表示，再由命題知r(

1,

2,…,

t)

≤r(

1,

2,…,

s).

4、矩陣的行秩與列秩矩陣的行向量組與列向量組稱為A

的行向量組;稱α1,α2,…,αn

為A

的列向量組.注：把矩陣的每一行看成一個(gè)向量，則矩陣由這些行向量組成.α1

α2

…

αn定義3.13

矩陣的行向量組的秩，稱為矩陣的行秩;矩陣的列向量組的秩，稱為矩陣的列秩。例如A的行向量組β1T=(1,0,2,2),β2T

=(0,1,3,-1),β3T=(0,0,0,0)的秩為2,所以矩陣

A的行秩為2.同理可分析矩陣A

的列向量組的秩也為2，所以A

的列秩為2.引理3.2初等行變換不改變矩陣的行秩，初等列變換也不改變矩陣的列秩?！咀C】(僅就列變換證明)設(shè)的列向量組為經(jīng)過(guò)一次列初等變換得矩陣B,只有三種形式,因此B的列向量組只為下列三種情況之一：由于列初等變換(1)矩陣A的某兩列互換,則得則得(2)矩陣A的某一列乘以非零常數(shù),(3)把矩陣A的第j列的k倍加到第i列上,則得總之,矩陣A的列向量組與矩陣B的列向量組是等價(jià)的,由于等價(jià)的向量組的秩相同,所以列初等變換不改變矩陣的列秩.引理3.3對(duì)矩陣作初等行變換不改變矩陣的列秩；對(duì)矩陣作初等列變換不改變矩陣的行秩?！咀C】略總結(jié)：初等變換不改變矩陣的行秩及列秩。定理3.15

矩陣的行秩等于矩陣的列秩，也等于矩陣的秩。由定理2.4,經(jīng)過(guò)若干次初等變換,矩陣A【證】設(shè)A為mn矩陣,可化為標(biāo)準(zhǔn)形顯然,F矩陣的行秩與列秩均為r,所以由引理3.1與3.2知矩陣A的行秩等于r,A的列秩也等于r,即矩陣的行秩與列秩相等.又因?yàn)镕矩陣的秩等于也等于r,所以矩陣的行秩與列秩相等且等于矩陣的秩.證畢.定理3.16矩陣的行初等變換不改變矩陣的列向量組的線性關(guān)系;矩陣的列初等變換不改變矩陣的行向量組的線性關(guān)系.【證】略說(shuō)明：

由引理3.2、3.3以及定理3.15，3.16，我們可得用矩陣的初等行變換求極大線性無(wú)關(guān)組的方法。設(shè)α1

α2

…

αnβ1

β2

…

βn則向量組

1,

2,…,

n與

1,

2,…,

n之間具有以下關(guān)系：①若

1,

2,…,

n的一個(gè)部分組

j1,

j2

,…,

jr

線性無(wú)關(guān)，則在

1,

2,…,

n中相對(duì)應(yīng)的部分組

j1,

j2,…,

jr也線性無(wú)關(guān).②若

1,

2,…,

n的某個(gè)向量

k(1≤k≤n)可由部分組

j1,

j2,…,

jr則在

1,

2,…,

n相對(duì)應(yīng)的向量

k(1≤k≤n)可由且若：βk

=k1βj1+k2βj2+…+krβjr線性表示，

j1,

j2,…,

jr

線性表示，,其中k1,k2,…,kr

為組合系數(shù)。即

k與

k有相同的組合系數(shù)。αk

=k1αj1+k2αj2+…+krαjrαk

=k1αj1+k2αj2+…+krαjrβk

=k1βj1+k2βj2+…+krβjr則5、極大無(wú)關(guān)組的求法【例3.21】求向量組α1=(1,

1,2,4)T,α2

=(0,3,1,2)T,α3=(3,0,7,14)T,α4

=(1,-1,2,0)T,α5

=(2,1,5,6)T的秩，并求一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，且將其余向量用極大無(wú)關(guān)組線性表示。解：以向量α1,α2

,…,α5為列作矩陣A，對(duì)A作初等行變換,將其化成行簡(jiǎn)化矩陣：(α1,α2,α3,α4,α5)(

1,

2,

3,

4,

5)觀察矩陣B的秩以及列向量組

1,

2,

3,

4,

5的線性關(guān)系。(

1,

2,

3,

4,

5)顯然，r(B)=3,所以r(A)=3,即向量組α1,α2,α3,α4,α5的秩為3.B的列向量組

1,

2,

3,

4,

5的極大線性無(wú)關(guān)組為

1,

2,

4,所以α1,α2,α3,α4,α5的極大線性無(wú)關(guān)組為α1,α2,α4。又因?yàn)樗浴纠?.17】判斷向量組【解】將向量組寫(xiě)成矩陣,令的線性相關(guān)性.所以r(A)=3<4,故α1,α2,α3,α4線性相關(guān).r(AB)min(r(A),r(B)).【例3.18】設(shè)A為m

s階矩陣，B為s

n階矩陣，證明:【證】設(shè)A=,B=，將A按列分塊則此說(shuō)明向量可由即r(AB)

r(A),同理有r(AB)

r(B),因而r(AB)

min(r(A),r(B)).

又將AB按列分塊AB

,則線性表示,所以2.設(shè)向量組的秩為2,求a,b.1.求向量組秩以及一個(gè)極大無(wú)關(guān)組,并將其余向量用極大無(wú)關(guān)組線性表示.其中練習(xí)2.設(shè)向量組α1,α2,…,αn

與

1,

2,…,

n存在以下關(guān)系證明：向量組α1,α2,…,αn

與

1,

2,…,

n等價(jià)。1.判定向量組α1=(1,1,3,1)T,α2=(5,

2,8,

9)T與β1=(

1,1,

1,3)T,β2=(

1,

3,1,7)T是否等價(jià)？考研真題2.

(2018數(shù)學(xué)3)設(shè)A為三階矩陣，α1

,α2,α3是線性無(wú)關(guān)的向量組，若Aα1=α1+α2,Aα2=α2+2α3,Aα3=-α2+α3,則A

的行列式|A|=（）。1.（2006數(shù)學(xué)3）四維向量組α1=(1+a,1,1,1)T,α2=(2,2+a,2,2)T,α3=(3,3,3+a,3)T,α4=(4,4,4,4+a)T,問(wèn)a為什么數(shù)時(shí)α1